ch4-01大学线代
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解
|2A1|(2)3|A1|8|A|18216
17设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A1)*
证明由 得A*|A|A1所以当A可逆时有
|A*||A|n|A1||A|n10
从而A*也可逆
因为A*|A|A1所以
(A*)1|A|1A
又 所以
(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*
5设 问
(1)ABBA吗?
解ABBA
因为 所以ABBA
(2)(AB)2A22ABB2吗?
解(AB)2A22ABB2
因为
但
所以(AB)2A22ABB2
(3)(AB)(AB)A2B2吗?
解(AB)(AB)A2B2
因为
而
故(AB)(AB)A2B2
6举反列说明下列命题是错误的
(1)若A20则A0
解取 则A20但A0
解 令
则
故
29设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆求
(1)
解设 则
由此得
所以
(2)
解设 则
由此得
所以
30求下列矩阵的逆阵
(1)
解设 则
于是
(2)
解设 则
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1把下列矩阵化为行最简形矩阵
(1)
解 (下一步r2(2)r1r3(3)r1)
~ (下一步r2(1)r3(2))
~ (下一步r3r2)
(3)
解 (下一步r12r4r22r4r33r4)
~ (下一步r23r1r32r1)
~ (下一步r216r4r316r2)
~
~
矩阵的秩为3 是一个最高阶非零子式
10设A、B都是mn矩阵证明A~B的充分必要条件是R(A)R(B)
中国石油大学(北京)线性代数考试试题合集
石油大学（北京）04—05线性代数期末试题（A ） 班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________成绩_____一、填空题（每小题3分，共18分）1、 已知矩阵121010112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则行列式|2|T A =_____. 2、设33(),2,ij ij A a A A ⨯==表示A 中元素ij a 的代数余子式(,1,2,3i j =，则222112112221323212122222323312132223323()()()a A a A a A a A a A a A a A a A a A ++++++++=___.3、设向量(2,－3，5)与向量(－4，6，a )线性相关，则a =______.4、已知R (A 5⨯7)=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数是_____.5、若2阶矩阵A 的特征值是1/2，1/3，则1A E --=_____.6. 已知二次型f =32312123222166255x x x x x x cx x x -+-++的秩为2，那么c = . 二、选择题（每小题3分，共18分）1、设行列式11122122a a m a a =，13112321a a n a a =，则行列式111213212223a a a a a a ++等于（ ）(A) m +n (B) －(m +n ) (C) n －m (D) m －n .2、设有矩阵,,m n n p p m A B C ⨯⨯⨯，则下列运算无意义的是（ ）(A) C ＋(AB )T (B) ABC (C) (BC )T －A (D) AC T .3、设n 阶方阵A 满足A 2-E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（ ）(A) A =E (B) A = －E (C) A =A －1 (D) | A |=1 . 4、齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是（ ）(A) A 的行向量组线性相关 (B) A 的列向量组线性相关(C) A 的行数小于A 的列数 (D) A 为方阵且| A |=0.5、设Ax =b 是一非齐次线性方程组，12,ηη是其任意两个解，则下列结论错误的是（ ）(A) 121122ηη+是Ax =b 的一个解 (B) 12ηη+是Ax =0的一个解 (C) 122ηη-是Ax =b 的一个解 (D) 12ηη-是Ax =0的一个解.6、n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值是A 与对角矩阵相似的（ ）(A) 充分必要条件 (B) 必要而非充分条件(C) 充分而非必要条件 (D) 既非充分而非必要条件.三、计算题1．（8分）计算行列式0000a a aa a aD a a aa a a =.2．（10分）设2101020,101A AB E A B ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B .3．（16分）已知线性方程组123123123(2)1(2)(2)1(32)(2)x x x x x x x x x λλλλλλ++-=⎧⎪-+-+=⎨⎪-+-+=⎩，问λ取何值时，(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷多解？并在有无穷多解时，求出通解.4．（15分）设矩阵322010423A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， (1) 求A 的特征值；(2) 求一个可逆矩阵P ，使P -1AP 成对角矩阵.四、证明题（共15分）1、 设向量组123,,ααα线性无关，试证明：向量组112321233,,βαααβααβα=++=-=线性无关.2、 设B 是n (2)n ≥阶方阵，且B 的元素全都是1，E 是n 阶单位矩阵， 证明：11()1E B E B n --=--.。
线性代数第四版华中科技大学课后答案
线性代数第四版华中科技大学课后答案1. 把分式方程化为整式方程，无理方程化为有理方程时，扩大了未知数的取值范围，或使原来无意义的式子变成有意义，可能产生______，因此验根是必不可少步骤. [填空题] *空1答案：增根2. 二项方程的解是______. [填空题] *空1答案：23. 分式方程的解是______. [填空题] *空1答案：44. 分式方程的解是______. [填空题] *空1答案：65. 无理方程的解是______. [填空题] *空1答案：116. 解分式方程时，下列四步中，错误的一步是（） [单选题] *C. D.(正确答案)A.B.7. 方程的解是（） [单选题] *A. B. C.(正确答案) D.8. 下列方程中，有实数解的是（） [单选题] *A. B.(正确答案) C.D.9. 如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是（） [单选题] *A. B. C. D.(正确答案)10. 下列说法中，不正确的是（） [单选题] *A.B.(正确答案)C.D.11. 下列方程组中，是二元二次方程组的是（） [单选题] *A. B. C.(正确答案)D.12. 已知方程组，把②代入①，得到正确的方程是（） [单选题] *A. B. C. D.(正确答案)13. 二元二次方程组的一个解是（） [单选题] *A.(正确答案)B.C.D.14. 二元二次方程组的解的个数是（） [单选题] *A. 1个B. 2个C. 4个D. 无数个(正确答案)15. 二元二次方程组的解的个数是（）【注意和上题的区别】[单选题] *A. 1个B. 2个(正确答案)C. 4个D. 无数个16. 二元二次方程组的解的个数是（） [单选题] *A. 1个B. 2个C. 4个(正确答案)D. 无数个17. 当时，关于、的方程组的实数解的个数是（）[单选题] *A. 0个(正确答案)B. 1个C. 2个D. 无数个18. 完成一项任务，甲单独完成需要小时，乙单独完成需要小时，如果他们合作完成需要的时间是（） [单选题] *A.(正确答案)B.C.D.19. 某公司一月份利润万元，二月份、三月份平均每月增长5%，那么第一季度的总利润是（）万元. [单选题] *A. B.C. D.(正确答案)20. 农业科技人员进行水稻产量对比试验。
化学工业出版社《线性代数》第1章习题解答
《线性代数》第一章习题解答1．确定下列排列的逆序数，并指出它们是奇排列还是偶排列.（1） 41253 （2）654321 （3）(1)(2)321n n n --⋅⋅ 解：（1）(41253)4τ=偶排列（2）(654321)15τ=奇排列（3）12((1)321)(1)n n n n τ-⋅⋅=- ， 当441n =ℜℜ+或时：偶排列 当4243n =ℜ+ℜ+或时，奇排列.2．设四阶行列式1325127064311916231419--，试求：142232,,A A A .解：14141270(1)4311908162314A +=--=， 2222125(1)4119803161419A +-=--=-，2332125(1)1206660161419A +-=-=-3．设四阶行列式1241111125683152----，试求：41424344.A A A A +++ 解：4142434412411111025681111A A A A -+++==-.4．计算下列行列式：（1）352423124-（2）11121321223100a a a a a a （3）1210032141031263------（3）14232432333441424344000000a a a a a a a a a a （5）100110011001a b c d ---（6）0000a b aa ab b a a a b a （7）1111111111111111x xy y+-+-解：（1）-69 （2）132231a a a -（3）0 （4）14233241a a a a（5）1abcd ab cd ad ++++（6）222(4)b b a -（7）22x y 5．证明：（1）22322()111a ab b aa b b a b +=-（2）33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b y zx az bxax by ay bz zxy++++++=++++ （3）222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++(4)222244441111()()()()()()()a b c da b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d =------+++解：证明略. 6．已知：0231111xy z=，求下列各行列式的值. （1）11133323111xyz （2）111134111x y z --- （3）33436111xyzxy z x y z +++++解：（1）13（2）1 （3）2 7．n 阶行列式111213121222323132333123nnn n n n n nna a a a a a a a D a a a a a a a a =中，若： ,1,2,,ij ji a a i j n =-= 那么称n D 为反对称行列式（n 阶）.证明：奇数阶反对称行列式等于零.证明：11213111112131122232221222321132********333123123nn n n n n n nnn nnn nnnna a a a aaa a a a a a a a a aD a a a a a aa a a a a a a a a a --------==--------21(1)(1)n n n n D D D ℜ+=-⋅=-=-，0n D ∴=.8． 计算n 阶行列式（1）00010200100000n n-（2）010000200010n n-（3）000000000x y x x y yx（4）121212n nn mx m x x x x m x x x x ---（5）12311100002200011n n n n-----（6）1231111111111111111na a a a ++++（7）01211111001001n a a a a -(120n a a a ⋅≠ ) 解：（1）(3)2(1)!n n n +-⋅（2）1(1)!n n +-⋅ （3）1(1)nn nx y ++-（4）11()()nn i i m x m -=--∑（各列加到第一列）（5）1(1)(1)!2n n -⋅⋅+（各列加到第一列） （6）112211111111111100111n n a a a a D a ++++=+12111210000111n n n n n a a a D a D a a a ---=+=+12122121[]n n n n n a a D a a a a a a ----=++12123122121n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ---==++++111(1)n ni i i ia a ===⋅+∏∑ (7) 1121011()n n n i ia a a a a a --=-∑ (各列乘1i a -加到第一列11i n ≤≤-) 9． 证明： （1）（2）cos 100012cos 100cos()012cos 00012cos n ααααα=（3）123112231111000000(1)00000n n nin i in n na x a a a a x x x x a x x x x x x -=--+--=+-∑，这里 1230n x x x x ⋅⋅⋅⋅≠ .（4）11000100()01000001n n a b ab a b aba b a b a ba ba b++++-=≠+-+证明：（1）左121212110000100001n n nn n xx C xC a a a x a x a x a -----+-+++211211010000010001n n nn in i i C xC C xC x a x x a ---=--++-++∑111(1)()(1)nn nn i n i i x a x +--==-+⋅-∑111n n n x a x a x x --=++++ =右（2）当1n =时成立，设当n k =时成立，则当1n k =+时，行列式按第1k +行展开1cos 1012cos 02cos 2cos 011D D θθθθℜ+ℜ=⋅-12cos 2cos cos cos(1)cos(1)D D k k k θθθθθℜℜ-=⋅-=⋅--=+故命题成立. （3）.31121231121110001100(1)()0001000011n n n na a a a a x x x x x n j n x x x χ--+--≤≤-j 各列提出因子左32231121210100)()011001in inna a a a x x x x i n n C C C x x x =++++-∑121()(1)ii na n x i x x x ==+∑ =右 （4） 00001000000001n a a b ab D a b ab a b+==+++左 00010000001b ab a b ab a b ab a b+++=110001000001n a a b ab a D ba b -+⋅++1100001000001n b ab a D ba b-=⋅++ 1n n a D b -=⋅+同理由,a b 的对称性，可得：1n n n D b D a -=⋅+两式联立消去1n D -，得11n n a b n a bD ++--=10．利用范德蒙行列式计算（1）1111437516949256427343125--（2）1111234514916182764解：（1）10368 （2） 12 11．用拉普拉斯定理计算下列行列式（1）560001560015600015600015（2）a a a b x y yb y x y byy xλ解： （1）56016056501560561516015015D =⋅-⋅=665 （2）0000000a a a a bx y y y y x x y D y x x y x yλ--=---(1)(2)00000000000n a a a a b x n yy y y x y x y x yλ-+--=--00000000(1)0000(2)00000x y x y n a x y bx n yx y x yλ----=⋅+---2[(2)(1)]()n x n y n ab x y λλ-=+-⋅---12. 用克莱姆法则解下列线性方程组（1）123412423412342583682254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩（2）123412341234123425323321348256642x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=-⎪⎨-++-=-⎪⎪--+=⎩解：（1）123427,81,108,27,27∆=∆=∆=-∆=-∆=12343,4,1,1x x x x ==-=-=（2）123417,34,0,17,85∆=∆=-∆=∆=∆= 12342,0,1,5x x x x =-===13. 求k 的值，使下列方程组有非零解0020kx y z x ky z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩解：211113404 1.211kk k k k ∆=-=--=∴==--或k 14．设有方程组33331x y z ax by cz d a x b y c z d ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩试求它能用克莱姆法则求解的条件，并求出解. 解：333111()()()()0a bc b a c a c b a b c a b c ∆==---++≠,,,0a b a c b c a b c ∴≠≠≠++≠时有解，且解为：123()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()b dcd c b d b c x b a c a c b a b c d a c a c d d b c x b a c a c b a b c b a d a d b a b c x b a c a c b a b c ---++=---++---++=---++---++=---++14. 设121222212111111211111()n n n n n n n xa a a F x xa a a x a a a -------=，其中11,n a a - 互不相同。
吉林大学《线性代数》线性代数17课xm4-1
等价说法
A : a1 , a2 ,L ,am B : b1 ,b2 ,L ,bl B能由A线性表示 存在一个矩阵K，使得B AK AX B，矩阵方程中X有解 R(A) R(A, B)
R( A) R(B)
例题3
A : a1 , a2 ,L ,am nm A (a1 , a2 ,L , am ) E (e1, e2 ,L en ) 单位坐标向量
第四章
向量组的线性相关性
向量
❖ n个有次序的数所组成的数组，称为n维向量。
a1, a2 ,L an
❖ 第i个数称为的第i个分量。
❖ 实向量，复向量。 ❖ 列矩阵 a,b,α,β ❖ 行矩阵 aT ,bT , αT ,βT
a1
a
a2
M
an
aT (a1, a2 ,L an )
空间
❖ 点和向量一一对应。 ❖ 向量构成空间
P(x, y, z) r (x, y, z)T
❖ 三维空间
R3 {r (x, y, z)T | x, y, z R}
❖ 平面
{P(x, y, z) | ax by cz d}
❖ n维空间，超平面：
Rn {r (x1, x2 ,L xn )T | x1, x2 ,L xn R} {x (x1, x2 ,L xn )T | a1x1 a2 x2 L an xn b}
M
kml
Kml (kij )
0 0
0
1
1
2 3
k1 k2
3 4
0 0
0
1
1
2 3
k3 k4
5 6
0 0
0
1
1
2 3
k5 k6
7 8
中北大学线性代数答案
中北大学线性代数作业（练习册）答案本答案供软件学院南校区和中北大学信息商务学院的同学使用 第一章 行列式第一节 二阶、三阶行列式一、1. -2； 2. )(a b ab -； 3. 1；4. 1ln ln a b -二、； 2.； 3. 0； 4. 0 三、A A A A 四、1231,2,3x x x ===第二节 n 阶行列式的定义及性质一、1. -29，29； 2. 0； 3. 3m ； 4. 0. 二、1.2000；2.4abcdef ； ； ； ； .三、11212(1)nn n a a a b b b ++-L L四、1.123,1x x ==；2. 1232,2,2x x x ===-.五、略 六、0第四节 克拉默法则一、1. 3,1x y ==-2. 12310,,12==-=x x x二、1. 当2-=λ或1=λ时，方程组有非零解；2. 当2-=λ或1-=λ时，方程组有非零解.三、1)(2++=x x x f . 综合练习题一一、1. 3k ≠且1k ≠-； 2. 3； 3.23645()a a a a a -- 二、C C C C三； 2.222()()x y x y xy +--+；； 4.1abcd ad ab cd ++++；5.54x ； 6.(1)nkk k a =-∑.四、1．122,0x x == 2. 00x y ==或者五、1. 28- 2. 0 六、略。
七、1.1≠λ且3≠λ； 2.3λ=或1λ=。
第二章 矩阵第一节 矩阵的定义及其运算一、1. -32； 2. BA AB =；3. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2412498 二、DCDDC 三、1.（1）101111100,240021111X Y -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭；2.(1) 13145-⎛⎫ ⎪-⎝⎭；(2) ()10；（3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛369246123； （4）2212131223522x x x x x x x x -+++.3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000AB ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1020510BA ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00002A .第二节 逆矩阵一、, 4，4,14； 2. 113二、CDDC三、1.(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-12351A ； (2) 不可逆；(3) 112100100100n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L LM M M L. 2. 100200611A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 5A =A . 3.1=B . 4. X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321. 5. *1()A -=） 10061031002⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 6. 11(2)(3)4A I I A -+=-. 第三节 初等变换与初等矩阵一、1. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001k ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10001001k ；2.111221111--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、BBC三、1.（1） 211532421⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎝⎭；（2）11240101113621610--⎛⎫⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭； （3）12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭2.96210721283B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭. 第五节 矩阵的秩一、1. ≥，< ； 2. 1； 3. 1. 二、DADDA三、1.(1) 秩为3；（2）秩为2；（3）秩为4（4）2x =-时，秩为2；1x =时，秩为1；1,2x x ≠≠-且时，秩为3.2. 2=a .综合练习题二 一、1.1627-； 2. 3； 3.3-. 二、BCCCBBB 三、×√√×√√×√四、 1.1001()010100A I -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；2.()2R AB =；3.300020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 五、10100510501A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.第三章 向量第一节 向量的概念及其运算一、（1）()15,10,13T--（2）()0,0,0.二、()()2,4,5,1,4,4,1,6,1,0TTαβ=-=---三、()2,4,9α=-.四、1.123422βαααα=-++-；2.123400βαααα=-++⋅+⋅. 五、β可以由向量组123,,ααα线性表示，且12351114βααα=-+-.第二节 线性相关与线性无关一、1. 线性无关,两个向量的对应分量不成比例；2. 线性相关,包含零向量的向量组必定线性相关；3. 线性无关，2111110112--≠-； 4. 线性相关， 4个3维向量必线性相关. 二、 1.（√） 2.（√） 3.（×） 4.（√） 5.（√）6.（×）7.（√）. 三、1. 283- 2. 1lm ≠ 3. > 4. 相5. 惟一. 四、证明：（略）. 五、不一定线性相关，例如：()()()()11221,13,74,40,0αβαβ=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩， 但是1122,αβαβ++线性无关.第三节 向量组的秩一、1. 相； 无 2. 12r r = 3. =. 二、1. B 2. B 3. A . 三、1. 1234,,,αααα的秩为4；2. 0,1a a ≠≠且时，123,,ααα的秩为3；0a =时，123,,ααα的秩为2； 1a =时，123,,ααα的秩为1；四、 1. 123,,ααα的秩为2，123,,ααα线性相关；2. 123,,γγγ的秩为3，123,,γγγ线性无关； 五、1. 123,,ααα本身为其一个极大线性无关组；2. 12,αα为123,,ααα的一个极大线性无关组，且31213510ααα=+. 六、 1. 9k =；2. 123,,ααα为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且41233αααα=+-. 七、证明：（略）.八、证明：（略）.九、证明：（略）.第四节 向量空间一、因为1V 满足加法和数乘的封闭性，所以1V 是向量空间；因为2V 不满足加法的封闭性，所以2V 不是向量空间. 二、(1,1,1). 三、B .四、1. 111110102--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； 2.1231114,3,1342--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ.五、 1. βα,化为单位向量为1(1,1,1,1)2T --2,2,1)T ； 2. βα,正交.六、123,,ααα正交化为：()11,0,1,1β=-，2221,1,,333β⎛⎫=- ⎪⎝⎭，31334,,,5555⎛⎫=- ⎪⎝⎭β第四章 线性方程组第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组一.（1）2-；（2）1-. 二.（1）C ；（2）A .三.（1）(0,1,0)T ; （2）无解；（3）12348,3,62,x x k x k x k =-=+=+=，其中k 为任意常数. 四.（1）2λ=-；（2）1-2λλ≠≠且； （3）1231212=1,(,,)(1,,)T T x x x k k k k λ=--，其中12,k k 为任意常数.第二节齐次线性方程组解的结构一. CCADBDCB.二. （1）(2,1,1)Tξ=-；（2）1(1,1,0,0)T ξ=-，2(1,0,3,1)T ξ=--.三. 123111112100023010001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.第三节非齐次线性方程组解的结构一. CDB.二. （1）127523342133001100x k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中12,k k 为任意常数. （2）1231611523226010000100001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.三. 当1k =-时，方程组无解；当1k ≠-且4k ≠时，方程组有惟一解；当4k =时，方程组有无穷多组解，其通解为034101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中c 为任意常数. 第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化第一节 矩阵的特征值与特征向量一、1. 3； 2. 11, ,24-1；, 2 , 4k k k -；3,6,11；8, 4 , 2-- 3.01或； 4. 23-,； 5. 6； 6. 3-；7. 0； 8. 211,, 二、CCBD三、1. 特征值：23023λλλ===1，， 对应的全部特征向量：1231111,1,1201k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 特征值：23211λλλ==-=1，， 对应的全部特征向量：12311121,1,01112k k k ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭四、特征值：||A （三重）；任何三维非零列向量都是B 的特征向量.五、1a =- 六、提示：两边同取行列式七、提示：用反证法 八、（1）12322βξξξ=-+；（2）12132223223223n n n n n n n A β+++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭第二节 相似矩阵与矩阵的对角化一、1. 24； 2. 1； 3. 6 二、BBA 三、1. 不可对角化；2.123111(,,)101012P ξξξ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭==， 1224P AP --⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭= 3.不可对角化四、题目有问题，P 不可逆，待查.五、（1）56a ,b ==；(2) 111102013C --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭六、02x ,y ==＊七、提示：1k =，不可对角化第三节 实对称矩阵的对角化一、1．线性相关，正交； 2. 3 二、12341,535203P P AP -⎛ -⎛⎫⎪==⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭三、0，2，2 四、0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭五、（1）0,0αβ==；（2）00100P ⎛= ⎪ ⎪ ⎝ 六、提示：123=4,1λλλ==，A 可对角化，设相似变换矩阵为P ，则1411kk A P P -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭＊七、提示：（1）特征多项式相同⇒有相同的特征值12,,,n λλλL ⇒A ，B 都与12(,,,)n diag λλλL 相似（再利用相似的传递性）（2）一般矩阵不具有此结论，如1110,0101A I ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两者特征多项式均为2(1)λ-，但两者不相似.第六章 二次型第一节 二次型及其矩阵一、√ √ × × 二、1.112312323110110110,(,,)(,,)110000000x f x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.1121221111,(,)(,)1111x f x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.222123112132233(,,)48223f x x x x x x x x x x x x =+++-+ 4.012103,3231-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭； 5. 2 三、1.112312323120(,,)(,,)240,2001x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 11212222(,)(,),221x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.222(,,)(,,)260,3204x f x y z x y z y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭第二节 化二次型为标准形一、1.2221232f y y y =++；1123223332x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩；2. 2221239f y y y =+-；11232233315221()2x =y y y x =y -y x y ⎧-+⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩ 3.2221232f =y y +5y -；11232233322x y y y x y y x y ++⎧⎪=+⎨⎪=⎩= 4.22212324f z z z =-+；112233116114001x z x z x z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 二、1. 11223310000x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，22212325f y y y =++2.1122330x yx y x y ⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，213f y =三、0a b ==第三节 二次型的规范形与惯性定律第四节 正定二次型一、1. 2；2. t二、AACDD三、1122331030011x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，222123f y y y =-++，正惯性指数为2，负惯性指数为1四、1. 负定； 2. 正定 五 1.405a -<< ； 2. 2a > 六、4t >。
线性代数-第四章
12 线性代数
二 线性方程组解的判定
定理4.2 设线性方程组(4.1)的系数矩阵与其增广矩阵的秩相 同 r( A) r( A) r (1) 如果r=n, 则方程组(4.1)有唯一解. (2) 如果r<n, 则方程组(4.1)有无穷多解.
总结： 判定线性方程组解的情况:
r ( A) r ( A ) n, 有唯一解 r ( A) r ( A ) n, 有无穷多解 r ( A) r ( A ), 无解
kx1 x2 x3 0 x1 kx2 x3 0 x x kx 0 3 1 2
解： （3）当k=﹣2时,
1 1 1 2 2 1 A 1 2 1 0 3 3 1 0 0 1 2 0
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b1,nr d1 b2,nr d2 br,nr dr 0 0 0 0 令自由未知数xr1c1 xncnr 即得方程Axb的 含 nr 个参数的解 由于 参数可任意取值 故方程 Axb有无限多个解
解：直接求 A 的秩, A的秩也可得出.
2 1 3 1 2 1 3 1 A 4 2 5 4 0 0 1 2 2 1 4 0 0 0 1 1 2 1 3 1 显然 r( A ) 3, r( A) 2 0 0 1 2 线性方程组无解. 0 0 0 1
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1Байду номын сангаас 线性代数
主讲教师：耿凤杰
定理4.2（1）的证明
证明 若 r( A) r( A) n 则增广矩阵(A B) 的行最简形形如
中国矿业大学线性代数公式及性质(突击必备)
线性代数公式及性质1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ija 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i ji jijij ij ijM A A M ++=-=-4. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ =◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A BCB OB==、(1)m nC A O A A BBO BC ==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 对于n 阶行列式A，恒有：1(1)nnkn kk k E AS λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；6. 证明A =的方法： ①、A A=-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解；⇔nb R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A的特征值全不为0；⇔T A A 是正定矩阵； ⇔A 的行（列）向量组是nR 的一组基；⇔A是nR 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3. 1**111**()()()()()()TT TT A A A AA A ----===***111()()()T T TAB B AAB B AAB BA---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则：Ⅰ、12sA A A A = ；Ⅱ、111121s A A AA ----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；②、111AO A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111OA O BB O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111AC A A C BO B OB-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111AO A O CB BC AB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m nE O FOO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B= ⇔ ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1XA-=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1AB-，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1xA b-=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i λ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11kk k-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=≠⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=≠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()Tr Ar A =；③、若A B，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：0111111()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnnm a b C a C ab C abCa bC b Ca b-----=+=++++++=∑ ；注：Ⅰ、()na b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====- m nnn n n n n m n CC C mm n mⅢ、组合的性质：11112---+-===+==∑nm n m m m m r nr r nnn nnnn n r CCCCCCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAA X X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A-=、1*n AA-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b+++= ⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ；②、1112111212222212n nm m m n m m a a a x b aa a x bA x b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇔= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12nb bb β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）；④、1122n na x a x a x β+++= （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性1.m个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A = ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββ 构成m n ⨯矩阵12T T T mB βββ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示 A X B ⇔=是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()Tr A A r A =；(101P 例15)5. n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关 ⇔0α=； ②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα 线性相关，则121,,,,s s αααα+ 必线性相关；若12,,,s ααα 线性无关，则121,,,s ααα- 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示A XB ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论） 8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P = ；①、矩阵行等价：~rA BP A B⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B P A Q B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，TA 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解； ②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯ 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯ 线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K = （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴= ；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s sk k k ααα+++= 成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x x x ααα⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα< ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ- 为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n rηξξξ- 线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵TA A E⇔=或1TAA-=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)T ij i j aa i j n i j=⎧==⎨≠⎩ ；②、若A 为正交矩阵，则1TA A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =； 1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=P A Q B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C A C B ，其中可逆；⇔Tx A x 与Tx B x 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P A P B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则TC A C B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型Tx A x 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使TC A C E =； A ⇔的所有特征值均为正数；A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
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对于231 解方程(AI)x0 得基础解系p2(121)T
所以kp2(k0)是对应于231的全部特征向量
2 1 1 例2 求矩阵 A 0 2 0 的特征值和特征向量 4 1 3 解 A的特征多项式为
３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的; 一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
思考题
设 4阶方阵A满足条件 : det 3 I A 0 , AAT 2 I ,detA 0 , 求A1及A的一个特征值.
思考题解答
解 因为detA 0,故A可逆.由 det( A 3I ) 0知
三 、特征值与特征向量的性质
例3 设是方阵A的特征值 证明 (1) 2是A2的特征值 (2)当 A 可逆时 1 是 A1 的特征值 证明 因为是A的特征值 故有p0 使App 于是 (1)A2pA(Ap)A(p)(Ap)2p 所以2是A2的特征值 (2)当A可逆时 由App 有pA1p 因为p0 知0
1 1 3是A的一个特征值 , 从而 是A 的一个特征值. 3
又由 AAT 2I 得 det(AAT ) det(2 I ) 16,即
(det A)2 16, 于是 det A 4, 但 det A 0,因此det A 4,
4 故A*有一个特征值为 . 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二 、特征值与特征向量的求法
Ax x A I x 0 已知 x 0, 所以齐次线性方程组有非零解 A I 0
a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
定义2 A (aij )nn
f A ( ) A I
1 p 所以 1 1 是 A 1 1 1 1 1 故 的特征值 A p 故 A p p 所以 是 A 的特征值
注：定理3的结论对整数也成立.
小
结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 det A I ;
称为矩阵A的特征多项式.
f A ( ) A I 0 称为矩阵A的特征方程.
特征方程|AI|0的根就是矩阵A的特征值 齐次方程(AI)x0的非零解x就是A的对应于特征值的 特征向量
1 1 0 例1 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量 1 0 2 解 A的特征多项式为 1 1 0 | A I | 4 3 0 ( 2 )(1 )2 1 0 2 所以A的特征值为12 231
2. 求特征方程 det A I 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
3. 对于特征值i , 求齐次方程组
A i I x 0
的非零解, 就是对应于i的特征向量.
注意 １.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
2 | A I | 0 4 1 1 2 0 ( 1)( 2)2 1 3
所以A的特征值为11 232 对于11 解方程(AI)x0 得基础解系p1(1 0 1)T 所以对应于11的全部特征向量为kp1(k0) 对于232 解方程(A2I)x0 得基础解系 p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T 所以对应于232的全部特征向量为k2 p2k3 p3(k2 k3不全为0)
第四章 矩阵的特征值与特征向量
§41 特征值与特征向量
一 、特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵 如果数和n维非零列向量 x 使 Axx 成立 则数 称为方阵 A 的特征值 非零列向量 x 称为A 的 对应于特征值 的特征向量 注：(1) 特征向量 x≠0与特征值都是对于方阵而言; (2) 一个特征向量只能属于一个特征值; 而与特征值对应特征向量不唯一。