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直线与圆锥曲线的位置关系综合应用(附详细答案)【打印讲义】
二轮专题——直线与圆锥曲线的位置关系综合应用【目标】掌握直线与圆锥曲线的位置关系，并会综合应用知识处理相关问题。
【重点】直线与圆锥曲线中的最值、值域、参数范围问题，定点、定值以及探究性问题。
【难点】圆锥曲线与三角、函数与方程、不等式、数列、平面向量等知识的的综合应用. 【知识与方法】圆锥曲线中的定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，解决此类问题需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。
如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。
2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。
3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值或值域. 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解. 【基础训练】1、若实数x 、y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是（ ）A 、5B 、10C 、9D 、5+25 2、若关于x 的方程)2(12-=-x k x有两个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A 、)33,33(-B 、)3,3(-C 、⎥⎦⎤⎝⎛-0,33D 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--33,2121,33 3、已知P 、Q 分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且△POQ 的面积为1，（0为原点），则线段PQ 中点M 的轨迹为（ ）A 、双曲线x 2-y 2=1 B 、双曲线x 2-y 2=1的右支 C 、半圆x 2+y 2=1(x<0) D 、一段圆弧x 2+y 2=1(x>22)4、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y 2=20x 上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为5、椭圆191622=+yx在第一象限上一动点P ，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则APBOS 四边形的最大值为题型一、最值及值域问题例1.【广东省梅州市2013届高三总复习质检】已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22221(0)y x a b ab+=>>的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 1：24x y =的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且15||3MF =。
直线与圆锥曲线的位置关系
该 程｛２ ＿＿ 圆方为世１ 为 ， 椭 上点 组６ ２１ 的程孚 ． 孚 以 圆 的和 【 ． ，删椭 Ⅱ ＝ ６ ４
（ ） （ ） 知点 Ａ 的 坐 标为 （ ２ ０ ， 直 线 ｆ ２ 由 １可 一 ，） 且
的 斜 率 必 存 在 ． 点 Ｂ 的 坐 标 为 （ ， ， 线 ｆ 斜 设 Ｙ） 直 的
（ ） 否存 在 常 数 Ａ， 得 ｌ ＢＩ Ｄ ＪＡＩＢ Ｉ ３是 使 Ａ Ｃ ＋Ｉ ＝ Ａ ・
ｌ Ｄｌ 成 立 ？ Ｃ 恒 若存 在 ， 出 Ａ的值 ； 不存 在 ， 说 求 若 请
明理 由．
弦长 ｆ ＝ ｌ － ・Ｘ－ ｚ． 圆锥 曲线 的弦 长的 思 ＡＢｌｖＴ ￣ ＪＩＸ Ｉ ４ 求
．
所 以 ｙ： —ｘ ｉ 。 ±２ ￣ ／
综 上可知 ， ＋ Ｎ ２ ￣ ｙ： —ｖ － ： ２ ／ ０ ±２ Ｔ ￣
一
．
例 １ 已知椭圆 ＋ ＝ （＞＞ ） 等 １ａｂＯ的离心率ｅ ＝
，
小 结 涉及 弦的 中点 的 问题 ， 们 可 以利 用判 我
别 式 和 根 与 系数 的 关 系 加 以 解 决 ， 可 以 利 用 “ 也 点
ｋ】ｋ２ ． ・ ＝１
￣ ｌ Ｄ ＩＡＩ ＢＩ Ｄ Ｉ ａｇｌ Ｃ Ｃ ＋Ｉ ＝ Ａ ・Ｉ
恒 成立 ． 小 结 设 直 线 ｌ 圆 锥 曲 线 Ｃ 相 交 于 Ａ． 两 与 Ｂ 点 ， Ａ 的 坐 标 为 （ ， ， Ｂ 的 坐 标 为 （ ， ２ ， 点 Ｙ） 点 Ｙ） 则
垂 直 平 分 线 为 ｙ轴 ， 是 于 ＝ 一 一ｏ ， （ ２，ｙ ） ＝ ２， （
直 线与圆 线的 锥曲
一
） ・ ：， ． 由 ４ 得 ＝ ２ ／ ± 、 ．
8.4 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系[高考要求]1.能正确熟练地解决直线和圆锥曲线的位置关系的一些问题。
2.能够正确运用圆锥曲线的第一定义、第二定义和标准方程解决焦点弦问题，焦点三角形问题，弦中点问题；[考向指南]直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，且常以中、高档题目出现；特别是弦长、弦中点、定值与最值问题、轨迹问题、对称问题是高考的热点。
这部分内容对运算能力、分析综合能力要求较高，要给予相当的重视。
[高考题再现]1．[全国卷Ⅰ]设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线L 与抛物线有公共点，则直线L 的斜率的取值范围是（ ）。
A ．[-1/2，1/2] B. [-2，2] C. [-1，1] D. [-4，4]2. [重庆卷]对任意实数k,直线：y=kx+b 与椭圆：32c o s (02)1s i nx y θθπθ⎧=+⎪≤≤⎨=+⎪⎩恒有公共点，则b 的取值范围 。
3．[天津卷]若P （2，-1）为圆（x-1)2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）。
A ．x-y-3=0 B. 2x+y-3=0 C. x+y-1=0 D. 2x-y-5=0[典例讲解]（一）直线与圆锥曲线位置关系的基础知识知识点：（1）直线与圆锥曲线位置关系可通过对直线与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组 的解的情况来讨论；（2）弦长公式。
例1． 已知两点M （1，5/4）、N （-4，-5/4），给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0 ② x 2+y 2=3③2212x y += ④ 2212x y -= 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）A ．① ③ B. ② ④ C. ① ② ③ D.② ③ ④例2．(P215 例1)已知直线L ：tan (22)y x α=+交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为L 的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求α的取值范围。
直线与圆锥曲线的位置关系(2)
10kb Q L 与 C 相 交 于 A , B 两 点 ,∴ 5k − 3 ≠ 0,∴ x A + x B = 3 − 5k 2 y=kx+b 2 2 ⇒ (5k 2 − 3)x 2 + 10bkx + 5b 2 = 0 y x − =0 5 3 10kb
可见AB,CD的中点横坐标都相同,从而中点重合. 可见AB,CD的中点横坐标都相同,从而中点重合. AB 的中点横坐标都相同
直线与圆锥曲线的位置关系（ 直线与圆锥曲线的位置关系（2）
直线与圆锥曲线相交问题的处理方法； 有关弦中点问题的解题技巧；
一、弦的中点问题的处理方法-----点差法 弦的中点问题的处理方法 点差法
x2 y 2 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )是椭圆 2 + 2 = 1上不同的两点, a b 且x1 ≠ x2 , x1 + x2 ≠ 0, M 为弦AB的中点, 则 x12 y12 a 2 + b2 = 1 ① 2 x2 y2 2 + 2 =1 ② 2 a b
解 : 假设存在P(x1 ,y1 ), Q(x 2 ,y 2 )为直线L上的两点, 假设存在P 为直线L上的两点, PQ的中点为 的中点为A 且PQ的中点为A,则有 :
ì ï 2 y12 ïx = 1 ï 1 ï 2 ï Þ í 2 ï ï 2 y2 ï x2 = 1 ï ï 2 î
2(x 1 + x 2 )(x 1 - x 2 ) = (y1 + y 2 )(y 1 - y 2 )
一、对于椭圆、抛物线而言: 对于椭圆、抛物线而言 若点P在其内部，则以P为中点的弦一定存在； 若点 在其内部，则以 为中点的弦一定存在； 在其内部 为中点的弦一定存在 在其外部或曲线上 为中点的弦一定不 若P在其外部或曲线上，则以 为中点的弦一定不 在其外部或曲线上，则以P为中点的弦一定 存在 二、对于双曲线而言 : 当点P落在双曲线与其渐近线所夹区域； 当点 落在双曲线与其渐近线所夹区域；在双曲 落在双曲线与其渐近线所夹区域 线上；在其渐近线（中心除外）上时，以点P为 线上；在其渐近线（中心除外）上时，以点 为 中点的弦不存在。 中点的弦不存在。 当点P落在其它区域时，以点 为中点的弦存在 为中点的弦存在。 当点 落在其它区域时，以点P为中点的弦存在。 落在其它区域时 检验方法：将求出的直线与曲线联立， 检验方法：将求出的直线与曲线联立，看△ >0?
直线与圆锥曲线的位置关系精品课件
4 5k 2 x 2 10k (3k 2) x 5(3k 2) 80 0 设M x1 , y1 , N x2 , y 2
则x1 x2 6 k 5
10k 3k 2 6 2 4 5k
直线MN的方程为：x 5 y 28 0 6
2
y2
2
2 px2
OA OB
2 2 2 2
y1 y2 4 p
y1 y2 4 p x1 x2 4 p y1 y2
2
x1 x2 y1 y2 0
x1 x2 y1 y2 4 p
2
(法二)：设OA的方程为：y kx y kx 2p 2p A( 2 , ) 2 k k y 2 px
AB
4 2 4 2
2
2
8
(法二) :由上得弦AB的方程为：x y 1 0
运用公式： 1 k 2 x1 x2 1 k 2 AB 而x1 x2 6 x1 x2 1
x1 x2 2 4 x1 x2
AB 8
(法三)(利用抛物线的定义解题)
通常利用方程根与系数的关系求得 应用公式： AB 1 k 2 x1 x2 有关弦中点的问题可利用中点公式及根与系数的 关系解决。 例3、抛物线 y 4 x 的一条弦的中点为 求此弦所在的直线方程。
2
3,2 ，
(法一)：设弦交抛物线于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
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直线与圆锥曲线的位置关系
一、要点
1、直线与圆锥曲线有无公共点的问题。 2、直线与圆锥曲线相交所得的弦长的计算， 有关中点弦的问题。 3、圆锥曲线内其它涉及到弦的问题。
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点，具体如下：①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得的一元二次方程的解的情况来判断．直线l 方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元(x 或y )， 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.若f (x ，y )＝0表示椭圆，上述方程中a ≠0，若f (x, y )＝0表示双曲线或抛物线， 上述方程中a ＝0或a ≠0.①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行(或重合)；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .a ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．直线与圆锥曲线的位置关系重点是相交：相交――→转化联立方程组有两组不等的实数解――→转化一元二次方程有两个不等实数解――→转化判别式大于零．2．弦长的求法求弦长――→转化求两点间的距离――→综合运用⎩⎪⎨⎪⎧消元，解方程组，一元二次方程根与系数的关系.(1)弦长：(直线与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，直线斜率为k ，一般地，弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. (2)若弦过焦点：可用焦半径公式来表示弦长，简化运算． 如x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)， |AB |＝2a －e(x 1＋x 2) (过右焦点)， |AB |＝2a ＋e(x 1＋x 2) (过左焦点)．如抛物线y 2＝2px (p >0)， |AB |＝x 1＋x 2＋p .3．中点弦问题设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M (x 0，y 0)为AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b21，x 22a 2＋y22b 21.两式相减可得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2，即k AB ·y 0x 0＝－b 2a2．类似地，可得圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1时，有k AB ·y 0x 0＝b 2a2．圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p >0)时，有k AB ＝py 0．探究点1 直线与圆锥曲线的交点问题例1 已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1, 2)，求过点P 的直线l 的斜率的取值范围，使l 与C 分别有一个公共点，两个公共点，没有公共点．例1 [解答] (1)当l 垂直x 轴时，此时直线与双曲线相切，有一个公共点．(2)当l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)代入双曲线C 的方程中，整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k)x －k 2＋4k －6＝0, (*) 当k 2＝2，即k ＝±2时， (*)为一次方程，显然只有一解； 当k 2≠2时，Δ＝4(k 2－2k)2－4(2－k 2)(－k 2＋4k －6)＝48－32k.令Δ＝0，可解得k ＝32；令Δ＞0，即48－32k ＞0，此时k ＜32；令Δ＜0，即48－32k ＜0，此时k ＞32.∴当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个公共点；当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜32时，l 与C 有两个公共点；当k ＞32时，l 与C 没有公共点．[点评] (1)为了设出直线方程，先讨论斜率是否存在．当斜率存在时，设出方程并与双曲线方程组成方程组，消去y 得到关于x 的方程．当二次项系数为零时，直线与渐近线平行与双曲线只有一个交点；当二次项系数不为零时，若Δ＝0，则有一个切点；若Δ>0，则有两个交点；Δ<0，则没有交点．(2)有关直线和圆锥曲线的范围问题，常常使用Δ来体现范围．探究点2 中点弦问题例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y ＝kx －2(k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且满足MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，求直线l 的方程．[解答] (1)设c ＝a 2－b 2，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，6a 2＝9a 2－9b 2，∴a 2＝3b 2＝12，即椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)∵MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，∴AP ⊥MN ，且点P 是线段MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 241，消去y ，得x 2＋3(kx －2)2＝12， 即(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，(*)，由k ≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k 2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根．设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，线段MN 的中点P(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2∴x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2， ∴y 0＝kx 0－2＝6k 2－2(1＋3k 2)1＋3k 2＝－21＋3k 2即P ⎝⎛⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.∵k ≠0，∴直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k1＋3k2＝－2－2(1＋3k 2)6k.由MN →⊥AP →，得－2－2(1＋3k 2)6k ·k ＝－1，∴2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，故直线方程为y ＝±33x －2.探究点3 相交弦长与面积问题例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦点到相应准线的距离为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．例3 [解答] (1)∵e ＝c a ＝63，a 2c －c ＝22，解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝3－2＝1， 椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，⎝⎛⎭⎫3223＋y 2＝1，得y 2＝34，AB ＝ 3. 当AB 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则|m|1＋k2＝32，得m 2＝34k 2＋34. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1， |AB|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1 ＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝2(k ≠0)，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时，|AB|max ＝2，当k ＝0时，AB ＝3，综上所述|AB|max ＝2.∴当|AB|最大时，△AOB 面积最大值S ＝12×32×2＝32.变式题：从椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线AB 平行于OM .(1)求椭圆的离心率；(2)当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203(Q是椭圆上的点)，求此时椭圆的方程． [解答] (1)如图，由题意知x M ＝－c ， 故y M ＝b 2a .又△F 1OM ∽△OAB ，c a ＝b 2a b ⇒b ＝c ⇒e ＝22. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，由(1)知a 2＝2b 2，方程变为x 2＋2y 2＝2b 2.设直线PQ 方程为y －0＝2(x －b)，联立方程组，得5x 2－8bx ＋2b 2＝0， x 1＋x 2＝8b 5，x 1x 2＝2b 25.|PQ|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝26b5∵|y 2－y 1|＝|2(x 2－x 1)|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43b5S △F 1PQ ＝12×||PQ ×||－22b 3＝203⇒b 2＝25，∴a 2＝50，∴椭圆方程为x 250＋y 225＝1.探究点4 弦的定比分点问题例4 已知椭圆x 25＋y 29＝1，焦点F (0,2)，又点A ，B 在椭圆上，而且AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率．例4 [解答] AF →＝2FB →⇒A ，F ，B 三点共线． 设AB 方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得 (9＋5k 2)x 2＋20kx －25＝0， x 1＋x 2＝－20k 9＋5k 2，x 1x 2＝－259＋5k2.又AF →＝2FB →⇒⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－2x 2，2－y 1＝2y 2－4，所以－x 2＝－20k 9＋5k 2，－2x 22＝－259＋5k 2，消去x 2，解得k ＝±33. 探究点5 综合应用问题例5 已知双曲线C ：x 21－λ－y 2λ＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM →·ON →＝0，其中点O 为坐标原点． [解答] 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由已知易求B(1,0)． 当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x ＝1.设M(1，y 0)，N(1，－y 0)(y 0＞0)，由OM →·ON →＝0，得y 0＝1，∴M(1,1)，N(1，－1)． 又M(1,1)，N(1，－1)在双曲线上， ∴11－λ－1λ＝1⇒λ2＋λ－1＝0⇒λ＝－1±52. ∵0＜λ＜1，∴λ＝5－12. 当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－λ－y 2λ＝1，y ＝k (x －1)，得：[λ－(1－λ)k 2]x 2＋2(1－λ)k 2x －(1－λ)(k 2＋λ)＝0. 由题意知λ－(1－λ)k 2≠0，∴x 1＋x 2＝－2k 2(1－λ)λ－(1－λ)k 2，x 1x 2＝－(1－λ)(k 2＋λ)λ－(1－λ)k 2，∴y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2λ2λ－(1－λ)k 2，∵OM →·ON →＝0，且M 、N 在双曲线右支上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1＋x 2＞0，x 1x 2＞0⇒⎩⎨⎧k 2＝λ(1－λ)λ2＋λ－1，k 2＞λ1－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ(1－λ)λ2＋λ－1＞λ1－λ，λ2＋λ－1＞0⇒5－12＜λ＜23.综上知5－12≤λ＜23. 变式题：已知点P 1(x 0，y 0)为双曲线x 28b 2－y 2b 21(b 为正常数)上任一点，F 2为双曲线的右焦点，过P 1作右准线的垂线，垂足为A ，连结F 2A 并延长交y 轴于点P 2.(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹E 的方程；(2)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点Q (x 1，y 1)(y 1≠0)，直线QB 、QD 分别交y 轴于M 、N 两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．[解答] (1)由已知得F 2(3b,0)，A ⎝⎛⎭⎫83b ，y 0，则直线F 2A 的方程为y ＝－3y0b (x －3b)，令x＝0，得y ＝9y 0，即P 2(0,9y 0)．于是直线QB 的方程为：y ＝y 1x 1＋2b(x ＋2b)，直线QD 的方程为y ＝y 1x 1－2b(x －2b)，可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，2by 1x 1＋2b ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2by 1x 1－2b . 则以MN 为直径的圆的方程为： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2by 1x 1＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2by 1x 1－2b ＝0.令y ＝0得x 2＝2b 2y 21x 21－2b 2，而Q(x 1，y 1)在x 22b 2－y 225b 2＝1上，则x 21－2b 2＝225·y 21，于是x ＝±5b ， 即以MN 为直径的圆过两定点(－5b,0)，(5b,0)．规律总结本节问题的研究集中体现了解析几何的基本思想和方法，要求有较强的分析问题和解决问题的能力，有些问题涉及代数、三角、几何等多方面的知识，因此在复习中要注意各部分之间的联系和综合利用知识解决问题的能力．1．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，通过消元最终归结为讨论一个一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0的实数解的个数问题．应特别注意要分A ＝0和A ≠0的两种情况讨论，只有A ≠0时，才可用判别式来确定解的个数. 当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点．这些情况在解题中往往容易疏忽，要特别注意，对于选择、填空题，用数形结合往往快速简捷．2．斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝|y 1－y 2|·1＋1k 2(k ≠0)，利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理．3．与焦点弦长有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义．4．在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程时，一般可设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，利用A 、B 在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝2n ，故可求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程．5．求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．。
第71讲 直线与圆锥曲线的位置关系
第71讲直线与圆锥曲线的位置关系【考点解读】1.学会用坐标法探究直线与圆锥曲线的位置关系2.进一步体会曲线方程的解与曲线上的点的坐标之间的关系，培养方程思想；3.能解决直线与圆锥曲线位置关系有关的综合问题【知识扫描】1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系2．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。
因为方程组解的个数与交点的个数是一样的直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2－4ac 。
则弦长公式为：d=221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+=22)1(ak Δ+=Δ||)1(2a k +。
焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
4.点差法当直线与曲线相交于两点,A B ，直线的斜率为k ，弦AB 的中点为()00,x y ，在椭圆22221x y a b+=中有2020x b k a y =-，在双曲线22221x y a b-=中有2020x b k a y =，在抛物线22y px =中有0p k y =【考计点拨】1.直线x +y =2与椭圆x 2+ky 2=1有公共点，则k 的取值范围是 . 【答案】10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为 （ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++= 【答案】C3.若a ≠b 且ab ≠0,则直线ax-y+b=0和二次曲线bx2+ay2=ab 的位置关系可能是( )【答案】C4.过原点的直线l :y =kx 与双曲线C: =1有两个交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .【答案】⎛⎝⎭5.椭圆221ax by +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 为AB 的中点，若为坐标原点，OC，则,a b 的值分别为_____________.【答案】13 典例分析考点一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断【例1】（1）若曲线y 2=ax 与直线y =(a +1)x -1恰有一个公共点，求实数a 的值【解析】联立方程组，分0a =和0a ≠讨论，得40,1,5a =-- 变式：⑴无论k 为何值，直线y =kx +2与焦点在x 轴上的椭圆 =1都有公共点，则m 的取值范围是 . 【答案】[)4,5（2）求过点的直线，使它与抛物线x y 22=仅有一个交点. 【解析】①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点)1,0(，所以,0=x 即y 轴，它正好与抛物线x y 22=相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x轴，它正好与抛物线) 1 , 0 ( 225x y m+2243x y -x y 22=只有一个交点.③一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y )0(≠k ,则⎩⎨⎧=+=xy kx y 212， ∴.01)22(22=+-+x k x k 令,0=∆解得k = 12 ,∴ 所求直线为.121+=x y 综上，满足条件的直线为：.121,0,1+===x y x y 【答案】.121,0,1+===x y x y变式训练1：已知曲线C ：2202x y -=与直线L ：m x y +-=仅有一个公共点，求m 的范围. 【解析】原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m 的范围为52525<<-=m m 或. 注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.考点二、直线与圆锥曲线相交时的弦长问题例2．如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（错误！未找到引用源。
41直线与圆锥曲线的位置关系)
（2）当 时，即得到一个一次方程，则 与 相交，且只有一个交点，此时若 为双曲线，则直线 与双曲线的渐近线平行；若 为抛物线，则直线 与抛物线的对称轴平行。
（3）当直线与圆锥曲线相交时，可设两不同的交点为 弦长
直线与圆锥曲线的位置关系（四十一）
一、考纲要求(1)了解直线与圆锥曲线的位置关系。
（2）能利用数形结合思想，设而不求、韦达定理、判别式、弦长公式等方法解决相关问题
二、知识回放：
1、判断直线 与圆锥曲线的位置关系时，，通常将直线 的方程 不同时为零）代入圆锥曲线 的方程 消去 或（ 得到一个关于变量 （y）的一元方程，即 ，消去 后得 。
(1)若 ，求 的值;
(2)若 为线段 的中点，求证 是抛物线的切线.
四、巩固练习
1、已知双曲线 被方向向量为 的直线截得的弦的中点为（4，1），则其离心率是（）
2
2、设双曲线 的一条渐近线与抛物线y=x +1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).
A. B.5 C. D.
3、直线 与曲线 的公共点的个数是
2、已知弦的中点，研究弦所在直线的斜率或方程，常用点差法：
是椭圆 的一条弦，中点 ，则 的斜率为 ，运用点差法求 的斜率，设 都在椭圆上，
两式相减得：
即
对于双曲线，抛物线，可以运用同样的方法解决。
3、涉及圆锥曲线上的点关于直线的对称问题，解此类问题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与已知直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在已知直线上，再利用判别式或中点与圆锥曲线的位置关系式求解。
类型三：对称问题---例3、已知椭圆的焦点为 过点 并垂直于 轴的直线与椭圆的一个交点为 ，且 为椭圆上的任意两点，且 中点的横坐标为4。
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例 1．过点(−1, −6)的直线l 与抛物线 y2 = 4x 交于 A, B 两点，若 P(9 ,0) ，| AP |=| BP | ，求l 的斜 2
率．
例 2．直线 l : y = kx +1 与双曲线 C : 2x2 − y2 = 1 的右支交于不同的两点 A, B ， （I）求实数 k 的取值范围；（II）是否存在实数 k ，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F ？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由．
3．应用 求 m 的取值范围．
学海无涯 解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要 条件可 求． 由一名同学演板．解答为：
由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上，知：0＜m＜5．
又 ∵直线与椭圆总有公共点，
即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0， 亦即 5k2≥1-m 对一切实数 k 成立． ∴1-m≤0，即 m≥1． 故 m 的取值范围为 m∈(1，5)． 解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1) 必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．
课后练习与提高
1．以点 (1, −1) 为中点的抛物线 y2 = 8x 的弦所在的直线方程为（ ）
( A) x − 4 y − 3 = 0
(B) x + 4y + 3 = 0
(C) 4x + y − 3 = 0
(D)
4x + y +3 = 0
2．斜率为 3 的直线交椭圆 x2 + y2 = 1 于 A, B 两点，则线段 AB 的中点 M 的坐标满足方程 25 9
学海无涯
例 3．已知直线 l 和圆 M ： x2 + y2 + 2x = 0 相切于点T ，且与双曲线 C : x2 − y2 = 1 相交
于 A, B 两点，若T 是 AB 的中点，求直线 l 的方程．
例 4．如图，过抛物线 y2 = 2 px( p 0) 上一定点 P(x0 , y0 )( y0 0) ，作两条直线分别交抛物线
个交点的坐标为．来自8.与直线 2x − y + 4 = 0 的平行的抛物线 y = x 2 的切线方程是
．
9.已知椭圆的中心在原点，离心率为 1 ，一个焦点是 F (−m, 0) （ m 是大于 0 的常数）． 2
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设 Q 是椭圆上的一点，且过点 F, Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M ，
2．若直线 y = kx +1和椭圆 x2 + y2 = 1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围为
．
25 m
3．抛物线 y = ax2 与直线 y = kx + b (k 0) 交于 A, B 两点，且此两点的横坐标分别为 x1 ，
x2 ，直线与 x 轴的交点的横坐标是 x3 ，则恒有（ ）
( A) x3 = x1 + x2 (B) x1x2 = x1x3 + x2 x3 (C) x3 + x1 + x2 = 0 (D) x1x2 + x1x3 + x2 x3 = 0
．
学海无涯
7．斜率为1的直线经过抛物线 y2 = 4x 的焦点，与抛物线相交于 A, B 两点，则| AB |=
．
8．过双曲线 x2 − y2 = 1的右焦点作直线 l ，交双曲线于 A, B 两点，若| AB |= 4 ，则这样的 2
直线 l 有（ ） ( A) 1条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条
=1
的右焦点
F2
作垂直于实轴的弦
PQ
，
F1
是左焦点，若
PF1Q = 900 ，则双曲线的离心率是（ ）
( A) 2
(B) 1+ 2 (C) 2 + 2
(D) 3 − 2
5．过抛物线 y = ax2 (a 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P, Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的
学海无涯
长分别是 p, q ，则 1 + 1 等于（ ） pq
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对 称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与 双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件， 但不是充分条件．
三、活动设计 四、教学过程
(一)问题提出 1．点 P(x0，y0)和圆锥曲线 C：f(x，y)=0 有哪几种位置关系？它们的条件 是什么？ 引导学生回答，点 P 与圆锥曲线 C 的位置关系有：点 P 在曲线 C 上、点 P 在曲 线 C 内部(含焦点区域)、点 P 在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置 关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一． 2．直线 l：Ax+By+C=0 和圆锥曲线 C：f(x，y)=0 有哪几种位置关系？ 引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系可分为： 相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问 题之二． (二)讲授新课 1．点 M(x0，y0)与圆锥曲线 C：f(x，y)=0 的位置关系
．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格 中
疑惑点
疑惑内容
课内预习学案 一、学习目标
1、使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的 有 关问题．
2、通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线 的各方面知识的能力．
满足上述条件的直线 l 共有（ ）
( A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条
(D) 4 条
6．设直线 y = 2x −1交曲线 C 于 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 两点，
（1）若| x1 − x2 |= 2 ，则| AB |=
．（2）| y1 − y2 |= 2 ，则| AB |=
(三)学科渗透点
通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力． 二、教材分析
1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题． (解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．) 2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围． (解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．) 3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0 不是相切的充要条件． (解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)
学海无涯 的焦点为 F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为 F，一定点为 P(x0，y0)，M 点到抛物线的准 线的距离为 d，则有：
4．直线 l∶Ax＋Bx＋C=0 与圆锥曲线 C∶f(x，y)＝0 的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对 称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与 双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：
二、预习内容
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：
；
2、弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．
3、弦长公式
；
4、焦点弦长：
；
1．直线 y = x + b 与抛物线 y2 = 2x ，当 b 时，有且只有一个公共点；当 b 时，有两个
不同的公共点；当 b 时，无公共点．
另解：
由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上知：0＜m＜5．
又∵直线与椭圆总有公共点．
∴ 直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．
故 m 的取值范围为 m∈(1，5)，
小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大； 解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．
9．已知椭圆 x2 + 2 y2 = 4 ，则以 (1,1) 为中点的弦的长度是（ ）
( A) 3 2
(B) 2 3
(C) 30 3
(D) 3 6 2
10．中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的左焦点为 F ，离心率为 e = 1 ，过 F 作直线 l 交椭 3
圆于 A, B 两点，已知线段 AB 的中点到椭圆左准线的距离是 6 ，则| AB |=
于
A( x1 ,
y1 ),
B( x2
,
y2
)
，（1）求该抛物线上纵坐标为
p 2
的点到其焦点
F
的距离；（2）当
PA
与
PB
的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 + y2 的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数． y0
例 5．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为 2 2 ，相应于焦点 F (c,0)(c 0) 的准线l 与 x 轴相
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直线与圆锥曲线的位置关系
课前预习学案
一、预习目标
1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆 锥曲线的位置关 系的
问题转化为研究方程组的解的问题；
2. 会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一
元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．
交于点 A ，| OF |= 2 | FA | ，过点 A 的直线与椭圆相交于 P, Q 两点．（I）求椭圆的方程及离心
率；（II）若OP.OQ = 0, 求直线 PQ 的方程；（III）设 AP = AQ( 1) ，过点 P 且平行于