2017-2018学年辽宁省大连市普兰店区高二数学上学期期中(第二次阶段)试题文
2017-2018学年辽宁省大连市普兰店二中高二上学期期中数学试卷与解析(文科)
2017-2018学年辽宁省大连市普兰店二中高二（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|log 2x＜0.5}，则（）A．A∩B=∅B．A∩B=B C．A∪B=R D．∁U（A∩B）=∅2．（5分）下列函数中，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数的是（）A．y=x3 B．y=2|x|C．y=﹣x2D．y=log3（﹣x）3．（5分）若sin（）=，则cos（）的值为（）A．B．C．D．4．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱5．（5分）若△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（）A．B．C．D．6．（5分）已知实数a=cos224°﹣sin224°，b=1﹣2sin225°，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a7．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S4=5S2，则的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．8．（5分）若把函数的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后所得图象关于坐标原点对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D 均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π10．（5分）下列命题中，正确命题的个数为（）①“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0；②函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在区间是（1，2）；③x2﹣5x+6=0是x=2的必要不充分条件．A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y﹣2=0的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6） B．[4，6]C．（4，5） D．（4，5]12．（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC ⊥l，直线m∥α，m∥β，则下面四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AC⊥βB．AC⊥m C．AB∥βD．AB∥m二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足则z=x﹣y的最小值为．14．（5分）若关于x的不等式x2﹣6x﹣m≥0对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知实数a，b，c成公差为1的等差数列，b，c，d成等比数列，且b＞0，则a+b+c+d的最小值为．16．（5分）在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．三、解答题（本题共6题，共70分）17．（10分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．18．（12分）已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，E为PB上任意一点．（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；（2）试确定点E的位置，使得四棱锥P﹣ABCD的体积等于三棱锥B﹣ACE体积的4倍．20．（12分）数列{a n}满足a1=﹣1，a n+1+2a n=3．（Ⅰ）证明{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）已知符号函数sgn（x）=，设b n=a n•sgn{a n}，求数列{b n}的前100项和．21．（12分）临沂市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体．该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元．（Ⅰ）求该博物馆支付总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式；（Ⅱ）求当容积为多少立方米时该博物馆支付总费用最小，其最小值是多少元？22．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x 1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值．2017-2018学年辽宁省大连市普兰店二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|log2x＜0.5}，则（）A．A∩B=∅B．A∩B=B C．A∪B=R D．∁U（A∩B）=∅【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|log2x＜0.5}={x|0＜x＜}，则A∩B={x|0＜x＜}=B，A∪B={x|﹣1＜x＜2}=A，∁U（A∩B）=∁U{x|0＜x＜}={x|x≤0或x≥}，故选：B．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数的是（）A．y=x3 B．y=2|x|C．y=﹣x2D．y=log3（﹣x）【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=x3为幂函数，为奇函数，不符合题意，对于B、y=2|x|，有f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x），为偶函数，且当x∈（0，+∞），f （x）=2|x|=2x，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于C、y=﹣x2，为二次函数，在R上为偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，不符合题意，对于D、y=log3（﹣x），其定义域为（﹣∞，0），其定义域不关于原点对称，不是偶函数，不符合题意，故选：B．3．（5分）若sin（）=，则cos（）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（）=，∴cos（）=cos（π+）=﹣cos（）=﹣sin[﹣（）]=﹣sin（）=．故选：C．4．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．5．（5分）若△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，所以6a=4b=3c，不妨令a=2，b=3，c=4，所以由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，所以cosB=，故选：D．6．（5分）已知实数a=cos224°﹣sin224°，b=1﹣2sin225°，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【解答】解：实数a=cos224°﹣sin224°=cos48°，b=1﹣2sin225°=cos50°，c==tan46°＞1，再根据余弦函数y=cosx在（0°，90°）上单调递减，且它的值域为（0，1），可得c＞a＞b，故选：B．7．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S4=5S2，则的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．【解答】解：∵S4=5S2，∴公比q≠1，=，化为：1+q2=5，解得q=±2．则=q=±2．故选：C．8．（5分）若把函数的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后所得图象关于坐标原点对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：把函数的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数解析式为y=3sin（2x﹣2φ+），∵y=3sin（2x﹣2φ+）的图象关于坐标原点对称，∴3sin（﹣2φ+）=0，得﹣2φ+=kπ，k∈Z．∴φ=﹣+，k∈Z．当k=0时，φ的最小值为．故选：A．9．（5分）三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D 均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π【解答】解：由三视图可得：DC⊥平面ABC且底面△ABC为正三角形，如图所示，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，在Rt△BCF中，BF=2，CF=2，BC=4，在Rt△BCD中，CD=4，所以BD=4．设球心到平面ABC的距离为d，因为DC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，所以d=2，因为△ABC的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得R2=d2+22=8，则该三棱锥外接球的半径R=2，所以三棱锥外接球的表面积是4πR2=32π，故选：A．10．（5分）下列命题中，正确命题的个数为（）①“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0；②函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在区间是（1，2）；③x2﹣5x+6=0是x=2的必要不充分条件．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用￢p或￢q 分别表示p和q的否定，则逆否命题为：若￢q则￢p．由“若xy=0，则x=0或y=0”则逆否命题为：“若x≠0且y≠0，则xy≠0；故本命题正确，②∵函数f（x）=e x+x﹣2，∴f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0，f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，故有f（0）×f（1）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在区间是（0，1），故本命题不正确．③x2﹣5x+6=0成立，则有x=2，或者x=3；故③为假命题．故选：B．11．（5分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y﹣2=0的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6） B．[4，6]C．（4，5） D．（4，5]【解答】解：∵圆心P（3，﹣5）到直线4x﹣3y=2的距离等于=5，由|5﹣r|＜1，解得4＜r＜6，∴半径r的取值范围是（4，6）．故选：A．12．（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC ⊥l，直线m∥α，m∥β，则下面四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AC⊥βB．AC⊥m C．AB∥βD．AB∥m【解答】解：由平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，知：在A中，当C∈l时，AC⊥β，当C∉l时，AC不垂直于β，故A错误；在B中，∵直线m∥α，m∥β，平面α⊥平面β，α∩β=l，∴m∥l，∵AC⊥l，∴AC⊥m，故B正确；在C中，由线面平行的判定定理得AB∥β，故C正确；在D中，∵直线AB∥l，m∥l，∴直线AB∥l，故D正确．故选：A．二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足则z=x﹣y的最小值为﹣5．【解答】解：由z=x﹣y得y=x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图：平移y=x﹣z，由图象知当直线y=x﹣z经过点B时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由得B（﹣4，1），此时z=﹣4﹣1=﹣5，故答案为：﹣5．14．（5分）若关于x的不等式x2﹣6x﹣m≥0对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．【解答】解：原不等式转化为找f（x）=x2﹣3x在x∈[0，1]上的最小值，让其大于等于m，又因为f（x）=x2﹣6x=（x﹣3）2﹣9，对称轴为：x=3，x∈[0，1]上是减函数，故最小值为f（1）=12﹣6×1=﹣5，所以m≤﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5]．15．（5分）已知实数a，b，c成公差为1的等差数列，b，c，d成等比数列，且b＞0，则a+b+c+d的最小值为6．【解答】解：根据题意，实数a，b，c成公差为1的等差数列，则a+b+c=3b，且c=b+1，若b，c，d成等比数列，则有c2=bd，又由c=b+1，则d==b++2，则a+b+c+d=3b+b++2=4b++2≥2+2=6，当且仅当b=时成立；则a+b+c+d的最小值为6，故答案为：6．16．（5分）在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为﹣或1．【解答】解：【方法一】△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，∴﹣=λ，∴=λ；又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），∴•=λ•[+（λ﹣1）]=λ•+λ（λ﹣1）=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1．【方法二】建立平面直角坐标系如图所示A（0，0），B（，），C（2，0），设P（x，y）=（x，y），=（，），=（2，0），=（x﹣，y﹣）=（x﹣2，y），∴（x，y）=（，）+λ（2，0）=（+2λ，），∴x=+2λ①，y=②；又（x﹣）（x﹣2）+y（y﹣）=1③；由①②③解得λ=﹣或λ=1．故答案为：﹣或1．三、解答题（本题共6题，共70分）17．（10分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，=，=1．（Ⅱ），=，=2sinxcosx+2cos2x﹣1，=sin2x+cos2x，=，因为，所以，所以，故当，即时，f（x）有最大值当，即时，f（x）有最小值﹣1．18．（12分）已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，可化为①或②或③，…（3分）解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，综合得：﹣＜x＜，即原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．…（5分）（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…（8分）又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．…（10分）19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，E为PB上任意一点．（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；（2）试确定点E的位置，使得四棱锥P﹣ABCD的体积等于三棱锥B﹣ACE体积的4倍．【解答】证明：（1）连结AC，BD，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的体积等于三棱锥B﹣ACE体积的4倍，∴=，设P到平面ABCD的距离为h，则===，解得h=PD，故此时E为PB的中点．20．（12分）数列{a n}满足a1=﹣1，a n+1+2a n=3．（Ⅰ）证明{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）已知符号函数sgn（x）=，设b n=a n•sgn{a n}，求数列{b n}的前100项和．【解答】（I）证明：∵a n+2a n=3，∴a n+1﹣1=﹣2（a n﹣1）．a1﹣1=﹣2．+1∴{a n﹣1}是等比数列，首项与公比都为﹣2．∴a n﹣1=（﹣2）n，可得a n=（﹣2）n+1．（II）解：b n=a n•sgn{a n}=，∴数列{b n}的前100项和=（2﹣1）+（22+1）+（23﹣1）+（24+1）+…+（299﹣1）+（2100+1）=2+22+…+2100==2101﹣2．21．（12分）临沂市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体．该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元．（Ⅰ）求该博物馆支付总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式；（Ⅱ）求当容积为多少立方米时该博物馆支付总费用最小，其最小值是多少元？【解答】解：（Ⅰ）由题意设支付的保险费用，把x=2，y1=4000代入，得k=8000．则有支付的保险费用（x＞0.5），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）保护液体的费用y2=500（x﹣0.5），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）故总费用，（x＞0.5）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）因为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当且仅当且x＞0.5，即x=4立方米时不等式取等号，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以，当x=4时博物馆支付总费用的最小值为3750元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值．【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即=，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得k=2，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或y=（2）x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离d==．﹣﹣（12分）。
辽宁省大连市普兰店市高二数学上学期期中试题 理
辽宁省大连市普兰店市2017-2018学年高二数学上学期期中试题理一、选择题本大题共12道小题。
1.如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（）A．10.5 B．5.15 C．5.25 D．5.22.抛物线x2=﹣8y的焦点坐标是（）A．（0，2） B．（0，﹣2）C．（0，4） D．（0，﹣4）3.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.154.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1205.已知P：x2﹣x＜0，那么命题P的一个必要非充分条件是（）A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．＜x＜D．＜x＜26.已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜07.若方程+=1表示双曲线，则k的取值范围是（）A．（5，10）B．（﹣∞，5）C．（10，+∞）D．（﹣∞，5）∪（10，+∞）8.阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}的前10项和 B．计算数列{2n﹣1}的前9项和C．计算数列{2n﹣1}的前10项和D．计算数列{2n﹣1}的前9项和9.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）A．B．或2 C． 2 D．10.下列四个命题中：①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题；④“若ab≠0，则a≠0”的否命题．其中真命题的序号是（）A．②、③B．③、④C．①、④D．①、②11.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样12.下图是2008年我校举办“激扬青春，勇担责任”演讲比赛大赛上，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和平均数分别为（）A．85；87 B．84；86 C．84；85 D．85；86一、填空题本大题共4道小题。
辽宁省大连市普兰店区高三数学上学期期中(第二次阶段)试题 文
辽宁省大连市普兰店区高三数学上学期期中（第二次阶段）试题文一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设集合A={x|log2x+1＞0}，B={y|y=3x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．B．C．（0，1）D．（0，1]2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则¬p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（A．n=n+2，i=15 B．n=n+2，i＞15 C．n=n+1，i=15 D．n=n+1，i＞15 5．（5分）两个相关变量满足如表：两变量的回归直线方程为（）k 10 15 20 25 30y 1003 1005 1010 1011 1014A．=0.56x+997.4 B．=0.63x﹣231.2 C．=50.2x+501.4 D．=60.4x+400.76．（5分）已知函数f（x）=，把方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n项和为（）A．S n=2n﹣1（n∈N+） B．S n=（n∈N+）C．S n=n﹣1（n∈N+）D．S n=2n﹣1（n∈N+）7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4 C．D．8．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣b，若f（x）≥0恒成立，则ab的最大值为（）A．B．e2C．e D．10．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有+2+3=，现将一粒芝麻随机撒在△ABC内，则这粒芝麻落在△PBC内的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y最小值为﹣6，则常数k=．12．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为．13．（5分）过原点作曲线y=1nx的切线，则切线方程为．14．（5分）已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是．15．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，则∠A n的最大值是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）某城市要建成宜商、宜居的国际化新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示．（1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高；（2）规定综合得分85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率．17．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE=，平面ABCD⊥平面ABE，（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥D﹣ACE的体积．18．（12分）设，，记．（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．19．（13分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．20．（13分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y2=16x的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点A（﹣1，0），B（1，0），且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点P是线段CD 上的动点，求的取值范围．（3）试问在圆x2+y2=a2上，是否存在一点M，使△F1MF2的面积S=b2（其中a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长，F1，F2为椭圆的两个焦点），若存在，求tan∠F1MF2的值，若不存在，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设集合A={x|log2x+1＞0}，B={y|y=3x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．B．C．（0，1）D．（0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先计算集合A，B，再计算集合（C R A）∩B即可．解答：解：∵A={x|log2x+1＞0}=（，+∞），B={y|y=3x，x∈R}=（0，+∞），∴∁RA=（﹣∞，]，∴（C R A）∩B=故选B．点评：本题主要考查了集合的交，补混合运算，关键是弄清楚各集合的元素．2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi（a，b∈R）的形式，可得虚部．解答：解：因为===．所以复数的虚部为：．故选D．点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力，注意虚部是实数．3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则¬p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件考点：复合命题的真假．专题：常规题型．分析：由逆否命题的定义，我们易判断A的正误，根据复合命题的真值表，我们易判断B的真假；根据特称命题的否定方法，我们易判断C的对错；根据充要条件的定义，我们易判断D的正误．解答：解：根据逆否命题的定义，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A正确；若p∧q为假命题，则p、q至少存在一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故B错误；命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0的否定为：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，故C正确；∵x＞2⇒x2﹣3x+2＞0为真命题，x2﹣3x+2＞0⇔x＜1或x＞2⇒x＞2为假命题，故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故D正确．故选B点评：本题考查的知识点是四种命题，复合命题，特称命题的否定及充要条件，熟练掌握四种命题的定义，复合命题的真值表，特称命题的否定的方法及充要条件的定义是解答本题的关键．4．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（A．n=n+2，i=15 B．n=n+2，i＞15 C．n=n+1，i=15 D．n=n+1，i＞15考点：程序框图．专题：计算题．分析：首先分析，要计算需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算．解答：解：①的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2∴n=n+2②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件而分母从1到29共15项∴i＞15故选B．点评：本题考查程序框图应用，重在解决实际问题，通过把实际问题分析，经判断写出需要填入的内容，属于基础题．5．（5分）两个相关变量满足如表：两变量的回归直线方程为（）k 10 15 20 25 30y 1003 1005 1010 1011 1014A．=0.56x+997.4 B．=0.63x﹣231.2 C．=50.2x+501.4 D．=60.4x+400.7考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：先求出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出，代入直线方程，写出线性回归方程，得到结果．解答：解：=1008.6利用公式可得=≈0.56，又=﹣=997.4．∴回归方程是=0.56x+997.4故选A．点评：本题考查可线性化的回归方程，是一个基础题，这种题目考查的知识点比较简单，只是运算量比较大，需要细心解答．6．（5分）已知函数f（x）=，把方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n项和为（）A．S n=2n﹣1（n∈N+） B．S n=（n∈N+）C．S n=n﹣1（n∈N+）D．S n=2n﹣1（n∈N+）考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1， 2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列的前n项和．解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，∴该数列的前n项和，n∈N+．故选B．点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，容易出错，要细心解答．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4 C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积．解答：解：由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：，故选B．点评：本题考查三视图、棱锥的体积；考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；是中档题．8．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出 AF1 的长，直角三角形AF1F2中，由边角关系得tan30°==，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值．解答：解：把x=﹣c代入椭圆的方程可得y=，∴AF1 =，由tan30°=====，求得 3e2+2e﹣3=0，解得（舍去），或，故选D．点评：本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小，属于中档题．9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣b，若f（x）≥0恒成立，则ab的最大值为（）A．B．e2C．e D．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．解答：解：f′（x）=e x﹣a，若a=0，则f（x）=e x﹣b的最小值为f（﹣∞）=﹣b≥0，得b≤0，此时ab=0；若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，此时f（﹣∞）=﹣∞，不可能恒有f（x）≥0．若a＞0，则得极小值点x=lna，由f（lna）=a﹣alna﹣b≥0，得b≤a（1﹣lna）ab≤a2（1﹣lna）=g（a）现求g（a）的最小值：由g'（a）=2a（1﹣lna）﹣a=a（1﹣2lna）=0，得极小值点a=g（）=所以ab的最大值为，故选：D．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．10．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有+2+3=，现将一粒芝麻随机撒在△ABC内，则这粒芝麻落在△PBC内的概率为（）A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义；几何概型．专题：平面向量及应用；概率与统计．分析：先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比，进而利用几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解解答：：∵+2+3=，∴++2（+）=，即+=﹣2（+），分别取AC，BC的中点，F，G，∵，+═，∴，∴F、P、G三点共线，且PF=2PG，GF为三角形ABC的中位线，∴=2，（h1，h2是相应三角形的高），而S△APB=S△ABC，∴△APB，△APC，△BPC的面积之比等于3：2：1，∴S△BPC：S△ABC=1：6，∴由几何概型的概率公式可得将一粒芝麻随机撒在△ABC内，则这粒芝麻落在△PBC内的概率为，故选：D．点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△P BC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．综合性较强，难度较大．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y最小值为﹣6，则常数k=0．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+4y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+4y过可行域内的点B时，从而得到k值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+4y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+4y经过点B时，z最小，由得：代入直线x+y+k=0得，k=0故答案为：0．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．12．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为4．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：常规题型；转化思想．分析：先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可．解答：解：∵ρsin（θ+）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2=0，圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：2×=．故答案为：．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．13．（5分）过原点作曲线y=1nx的切线，则切线方程为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：设出切点坐标，根据坐标表示出切线的斜率，然后把切点的横坐标代入到曲线的导函数中得到切线的斜率，两者相等即可求出切点的横坐标，把横坐标代入到曲线解析式得到切点的纵坐标和切线的斜率，根据斜率和切点坐标写出切线方程即可．解答：解：设切点坐标为（x0，lnx0），则切线斜率k=y′==，∴lnx0=1解得x0=e，∴切点为（e，1），k=则切线方程为：y﹣1=（x﹣e）即y=x故答案为：y=x点评：考查学生掌握切线斜率与导函数的关系，会利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及会根据斜率和一点写出直线的方程．14．（5分）已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是﹣3＜m＜5．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式△＜0，解不等式即可得到结论．解答：解：不等式等价为，即x2+x＜2x2﹣mx+m+4恒成立，∴x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，即△=（m+1）2﹣4（m+4）＜0，即m2﹣2m﹣15＜0，解得﹣3＜m＜5，故答案为：﹣3＜m＜5．点评：本题主要考查指数不等式和一元二次不等式的解法，利用指数函数的单调性是解决本题的关键．15．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，则∠A n的最大值是．考点：基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理的应用．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：根据数列的递推关系得到b n+c n=2a1为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论．解答：解：∵a n+1=a n，∴a n=a1，∵b n+1=，c n+1=，∴b n+1+c n+1=a n+=a1+，∴b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n﹣2a1），又b1+c1=2a1，∴当n=1时，b2+c2﹣2a1=（b1+c1+﹣2a1）=0，当n=2时，b3+c3﹣2a1=（b2+c2+﹣2a1）=0，…∴b n+c n﹣2a1=0，即b n+c n=2a1为常数，则由基本不等式可得b n+c n=2a1≥2，∴b n c n，由余弦定理可得=（b n+c n）2﹣2b n c n﹣2b n c n cosA n，即（a1）2=（2a1）2﹣2b n c n（1+cosA n），即2b n c n（1+cosA n）=3（a1）2≤2（a1）2（1+cosA n），即3≤2（1+cosA n），解得cosA n，∴0＜A n，即∠A n的最大值是，故答案为：点评：本题考查数列以及余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）某城市要建成宜商、宜居的国际化新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示．（1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高；（2）规定综合得分85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据茎叶图求出东城区与西城区的平均分即可得出结论；（Ⅱ）求出从两个区域各选一个优秀厂家的所有基本事件数，再求出满足得分差距不超过5的事件数，即可求出概率．解答：解：（Ⅰ）根据茎叶图知，东城区的平均分为=（780+790+790+88+88+89+93+94）=86，西城区的平均分为=（72+79+81+83+84+85+94+94）=84，∴东城区的平均分较高；（Ⅱ）从两个区域各选一个优秀厂家，所有的基本事件数为5×3=15种，满足得分差距不超过5的事件（88，85）（88，85）（89，85）（89，94）（89，94）（93，94）（93，94）（94，94）（94，94）共9种，∴满足条件的概率为P==．点评：本题通过茎叶图考查了平均数以及古典概型的概率问题，解题时应列出基本事件，属于基础题17．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE=，平面ABCD⊥平面ABE，（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥D﹣ACE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）首先，得到AD⊥AB，然后，根据面面垂直，得到AD⊥BE，再借助于直角三角形，得到AE⊥BE，从而得到证明；（Ⅱ）首先，取AB中点O，然后，借助于V D﹣ACE=V E﹣ACD求解．解答：解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥AB．又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面ABE，而BE⊂平面ABE．∴AD⊥BE．又∵AE=BE=，AB=2，∴AB2=AE2+BE2，∴AE⊥BE而AD∩A E=A，AD、AE⊂平面ADE，∴BE⊥平面ADE 而BE⊂平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．（Ⅱ）取AB中点O，连接OE．∵△ABE是等腰三角形，∴OE⊥AB．又∵平面ABCE⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，OE⊂平面ABCD∴OE⊥平面ABCD即OE是三棱锥D﹣ACE的高．又∵AE=BE=AB=2∴OE=1∴V D﹣ACE=V E﹣ACD=OE•S正方形ABCD=．点评：本题重点考查了空间中垂直关系、空间几何体的体积公式及其运算等知识，属于中档题．18．（12分）设，，记．（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：综合题．分析：（1）先利用向量数量积的坐标运算写出函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，最后由周期公式即可得f（x）的最小正周期（2）由（1）f（x）=，利用五点法，即将2x+看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象，用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行（3），，求此函数的最值可先将2x+看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方程可得m的值，进而求出函数最大值解答：解：（1）=∴（2）x0 π2πsin（）0 1 0 ﹣1 0yy=sinx向左平移得到，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的变为最后再向上平移个单位得到（3），∵，∴∴，∴，∴m=2，∴当即时g（x）最大，最大值为．点评：本题综合考察了三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，三角函数图象变换，及复合三角函数值域的求法．19．（13分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）由等差数列有通项公式，得到首项与公差的方程组，得出首项与公差的值，得到通项公式；（2）已知数列的递推公式，由叠加法，得到数列的通项公式；（3）将数列求和得到前n项和后，将条件变形后，得到关于参数p的关系式，这是一个恒成立问题，通过最值的研究，得到本题结论．解答：解：（1）设等差数列a n的公差为d，由已知，有解得所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，即差数列a n的通项公式为a n=2n+1，n∈N*．（2）因为，所以，当n≥2时，．证法一（数学归纳法）：①当n=1时，b1=1，结论成立；②假设当n=k时结论成立，即，那么当n=k+1时，=2k﹣1+2k=2k+1﹣1，即n=k+1时，结论也成立．由①，②得，当n∈N*时，成立．证法二：当n≥2时，，所以将这n﹣1个式子相加，得，即=．当n=1时，b1=1也满足上式．所以数列{b n}的通项公式为．（3）由（2），所以，∴原不等式变为（1﹣n）2n+1+（n+p）•2n+1＜2，即p•2n+1＜2﹣2n+1，∴对任意n∈N*恒成立，∵n为任意的正整数，∴p≤﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．点评：本题考查的是数列和不等式的知识，涉及到等差数列的通项公式、前n项和公式、叠加法求通项，以及不等关系式．本题有一定的思维量，运算量较大，属于难题．20．（13分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y2=16x的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点A（﹣1，0），B（1，0），且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点P是线段CD 上的动点，求的取值范围．（3）试问在圆x2+y2=a2上，是否存在一点M，使△F1MF2的面积S=b2（其中a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长， F1，F2为椭圆的两个焦点），若存在，求tan∠F1MF2的值，若不存在，请说明理由．考点：圆锥曲线的综合．专题：计算题；综合题．分析：（1）先求出抛物线y2=16x的焦点和双曲线的焦点，就可求出a，c进而求出椭圆的标准方程；（2）先求出线段CD的方程，设出点P的坐标，找到的表达式．再利用图象求出的取值范围即可．（3）先利用（1）的结论以及△F1MF2的面积求出圆的方程和点M的纵坐标，再把tan∠F1MF2的转化为两直线倾斜角的差，利用两角差的正切公式以及点M的坐标与圆的关系求出tan∠F1MF2的值即可．解答：解：（1）因为抛物线y2=16x的焦点和双曲线的焦点分别为（4，0）和（5，0）．所以a=5，c=4所以椭圆的标准方程：；（2）设P（x0，y0），则；CD：3x+5y﹣15=0（0≤x≤5）则当OP⊥CD时，取到最小值，即：；当P在D点时，取到最大值：OD=5所以：．（3）如图所示：由第一问可知，圆的方程为x2+y2=25．△F1MF2的面积S=b2=9．设M（x，y）．又△F1MF2的面积S=b2=9=×2×4×y⇒4y=9，又F1（﹣4，0）F2（4，0）．设直线MF2的倾斜角为α，直线MF1的倾斜角为β，则tan∠F1MF2=tan（α﹣β）=====2．即tan∠F1MF2的值2．点评：本题是对椭圆，圆，抛物线以及向量等知识的综合考查．在平时做题过程中，圆锥曲线只要出大题，一般多放在最后一题，或倒数第二题，是不易得分的题．21．（13分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2﹣ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得 0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣点评：考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．。
辽宁省大连市普兰店区高三数学上学期期中第二次阶段试题理
辽宁省大连市普兰店区高三数学上学期期中（第二次阶段）试题理一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（ 5 分）会合 A={x| ﹣1≤x≤2} ， B={x|x ＜ 1} ，则 A∩（ ?R B） =（）A． {x|x ＞1}B． {x|x ≥1}C． {x|1 ＜x≤2}D． {x|1 ≤x≤2}2．（ 5 分）已知函数 f （x）=﹣ 2sin （ 2x+φ）（ | φ| ＜π），若，则f（x）的一个单一递加区间能够是（）A．B．C．D．3．（ 5 分）“a3＞ b3”是“ log 3a＞ log 3b”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件4．（ 5 分）已知 2a =5b=10，则（ +）=（）A．﹣2B．2C．﹣D．5．（ 5 分）已知函数f （ x） =，则以下结论正确的选项是（）A． f （ x）是偶函数B． f （ x）是增函数C． f （ x）的值域为 [ ﹣ 1，+∞）D． f （ x）是周期函数6．（ 5 分）已知命题p： ? x∈ R，使 tanx=1 ，命题 q：? x∈ R，x2＞0 下边结论正确的选项是（）A．命题“ p∧q”是真命题B．命题“ p∧?q”是假命题C．命题“ ?p∨q”是真命题D．命题“ ?p∧?q”是假命题7．（ 5 分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不行能是（）A．B．πC． 2πD．8．（ 5 分）已知定义在R 上的奇函数 f （ x）和偶函数 g（ x）知足 f （ x）+g（ x）=a x﹣ a﹣x+2（a ＞ 0，且 a≠1），若 g=a，则 f （﹣ 2015） =（）A． 2 B．2﹣ 2015﹣22015 C．22015﹣22015 D． a29．（ 5 分）已知函数y=f （x）的图象与函数y=的图象对于原点对称，则 f （x） =（）A．B．C．﹣D．﹣10．（ 5 分）如图是某几何体的三视图，此中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分 .11．（ 5 分）已知θ为第二象限角，且P（ x，）为其终边上一点，若cos θ =则x的值为．12．（ 5 分）已知幂函数在x=0处有定义，则实数m=．13．（ 5 分）曲线y=在点M（1，0）处的切线的斜率为．14．（ 5 分）若函数 f （ x）=x3﹣ 6bx+3b 在（ 0，1）内有极小值，则实数 b 的取值范围是．15．（ 5 分）已知函数 f （ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞ 0 时， f （ x）=e﹣x（ x﹣ 1）给出以下命题：﹣x①当 x＜0 时， f （ x） =e（x+1）；③若对于x 的方程 f （ x）=m有解，则实数m的取值范围是 f （﹣ 2）≤ x≤f （ 2）；④? x1， x2∈ R， |f （x2）﹣ f （ x1）| ＜ 2 恒成立．此中，正确命题的序号是．三、解答题：本大题共 6 小题，共75 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．（ 12 分）已知函数f （x） =sin cos +cos 2﹣1．（ 1）求函数 f （x）的最小正周期及单一递减区间；（ 2）求函数 f （x）在 [，] 上的最小值．17．（ 12 分）设 f （ x） =log a（ 1+x） +log a（ 3﹣x）（ a＞ 0，a≠1），且 f （ 1）=2．（ 1）求 a 的值及 f （ x）的定义域．（ 2）求 f （ x）在区间 [0 ，] 上的值域．218．（ 12 分）已知函数 f （x） =ax +bx+c（a≠0）知足 f （0） =﹣ 1，对随意 x∈ R 都有 f （ x）≥x﹣ 1，且．（ 1）求函数 f （x）的分析式；（ 2）能否存在实数 a，使函数在（﹣∞， +∞）上为减函数？若存在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，说明原因．19．（ 13 分）设函数 f（ x）=lg（﹣1）的定义域为会合A，函数 g（ x）=﹣x2+2x+a（0≤x≤3，a∈ R）的值域为会合B．（ 1）求 f （）+f（）的值；（ 2）若 A∩B=?，务实数 a 的取值范围．20．（ 13 分）如下图，一座小岛距离海岸线上近来的点12km处有一个城镇．假定一个人驾驶的小船的均匀速度为P 的距离是 2km，从点3km/h，步行的速度是P 沿海岸正东5km/h，用t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示这人将船停在海岸处距P 点的距离．（1）请将 t 表示为 x 的函数 t （ x）；（2）将船停在海岸处距点 P 多远时从小岛到城镇所花时间最短？最短时间是多少？21．（ 13 分）已知函数在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．（Ⅰ）求函数 f （x）的分析式；（Ⅱ）设g（ x）=lnx ，求证： g（ x）≥ f （ x）在 x∈ [1 ，+∞）上恒成立．高三上学期数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（ 5 分）会合 A={x| ﹣1≤x≤2} ， B={x|x ＜ 1} ，则 A∩（ ?R B） =（）A． {x|x ＞1}B． {x|x ≥1}C． {x|1 ＜x≤2}D． {x|1 ≤x≤2}考点：交、并、补集的混淆运算．剖析：依据补集和交集的意义直接求解．解答：解： C R B={X|x ≥1} ，A∩C R B={x|1 ≤x≤2} ，应选 D．评论：此题考察会合的基本运算，较简单．2．（ 5 分）已知函数 f （x）=﹣ 2sin （ 2x+φ）（ | φ| ＜π），若，则f（x）的一个单一递加区间能够是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的单一性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．剖析：由正弦函数最值的结论，得 x= 是方程 2x+φ = +2kπ的一个解，联合 | φ | ＜π得φ = ，所以 f （ x）=﹣ 2sin （ 2x+ ），再依据正弦函数的图象与性质，得函数的单一增区间为 [ +kπ，+kπ ] （ k∈ Z），比较各选项可得此题答案．解答：解：∵当 x= 时， f （x） =﹣ 2sin （ 2x+φ）有最小值为﹣ 2∴x= 是方程 2x+φ = +2kπ的一个解，得φ = +2kπ，（ k∈ Z）∵|φ | ＜π，∴取 k=0，得φ =．所以函数表达式为： f （ x） =﹣ 2sin （ 2x+）令+2kπ ≤2x+≤+2kπ，得+k π ≤x≤+kπ，（ k∈ Z）取 k=0，得 f （ x）的一个单一递加区间是应选： D评论：此题给出函数 y=Asin （ω x+φ）的一个最小值及相应的 x 值，求函数的单一增区间，侧重考察了正弦函数的图象与性质的知识，属于基础题．3．（ 5 分）“a3＞ b3”是“ log 3a＞ log 3b”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件考点：必需条件、充足条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简略逻辑．剖析：依据指数函数和对数函数的图象和性质，求出两个命题的等价命题，从而依据充要条件的定义可得答案．解答：解：“a3＞b3” ? “a＞b”，“log 3a＞log 3b” ? “a＞ b＞0”，3 3故“a ＞ b ”是“ log 3a＞ log 3b”的必需不充足条件，评论：判断充要条件的方法是：①若 p? q 为真命题且q? p 为假命题，则命题p 是命题 q 的充足不用要条件；②若 p? q 为假命题且q? p 为真命题，则命题p 是命题 q 的必需不充足条件；③若 p? q 为真命题且q? p 为真命题，则命题p 是命题 q 的充要条件；④若 p? q 为假命题且q? p 为假命题，则命题p 是命题 q 的即不充足也不用要条件．⑤判断命题p 与命题 q 所表示的范围，再依据“谁大谁必需，谁小谁充足”的原则，判断命题p 与命题 q 的关系．4．（ 5 分）已知 2a =5b=10，则（ +）=（）A．﹣2B．2C．﹣D．考点：专题：对数的运算性质．函数的性质及应用．剖析：由 2a=5b=10，可得a= ，．代入利用lg2+lg5=1 即可得出．解答：解：∵2a =5b=10，∴a= ，．则（+）== =2．应选： B．评论：此题考察了指数式化为对数式及其运算法例，属于基础题．5．（ 5 分）已知函数f （ x） =，则以下结论正确的选项是（）A．f （ x）是偶函数B． f （ x）是增函数C．f （ x）的值域为[ ﹣ 1，+∞）D． f （ x）是周期函数考点：分段函数的应用．专题：阅读型；函数的性质及应用．剖析：由三角函数和二次函数的性质，联合函数的奇偶性、单一性和周期性，及值域，分别对各个选项判断，可得A，B，D错， C正确．解答：解：由分析式可知当x≤0时， f （ x） =cosx 为周期函数，当 x＞ 0 时， f （x） =x2+1，为二次函数的一部分，故 f （ x）不是单一函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可清除 A、 B、D，对于 C，当 x≤0时，函数的值域为 [ ﹣ 1， 1] ，当x＞ 0 时，函数的值域为（ 1，+∞），故函数 f （ x）的值域为 [ ﹣1，+∞），故 c 正确．应选： C．评论：此题考察分段函数的应用，考察函数的奇偶性、单一性和周期性，波及三角函数的性质，属中档题．6．（ 5 分）已知命题p： ? x∈ R，使A．命题“ p∧q”是真命题C．命题“ ?p∨q”是真命题tanx=1 ，命题 q：? x∈ R，x2＞0 下边结论正确的选项是（）B．命题“ p∧?q”是假命题D．命题“ ?p∧?q”是假命题考点：复合命题的真假．专题：应用题．剖析：由正切函数的性质可知命题p：? x∈R，使tanx=1 ，为真命题， ?p 为假命题；由x2≥0可得命题解答：q： ? x∈ R， x2＞0 为假命题，则非q 为真命题，故可判断解：命题p： ? x∈ R，使 tanx=1 ，为真命题， ?p 为假命题2∵x≥0命题 q：? x∈ R，x2＞ 0 为假命题，则非q 为真命题A：命题“ p∧q”为假命题B： p∧?q 为真命题C：“ ?p∨q”为假命题D：“ ?p∧?q”假命题应选 D评论：此题主要考察了命题真假判断的应用，简单复合命题的真假判断，属于基础试题7．（ 5 分）已知函数A．y=2sinxB．π的定义域为[a ， b] ，值域为C． 2π[ ﹣ 2， 1] ，则 b﹣ a 的值不行能是（）D．考点：三角函数的最值．专题：计算题．剖析：联合三角函数R上的值域 [ ﹣ 2， 2] ，当定义域为 [a ，b] ，值域为 [ ﹣ 2， 1] ，可知 [a ，b] 小于一个周期，从而可得．解答：解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2函数的周期T=2π值域 [ ﹣2， 1] 含最小值不含最大值，故定义域[a ， b] 小于一个周期b﹣ a＜2π应选 C评论：此题考察了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的重点是熟习三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．8．（ 5 分）已知定义在R 上的奇函数 f （ x）和偶函数 g（ x）知足 f （ x）+g（ x）=a x﹣ a﹣x+2（a ＞ 0，且 a≠1），若 g=a，则 f （﹣ 2015） =（）A． 2﹣ 20152015C． 220152015 2 B．2﹣2 ﹣ 2 D． a考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．剖析：由 f （ x） +g（x） =a x﹣ a﹣x+2 可得 f （﹣ x）+g（﹣ x） =a﹣x﹣ a x+2，联合 f （﹣ x）=﹣f（ x），g（﹣ x）=g（ x）可求 a，及 f （ x），代入可求解答：解：∵ f （ x） +g（ x） =a x﹣ a﹣x+2①∴f（﹣ x） +g（﹣ x） =a﹣x﹣ a x +2∵f （﹣ x） =﹣ f （ x）， g（﹣ x） =g（x）﹣x x∴﹣ f （x） +g（x） =a﹣a +2②联立①②可得， f （ x） =a x﹣ a﹣x，g（ x） =2∵g=a，∴a=2则 f （﹣ 2015） =2﹣2015﹣ 22015应选 B评论：此题主要考察了奇偶函数的定义在函数分析式的求解中的应用，解题的重点是由 g （ x）确立a 的值9．（ 5 分）已知函数y=f （x）的图象与函数y=的图象对于原点对称，则 f （x） =（）A．B．C．﹣D．﹣考点：函数分析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．剖析：利用函数图象对于原点对称，利用点的对称关系求出 f （x）的表达式即可．解答：解：设点 P（ x，y）是函数 y=f （ x）的图象，与P 对于原点对应的点为（﹣x，﹣ y）在函数 y= 的图象上，所以代入得﹣ y= ，即 y= ，应选： B．评论：此题主要考察函数图象的对应关系，利用点的对称性是解决此题的重点．2 的等腰三角形，俯视图是半径10．（ 5 分）如图是某几何体的三视图，此中正视图是腰长为为 1 的半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．剖析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再依据此中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可获得答案．解答：解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为 2 的等腰三角形∴应选： D．评论：此题考察的知识点是由三视图求体积，此中依据三视图判断出几何的形状及有关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的重点．二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分.11．（ 5 分）已知θ为第二象限角，且P（ x，）为其终边上一点，若cos θ = 则 x 的值为．考点：随意角的三角函数的定义．专题：计算题．剖析：依据三角函数的定义有cos α = ，条件 cos α =x 都能够用点助于角的终边上的点，解对于x 的方程，即可求得所求的横坐标．解答：解：∵ cos α = ==x，P 的坐标来表达，借∴x=0（∵α是第二象限角，舍去）或x= （舍去）或x=﹣．故答案为：．评论：奇妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．注意象限条件的应用．12．（ 5 分）已知幂函数在x=0处有定义，则实数m=2．考点：幂函数的观点、分析式、定义域、值域．专题：计算题；函数的性质及应用．剖析：由幂函数的定义可知 m2﹣ m﹣ 1=1 且 m2+m﹣ 3＞ 0，从而可求得实数m的值．解答：2 2解：依题意知， m﹣m﹣ 1=1 且 m+m﹣ 3＞ 0，解得 m=2，评论：此题考察幂函数的观点，考察解方程的能力，属于中档题．13．（ 5 分）曲线y=在点M（1，0）处的切线的斜率为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的观点及应用．剖析：求出函数的导函数，把切点的横坐标代入即可求出切线的斜率．解答：解：∵ y=，∴y′==，∴当 x=1 时， y′=，即在点 M（ 1， 0）处的切线的斜率为．故答案为：．评论：此题考察学生会依据导函数求切线的斜率，考察导数的运算，属于基础题．14．（ 5 分）若函数 f（ x）=x3﹣ 6bx+3b 在（ 0，1）内有极小值，则实数 b 的取值范围是．考点：函数在某点获得极值的条件．专题：计算题．剖析：由题意知， f ′（ 0）＜ 0，f ′（ 1）＞ 0，解不等式组求得实数 b 的取值范围．解答：解：由题意得，函数 f （ x）=x3﹣ 6bx+3b 的导数为 f ′（ x） =3x2﹣ 6b 在（ 0，1）内有零点，且 f ′（ 0）＜ 0，f ′（ 1）＞ 0．即﹣ 6b＜ 0，且（3﹣6b）＞0．∴0＜ b＜，故答案为：．评论：此题考察函数在某区间上存在极值的条件，利用了导数在此区间上有零点．﹣ x15．（ 5 分）已知函数 f （ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞ 0 时， f （ x）=e （ x﹣ 1）给出以下命题：①当 x＜0 时， f （ x） =e﹣x（ x+1）；②函数 f （ x）有五个零点；③若对于 x 的方程 f （ x）=m有解，则实数m的取值范围是 f （﹣ 2）≤ x≤f （ 2）；④? x1， x2∈ R， |f （x2）﹣ f （ x1）| ＜ 2 恒成立．此中，正确命题的序号是①④．．考点：函数奇偶性的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．剖析：应用奇函数的定义和性质，联合函数的图象和性质判断求解．解答：解：令 x＜ 0，所以﹣ x＞ 0，所以 f （﹣ x） =e x（﹣ x﹣ 1）=﹣ f （ x），所以 f （ x） =e x （ x+1）故①正确；察看 f （ x）在 x＜ 0 时的图象，令 f ′（ x） =e x（ x+1） +e x=0，所以 x=﹣ 2可知 f （x）在（﹣∞，﹣ 2）上单一递减，在（﹣ 2， 0）上递加，而在（﹣∞，﹣1）上， f （ x）＜ 0，在（﹣ 1， 0）上 f （ x）＞ 0由此可判断在（﹣∞， 0）仅有一个零点，有对称性可知 f （ x）在（ 0，∞）上也有一个零点，又由于 f （ 0） =0，故该函数有三个零点．由图可知，若对于 x 的方程 f （ x） =m有解，则﹣ 1＜ m＜ 1，且 ? x ， x ∈ R， |f （x ）﹣ f （x ）1 2 1 2 ＜ 2| 恒成立．故答案为：①④评论：此题考察了函数的观点和性质，综合函数图象性质，求解综合性较大，运用的知识点比许多，做题要认真认真．三、解答题：本大题共 6 小题，共75 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．（ 12 分）已知函数 f （x） =sin cos+cos 2 ﹣1．（ 1）求函数（ 2）求函数f （x）的最小正周期及单一递减区间；f （x）在 [，] 上的最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单一性．专题：计算题；三角函数的求值．剖析：（ 1）利用三角函数中的恒等变换将 f （ x）转变为 f （x） =sin （ x+ ）﹣，即可求其最小正周期及单一递减区间；（ 2）由≤x≤，可求得 x+ 的范围，利用正弦函数的性质即可求得其最小值．解答：解：（ 1）f （ x） =sin cos + ﹣ 1= sinx+ cosx ﹣（ 2 分）= sin （ x+ ）﹣．（ 4 分）所以函数 f （ x）的最小正周期为 2π．（ 6 分）由 2kπ+ ≤x+ ≤2k π + ， k∈ Z，得： 2kπ + ≤x≤2k π + ， k∈ Z，函数 f （x）单一递减区间是[2k π + ，2kπ + ] ， k∈Z．（ 9 分）（ 2）由≤x≤，得≤x+ ≤，（11分）则当 x+ = ，即 x= 时， f （ x）获得最小值．（ 13 分）评论：此题考察三角函数中的恒等变换应用，考察正弦函数的单一性与最值，属于中档题．17．（ 12 分）设 f （ x） =log a（ 1+x） +log a（ 3﹣x）（ a＞ 0，a≠1），且 f （ 1）=2．（ 1）求 a 的值及 f （ x）的定义域．（ 2）求 f （ x）在区间 [0 ，] 上的值域．考点：对数函数的值域与最值；函数的定义域及其求法；函数的值域；对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．剖析：（ 1）由 f （ 1） =2 求得 a 的值，由对数的真数大于0 求得 f （ x）的定义域；（ 2）判断 f （ x）在（﹣ 1， 3）上的增减性，求出 f （ x）在 [0 ，] 上的最值，即得值域．解答：解：（ 1）∵ f （ x） =log a（1+x） +log a（3﹣ x），∴f（ 1） =log a2+log a2=log a4=2，∴ a=2；又∵，∴ x∈（﹣ 1， 3），∴f （ x）的定义域为（﹣1， 3）．（2）∵ f （ x） =log 2（ 1+x） +log 2（ 3﹣x） =log 2 [ （1+x）（ 3﹣ x） ]=log 2[ ﹣（ x﹣ 1）2+4] ，∴当 x∈（﹣ 1，1] 时， f （x）是增函数；当 x∈（ 1， 3）时， f （ x）是减函数，∴f （ x）在 [0 ，] 上的最大值是 f （ 1）=log 24=2；又∵ f （ 0） =log 23，f （）=log2=﹣ 2+log 215，∴f （ 0）＜ f （）；∴f （ x）在 [0 ，] 上的最小值是 f （ 0）=log 23；∴f （ x）在区间 [0 ，] 上的值域是 [log 2 3， 2] ．0 可求得定义评论：此题考察了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于域，利用函数的单一性可求得值域．18．（ 12 分）已知函数f （x） =ax2+bx+c（a≠0）知足f （0） =﹣ 1，对随意x∈ R 都有 f （ x）≥x﹣ 1，且．（ 1）求函数 f （x）的分析式；（ 2）能否存在实数a，使函数在（﹣∞，+∞）上为减函数？若存在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，说明原因．考点：函数单一性的判断与证明；函数分析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．剖析：（ 1）依据 f （ 0）=﹣ 1 可求出 c 的值，依据可得a与b 的关系，最后依据对随意x∈ R 都有 f （ x）≥x﹣ 1，可求出 a 与 b 的值，从而求出函数 f （ x）的分析式；（ 2）令 u（ x） =f （ a），要使函数在（﹣∞，+∞）上为减函数，只要函数u（ x）=f （ a）在（﹣∞，+∞）上为增函数，由指数函数的单一性可得 a 的取值范围．解答：解：（ 1）由 f （ x） =ax2+bx+c（a≠0）及 f （ 0） =﹣1∴c=﹣1 （ 1 分）又对随意x∈ R，有．∴f （ x）图象的对称轴为直线x=﹣，则﹣=﹣，∴ a=b （ 3 分）又对随意x∈ R 都有 f （ x）≥ x﹣ 1，即 ax2+（ b﹣ 1）x≥0对随意 x∈ R 成立，∴，故a=b=1 （ 6 分）∴f （ x） =x2+x﹣1 （7 分）（ 2）由（1）知= （ a2+a﹣1）x，其定义域为R（ 8 分）令 u（ x） =（ a2+a﹣ 1）x要使函数g（ x）=（a2+a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上为减函数，只要函数 u（ x）=（ a2+a﹣1）x在（﹣∞， +∞）上为增函数，（10 分）由指数函数的单一性，有a2+a﹣ 1＞ 1，解得 a＜﹣ 2 或 a＞1 （ 12 分）故存在实数a，当 a＜﹣ 2 或 a＞ 1 时，函数在（﹣∞，+∞）上为减函数（ 13 分）评论：此题主要考察了函数分析式的求解及常用方法，以及复合函数的单一性的判断，同时考察了计算能力，属于中档题．219．（ 13 分）设函数 f（ x）=lg（﹣1）的定义域为会合A，函数 g（ x）=﹣x +2x+a（0≤x≤3，a∈ R）的值域为会合B．（ 1）求 f （）+f（）的值；（ 2）若 A∩B=?，务实数 a 的取值范围．考点：函数的值；交集及其运算．专题：计算题；函数的性质及应用．剖析：（ 1）依据函数奇偶性的定义，证出 f （ x）是奇函数，得 f （）与f（）互为相反数，即得所求函数值的和；（ 2）由对数的真数大于0，得会合 A=（﹣ 1，1），再依据二次函数在闭区间上的值域求法，得会合 B=[ ﹣ 3+a，1+a] ．A∩B=?得区间 A 在 B 的左侧或右侧，没有公共元素，由此成立对于 a 的不等式，解之即可获得实数 a 的取值范围．解答：解：（ 1）∵ f （ x） =lg （﹣1） =lg∴函数的定义域为 {x| ＞ 0}= （﹣ 1， 1），对于原点对称∵f （﹣ x） =lg =lg （）﹣1 =﹣ lg =﹣ f （x）∴f （ x）是奇函数，得 f （） =﹣ f （），所以 f （） +f （） =0；（ 2）由（ 1）， f （ x）的定义域 A=（﹣ 1， 1），∵函数 g（ x） =﹣x2+2x+a 在区间 [0 ，1] 上是增函数，在区间[1 ， 3] 上是减函数∴g（ x）的最大值为g（ 1） =1+a，最小值为 g（ 3） =﹣ 3+a函数 g（x） =﹣ x2+2x+a（0≤x≤3， a∈ R）的值域B=[ ﹣ 3+a， 1+a]∵A∩B=?，∴1+a≤﹣ 1 或﹣ 3+a≥1，得a≤﹣ 2 或 a≥4即实数 a 的取值范围为（﹣∞，﹣2] ∪[4 ，+∞）评论：此题给出真数为分数的对数型函数，求函数的定义域和特别的函数值，侧重考察了基本初等函数的定义域、值域，以及会合的基本运算等知识，属于中档题．20．（ 13 分）如下图，一座小岛距离海岸线上近来的点12km处有一个城镇．假定一个人驾驶的小船的均匀速度为P 的距离是 2km，从点3km/h，步行的速度是P 沿海岸正东5km/h，用 t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示这人将船停在海岸处距P 点的距离．（1）请将 t 表示为 x 的函数 t （ x）；（2）将船停在海岸处距点 P 多远时从小岛到城镇所花时间最短？最短时间是多少？考点：解三角形的实质应用．专题：应用题；函数的性质及应用．剖析：（ 1）依据总的时间t 为驾船行驶的时间与步行到城镇的时间之和，分别表示出从小岛到 Q点的时间为，从 Q点到城镇所需的时间为，即可求得函数t （ x），依据实质意义，求得定义域，从而获得答案；（ 2）利用导数法，即可求得结论．解答：解：（ 1）总的时间t 为驾船行驶的时间与步行到城镇的时间之和，小岛到 Q点的距离：，∴从小岛到Q点的时间为：，Q点到城镇的距离：12﹣ x，∴从 Q点到城镇所需的时间为：，∴t （ x） = + ，0≤x≤12；（ 2）t ′=，令 t ′=0 得 x=1.5 ，当 x∈（ 0， 1.5 ）时， t ′＜ 0， t （x）单一递减；当x∈（，12）时，t′＞0，t（x）单调递加．故当 x=1.5 时， t （ x）最小，且最短时间为h．评论：此题主要考察函数模型的选择与应用．解决实质问题往常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，成立数学模型；（3）利用数学的方法，获得数学结果；（4）转译成详细问题作出解答，此中重点是成立数学模型．属于基础题．21．（ 13 分）已知函数在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．（Ⅰ）求函数 f （x）的分析式；（Ⅱ）设g（ x）=lnx ，求证： g（ x）≥ f （ x）在 x∈ [1 ，+∞）上恒成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．专题：计算题．剖析：（ I ）第一求出 f （ 1）的值，从而得出b﹣ a=﹣4，而后求出函数的导数，求出f' （﹣1） = =﹣ 1，就能够求出a、 b 的值，得出函数的分析式；（ II ）将不等式整理得出（x2+1）lnx ≥2x﹣2，问题转变成x2lnx+lnx ﹣2x+2≥0在 [1 ，+∞）上恒成立，而后设h（ x）=x2lnx+lnx ﹣ 2x+2 ，并求出h' （ x），得出x≥1时h' （ x）≥ 0，可知 h（ x）在 [1 ，+∞）上单一递加，从而求出h（ x）的最小值，得出结果．解答：解：（Ⅰ）将x=﹣1 代入切线方程得y= ﹣ 2∴，化简得 b﹣a=﹣ 4．（2分）．（4分）解得： a=2， b=﹣2∴．（6 分）（Ⅱ）由已知得在 [1 ，+∞）上恒成立化简得（x2+1）lnx ≥2x﹣ 2即 x2lnx+lnx ﹣2x+2≥0在[1 ，+∞）上恒成立．（8 分）设 h（ x） =x2lnx+lnx ﹣ 2x+2，∵x≥1∴，即h' （ x）≥ 0．（ 10 分）∴h（ x）在 [1 ，+∞）上单一递加，h（ x）≥ h（ 1） =0∴g（ x）≥ f （ x）在x∈ [1 ，+∞）上恒成立．（ 12 分）评论：此题考察了利用导数研究某点的切线方程以及函数恒成立问题，对于函数恒成立问题一般转变成求函数的最值问题，属于中档题．。
2017_2018学年高二数学上学期期中试题
辽宁省实验中学2016-2017学年度上学期期中阶段测试高二数学试卷考试时间：120分钟 试题满分：150分1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
（1）下列说法正确的是 （ ）（A ）一个命题的逆命题为真,则它的否命题为假 （B ）一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题为真 （C ）一个命题的否命题为真,则它的逆命题为真 （D ）一个命题的否命题为真,则它的逆否命题为真（2）如果命题“()p q ⌝∨”是假命题，则正确的是 （ ）（A ）,p q 均为真命题 （B ）,p q 中至少有一个为真命题 （C ）,p q 均为假命题 （D ）,p q 中至多有一个为真命题 （3）命题“:x ∃∈R ,使得2220x x -+≤”的否定是 （ ）（A ）x ∀∈R ,使得2220x x -+≤（B ）x ∀∈R ,使得2220x x -+<（C ）x ∀∈R ,使得2220x x -+≥（D ）x ∀∈R ,使得2220x x -+>（4）“数列{}n a (*∈N n )满足1n n a a q +=⋅(其中为常数)”是“数列{}n a (*∈N n )是等比数列”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 （5）数列}{n a 中,11=a ,22=a ,且数列}11{+n a 是等差数列,则等于 （ ） （A ）31（B ）（C ）15（D ） （6）已知数列9,,,121a a 是等差数列，数列9,,,,1321b b b 是等比数列，则212a ab +等于（ ）（A ）107（B ）57（C ）103（D ）21 （7）下列命题中,正确命题的个数是 （ ）①22bc ac b a >⇒>； ②22bc ac b a ≥⇒≥；③bc ac cb c a >⇒>； ④bc ac c bc a ≥⇒≥；⑤0>⇒>>c bc ac b a 且； ⑥0≥⇒≥≥c bc ac b a 且；（A ）（B ）（C ）（D ） （8）函数421y x x =+-(12x >)的最小值是 （ ）（A ）12（B ）12（C ）12（D ）12（9）已知,+∈R a b ，若14=+b a ，则ba 11+的最小值是 （ ） （A ）（B ）（C ）（D ）（10）已知平面区域由以)1,3(),3,5(),2,1(C B A 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域上有无穷多个点),(y x 可使目标函数z x my =+取得最大值,则m = （ ） （A ）（B ）（C ）（D ） （11）已知,,+∈R a b c ，若ca bc b a b a c +<+<+，则c b a ,,的大小关系是 （ ） （A ）c b a >>（B ）a b c >>（C ）c a b >>（D ）b a c >>（12）某百货公司为了吸引顾客，采取“买满一百送五十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内消费满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计）就送元奖励券；满200元，就送100元奖励券；以此类推. 一位顾客在此商店购物，他所获得的实际优惠 （ ）（A ）一定高于%50（B ）一定低于%50（C ）可以达到%50（D ）可以超过%50【说明】实际优惠按%1001⨯+-）获得的奖励券实际使用的现金实际使用的现金（计算.第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2017-2018学年辽宁省大连市普兰店区高二数学上学期期中(第二次阶段)试题理
2017-2018学年辽宁省大连市普兰店区高二数学上学期期中（第二次阶段）试题理一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）1.在数列1、3、6、10、…的一个通项公式是（）A.错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
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中，已知错误！未找到引用源。
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（）A. 1B. 2C. 3D. 43.已知数列错误！未找到引用源。
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的值是（）A.7B. 14C. 15D. 84.已知等差数列错误！未找到引用源。
中错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
（）A. 1B.2C.3D.45.若变量错误！未找到引用源。
满足条件错误！未找到引用源。
的取值范围是（）A.错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
6.等比数列错误！未找到引用源。
中，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A. 1B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
7.如果错误！未找到引用源。
，则下列不等式中成立的是（）A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
8. 已知锐角错误！未找到引用源。
的面积为错误！未找到引用源。
则角错误！未找到引用源。
的大小为（）A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
9.已知错误！未找到引用源。
，函数错误！未找到引用源。
的最小值是 （ ）A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
10.已知等差数列{}n a ，且12321=++a a a ，,18654=++a a a 则987a a a ++等于 （ ）A ．12-B ．6C ．0D ．2411.设错误！未找到引用源。
普兰店高三数学上学期期中第二次阶段试题理
辽宁省大连市普兰店区高三数学上学期期中（第二次阶段）试题理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x＞1} B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}2．（5分）已知函数f（x）=﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若，则f（x）的一个单调递增区间可以是（）A．B．C．D．3．（5分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知2a=5b=10，则（+）=（）A．﹣2B．2C．﹣D．5．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）的值域为[﹣1，+∞）D．f（x）是周期函数6．（5分）已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，命题q：∀x∈R，x2＞0下面结论正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧¬q”是假命题C．命题“¬p∨q”是真命题D．命题“¬p∧¬q”是假命题7．（5分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A．B．πC．2πD．8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a ＞0，且a≠1），若g=a，则f（﹣2015）=（）A．2 B．2﹣2015﹣22015C．22015﹣22015D．a29．（5分）已知函数y=f（x）的图象与函数y=的图象关于原点对称，则f（x）=（）A．B．C．﹣D．﹣10．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）已知θ为第二象限角，且P（x，）为其终边上一点，若cosθ=则x的值为．12．（5分）已知幂函数在x=0处有定义，则实数m=．13．（5分）曲线y=在点M（1，0）处的切线的斜率为．14．（5分）若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）给出以下命题：①当x＜0时，f（x）=e﹣x（x+1）；②函数f（x）有五个零点；③若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是f（﹣2）≤x≤f（2）；④∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立．其中，正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．（12分）已知函数f（x）=sin cos+cos2﹣1．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数f（x）在[，]上的最小值．17．（12分）设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，]上的值域．18．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=﹣1，对任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）是否存在实数a，使函数在（﹣∞，+∞）上为减函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．19．（13分）设函数f（x）=lg（﹣1）的定义域为集合A，函数g（x）=﹣x2+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域为集合B．（1）求f（）+f（）的值；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．20．（13分）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度是5km/h，用t （单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离．（1）请将t表示为x的函数t（x）；（2）将船停在海岸处距点P多远时从小岛到城镇所花时间最短？最短时间是多少？21．（13分）已知函数在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．高三上学期数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x＞1} B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据补集和交集的意义直接求解．解答：解：C R B={X|x≥1}，A∩C R B={x|1≤x≤2}，故选D．点评：本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5分）已知函数f（x）=﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若，则f（x）的一个单调递增区间可以是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由正弦函数最值的结论，得x=是方程2x+φ=+2kπ的一个解，结合|φ|＜π得φ=，所以f（x）=﹣2sin（2x+），再根据正弦函数的图象与性质，得函数的单调增区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z），对照各选项可得本题答案．解答：解：∵当x=时，f（x）=﹣2sin（2x+φ）有最小值为﹣2∴x=是方程2x+φ=+2kπ的一个解，得φ=+2kπ，（k∈Z）∵|φ|＜π，∴取k=0，得φ=．因此函数表达式为：f（x）=﹣2sin（2x+）令+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）取k=0，得f（x）的一个单调递增区间是故选：D点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的一个最小值及相应的x值，求函数的单调增区间，着重考查了正弦函数的图象与性质的知识，属于基础题．3．（5分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义可得答案．解答：解：“a3＞b3”⇔“a＞b”，“log3a＞log3b”⇔“a＞b＞0”，故“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故选：B点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4．（5分）已知2a=5b=10，则（+）=（）A．﹣2B．2C．﹣D．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由2a=5b=10，可得a=，．代入利用lg2+lg5=1即可得出．解答：解：∵2a=5b=10，∴a=，．则（+）===2．故选：B．点评：本题考查了指数式化为对数式及其运算法则，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）的值域为[﹣1，+∞）D．f（x）是周期函数考点：分段函数的应用．专题：阅读型；函数的性质及应用．分析：由三角函数和二次函数的性质，结合函数的奇偶性、单调性和周期性，及值域，分别对各个选项判断，可得A，B，D错，C正确．解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、D，对于C，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故c正确．故选：C．点评：本题考查分段函数的应用，考查函数的奇偶性、单调性和周期性，涉及三角函数的性质，属中档题．6．（5分）已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，命题q：∀x∈R，x2＞0下面结论正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧¬q”是假命题C．命题“¬p∨q”是真命题D．命题“¬p∧¬q”是假命题考点：复合命题的真假．专题：应用题．分析：由正切函数的性质可知命题p：∃x∈R，使tanx=1，为真命题，¬p为假命题；由x2≥0可得命题q：∀x∈R，x2＞0为假命题，则非q为真命题，故可判断解答：解：命题p：∃x∈R，使tanx=1，为真命题，¬p为假命题∵x2≥0命题q：∀x∈R，x2＞0为假命题，则非q为真命题A：命题“p∧q”为假命题B：p∧¬q为真命题C：“¬p∨q”为假命题D：“¬p∧¬q”假命题故选D点评：本题主要考查了命题真假判断的应用，简单复合命题的真假判断，属于基础试题7．（5分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A．B．πC．2πD．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：结合三角函数R上的值域[﹣2，2]，当定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，可知[a，b]小于一个周期，从而可得．解答：解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2函数的周期T=2π值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期b﹣a＜2π故选C点评：本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a ＞0，且a≠1），若g=a，则f（﹣2015）=（）A．2 B．2﹣2015﹣22015C．22015﹣22015D．a2考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2可得f（﹣x）+g（﹣x）=a﹣x﹣a x+2，结合f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）可求a，及f（x），代入可求解答：解：∵f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2①∴f（﹣x）+g（﹣x）=a﹣x﹣a x+2∵f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）∴﹣f（x）+g（x）=a﹣x﹣a x+2②联立①②可得，f（x）=a x﹣a﹣x，g（x）=2∵g=a，∴a=2则f（﹣2015）=2﹣2015﹣22015故选B点评：本题主要考查了奇偶函数的定义在函数解析式的求解中的应用，解题的关键是由g （x）确定a的值9．（5分）已知函数y=f（x）的图象与函数y=的图象关于原点对称，则f（x）=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数图象关于原点对称，利用点的对称关系求出f（x）的表达式即可．解答：解：设点P（x，y）是函数y=f（x）的图象，与P关于原点对应的点为（﹣x，﹣y）在函数y=的图象上，所以代入得﹣y=，即y=，故选：B．点评：本题主要考查函数图象的对应关系，利用点的对称性是解决本题的关键．10．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可得到答案．解答：解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形∴r=1，h=∴故选：D．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）已知θ为第二象限角，且P（x，）为其终边上一点，若cosθ=则x的值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据三角函数的定义有cosα=，条件cosα=x都可以用点P的坐标来表达，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，∴x=0（∵α是第二象限角，舍去）或x=（舍去）或x=﹣．故答案为：．点评：巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．注意象限条件的应用．12．（5分）已知幂函数在x=0处有定义，则实数m=2．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由幂函数的定义可知m2﹣m﹣1=1且m2+m﹣3＞0，从而可求得实数m的值．解答：解：依题意知，m2﹣m﹣1=1且m2+m﹣3＞0，解得m=2，故答案为：2．点评：本题考查幂函数的概念，考查解方程的能力，属于中档题．13．（5分）曲线y=在点M（1，0）处的切线的斜率为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出函数的导函数，把切点的横坐标代入即可求出切线的斜率．解答：解：∵y=，∴y′==，∴当x=1时，y′=，即在点M（1，0）处的切线的斜率为．故答案为：．点评：本题考查学生会根据导函数求切线的斜率，考查导数的运算，属于基础题．14．（5分）若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：由题意知，f′（0）＜0，f′（1）＞0，解不等式组求得实数b的取值范围．解答：解：由题意得，函数f（x）=x3﹣6bx+3b 的导数为 f′（x）=3x2﹣6b 在（0，1）内有零点，且 f′（0）＜0，f′（1）＞0．即﹣6b＜0，且（3﹣6b）＞0．∴0＜b＜，故答案为：．点评：本题考查函数在某区间上存在极值的条件，利用了导数在此区间上有零点．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）给出以下命题：①当x＜0时，f（x）=e﹣x（x+1）；②函数f（x）有五个零点；③若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是f（﹣2）≤x≤f（2）；④∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立．其中，正确命题的序号是①④．．考点：函数奇偶性的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：应用奇函数的定义和性质，结合函数的图象和性质判断求解．解答：解：令x＜0，所以﹣x＞0，所以f（﹣x）=e x（﹣x﹣1）=﹣f（x），所以f（x）=e x （x+1）故①正确；观察f（x）在x＜0时的图象，令f′（x）=e x（x+1）+e x=0，所以x=﹣2可知f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，0）上递增，而在（﹣∞，﹣1）上，f （x）＜0，在（﹣1，0）上f（x）＞0由此可判断在（﹣∞，0）仅有一个零点，有对称性可知f（x）在（0，∞）上也有一个零点，又因为f（0）=0，故该函数有三个零点．由图可知，若关于x的方程f（x）=m有解，则﹣1＜m＜1，且∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）＜2|恒成立．故答案为：①④点评：本题考查了函数的概念和性质，综合函数图象性质，求解综合性较大，运用的知识点比较多，做题要仔细认真．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．（12分）已知函数f（x）=sin cos+cos2﹣1．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数f（x）在[，]上的最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）利用三角函数中的恒等变换将f（x）转化为f（x）=sin（x+）﹣，即可求其最小正周期及单调递减区间；（2）由≤x≤，可求得x+的范围，利用正弦函数的性质即可求得其最小值．解答：解：（1）f（x）=sin cos+﹣1=sinx+cosx﹣…（2分）=sin（x+）﹣．…（4分）所以函数f（x）的最小正周期为2π．…（6分）由2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，得：2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，函数f（x）单调递减区间是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．…（9分）（2）由≤x≤，得≤x+≤，…（11分）则当x+=，即x=时，f（x）取得最小值．…（13分）点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．17．（12分）设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，]上的值域．考点：对数函数的值域与最值；函数的定义域及其求法；函数的值域；对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=2求得a的值，由对数的真数大于0求得f（x）的定义域；（2）判定f（x）在（﹣1，3）上的增减性，求出f（x）在[0，]上的最值，即得值域．解答：解：（1）∵f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x），∴f（1）=log a2+log a2=log a4=2，∴a=2；又∵，∴x∈（﹣1，3），∴f（x）的定义域为（﹣1，3）．（2）∵f（x）=log2（1+x）+log2（3﹣x）=log2[（1+x）（3﹣x）]=log2[﹣（x﹣1）2+4]，∴当x∈（﹣1，1]时，f（x）是增函数；当x∈（1，3）时，f（x）是减函数，∴f（x）在[0，]上的最大值是f（1）=log24=2；又∵f（0）=log23，f（）=log2=﹣2+log215，∴f（0）＜f（）；∴f（x）在[0，]上的最小值是f（0）=log23；∴f（x）在区间[0，]上的值域是[log23，2]．点评：本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．18．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=﹣1，对任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）是否存在实数a，使函数在（﹣∞，+∞）上为减函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．考点：函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据f（0）=﹣1可求出c的值，根据可得a与b的关系，最后根据对任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，可求出a与b的值，从而求出函数f（x）的解析式；（2）令u（x）=f（a），要使函数在（﹣∞，+∞）上为减函数，只需函数u（x）=f（a）在（﹣∞，+∞）上为增函数，由指数函数的单调性可得a的取值范围．解答：解：（1）由f（x）=ax2+bx+c（a≠0）及f（0）=﹣1∴c=﹣1 …（1分）又对任意x∈R，有．∴f（x）图象的对称轴为直线x=﹣，则﹣=﹣，∴a=b …（3分）又对任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，即ax2+（b﹣1）x≥0对任意x∈R成立，∴，故a=b=1 …（6分）∴f（x）=x2+x﹣1 …（7分）（2）由（1）知=（a2+a﹣1）x，其定义域为R…（8分）令u（x）=（a2+a﹣1）x要使函数g（x）=（a2+a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上为减函数，只需函数u（x）=（a2+a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上为增函数，…（10分）由指数函数的单调性，有a2+a﹣1＞1，解得a＜﹣2或a＞1 …（12分）故存在实数a，当a＜﹣2或a＞1时，函数在（﹣∞，+∞）上为减函数…（13分）点评：本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法，以及复合函数的单调性的判定，同时考查了计算能力，属于中档题．19．（13分）设函数f（x）=lg（﹣1）的定义域为集合A，函数g（x）=﹣x2+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域为集合B．（1）求f（）+f（）的值；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．考点：函数的值；交集及其运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义，证出f（x）是奇函数，得f（）与f（）互为相反数，即得所求函数值的和；（2）由对数的真数大于0，得集合A=（﹣1，1），再根据二次函数在闭区间上的值域求法，得集合B=[﹣3+a，1+a]．A∩B=∅得区间A在B的左边或右边，没有公共元素，由此建立关于a 的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=lg（﹣1）=lg∴函数的定义域为{x|＞0}=（﹣1，1），关于原点对称∵f（﹣x）=lg=lg（）﹣1=﹣lg=﹣f（x）∴f（x）是奇函数，得f（）=﹣f（），因此f（）+f（）=0；（2）由（1），f（x）的定义域A=（﹣1，1），∵函数g（x）=﹣x2+2x+a在区间[0，1]上是增函数，在区间[1，3]上是减函数∴g（x）的最大值为g（1）=1+a，最小值为g（3）=﹣3+a函数g（x）=﹣x2+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域B=[﹣3+a，1+a]∵A∩B=∅，∴1+a≤﹣1或﹣3+a≥1，得a≤﹣2或a≥4即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）点评：本题给出真数为分数的对数型函数，求函数的定义域和特殊的函数值，着重考查了基本初等函数的定义域、值域，以及集合的基本运算等知识，属于中档题．20．（13分）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度是5km/h，用t （单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离．（1）请将t表示为x的函数t（x）；（2）将船停在海岸处距点P多远时从小岛到城镇所花时间最短？最短时间是多少？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据总的时间t为驾船行驶的时间与步行到城镇的时间之和，分别表示出从小岛到Q点的时间为，从Q点到城镇所需的时间为，即可求得函数t（x），根据实际意义，求得定义域，从而得到答案；（2）利用导数法，即可求得结论．解答：解：（1）总的时间t为驾船行驶的时间与步行到城镇的时间之和，小岛到Q点的距离：，∴从小岛到Q点的时间为：，Q点到城镇的距离：12﹣x，∴从Q点到城镇所需的时间为：，∴t（x）=+，0≤x≤12；（2）t′=，令t′=0得x=1.5，当x∈（0，1.5）时，t′＜0，t（x）单调递减；当x∈（1.5，12）时，t′＞0，t（x）单调递增．故当x=1.5时，t（x）最小，且最短时间为h．点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于基础题．21．（13分）已知函数在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：（I）首先求出f（1）的值，进而得出b﹣a=﹣4，然后求出函数的导数，求出f'（﹣1）==﹣1，就可以求出a、b的值，得出函数的解析式；（II）将不等式整理得出（x2+1）lnx≥2x﹣2，问题转化成x2lnx+lnx﹣2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，然后设h（x）=x2lnx+lnx﹣2x+2，并求出h'（x），得出x≥1时h'（x）≥0，可知h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而求出h（x）的最小值，得出结果．解答：解：（Ⅰ）将x=﹣1代入切线方程得y=﹣2∴，化简得b﹣a=﹣4．…（2分）．…（4分）解得：a=2，b=﹣2∴．…（6分）（Ⅱ）由已知得在[1，+∞）上恒成立化简得（x2+1）lnx≥2x﹣2即x2lnx+lnx﹣2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．…（8分）设h（x）=x2lnx+lnx﹣2x+2，∵x≥1∴，即h'（x）≥0．…（10分）∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．…（12分）点评：本题考查了利用导数研究某点的切线方程以及函数恒成立问题，关于函数恒成立问题一般转化成求函数的最值问题，属于中档题．。
辽宁省大连市普兰店区高二数学上学期期中第二次阶段试题理201801030122
辽宁省大连市普兰店区高二数学上学期期中（第二次阶段）试题 理一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）1.在数列1、3、6、10、…的一个通项公式是 （ ）A. )1(2--=n n a nB. 12-=n a nC. 2)1(+=n n a nD. 2)1(-=n n a n 2.ABC ∆中，已知,30,2,30===B c a 则=b （ ）A. 1B. 2C. 3D. 43.已知数列{}n a 满足,121+=+n n a a 且首项11=a ，那么4a 的值是 （ ）A. 7B. 14C. 15D. 84.已知等差数列{}n a 中79416,12,a a a +==则=12a （ ）A. 1B.2C.3D.45.若变量y x ,满足条件y x z y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥220,1的，的取值范围是 （ ）A. []4,3B. []4,2C. []3,2D. []2,06.等比数列{}n a 中，2142=a a ，则=5231a a a （ ） A. 1 B. 21 C. 41 D. 81 7.如果0<<b a ，则下列不等式中成立的是 （ ） A.1a b< B.1<ab C.1>b a D.b a 11< 8. 已知锐角ABC ∆的面积为,3,4,33==CA BC 则角C 的大小为 （ ）A.︒30B.︒45C.︒60D.︒759.已知0>x ，函数xx y 4+=的最小值是 （ ） A.4- B.2 C.6 D.410.已知等差数列{}n a ，且12321=++a a a ，,18654=++a a a 则987a a a ++等于 （ ）A ．12-B ．6C ．0D ．2411.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别中是c b a ,,若ab c b a c b a =-+++))((，则角=C （ ）A.︒30B.︒150C.︒60D.︒12012.不等式08322<-+kx kx 对任何实数x 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A.(]0,3- B. ()0,3- C. []0,3- D.[)0,3-二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13.函数261x x y --=的定义域是___.14. 已知数列{}n a 的通项公式503-=n n a ，则前n 项和n s 的最小值 ___.15.不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，所表示的平面区域的面积等于___.16.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东015相距20里处，随后货轮按北偏西030的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东045，则货轮的速度___.三、解答题（本大题共6个小题，共48分 ）17. (8分)（1）在等差数列{}n a 中，已知,10,15,2-===n a n d 求n s a 及1.(2)在等比数列{}n a 中 ，54,241-==a a , 求n a 及其前n 项和n S .18. （8分）求下列不等式的解集(1)23100x x --≥ (2) 23540x x -+->19. (8分)在ABC ∆中，已知︒=∠==60,6,2B b a ，求A ∠、C ∠及c .20.(8分) 在ABC ∆中, 3,21,,120==>=∠∆︒ABC S a b c A , 求c b ,.21. (8分) 设函数,)(2b ax x x f +-=若不等式0)(<x f 的解集是{}32|<<x x ，求不等式012>+-ax bx 的解集.22.(8分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和n s 满足5,053-==s s（1）求{}n a 的通项公式；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12121n n a a 的前n 项和.数学答案一、选择题：1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 C A C D B CC CD D D A 二、填空题： 13. (-3,2) 14. -392 15.4316. 里时 三、解答题：17. 解: （1)11538,360a s =-=- (2)112(3),(1(3))2n n n n a s -=⋅-=--18.(1){}|25x x x ≤-≥或(2)∅19. 解：A=45度。
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2017-2018学年辽宁省大连市普兰店区高二数学上学期期中（第二次阶段）试题 文一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（） A ． y 2=﹣4x B ． x 2=4yC ． y 2=﹣4x 或x 2=4y D ． y 2=4x 或x 2=﹣4y2．（5分）命题“a，b 都是偶数，则a 与b 的和是偶数”的逆否命题是（） A ． a 与b 的和是偶数，则a ，b 都是偶数 B ． a 与b 的和不是偶数，则a ，b 都不是偶数 C ． a ，b 不都是偶数，则a 与b 的和不是偶数 D ． a 与b 的和不是偶数，则a ，b 不都是偶数3．（5分）椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为（）A ．+=1B ． +=1C ． +=1或+=1D ． +=1或+=14．（5分）已知两定点F 1（5，0），F 2（﹣5，0），曲线上的点P 到F 1、F 2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．5．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．6．（5分）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，则a的值是（）A．﹣3 B．1 C．0或D．1或﹣37．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，过点M（3，0）的最短弦所在的直线方程是（）A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y﹣6=0 D．2x+y﹣6=08．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为（）A．B．C．D．9．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，f（x）=x3﹣+x在（﹣1，2）上是“凸函数”．则f（c）在（﹣1，2）上（）A．既有极大值，也有极小值B．既有极大值，也有最小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．（5分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1=0的否定是．12．（5分）函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为．13．（5分）已知实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，则的取值范围是．14．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．15．（5分）设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB•k OM=．16．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．17．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q （x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．19．（12分）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．20．（13分）已知抛物线C：y2=2px，且点P（1，2）在抛物线上．（1）求p的值（2）直线l过焦点且与该抛物线交于A、B两点，若|AB|=10，求直线l的方程．21．（14分）已知函数f（x）=x3﹣3a2x+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）已知a＞0，若∀x∈，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．（14分）椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆过点．（1）求椭圆方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．x2=4yC．y2=﹣4x或x2=4y D．y2=4x或x2=﹣4y考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意，设抛物线的标准方程为x2=2py（p＞0）或y2=﹣2px（p＞0），将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程，求得p即可．解答：解：∵抛物线的顶点在原点，且过点（﹣4，4），∴设抛物线的标准方程为x2=2py（p＞0）或y2=﹣2px（p＞0），将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程x2=2py（p＞0）得：16=8p，∴p=2，∴此时抛物线的标准方程为x2=4y；将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程y2=﹣2px（p＞0），同理可得p=2，∴此时抛物线的标准方程为y2=﹣4x．综上可知，顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是x2=4y或y2=﹣4x．故选C．点评：本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题．2．（5分）命题“a，b都是偶数，则a与b的和是偶数”的逆否命题是（）A．a与b的和是偶数，则a，b都是偶数B．a与b的和不是偶数，则a，b都不是偶数C．a，b不都是偶数，则a与b的和不是偶数D．a与b的和不是偶数，则a，b不都是偶数考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：根据原命题和它的逆否命题的概念即可找出原命题的逆否命题．解答：解：原命题的逆否命题为：a与b的和不是偶数，则a，b不都是偶数．故选D．点评：考查原命题、逆否命题的概念，以及都是的否定是不都是．3．（5分）椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1或+=1D．+=1或+=1考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知条件求出a，b，再由焦点在x轴和焦点在y轴两种情况进行分类讨论，能求出椭圆的标准方程．解答：解：∵椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，∴，解得a=5，b2=25﹣16=9，∴当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为，当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为．故选：D．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．4．（5分）已知两定点F1（5，0），F2（﹣5，0），曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（）A．B．C．D．考点：双曲线的定义．专题：计算题．分析：利用双曲线的定义判断出动点的轨迹；利用双曲线中三参数的关系求出b，写出双曲线的方程．解答：解：据双曲线的定义知，P的轨迹是以F1（5，0），F2（﹣5，0）为焦点，以实轴长为6的双曲线．所以c=5，a=3b2=c2﹣a2=16，所以双曲线的方程为：故选A．点评：本题考查双曲线的定义：要注意定义中“差的绝对值”且“差的绝对值”要小于两定点间的距离．注意双曲线中三参数的关系．5．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．考点：椭圆的定义．专题：计算题．分析：进而根据焦点在y轴推断出4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，求得m的范围．解答：解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选D．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．6．（5分）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，则a的值是（）A．﹣3 B．1 C．0或D．1或﹣3考点：两条直线垂直的判定．专题：计算题．分析：利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a的值．解答：解：∵l1⊥l2∴a（1﹣a）+（a﹣1）×（2a+3）=0，即（a﹣1）（a+3）=0解得a=1或a=﹣3故选D．点评：本题考查两直线垂直的充要条件：l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0垂直⇔A1A2+B1B2=0，如果利用斜率必须分类型解答．7．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，过点M（3，0）的最短弦所在的直线方程是（）A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y﹣6=0 D．2x+y﹣6=0考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由题意可得点M（3，0）在圆的内部，故当直线和CM垂直时，弦长最短，求出最短的弦所在直线的斜率，用点斜式求得过点M（3，0）的最短弦所在的直线方程．解答：解：圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，即（x﹣4）2+（y﹣1）2 =7，表示以C（4，1）为圆心，半径等于的圆，显然点M（3，0）在圆的内部，故当直线和CM垂直时，弦长最短，故最短的弦所在直线的斜率为==﹣1，故过点M（3，0）的最短弦所在的直线方程是y﹣0=﹣（x﹣3），即x+y﹣3=0，故选：A．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于基础题．8．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为（）A．B．C．D．考点：函数的图象；导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象解答：解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增∴在区间（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0故选D．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题9．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．解答：解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．10．（5分）设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，f（x）=x3﹣+x在（﹣1，2）上是“凸函数”．则f（c）在（﹣1，2）上（）A．既有极大值，也有极小值B．既有极大值，也有最小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求出导数，根据函数恒成立，得出m的值，利用导数求出函数单调性，得出结果．解答：解：因f′（x）=x2﹣mx+1，f″（x）=x﹣m＜0对于x∈（﹣1，2）恒成立．∴m＞（x）max=2，又当m=2时也成立，有m≥2．而m≤2，∴m=2．于是f′（x）=x2﹣2x+1，由f′（x）=0，x=2﹣或x=2+（舍去），f（x）（﹣1，2﹣）上递增，在（2﹣，2）上递减，则f（x）有极大值，没有极小值．只有C正确．故选C点评：本题主要考查导数和函数知识及利用导数判断函数单调性、极值，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．（5分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1=0的否定是∀x∈R，x2﹣x+1≠0．考点：特称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x∈R，x2﹣x+1=0的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用．12．（5分）函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程．专题：计算题．分析：欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到直线方程，最后令即可求得在x轴上的截距．从而问题解决．解答：解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f'（x）=3x2+4，当x=1时，y'=7得切线的斜率为7，所以k=7；所以曲线在点（1，10）处的切线方程为：y﹣10=7×（x﹣1），令y=0得x=．故答案为：．点评：本小题主要考查直线的斜率、直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．13．（5分）已知实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，则的取值范围是．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：设过原点的圆的切线方程为y=kx，再根据圆心（2，0）到切线的距离等于半径，求得k的值，可得的取值范围．解答：解：由题意可得，=表示圆（x﹣2）2+y2=3上的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，设为k，故此圆的切线方程为y=kx，再根据圆心（2，0）到切线的距离等于半径，可得r==，平方得k2=3求得k=±，故的取值范围是，故答案为：．点评：本题主要考查圆的切线性质，直线的斜率公式，属于基础题．14．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．解答：解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．15．（5分）设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB•k OM=．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，k1=，k2=，∵+=1，+=1，∴+=0，∴+k1=0，∴+=0，∴k1k2=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查了椭圆的标准方程、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．16．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2．考点：点到直线的距离公式；抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．解答：解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=，则d1+d2=+a2+1=，当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故答案为2点评：此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．17．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q （x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是①③④．（写出所有正确命题的序号）考点：元素与集合关系的判断．专题：压轴题；阅读型．分析：先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．解答：解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形故①正确，②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|+|x ﹣1|+|y|=4}，故集合是面积为6的六边形，则③正确；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|=1}={（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|=1}，集合是两条平行线，故④正确；故答案为：①③④点评：本题主要考查了“折线距离”的定义，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．考点：其他不等式的解法；命题的真假判断与应用．分析：若“p或q”为真命题即为p真或q真，只要分别求出p真、q真时a的范围，再求并集即可．解答：解：由|2x﹣1|＜x+a得，由题意得．∴命题p：a=2．由4x≥4ax2+1的解集是∅，得4ax2﹣4x+1≤0无解，即对∀x∈R，4ax2﹣4x+1＞0恒成立，∴，得a＞1．∴命题q：a＞1．由“p或q”为真命题，得p、q中至少有一个真命题．∴实数a的值取值范围是（1，+∞）．点评：本题考查解绝对值不等式、二次不等式、复合命题的真假等知识，属常规题．19．（12分）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），分别代入直线l1 和l2的方程，求出m=﹣1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l的距离d，设圆的半径为R，则由，求得R的值，即可求出圆的方程．解答：解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），则，即，解得m=﹣1，n=2．即A（﹣1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为=，即：x+2y﹣3=0．（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，设圆的半径为R，则由，求得R2=5，故所求圆的方程为x2+y2=5．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．20．（13分）已知抛物线C：y2=2px，且点P（1，2）在抛物线上．（1）求p的值（2）直线l过焦点且与该抛物线交于A、B两点，若|AB|=10，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点P代入抛物线方程即可得出；（2）当直线l的斜率存在时，设l：y=k（x﹣1），代入抛物线方程得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．解答：解：（1）∵点P（1，2）在抛物线y2=2px上，∴4=2p，即p=2．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）若l⊥x轴，则|AB|=4，不适合．设l：y=k（x﹣1），代入抛物线方程得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，△=16k2+16＞0，∴．由，得，∴．∴直线l的方程为．点评：熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键．21．（14分）已知函数f（x）=x3﹣3a2x+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）已知a＞0，若∀x∈，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：（1）将a=1代入，求出函数的解析式，进而求出导函数的解析式，分析导函数的符号后，可得函数f（x）的单调区间；（2）若∀x∈，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．则∀x∈，恒有，构造函数，利用导数法求出其最小值，可得实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x3﹣3x+1f'（x）=3x2﹣3由f'（x）＞0得x＜﹣1或x＞1，由f'（x）＜0得﹣1＜x＜1故f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间是（﹣1，1）（2）由题∀x∈，恒有x3﹣3a2x+1≥0⇒∀x∈，恒有令，当x∈时，h'（x）＞0∴h（x）在上单调递增，∴h（x）min=h（1）=2故3a2≤2又a＞0∴点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导函数法求函数单调区间和最值的方法和步骤是解答的关键．22．（14分）椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆过点．（1）求椭圆方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）设出椭圆的方程，根据椭圆中三个参数的关系得到a，b的一个等式，再将椭圆过的点代入得到椭圆的另一个关于a，b的等式，解方程组，得到椭圆的方程．（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的方程，利用韦达定理得到交点坐标的关系，求出的值，利用向量垂直的充要条件求出∠MAN的大小．解答：解：（1）设椭圆的方程为∵焦点坐标为∴a2=3+b2①∵∴解得a2=4，b2=1；所以椭圆方程为（2）设直线MN的方程为：，联立直线MN和曲线C 的方程可得：得：，设M（x1，y1），N（x2，y2），A（﹣2，0），则，则即可得，．点评：求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于一个未知数的方程，利用韦达定理得到交点坐标的关系找突破口．21。