【腾讯企鹅辅导-高考】三角函数模型

2018年高三模拟试题专题汇编之三角函数模型的应用含解析一、选择题(本大题共16小题，共80.0分)1.中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱A经过最低点开始计时，则10分钟后A离地面的高度为（）A.43米B.78米C.118米D.121米2.某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f（t）．下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=A sinωt+b的图象．一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水程度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（）小时（忽略进出港所需的时间）．A.6B.12C.16D.183.如图，一个大风车的半径是8米，每12分钟旋转一周，最低点离地面2米，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h（米）与时间t（分钟）之间的函数关系是（）A.h=-8sin（t）+10B.h=-8cos（t）+10C.h=8cos（t）+10 D.h=-8cos（t）+104.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=A sin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A. B. C. D.5.如图，一个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转一周，它的最低点P0离地面2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的一个点P从P1开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A. B. C.D.6.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（，），当秒针从P0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A.y=sin（）B.C.y=sin（-）D.y=sin （-）7.如图，某大风车的半径为2m，每6s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m），则函数h=f（t）的关系式（）A.y=-2cos+2.5B.y=-2sin+2.5C.y=-2cos+2.5D.y=-2sin +2.58.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（）A.10mB.20mC.20mD.40m9.一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点P o离地面2m，风车翼片的一个端点P从P o开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（）A. B. C. D.10.已知f（x）=cosx•sin2x，下列命题错误的为（）A.y=f（x）为奇函数B.y=f（x）的图象关于x=对称C.y=f（x）的最大值为D.y=f（x）为周期函数11.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=A sin（ωx+φ）+2则（）A.ω=，A=5B.ω=，A=5C.ω=，A=3D.ω=，A=312.某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）=A sin （ωx+ϕ）+B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为（）A.（1≤x≤12，x∈N*）B.（1≤x ≤12，x∈N*）C.（1≤x≤12，x∈N*）D.（1≤x≤12，x∈N*）13.一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是（）海里．A.30（+）B.30（-）C.30（-）D.30（+）14.设动直线x=a与函数f（x）=2sin2（+x）和g（x）=cos2x 的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（）A. B. C.2 D.315.矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON 上，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠BAO的大小为（）A. B. C. D.16.如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为（）A.h=5.6+4.8sinθB.h=5.6+4.8cosθC.h=5.6+4.8cos（θ+）D.h=5.6+4.8sin（θ-）二、填空题(本大题共3小题，共15.0分)17.若cos（π+α）=-，π＜α＜2π，则sin（3π-α）等于______ ．18.如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移S（厘米）和时间t（秒）的函数关系是S=sin（2t+），则摆球往复摆动一次所需要的时间是______ 秒．19.图圆O的半2，l为外一条直线圆O到直线l的距离OA|=3，P0为圆周上点，∠AOP0=，点P从P0处始以2秒周的速点在圆周上按逆时方作匀速圆周运动．t秒钟后，P到直线l的离用t以表为______ ．三、解答题(本大题共22小题，共264.0分)20.在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为平方米，设∠BAC=θ．（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．21.如图，经过村庄A有两条夹角60°为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．记∠AMN=θ．（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？22.某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且≥，设∠EOF=θ，透光区域的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．23.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，连接OC，记∠COE=α，问：角α为何值时矩形ABCD面积最大，并求最大面积．24.一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图象P0点）开始计算时间，且点P距离水面的高度f（t）（米）与时间t（秒）满足函数：f（t）=A sin（ω+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）．（1）求函数f（t）的解析式；（2）点P第二次到达最高点要多长时间？25.如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．（Ⅰ）已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=A sin（ωt+φ）+h，求2018min时点P距离地面的高度；（Ⅱ）当离地面50+20m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？26.一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．（1）试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？（3）记f（t）=h，求证：不论t为何值，f（t）+f（t+1）+f（t+2）是定值．27.如图，某小区准备将一块闲置的直角三角形（其中∠B=，AB=a，BV=a）土地开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分（图中阴影部分）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A′MN），现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A′点落在边BC上，设∠AMN=θ．（1）若θ=，绿地“最美”，求最美绿地的面积；（2）为方便小区居民行走，设计时要求AN，A′N最短，求此时公共绿地走道MN的长度．28.如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽（从拐角处，即图中A，B处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．（1）在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；（2）若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．29.如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，缆车每60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为hm．（1）求h与θ之间的函数解析式；（2）设从OA开始转动，经过ts达到OB，求h与之间的函数解析式，并计算经过45s后缆车距离地面的高度．30.如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km．（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．31.已知某海滨浴场的海浪高度y（单位：米）与时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数关系记作y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，函数y=f（t）可近似地看成是函数y=A cosωt+b．（1）根据以上数据，求出函数y=A cosωt+b的最小正周期T及函数表达式（其中A＞0，ω＞0）；（2）根据规定，当海浪高度不低于0.75米时，才对冲浪爱好者开放，请根据以上结论，判断一天内从上午7时至晚上19时之间，该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放？32.某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分割线总长度为l．（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）求l的最小值．33.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别线段AC，AB上，线段DE分三角形ABC为面积相等的两部分，设AD=x，DE=y．（1）求y与x之间的函数关系式；（不要求写定义域）（2）求y的最小值，并求此时x的值．34.已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a x∈M；（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．35.某校内有一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCDB区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售．已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元．（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCDB的面积S弓=f （θ）；（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．（参考公式：扇形面积公式S=R2θ=R l，l表示扇形的弧长）36.为了废物利用，准备把半径为2，圆心角为的扇形铁片余料剪成如图所示的内接矩形ABCD．试用图中α表出内接矩形ABCD的面积S．37.某校园内有一块三角形绿地AEF（如图1），其中AE=20m，AF=10m，∠EAF=，绿地内种植有一呈扇形AMN的花卉景观，扇形AMN的两边分别落在AE和AF上，圆弧MN与EF相切于点P．（1）求扇形花卉景观的面积；（2）学校计划2017年年整治校园环境，为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形ABCD（如图2），其中∠BAD=，并种植两块面积相同的扇形花卉景观，两扇形的边都分别落在平行四边形ABCD的边上，圆弧都与BD相切，若扇形的半径为8m，求平行四边形ABCD绿地占地面积的最小值．38.如图，在半径为2，圆心角为的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP，其中M、N两点分別在半径OA、OB上，P、Q两点在弧上，且OM=ON，MN∥PQ．（1）若M、N分別是OA、OB中点，求四边形MNQP面积的最大值．（2）PQ=2，求四边形MNQP面积的最大值．39.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“工”字图形，“工”字图形由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横距形全等且成是竖矩形长的倍，设O为圆心，∠AOB=2α，“工”字图形的面积记为S．（1）将S表示为α的函数；（2）为了突出“工”字图形，设计时应使S尽可能大，则当α为何值时，S最大？40.如图所示，一个半径为10m的摩天轮，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针方向转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（∠POA=30°）时开始计时．（1）求此人相对于地面的高度h（m）关于时间t（s）的函数关系式；（2）在摩天轮转动一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m．41.图，A、B是单位圆O上的点C、D分是O与轴的两个点，△ABO为三角．若∠AO=x（0x＜），四边AD的周长为y，将y示成x的函数并求出y的大值．2018年高三模拟试题专题汇编之三角函数模型的应用含解析答案和解析【答案】1.D2.C3.D4.A5.D6.C7.C8.D9.B 10.C 11.D 12.D 13.A 14.D 15.D 16.D17.-18.π19.-；，t≥020.解：（1）∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，∴（）2=3×（）2，∴AB=AC，∵S △ABC==AC2sinθ=400，∴AC2=，∴AB2=，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB•AC cosθ=，∴BC=40．（2）设表演台的造价为y万元，则y=120，设f（θ）=（0＜θ＜π），则f′（θ）=，∴当0时，f′（θ）＜0，当时，f′（θ）＞0，∴f（θ）在（0，）上单调递减，在（，π）上单调递增，∴当θ=时，f（θ）取得最小值f（）=1，∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元．21.解：：（1）∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理得：==所以AN=，AM=（2）AP2=AM2+MP2-2AM•MP•cos∠AMP=sin2（θ+60°）+4-sin（θ+60°）cos（θ+60°）=[1-cos（2θ+120°）]-sin（2θ+120°）+4=[sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+=-sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用诱导公式可知sin（120°-θ）=sin（θ+60°））当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN=AM=2．故答案为：（1）AN=，AM=（2）AN=AM=2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．22.解：（1）过点O作OH⊥FG于H，∴∠OFH=∠EOF=θ；又OH=OF sinθ=sinθ，FH=OF cosθ=cosθ，∴S=4S△OFH+4S阴影OEF=2sinθcosθ+4×θ=sin2θ+2θ；∵≥，∴sinθ≥，∴θ∈[，）；∴S关于θ的函数关系式为S=sin2θ+2θ，θ∈[，）；（2）由S矩形=AD•AB=2×2sinθ=4sinθ，∴=+，设f（θ）=+，θ∈[，），则f′（θ）=-sinθ+===；∵≤θ＜，∴sin2θ≤，∴sin2θ-θ＜0，∴f′（θ）＜0，∴f（θ）在θ∈[，）上是单调减函数；∴当θ=时f（θ）取得最大值为+，此时AB=2sinθ=1（m）；∴S关于θ的函数为S=sin2θ+2θ，θ∈[，）；所求AB的长度为1m．23.解：设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N均为AD，BC的中点，在R t△ONC中，CN=sinα，ON=cosα．，∴即∴BC=2CN=2sinα故：====∵，∴故当，即时，S 矩形取得最大，此时．24.解：（1）依题意可知z的最大值为6，最小为-2，∴，，∴f（t）=4sin（φ）+2，当t=0时，f（t）=0，得sinφ=-，φ=-，故所求的函数关系式为f（t）=4sin（）+2，（2）令f（t）=4sin（）+2=6，）⇒sin（）=1，=得t=16，故点P第二次到达最高点大约需要16s．25.解：（Ⅰ）依题意，A=40，h=50，T=3，∴ω==；∴φ=-；∴f（t）=40sin（t-）+50（t≥0）；∴f（2018）=40sin（×2018-）+50=40sin+50=70，即第2018min时点P所在位置的高度为70m；（Ⅱ）由（1）知，f（t）=40sin（t-）+50=50-40cos（t）（t≥0）；依题意：f（t）＞50+20，∴-40cos（t）＞20，∴cos（t）＜-，解得2kπ+＜t＜2kπ+，k∈N，即3k+＜t＜3k+，k∈N；∵（3k+）-（3k+）=，∴转一圈中有0.5min时间可以看到公园全貌．26.解：（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设h=A sin（ωt+ϕ）+k，（-＜ϕ＜0），则A=2，k=1，∵T=3=，∴ω=∴h=2sin（t+ϕ）+1，∴0=2sinϕ+1，∴sinϕ=-，∵-＜ϕ＜0，∴ϕ=-，∴h=2sin（t-）+1（2）令2sin（t-）+1=3，得sin（t-）=1，∴t-=，∴t=1，∴点P第一次到达最高点大约要1s的时间；（3）由（1）知：f（t）=2sin（t-）+1=sin t-cos t+1，f（t+1）=2sin（t+）+1=2cos t+1，f（t+2）=2sin（t+）+1=-sin t-cos t+1，∴f（t）+f（t+1）+f（t+2）=3（为定值）．27.解：由∠B=，AB=a，BV=a，得∠BAC=…（1分）设MA=MA′=xa（0＜x＜1），则MB=a-xa，所以在R t△MBA′中，cos（π-2θ）==…（3分）（1）因为θ=，所以cos（π-2θ）==，所以x=，又∠BAC=，所以△AMN为等边三角形，所以绿地的面积S=2××a×a×sin=…（5分）（2）因为cos（π-2θ）═-cos2θ=2sin2θ-1=，所以x=，则AM=…（7分）又∠BAC=，所以在△AMN中，∠ANM=，故，所以AN=×==…（11分）又，所以，所以当，即θ=时，AN最短，且AN=，此时公共绿地走道MN=…（12分）28.解：（1）由题意，，，所以l=PA+QA，即（）．…（4分）（2）设，．由，…（6分）令f'（θ）=0，得．…（8分）且当θ∈（0，θ0），f'（θ）＜0；当，f'（θ）＞0，所以，f（θ）在（0，θ0）上单调递减；在上单调递增，所以，当θ=θ0时，f（θ）取得极小值，即为最小值．…（10分）当时，，，所以f（θ）的最小值为，…（12分）即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m．因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．…（14分）29.解：（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以O x为始边，OB为终边的角为θ-，故点B的坐标为（4.8cos（θ-），4.8sin（θ-）），∴h=5.6+4.8sin（θ-）=5.6-4.8cosθ．（2）点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，∴h=5.6-4.8cos t，t∈[0，+∞）．当t=45s．h=5.6．30.解：（1）设CE=x，CF=y（0＜x≤1，0＜y≤1），则tanα=1-x，tanβ=1-y，由已知得：x+y+，即2（x+y）-xy=2…（4分）∴tan（α+β）===1∵0＜α+β，∴α+β=；…（8分）（2）由（1）知，S△EAF==AE×AF====…（12分）∵，∴2α=，即α=时，△EAF的面积最小，最小面积为-1．∵tan=，∴tan=-1，故此时BE=DF=-1．所以，当BE=DF=-1时，△EAF的面积最小．…（15分）31.解：（1）由表格给出的数据知：T=12-0=12；ω===A==；b==1∴函数y=A cosωt+b的最小正周期及函数表达式分别是：…（4分）（2）y≥0.75∴∴…（6分）∴即 12k-4≤t≤12k+4k∈Z…（8分）由7≤t≤19，得8≤t≤16．答：该浴场有8小时可向冲浪爱好者开放．…（10分）32.解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，∴△BMN≌△EMN，∴∠BNM=∠MNE，∵∠AME=2θ，∴∠BNM=∠MNE=θ，设MN=x，在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，∴△EAM中，AM=EM cos2θ=xsinθcos2θ，∵AM+BM=a，∴xsinθcos2θ+xsinθ=a，∴x=，∴l=EM+MN=，θ∈（0，）；（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），∴f（θ）≤，当且仅当θ=时，取得最大值，此时l min=2a．33.解：（1）设AD=x，DE=y，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，过D作DF⊥AB于F，如图所示；则sin A===，∴DF=x，AF=x；又线段DE分三角形ABC为面积相等的两部分，∴AE•DF=•×3×4，∴AE===，∴EF=AE-AF=-x；又DE2=DF2+EF2，∴y2=+=x2+-16，∴y=，其中0≤x≤4；（2）∵y2=x2+-16，其中0≤x≤4，且x2+≥2=20，当且仅当x=时取“=”，∴y的最小值为=2，此时x=．34.解：（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，T f（x）=T x．因为对任意x∈R，x+T=T x不能恒成立，所以f（x）=x∉M；（2）因为函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得a x=x，显然x=0不是方程a x=x的解，所以存在非零常数T，使a T=T．于是对于f（x）=a x有f（x+T）=a x+T=a T•a x=T•a x=T f（x）故f（x）=a x∈M；（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M．当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T f（x）成立，即sin（kx+k T）=T sinkx．因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+k T∈R，于是sinkx∈[-1，1]，sin（kx+k T）∈[-1，1]，故要使sin（kx+k T）=T sinkx．成立，只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，则k=2mπ，m∈Z．当T=-1时，sin（kx-k）=-sinkx成立，即sin（kx-k+π）=sinkx成立，则-k+π=2mπ，m∈Z，即k=-（2m-1）π，m∈Z．综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}．35.解：（1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，S弓=f（θ）=．（2）设总利润为y元，种植草皮利润为y1元，种植花卉利润为y2，种植学校观赏植物成本为y3，y1=30（πR2-R2θ），y2=R2sinθ•80，y3=R2（θ-sinθ）•20，∴y=y1+y2-y3=30（πR2-R2θ）+R2sinθ•80-R2（θ-sinθ）•20 =5R2[3π-（5θ-10sinθ）]，设g（θ）=5θ-10sinθθ∈（0，π）．∴g′（θ）=5-10cosθ∴g′（θ）＜0，cosθ＞，g（θ）在θ∈（0，）上为减函数；g′（θ）＞0，cosθ＜，g（θ）在θ∈（，π）上为增函数；当θ=时，g（θ）取到最小值，此时总利润最大：y=5R2[3π-（5θ-10sinθ）]=5R2（+5）．答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值5R2（+5）．36.解：如图，在R t△OBC中，OB=2cosα，BC=2sinα，在R t△OAD中，OA=DA=sinα．所以AB=OB-OA=2cosα-sinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（2cosα-sinα）•2sin α=4sinαcosα-sin2α=2sin2α+cos2α-=（sin2α+cos2α）-=sin（2α+）-（0＜α＜）．37.解：（1）△AEF中，由余弦定理可得EF==10 m．设扇形花卉景观的半径为r，则由EF•r=AE•AF•sin∠EAF，得到r==m，∴扇形花卉景观的面积S==；（2）设AB=xm，AD=ym，则BD=m，由平行四边形ABCD的面积得8=xy，∵≥=，∴xy≥8，即xy≥256，当且仅当x=y=16时，xy的最小值为256，∴平行四边形ABCD的面积的最小值为128．38.解：（1）连接OP，OQ，则四边形MNQP为梯形．设∠AOP=∠BOQ=θ∈（0，），则∠POQ=-2θ，且此时OM=ON=1，四边形MNQP面积S=sinθ+sinθ+×2sin（-2θ）-=-4sin2θ+2sinθ+，∴sinθ=，S取最大值；（2）设OM=ON=x∈（0，2），由PQ=2可知∠POQ=，∠AOQ=∠BOP=，∴sin=，∴四边形MNQP面积S=x+x+-x2=-x2+ x+，∴x=，S取最大值为．39.解：（1）连接CD，取AB的中点M，连接OM，交CD于N，由∠AOB=2α，可得∠BOM=α，α∈（0，），且BM=R sinα，OM=R cosα，由题意可得ON=BM=R sinα，BC=MN=OM-ON=R（cosα-sinα），由BC＞0，可得α∈（0，），则S=2AB•BC+AB•BC=（4+）R2（sinαcosα-sin2α），（α∈（0，））；（2）S=（4+）R2（sinαcosα-sin2α）=（4+）R2（sin2α+cos2α-）=（4+）R2（sin2α+cos2α）-（4+）R2=（4+）R2sin（2α+）-（4+）R2由α∈（0，），可得＜2α+＜，即有2α+=，即α=时，S取得最大值R2．40.解：（1）根据题意，在t时，摩天轮上某人所转过的角为t= t，故在t时，此人相对于地面的高度为（t≥0）；…（6分）（2）由≥17，得≥，则5≤t≤15；故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m．…（12分）41.解：∵△O为正三角形，=∵点A的标为，∴∠BOA6°，由余定理可知C==2sn，D==2sn（-），∴cos∠BOC=cos（∠AOC0°）=c∠AOC cos60°-s AO in6°=．AB=OB=，CD=，∴∴tn∠AC=，∴x=时，ax=5．【解析】1. 解：作CD⊥OB于D，如图所示∵∠CO b=10×=120°，OC=78，∴∠OCD=30°，∴OD=OC=39，∴摩天轮进行10分钟后离地面的高度为：160-39=121（米）．故选：D．10分钟后可算出所转的角度，根据半径的长以及构造的直角三角形，可求出答案．本题考查了解直角三角形的应用、生活中的旋转现象，属于基础题．2. 解：由已知数据，易知函数y=f（t）的周期T=12，则ω=．再由，得振幅A=3，b=10，∴y=3sin t+10（0≤t≤24），由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米）∴3sin t+10≥11.5，∴sin t≥，解得，2kπ+≤t≤2kπ+（k∈Z），所以12k+1≤t ≤12k+5（k∈Z），在同一天内，取k=0或1，∴1≤t≤5或13≤t≤17，∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时．故选C．通过读取图表，可以看出函数y=f（t）的周期，根据水的最大深度和最小深度联立方程组求出A和b，则函数y=f（t）的近似表达式可求，由题意得到该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米），由y≥11.5解出一天内水深大于等于11.5的时间段，则船从最早满足水深到达11.5的时刻入港，从最晚满足水深是11.5的时刻出港是安全的．本题考查了由部分图象确定函数y=A sin（ωx+φ）的解析式，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属中档题．3. 解：由题意，T=12，∴ω=，设h（t）=A cos（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），则，∴A=8，B=10，可得：h（t）=8cos（t+φ）+10，∵P的初始位置在最低点，t=0时，有：h（t）=2，即：8cosφ+10=2，解得：φ=2kπ+π，k∈Z，∴φ=π，∴h与t的函数关系为：h（t）=8cos（t+π）+10=-8cos t+10，（t≥0），故选D．由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=A cos（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，从而得解．本题考查通过实际问题得到三角函数的性质，由性质求三角函数的解析式；考查y=A sin（ωx+φ）中参数的物理意义，注意三角函数的模型的应用，属于中档题．4. 解：依题意，，解得，又T=，∴ω=．又f（3）=15，∴3sin（+φ）+12=15，∴sin（+φ）=1．∴φ=0，∴y=f（t）=3sin t+12．故选：A．高潮时水深为A+K，低潮时水深为-A+K，联立方程组求得A和K 的值，再由相邻两次高潮发生的时间相距12h，可知周期为12，由此求得ω值，再结合t=3时涨潮到一次高潮，把点（3，15）代入y=A sin （ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求．本题是应用题，考查y=A sin（ωx+φ）+K型函数的图象和性质，关键是对题意的理解，是中档题．5. 解：由选项设y=-A cos（ωx+φ）+k．摩天轮12分钟旋转一周，则函数的周期T=12，即=12，则ω=，排除A，B最小值2，最大值为36+2=38，即A+k=38，-A+k=2，得k=20，A=18，即y=-18cos（x+φ）+20，当∠P0OP1=15°，对应的时间x==，函数取得最小值2，即-18cos（×+φ）+20=2，cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，则φ=2kπ-，k∈Z，则当k=0时，φ=-，即y=-18cos（x-）+20=-18cos（x-）+20，故选：D根据选择项设出函数的解析式，利用待定系数法结合三角函数的图象和性质求出A，ω和φ的值即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，利用待定系数，结合三角形的性质求出A，ω和φ和k的值是解决本题的关键．6. 解：由题意，函数的周期为T=60，∴ω=设函数解析式为y=sin（-t+φ）（因为秒针是顺时针走动）∵初始位置为P0（，），∴t=0时，y=∴sinφ=∴φ可取∴函数解析式为y=sin（-t+）故选C．先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而可求函数的解析式．本题考查三角函数解析式的确定，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定函数的周期，正确运用初始点的位置．7. 解：设h=f（t）=A sinωt+k或A cosωt+k，∵大风车每6s旋转一周，∴周期T=6，即T=，解得ω==，排除A，B．则f（t）=A sin t+k或A cos t+k，∵大风车的半径为2m，它的最低点O离地面0.5 m，∴函数的最小值为0.5，最大值为4.5，则A+k=4.5，-A+k=0.5，解得A=2，k=2.5，当t=0时，f（0）=0.5为最小值，若y=-2cos+2.5，则当t=0时，y=-2cos0+2.5=2.5-2=0.5满足条件．若y=-2sin+2.5，则当t=0时，y=-2sin0+2.5=2.5-0=2.5不满足条件．排除D，故选：C根据实际问题建立三角函数模型，求出函数的周期和最值分别进行判断即可．本题主要考查三角函数解析式的确定，根据条件分别求出三角形的周期和最值是解决本题的关键．8. 解：由题可设AB=x，则，在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC•CD•cos∠DCB即：（）2=（40）2+x2-2×40•x•cos120°整理得：x2-20x-800=0解得x=40或x=-20（舍）所以，所求塔高为40米．故选D．设出AB=x，进而根据题意可表示出BD，DC，进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x．本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．9. 解：设h（t）=A cosωt+B，∵12min旋转一周，∴=12，∴ω=．由于最大值与最小值分别为18，2．∴，解得A=-8，B=10．∴h（t）=-8cos t+10．故选：B．由题意可设h（t）=A cosωt+B，根据周期性=12，与最大值与最小值分别为18，2．即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. 解：对于A，f（x）=cosxsin2x，因为f（-x）=cosxsin（-2x）=-cosxsin2x=-f（x）．函数是奇函数，所以A正确；对于B，由于（x，y）关于x=对称点为（π-x，y），因为f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），函数关于x=对称，所以B正确．对于D，因为y=cosx的周期是2π，sin2x的周期是π，所以y=f（x）为周期函数，所以D正确；显然C不正确．故选：C．利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，求出函数的周期，判断周期性，对称性以及函数的最值即可．本题考查三角函数的基本性质的应用，命题的真假的判断，考查分析问题解决问题的能力．11. 解：已知水轮每分钟旋转4圈∴ω=又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，∴最高点为5，即A=3，故选D．根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T=求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅．12. 解：∵3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，∴当x=3时，函数有最大值为9；当x=7时，函数有最小值5∴，∴A=2，B=7∵函数的周期T=2（7-3）=8，∴由T=，得ω==，∵当x=3时，函数有最大值，∴3ω+φ=+2kπ，即φ=-+2kπ，∵|φ|＜，取k=0，得φ=-∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（x-）+7（1≤x≤12，x∈N*）故选D．根据3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，可求A，B的值，根据周期可得ω的值，利用最值点，可求φ的值，从而可得函数的解析式．本题考查由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数学应用能力，属于中档题．13. 解：由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里．由正弦定理可得AC==30（+）海里．故选：A．由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里，由正弦定理可得AC．本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．14. 解：，=．故选D利用二倍角公式先化简f（x），将|MN|表示成a的三角函数，利用公式化简|MN|，利用三角函数的有界性求出最大值．本题考查三角函数的二倍角公式、诱导公式、公式、三角函数的有界性．15. 解：如图所示，建立直角坐标系．设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.．B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．∴|OC|2=sin2θ+（cosθ+2sinθ）2=1+4sinθcosθ+4sin2θ=1+2sin2θ+2（1-cos2θ）=+3，∵，∴∈．∴当2=，即时，|OC|2取得最大值，+3．故选：D．如图所示，建立直角坐标系．设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.．可得B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．|OC|2=sin2θ+（cosθ+2sinθ）2=+3，由于，可得∈．即可得出．本题考查了两点之间的距离公式、点的坐标、两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16. 解：过点O作平行于地面的直线l，再过点B作l的垂线，垂足为P，则∠BOP=θ-，根据三角函数的定义得：BP=OB sin（θ-）=4.8sin（θ-）h=4.8+0.8+BP=5.6+4.8sin（θ-）故选：D本题需要过点O作平行与地面的直线l，过点B作l的垂线，根据三角函数来求解．本题考查了在实际问题中建立三角函数模型的能力．17. 解：∵cos（π+α）=-，π＜α＜2π，∴α=，∴sin（3π-α）=sin（3π-）=sin=-，故答案为-．先求出α=，再求sin（3π-α）．本题考查三角函数值的计算，考查特殊角的三角函数，考查学生的计算能力，比较基础．18. 解：摆球往复摆动一次所需要的时间即为函数S=sin（2t+）的最小正周期．根据正弦函数的性质得出T==π．故答案为：π．利用函数y=A sin（ωx+φ）中参数的物理意义可知摆球来回摆动一次所需的时间为一个周期T．本题考查了函数y=A sin（ωx+φ）中参数的物理意义，体现了数学在物理中的应用，是个基础题．19. 解：钟后，点P从P0处开始点在周按逆时针方向匀速圆周运动，旋转了周，此时与P0于原点对称，从而点P的坐标为；题意，周期为，则t秒钟后旋角为t，则此时点P的横坐为所以点P到直线l的距为，≥0．故案为；，t0．1秒钟后P从处开绕点O圆周按时针方向匀速圆运动，旋转了半，此时点P与P0关于原对称；由题意，周2，则秒钟后，旋转角πt，故可求点P的横坐标，求点P到直线的距离．本题考查已知三角函数模型的应用问题，键是搞旋转理三函数定义．。