《数系的扩充和复数的概念》参考导学案

高二数学理科导学案
§3.1.1数系的扩充和复数的概念
教学目标：
1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i
2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部理解并掌握复数相等的有关概念
教学重点：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用
教学难点：
虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算
教具准备：多媒体、实物投影仪
教学设想：
生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.
教学过程：
学生探究过程：
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有
Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有
理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)
因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.
由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
讲解新课：
1.虚数单位i:
(1)它的平方等于-1，即21
i=-;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i!
3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1
4.复数的定义：形如(,)
+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复
a bi a
b R
数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)
=+∈，把复数表示成a+bi
z a bi a b R
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)
+∈，当且仅当b=0时，
a bi a
b R
复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复
这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数， 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
例1请说出复数i i i i 53,3
1,213,32---+
-+的实部和虚部，有没有纯虚数？ 答：
例2 复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？
答：
例3（课本例1）实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值.
解：
例4 已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .
解：
课堂练习：
1.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( )
A.A ∪B =C
B. S C A =B
C.A ∩S C B =∅
D.B ∪S C B =C
2.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )
A.x =－21
B.x =－2或－2
1 C.x ≠－
2 D.x ≠1且x ≠－2
3.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( )
A.－1
B.－1或4
C.6
D.6或－1
4.满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.
5.复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______.
6.设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值.
7.若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值.
8.已知m ∈R ，复数z =1
)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =
21+4i .
课后作业： 习题3.1
1.
2.
3.
教学小结：
这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数
师生反思：
复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数。