第二章-直线上的波动方程
波动方程正弦表达式
波动方程正弦表达式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：波动方程是描述波动传播过程的数学模型，通常用偏微分方程来描述。
在物理学中，波动方程可以描述光、声、电磁波等波动的传播规律。
波动方程的解可以是各种波动的形式，包括正弦波、余弦波、阶跃波等。
正弦函数是一种最常见的周期函数，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
正弦函数的表达式为y = A*sin(kx - ωt + φ)，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率，φ为初相位。
在波动方程中，正弦表达式通常用来描述波动传播的形式。
波动方程的标准形式为：∂^2u/∂t^2 = c^2∇^2uu为波动的幅度，c为波速，∇^2为Laplace 算子。
在一维空间中，波动方程可以简化为：这是一维波动方程的标准形式，描述了波动在空间和时间上的变化规律。
为了求解波动方程，可以采用分离变量法、Fourier 分析、拉普拉斯变换等方法。
对于正弦波来说，它是波动方程的一种特解。
正弦波的表达式为：u(x, t) = A*sin(kx - ωt + φ)我们可以通过这个正弦表达式来描述波的传播情况。
当t=0 时，波在空间上的分布为：这表示波在初始时刻的空间分布情况。
在波动传播过程中，波动的波数k 和角频率ω 是固定的，它们决定了波动的特性。
初相位φ 则表示波的初始相位，它也是决定波形的一个重要参数。
波动方程正弦表达式的求解过程可以通过分离变量法来进行。
假设波的传播方向为x 轴正方向，设u(x, t) = X(x)T(t)，代入波动方程可以得到：X''(x)T(t) = c^2X(x)T''(t)分别对应x 和t 方向的微分方程。
这两个微分方程分别为：可以看出，左边是只与空间相关的方程，右边是只与时间相关的方程。
分离变量法的思路就是将空间和时间方程分离开，然后分别求解，最后组合起来得到波动方程的解。
对于正弦波来说，其中的正弦函数是空间方程的解，对应的角频率ω 和波数k 是确定的值。
第二章波动方程和薛定谔方程
1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
《大学物理》第二章--波动方程
a o
● ●
b
●
u
d
S
x
●
x
x dx
dxS S ( d ) S dS x
t 时刻体积元所受合力
( x，t ) d dx x 体积元质量为 dV Sdx v dxS Sdx 根据牛顿第二定律有
应力是 x 和 t 的函数
2 2
——波动方程
以上是按运动学的观点来讨论波动过程的传播规律， 还可以进一步从动力学的观点，更本质地分析 波动方程的意义. 2. 波动方程的动力学推导
以平面波在固体细长棒中的传播为例 设有一截面积为S ，密度为ρ 的固体细棒， 一平面纵波沿棒长方向传播。
S
u
a o
● ●
b
●
u
d
2 2
2 T ，u T 1 2 u
y 1 y 2 2 x u t 2
2 2
——波动方程
注意：
波动方程是由平面简谐波推导出的， 但对其它平面波仍然成立， 从数学上，平面简谐波波函数 只是上述波动方程的一个特解。
y 1 y 2 2 x u t 2
y 0.1cos(3t x )
t=0时的波形曲线如图，则： Ａ，a点的振幅为－０．１m; Ｃ，两点间的相位差为 / 2 Y(m) 0.１m -0.１m a
Ｂ,波长为４m Ｄ，波速为６m/s
u b
C X(m)
0
例３，若一平面简谐波的波动方程为
y A cos( Bt Cx)
式中的Ａ，Ｂ，Ｃ为正值恒量，则
Ａ，波速为Ｃ／Ｂ Ｂ，周期为１／Ｂ
Ｃ，波长为 C / 2 Ｄ，圆频率为Ｂ Ｄ
第二章三类典型的偏微分方程
第二章 三类典型的偏微分方程
简化假设：
在弦上任取一小段 (x, x x)它的弧长为：
s
x x x
1
(
u x
)
2
dx
y
M'
s
T'
'
M
gs
T
x
x x x
由于假定弦在平衡位置附近做微小振动， u 很小，从而
x
x x
s x 1dx x
可以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可
知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，与时
设场内热源为稳态的，即为 f(x, y, z)
流场温度不随时间变化，即T=T( x, y, z ) 则有
第二章 三类典型的偏微分方程
其中：
2T 2T 2T g(x, y, z,t) x2 y2 z2
g(x, y, z,t) f (x, y, z,t) / a2
这就是稳态方程，称为泊松方程。
c
第二章 三类典型的偏微分方程
☆ 三维热传导方程的推导
根据热学中的傅立叶定律
在dt时间内从dS流入V的热量为：
dQ k T dSdt k T nˆdSdt kT dSˆdt
n 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为
S n
M V
S
热场
Q1
t2
t1
S
kT
dSˆ
dt
高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
t 2 x2
2u t 2
a2
2u x2
0
令：a
E
2u P
t 2 x
第二章 三类典型的偏微分方程
☆ 静止空气中一维微小压力波的传播
数理方程第2章波动方程
π
2π sin x,"" l
kπ 2 π 1,cos l x, cos x,""cos l l
π
x,"
是[0, l]上的正交函数列
⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 = cos cos ∫0 l x l xdx ⎨ l m = n = 0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
17
例：
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 = , t > 0, 0 < x < l a ⎪ ∂t 2 2 ∂x ⎪ ⎪ u (0, t ) = u ( l , t ) = 0, ⎨ ⎪ u ( x , 0) = x ( l − x ), ⎪ 2π x ⎪ u t ( x , 0) = sin l ⎩
kπ X k ( x) = Bk sin x l
所以定解问题的级数形式解为
u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝ ak =Bk Ck ,bk =Bk Dk .
8π at 8π x u ( x, t ) = 3cos sin sin + 5 cos l l l l
π at
πx
23
• 其它边界条件的混合问题
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 x x ⎪ ⎪ ⎩
第2章波动方程
第二章波动方程
本章讨论与波动方程
= F ( x − at ) , u
a>0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
= F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x , u )平 应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如 面上的曲线是曲线 u
u ( A ) + u ( C ) = F ( x1 − at1 ) + G ( x1 + at1 ) + F ( x3 − at 3 ) + G ( x3 + at 3 ) , u ( B ) + u ( D ) = F ( x2 − at 2 ) + G ( x2 + at 2 ) + F ( x4 − at4 ) + G ( x4 + at 4 ) ,
u ( x , t ) ∈ C 2 ( \ × \ + ) , 它由 D’Alembert 公式给出，且 u ( x , t ) 连续依赖于初始函数 ϕ 和
ψ.
由 D’Alembert 公式可直接得到解在有限时间 [ 0, T ] 内的估计式为
sup u ( x , t ) ≤ sup ϕ ( x ) + T sup ψ ( x ) ,
波动方程第二章PPT课件
A0 α
σn
▪ 正应力亦称作直应力， 以σ或σn表示。
▪ 正应力可以是压应力， 也可以是张应力。
▪ 正应力符号规定：
• 压应力为正 • 张应力为负 • 与材料力学中的规定相反
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9
剪应力
Aα σα
A0 α τ
▪ 剪应力亦称作切应力，以τ或 σs表示。可分解为x和y方向的 两个互相垂直的切应力分量 σxn和σyn。
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21
2.2.4 应变分析
一个点在所有方向上的无穷小伸长度就构成了该点的 应变状态。 研究应变时，必须假设形变是很小的，即
2 固体弹性力学的基本理论
本章包括：
▪ 应力分析 ▪ 应变分析 ▪ 应力与应变关系,弹性参数弹性 ▪ 弹性波的波动方程：Navier方程、纵波传
播方程、横波传播方程
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1
2 固体弹性力学的基本理论
▪ 地震波可视为弹性波。
▪ 弹性波在弹性介质中传播时，波经过的介质产生 两种类型的变化——
▪ 内部应力的重新分布；
➢ 应力定义为单位面积上所受的内力。应力并 不是一个力，因为它的量纲不是力而是单位 面积上的力。
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5
2.1 应力分析
▪ 应力的方向与作用力的方向一致 ▪ 应力的大小
• σ= P(作用力) / A( 面积) • 或dP / dA（当应力分布不均匀时）
▪ 对应力概念其它方式的理解
• 力的强度 • 类似的表达：压强，密度 …
▪ 剪应力符号规定：
• 使物体沿逆时针方向旋转的 剪应力为正
• 使物体沿顺时针方向旋转的 剪应力为负
• 与材料力学中的规定相反
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大学物理第二章 行波波动方程
除了取决 t o 外，
还应与质元的位置坐标有关
下面来写出平面简谐波的表达式
假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的 均匀无限大媒质中传播。
波传播的速度为 u ，方向如图 u
●
o
x
选择平行波线方向的直线为 x 轴。
u
●
o
x
在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同），
即应变，则有
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“－”表示压强的增大总导致体积的减
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 作机械振动的物体——波源 媒质 传播机械振动的物体 在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。
什么是物质的弹性？
机械振动是如何靠弹性来传播呢？
T
将上式改写
u
表明：波的频率等于单位时间内通过媒质 某一点的“完整波”的个数。
4. 波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质，
(1) 固体中的横波
(2) 固体棒中的纵波
u
G
u E
G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中 ｕ横波 <ｕ纵波
a
2. 表达式也反映了波是振动状态的传播
y( x x，t t) y( x, t)
x ut
y
o●
u
t
ut
●
●
x
x x x
y Acos( t 2 x )
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第二章 直线上的波动方程本章采用特征线和Green 公式两种方法讨论一维波动方程的解法。
讨论了下列方程的解。
1）齐次波动方程20,,0(,0)(),(,0)()tt xx t u c u x t u x x u x x ϕψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩；2）非齐次波动方程22222(,)(,)(,),,0(,0)(),(,0)()t u x t u x t c f x t x t t x u x x u x x ϕψ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩3）边值问题20,0,(,0)(),(,0)(),0(0,)(),(,)(),tt xx t u c u x l t u x x u x x x u t f t u l t g t t ϕψ⎧-=<<-∞<<∞⎪==<<∞⎨⎪==-∞<<∞⎩。
§2.1 直线上的波动方程讨论无限长弦振动满足的齐次波动方程22222(,)(,)0,,0(,0)(),(,0)()t u x t u x t c x t tx u x x u x x ϕψ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩（1）定理 方程（1）的解为()()1(,)()22x atx atx at x at u x t s ds a ϕϕψ+--++=+⎰ （2）解 首先不考虑初始条件的所有可能解。
此时，()()0c c u t x t x∂∂∂∂-+=∂∂∂∂。
问题分解为分别求解方程()0c v t x∂∂-=∂∂ （3）和()c u v t x∂∂+=∂∂。
（4）利用特征线方法，方程（3）的解：dxc t=-∂，(,)(,0)v x t v x ct =+。
方程（4）的解：dxc t=∂，因此沿00()x x c t t =+-， 0000((),)((2),0)du x c t t t v x c t t dt+-=+-，即000000000001(,)(,0)((2),0)(,0)2t x ctx ct u x t u x ct v x c t t dt v t dt c +---=+-=⎰⎰。
可见方程（1）不考虑初始条件的一般解有形式(,)()()u x t f x ct g x ct =++-。
由初始条件可确定待定函数：()()()[()()]()f xg x x c f x g x x ϕψ+=⎧⎨''-=⎩。
解该方程组得，0()1(0)(0)()()222x x f g f x s ds c ϕψ-=++⎰，0()1(0)(0)()()222xx f g g x s ds c ϕψ-=--⎰。
所以()()1(,)[()()]22x ctx ctx ct x ct u x t s ds s ds cϕϕψψ+-++-=+-⎰⎰()()1()22x ctx ctx ct x ct s ds c ϕϕψ+-++-=+⎰ 【end 】例 (||),||()0,||ba x x ax a x a ϕ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩，()0x ψ=。
解 折线||x ct a ±=，0t ≥，把平面(,)x t 分成六个部分：1{(,)|,0}S x t x ct a t =-≥≥，2{(,)|,,0}S x t a x ct a x ct a t =-<-<+>≥， 3{(,)|,,0}S x t a x ct x ct a t =-<-+<≥，4{(,)|,,0}S x t a x ct x ct a t =->-+>≥， 5{(,)|,,0}S x t x ct a a x ct a t =-<--<+<≥，6{(,)|,0}S x t x ct a t =+<-≥。
因此，1(,)0,u x t x S =∈，2(,)(||),2bu x t a x ct x S a=--∈， 3(,)(2||||),2bu x t a x ct x ct x S a=+++-∈，4(,)0,u x t x S =∈， 5(,)(||),2bu x t a x ct x S a=++∈，6(,)0,u x t x S =∈。
（注 图示）【end 】称方程解（1）为D ’Alembert 公式，它刻划了初始的振动如何在时空传播的。
位于0x 处的初始振动，在时刻t 只能影响时空区域00x ct x x ct -≤≤+，即其传播速度不会超过c 。
称时空区域00{(,)|}x t x ct x x ct -≤≤+为0(,0)x 的影响域。
同时，时空中00(,)x t 处的振动是由位于00(,)x ct x ct -+内的初始振动决定的，与其它位置的振动无关，称其为00(,)x t 的决定域。
从影响域看，如果我们是生活在一维世界，则说话的声音将不断被自己的回声影响，不能听清自己的初始声音。
但是如果初始振动仅由位移构成（0ψ=），则其决定域则为两个点。
再考虑具有的外力作用的弦波动方程22222(,)(,)(,),,0(,0)(),(,0)()t u x t u x t c f x t x t t x u x x u x x ϕψ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩用两种方法求解该方程。
1. 特征线方法 把问题分解为[](,)[](,)c v f x t t xc u v x t t x ∂∂⎧+=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩。
第一个方程用特征线方法求解。
沿特征线00()x x c t t =+-，00000((),)((),)dv x c t t t f x c t t t dt+-=+-， 所以0000000(,)(,0)((),)t v x t v x ct f x c t t t dt =-++-⎰，或改写为(,)(,0)((),)tv x t v x ct f x c t d ηηη=-++-⎰。
类似，第二个方程的解为(,)(,0)((),)tu x t u x ct v x c t d ηηη=++--⎰。
注意到((),)((2),0)(()(),)v x c t v x c t f x c t c d ηηηηηξηξξ--=--+--+-⎰，即得，(,)(,0)[((2),0)(()(),)]tu x t u x ct v x c t f x c t c d d ηηηξηξξη=++--+--+-⎰⎰，001(,0)(,0)(()(),)2x ct t x ctu x ct v d f x c t c d d c ηηηηξηξξη+-=+++--+-⎰⎰⎰ 00()()((2),)t f x ct g x ct f x c t d d ηηξξξη=++-+---⎰⎰0()()((2),)t tf x ctg x ct f x c t d d ξηξξηξ=++-+---⎰⎰()0()1()()(,)2x c t t x c t f x ct g x ct f d d c ξξηξηξ+---=++-+⎰⎰利用初始条件可得，()0()()()11(,)()(,)222x c t x ct t x ct x c t x ct x ct u x t s ds f d d c c ξξϕϕψηξηξ+-+---++-=++⎰⎰⎰ (,)()()11()(,)222x ctx ct t x x ct x ct s ds f d d c c ϕϕψηξηξ+-∆++-=++⎰⎰⎰ 其中三角形区域(,)t x ∆如图所示：(,){(,)|0,()()}t x t x c t x c t ηξξξηξ∆=≤≤--≤≤+-。
附录：叠加原理。
原方程解可分解为下面两个方程解的叠加：22222(,)(,)(,),,0(,0)0,(,0)0t u x t u x t c f x t x t tx u x u x ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩和22222(,)(,)0,,0(,0)(),(,0)()t u x t u x t c x t tx u x x u x x ϕψ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩即，12u u u =+。
2. Green 公式方法对有源波动方程在(,)t x ∆区域上积分，2(,)(,)(,)[(,)(,)]ttxx t x t x f d d uc ud d ηξηξηξηξηξ∆∆=-⎰⎰⎰⎰。
利用Green 公式（()DDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰）， 22(,)(,)[(,)(,)][(,)(,)]tt xx t x t x u c u d d c u u d d ηξηξηξηξηξηξηξηξ∆∆∂∂-=--∂∂⎰⎰⎰⎰2(,)[(,)(,)]t x u d c u d ξηηξηηξξ∂∆=-+⎰沿0,x ct x ct ξη==-→+，2(,)(,)(,)(,0)()x ctx ctt t x x ctx ctu d c u d u d d ξηηξηηξξηηψηη++∂∆----=-=-⎰⎰⎰沿c x ct ηξ=-++，0t ξ=→，22(,)0(,)(,)(,)(,)ttt x t x u d c u d u c x ct cd c u c x ct d ξηηξηηξξξξξξξξ∂∆--=-++--++⎰⎰⎰0(,)tc du c x ct ξξ=-++⎰(,)(,0)(,)()cu x t cu x ct cu x t c x ct ϕ=-+=-+沿c x ct ηξ=+-，0t ξ=→，22(,)(,)(,)(,)(,)t x t x ttu d c u d u c x ct cd c u c x ct d ξηηξηηξξξξξξξξ∂∆--=-+--+-⎰⎰⎰0(,)tc du c x ct ξξ=+-⎰(,)(,0)(,)()cu x t cu x ct cu x t c x ct ϕ=--=--因此，(,)(,)2(,)[()()]()x ctt x x ctf d d cu t x x ct x ct d ηξηξϕϕψηη+∆-=-++--⎰⎰⎰。
所以，(,)()()11(,)()(,)222x ctx ct t x x ct x ct u x t s ds f d d c c ϕϕψηξηξ+-∆++-=++⎰⎰⎰ 注：上述表达式中的第三项是下面齐次方程2(,)(,),(,)0,(,)(,)tt xx t w x t c w x t t s w x s w x s f x s ⎧=⎪≥⎨==⎪⎩ 的解关于s 积分。