2015-2016学年人教版九年级数学上册21.2.1 解一元二次方程(配方法)
人教版九年级上册数学 21.2.1 解一元二次方程-配方法 (1) 教案
第 21.2 讲---配方法初中数学年级九年级重难点1、会用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。
2、经历探索配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想。
3、理解配方法，会用配方法解二次项系数为 1 的简单一元二次 方程。
【知识储备】请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成 x2=p 或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=± p 或 mx+n=± p （p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把 4x2+16x=-7 化成（2x+4）2=9 吗?像上面的式子，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例 1．用配方法解下列关于 x 的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x- 1 =0 2分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方 式；（2）同上．1:配方法届一元二次方程的一般步骤： (1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为 1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x=-p±√q；如果 q＜0,方程无实根．一般地，对于方程 x2=p （1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程 x2=p 有两个不等的实数根x1=- p , x2=- p ； （2）当 p=0 时，方程 x2=p 有两个相等的实数根 x1= x2=0； （3）当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程 x2=p 无实数根. 【典例精析】 1、 解下列关于 x 的一元二次方程.22.设α和β是方程（x+2）2=9 的两个根，求的值.3．如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B•两点出 发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为 Rt △ACB 面积的一半．3A PCQBww w.cz sx.co 分析：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已 知列出等式．解：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半．根据题意，得： 1 （8-x）（6-x）= 1 × 1 ×8×6222整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25 即 x1=12，x2=2x1=12，x2=2 都是原方程的根，但 x1=12 不合题意，舍去．所以 2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半．【课后作业】1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ）A. x2-3=0 B. (x-1)2-4=0 C. x2+2x =0 D.(x-1)2=(2x+1)22.下列说法中正确的是（ ）A．方程 x2=4 两边开平方，得原方程的解为 x=2B．x=3 是方程 x2=9 的根，所以方程的根是 x=3C．方程 x2-25=0 的根是 x=±54D．方程 x2-32x+64=0 有两个相等的根3.若（x+1）2-1=0,则 x 的值等于.4.若（a2+b2-3）2=25,则 a2+b2=___________.5．解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=06、扩展题 （1）已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则求 x+y+z 的值（2）求证：无论 x、y 取任何实数，多项式 x2+y2-2x-4y+16 的值总是正数5。
人教版九年级数学上册21.2.1解一元二次方程(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
21.2.1解一元二次方程（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：本节为一元二次方程解法的起始课。
一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。
首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次，求解二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比”等重要的数学思想方法。
因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
2、教学目标：①了解形如x2=a (a≥0)和（mx+n）2=p(p≥0)的一元二次方程的解法——直接开平方法；
②会用直接开平方法解一元二次方程；
③了解转化、降次思想在解方程中的运用。
3、教学重、难点
教学重点：①解形如x2=a和（mx+n）2=p(p≥0)的方程；
②通过本节课的学习体会换元和转化思想。
教学难点：①解形如（mx+n）2=p(p≥0)的方程。
突破重难点的方法：直接开平方法适用一元二次方程类型的探究，通过根据平方根的意义解形如x2=a (a≥0)，知识迁移到根据平方根的意义解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程，做好合适的铺垫，引导学生发现运用直接开平方法解一元二次方程的求解途径，引导学生运用换元、转化思想探求一元二次方程如何用直接开平方法来解，提高探究能力。
二、教学准备：多媒体课件、导学案、
三、教学过程。
21.2.1 解一元二次方程---配方法 课时练习(2课时、无答案)人教版数学九年级上册
-2，原式有最大值，是-2.
完成下列问题：
(1)求代数式 2²−4 + 1的最小值.
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，用长为 100 米的木栅栏围成一个长方形花圃(如
图)，设花圃中垂直于围墙的一边的长度为 x 米，完成下列任务.
(
3 2
(
3 2
1
2
4
. −
. −
)
2
+
)−
1
(
(
. +
1
2
4
)−
. +
4
3 2Biblioteka 3 2)2
+
)
1
4
2.用配方法解方程 ²−6 + 5 = 0,配方后所得的方程是
.( + 3)² = −4
.(−3)² = −4
.( + 3)² = 4
.(−3)² = 4
(
)
3.用配方法解一元二次方程 ² + 2 = 3时，将其化为( ( + )² = 的形式，则.m,n 的值分别
(1)(4 + 1)2−
16
9
= 0.
(2)4(2−1)²−25( + 1)² = 0.
.
)
能力提升全练
1
8.用直接开平方法解一元二次方程 (−1)2 = 9,步骤如下：
4
①(x-1)²=36;②x-1=±6;③x=±7;④即.x₁=7，x₂=-7.其中开始出错的步骤是
A.①
B.②
C.③
(
x²+2x=
人教版九年级数学上册用配方法解一元二次方程
21.2.1用配方法解一元二
次方程
(3) x2＋5x＋ ＝（x＋ ）2； 解：移项，得 2x2-3x＝－1.
学习目标
Ｃ（ｘ－８）２＝１６ Ｃ（ｘ＋８）２＝５７
3、理解配方法的关键、基本思想和步骤；
Ａ（ｘ－４）２＝９ Ｂ（ｘ＋４）２＝９
对于二次项系数不为1的一元二次方程，
像上面那样，把方程左边变成一个含有未知数的
(3)x2+4x-9=2x-11
(4)x(x+4)=8x+12
（5）求解
（6）定根
解下列方程
x2 10x 9 0 3x2 6x 4 0 x2 4x 9 2x 11
归纳:
像上面那样，把方程左边变成一 个含有未知数的 完全平方 式，右边 是一个 非负 数,再用直接开平方法 来解一元二次方程的方法叫做配 方法. 配方是为了 降次 ，把一个一 元二次方程转化成两个一元一次方程来 解.
例1 解下列方程：
（1） x2－8x+1＝0；
解：移项，得：x2－8x＝__-_1_.
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. (1)移项，使方程左边为_________项、_______项，右边为_____项:(一移)
用配方法求解时首先要怎样做 ？ =(a-b) 2
_______________
用配方法解方程 X2 + 8X + 7 = 0方程可化为（ ）
首先要把二次项系数化为1 Ａ（ｘ－４）２＝９
配方，得
x2－8x＋__4__2 _ ＝-1＋__4_2__，
（____X_-_4___）2＝__1_5____.
∴ x－4＝____1_5___.
即x－4＝__1__5__ 或 x－4＝_____1_5__.
人教版九年级数学上册21.2.1《用配方法推导一元二次方程的求根公式》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.学生能够理解配方法的含义，并能够运用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式。
2.学生能够掌握一元二次方程的求根公式，并能够熟练运用求根公式求解一元二次方程。
3.学生能够理解一元二次方程求根公式的推导过程，并能够运用求根公式进行相关计算。
（二）过程与方法
1.学生通过自主探究、合作交流的方式，经历一元二次方程求根公式的发现和推导过程。
2.学生通过总结归纳，形成对一元二次方程求根公式的系统认识和理解。
（五）作业小结
1.教师布置相关的作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
2.学生在完成作业的过程中，总结自己在学习中的优点和不足，明确改进方向。
3.教师对学生的作业进行评价和反馈，肯定学生的努力和进步，指出存在的问题，鼓励学生继续努力。
3.教师通过讲解一元二次方程求根公式的应用，让学生学会如何运用求根公式解一元二次方程。
（三）学生小组讨论
1.教师布置一道有一定难度的题目，让学生分组进行讨论和解答。
2.学生在小组内分享自己的思路和解题方法，互相学习和借鉴。
3.各小组向全班展示自己的解题过程和成果，互相评价和交流。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结一元二次方程求根公式的推导过程和应用方法，帮助学生巩固所学知识。
2.学生在教师的引导下，运用逻辑推理、数学思维等方法，总结一元二次方程求根公式的推导规律。
3.学生通过巩固练习，内化新知，形成运用求根公式解一元二次方程的方法和技巧。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够积极参与课堂活动，主动探究新知，培养良好的学习习惯和团队合作精神。
2.学生在克服困难、解决问题的过程中，增强自信心，培养坚持不懈、勇于探索的品质。
21.2.1 解一元二次方程-配方法
x1 a ,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2、把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方 法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
思维拓展
2 1、把方程x -3x+p=0配方得到
(x+m)2=
1 2
(1)求常数p，m的值；
(2)求方程的解。
2、若: x y 4 x 6 y 13 0,
2 2
则x _____ -8
y
理论迁移
1、将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式 为 (x+3)2-7 。 2、比较大小：
6x ≤ x2+9．（填“＞”、“＜”、“≥”、 3、若代数式2x2-6x+b可化为2(x-a)2-1，则 a+b的值是 5 。
课堂小结
1、一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方
根的定义，可解得
例题精讲
例1 用配方法解下列方程：
(1) x2 - 8x ＋1 =0
(2) 2x2 +1=3x (3) 3x2-6x+4=0
教材P42
2、 3
归纳总结
解一元二次方程的基本思路：
二次方程
降次
一次方程
把原方程变为(mx+n)2＝P的形式(其中m、 n、P是常数）。
当P≥0时，两边同时开平方，这样原方 程就转化为两个一元一次方程。 当P<0时，原方程的解又如何？
ห้องสมุดไป่ตู้
把一元二次方程的左边配成一个完全 平方式,然后用直接开平方法求解,这种 解一元二次方程的方法叫做配方法.
九年级上册21.2.1用配方法解一元二次方程 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
难点教学方法
首先引导学生回顾以前学过的知识，比如：完全平方公式，直接开平方法来解一元二次方程等等知 识，然后导入学生新课，先给学生看几个有关完全平方公式的填空题，让学生知道常数是等于一次项 系数一半的平方，学生学会配成完全平方公式的形式以后，给一道有关一元二次方程的实际问题，列 出一元二次方程以后，把方程用配方法解出来，让学生体会到这种方法的实用性。最后加一道课堂练 习题，让学生巩固用配方法解一元二次方程的过程。
教学环节
教学过程
回顾知识：
导入
完全平方公式：
a2 2ab b2 (ab)2; a2 2ab b2 (ab)2.
1.填上适当的数或式,使下列各等式成立。
知识讲解 （难点突破）
让学生体会到等式的左边所填常数等于一次项系数一半的平方。
2.实际问题： 要使一块矩形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16m2， 场地的长和宽应各 是多少？ （1）解：设场地宽为 X 米，则长为（x+6） 米，根据题意得:
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
教师姓名 学科
课题名称 难点名称
依代吐拉·艾乃吐 拉
数学
单位名称 年级/册
新疆托克逊县第一 中学
九年级上册
填写时间 教材版本
用配方法解一元二次方程
方程的左边配成完全平方公式的形式
ห้องสมุดไป่ตู้
2020.8.28 人教版
难点分析
从知识角度分析为 什么难
因为这个难点有关以前的很多知识点，比如：完全平方公式，等式的性质，乘 方，所以学生一般形式的一元二次方程配成完全平方公式的过程理解起来有一 定的难度，而且这个过程需要老师高水平的语言表达能力。
整理 x 2 6 x 1 6 0得：
人教版数学九年级上册21.2解一元二次方程(教案)
此外，我也会反思自己的教学方法，看看是否有更直观、更生动的方式来讲解这些概念，使它们更容易被学生接受。我可能会引入更多的教学工具，如图形、实物模型等，来帮助学生们直观理解一元二次方程的解法。
-能够灵活运用各种解法求解一元二次方程，并理解解的几何意义。
-解决实际问题中涉及的一元二次方程，体会数学在生活中的应用。
举例：重点讲解配方法中的“完全平方公式”，并让学生通过练习熟练掌握其运用。
2.教学难点
-理解并掌握配方法中“移项”和“配方”的步骤，特别是在“配方”过程中常数项的处理。
-对公式法中求根公式的理解和记忆，以及正确运用求根公式求解一元二次方程。
c.让学生通过反复练习，掌握配方过程中关键步骤，并能独立完成类似题目。
对于公式法的难点，可通过以下方式帮助学生理解：
a.解释求根公式的来源和推导过程，增强学生的理解。
b.通过对比不同类型的一元二次方程，让学生体会求根公式的普适性。
c.通过典型例题，展示求根公式在实际应用中的正确使用方法。
对于分解因式法的难点，可以采取以下策略：
b.通过实例演示，如何将实际问题转化为数学方程。
c.让学生通过小组讨论和实际操作，学会将实际问题数学化，培养建模能力。
c”的指令，继续完成示范课的一元二次方程的四种解法，并能熟练运用。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，提高他们解决问题的自信心。
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常数项放在方程的右边；
(2)配方：方程两边同时加上_______________________ ，使 一次项系数的一半的平方 左边配成一个完全平方式，写成________________ 的形式； (mx＋n)2＝p
≥ (3)若p________0 ，则可直接开平方求出方程的解；若
p_______0 ，则方程无解． ＜
3 2 9 3 x (4) x -___+ =(x-___) 2 4 2．解方程: x2+6x+7=0
2
x1 3 2
x2 3 2
21.2
解一元二次方程
1.解方程的方法你知道是什么了吗？它里面蕴含 着非常重要的数学思想，你知道是什么了吗？ 配方 降次
2.那你知道用这种方法解方程时最关键的一步是 什么了吗？你能说说你发现了什么没有？
解一次方程
x1 3 5 ， x2 3 5
22+8x-3=0 解：两边除以3，得：
分析：配方法解一元二次方程 的一般步骤： （1）把二次项的系数化为1； （2）把常数项移到等号的右 边； （3）等式两边同时加上一次 项系数一半的平方． （4）用直接开平方法解这个 方程.
(1)小静的解法是从步骤______ ⑤ 开始出现错误的；
(2)用配方法解第n个方程x2+2nx-8n2=0.(用含n的
式子表示方程的根) 解：(2)x2+2nx-8n2=0，x2+2nx=8n2， x2+2nx+n2=8n2+n2，(x+n)2=9n2， x+n=±3n， x=-n±3n， ∴x1=-4n，x2=2n.
9 2 3 m _____m＋ 4
3 2. ＝(m_____) 2
21.2
解一元二次方程
1．完成下列配方过程. 16 4 2 (1) x 2 +8x+____=(x+___)
1 1 2 -x+___=(x-___) 4 2
(2) x
2
(3) x 2 +____+4=(x+___) 2 2 4 x
21.2
解一元二次方程
3.(葫芦岛中考)有n个方程：x2+2x-8=0； x2+2×2x-8×22=0；……；x2+2nx-8n2=0. 小静同学解第1个方程x2+2x-8=0的步骤为：“① x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③(x+1)2=9；④
x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=-2.”
21.2
解一元二次方程
x2 x2
x2
8 x 1 0 3 8 x1 3
8 4 4 x ( )2 1 ( )2 3 3 3
移项，得： 配方，得： 即：
4 5 x 3 3
开方，得： x1 1 , x2 3
3
21.2
解一元二次方程
【例3】 当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1 取得最小值，并求出最小值． 解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4 =（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4， 又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0， ∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4． ∴当x=﹣2，y= 1 时有最小值为﹣4．
21.2
解一元二次方程
人教版九年级数学上册同步授课课件
21.２
解一元二次方程
配方法
21.2.1
21.2
解一元二次方程
1.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． 2.学会利用配方法解一元二次方程.
3.通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习 习惯．
用配方法熟练地解数字系数为1的一元二次方程．
5．方程 3x 2－4x －2＝0 配方后正确的是( A．(3x －2)2＝6 B．3(x －2)2＝7 2 10 C ．3(x －6)2＝7 D．3(x － )2＝ 3 3
D
)
21.2
解一元二次方程
1．对于任意实数 x ，多项式 x 2－4x ＋5 的值一定是( B ) A．非负数 B．正数 C ．负数 D．无法确定 2．方程 3x 2＋ 2x ＝6，左边配方得到的方程是( B ) 22 37 2 2 37 A．(x ＋ ) ＝－ B．(x ＋ ) ＝ 6 18 6 18 2 35 2 1 C ．(x ＋ )2＝ D．(x ＋ )2＝6 6 18 6 18 3．已知方程 x 2－ 6x ＋ q ＝0 可以配方成(x －p)2＝ 7 的形式，那 么 x 2－ 6x ＋q ＝2 可以配方成下列的( ) B A．(x －p)2＝5 B．(x －p)2＝9 C ．(x －p ＋2)2＝9 D．(x －p ＋2)2＝5
21.2
解一元二次方程
5．用配方法解方程：(1)3x2－6x－3＝0 解(1)：
(2)2x2－5x－4＝0
3x 6x 3 x2 2x 1 2 x 2x 1 2 ( x 1)2 2
2
解:(2) x x ( ) 2
2 2
5
5
25 16
2
4
(x )
21.2
解一元二次方程
B( 1．下列二次三项式是完全平方式的是 ) A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16 C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16 2．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值 C 是( ) A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对 3．用适当的数填空： x 2－ 4 x ＋ 4_____＝(x－ 2_____)2；
无论a为何值，该方程都是一元二次方程．
解：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≠0， ∴无论a取何值，该方程都是一元二次方程
21.2
解一元二次方程
1.(吉林中考)若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，
则m=______. 3
2.(兰州中考)用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方 后得的方程为( D). A.(x+1)2=0 C.(x+1)2=2 B.(x-1)2=0 D.(x-1)2=2
21.2
解一元二次方程
3．用配方法解一元二次方程 x 2－4x ＝5 时，此方程可 变形为( D ) A．(x ＋2)2＝1 B．(x －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＝9 D．(x －2)2＝9 4． 用配方法解一元二次方程 x 2＋5＝2 5x 的两个根为 ( C ) A．x 1＝1，x 2＝5 B．x 1＝1，x 2＝ 5 C ．x 1＝x 2＝ 5 D．x 1＝x 2＝－ 5
21.2
解一元二次方程
5.已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a＋19. (1)求证：B－A＞0； (2)指出A与C哪个大？并说明理由． 解：(1)B－A＝(a－1)2＋2＞0 (2)C－A＝(a＋2)2＋13＞0，∴C＞A
6.试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，
21.2
解一元二次方程
【例1】解方程：x 2 + 6x + 4=0
解x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9
2 （x + 3） =5
移项 两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式 降次
x3 5 x 3 5 ，或 x 3 5
解析：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法. 基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的 和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.
2
21.2
解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时， 此方程可变形为 ( D A．(x＋2)2＝1 1 ) B．(x－2)2＝
C．(x＋2)2＝9
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2
解一元二次方程
完全平方形式 来解一元二次方程的方法叫 1．通过配成________________
做配方法． 2．配方法的一般步骤： (1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，
2
5 4
57 16 57 4
x 1 2 x1 1 2 x2 1 2
x x
5 4
5 4
57
21.2
解一元二次方程
21.2
解一元二次方程
1．用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0， 配方后的方程可以是( A ) A．(x-1)2=4 B．(x+1)2=4 C．(x-1)2=16 D．(x+1)2=16 2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出， 它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h＝ 15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为( C ) A．1 s B． 2 s C．1 s或2 s D．不能确定
D 2．下列配方有错误的是(
D．(x－2)2＝9
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1 C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5 D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝124
21.2
解一元二次方程
3．一元二次方程 x2－2x －1＝0 的解是( C ) A．x 1＝x 2＝1 B．x 1＝1＋ 2，x 2＝－1－ 2 C ．x 1＝1＋ 2，x 2＝1－ 2 D．x 1＝－1＋ 2，x 2＝－1－ 2 1 2 x 3x 0 2 4．解方程 3x －9x ＋1＝0，两边都除以 3 得_____________ 3 3 23 ( x )2 配方后得_________________. 2 12