5.1.2_二次根式的化简
《二次根式的化简》教案(1) (3)
5.1.2 二次根式的化简〔3〕教学目标1 进一步加深对积的算式平方根的性质的理解，进一步掌握二次根式的化简。
重点、难点重难点：积的算式平方根的性质进行二次根式的化简。
教学过程一 、创设情景，导入新课二、 合作交流，探究新知上面问题中用到了：546⋅= 546⨯，这样计算对吗？你是根据什么法那么想到这样计算的呢？(00)(00)ab a b a b a b ab a b =≥≥∴=≥≥，， P158 例4 化简以下二次根式〔1〕 18 〔2〕 20 〔3〕 72化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外 〔注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数〕 P158 例5 化简以下二次根式 〔1〕21 〔2〕53最简二次根式：（1） 被开方数中不含得尽方的因数〔或因式〕； （2） 被开方数不含分母。
一次函数复习〔二〕课题第四章一次函数复习〔二〕本课〔章节〕需13课时 ，本节课为第12—13课时，为本学期总第46—47课时教学目标知识与技能：1、使学生理解一次函数的意义，掌握根据条件确定一次函数表达式的方法，会画一次函数图像。
探究并掌握一次函数性质，并用之解决实际问题。
过程与方法：通过例题讲解，使学生体会一次函数性质及应用。
情感态度与价值观：体会函数作为数学模型在分析解决实际问题中的重要作用。
重点 应用一次函数的概念、图像和性质解题难点 一次函数在实际问题中的应用教学方法课型练习 教具 多媒体教学过程： 一、根底练习1.如图1，直线y kx b =+经过点(12)A --，和点(20)B -，，直线2y x =过点A ，那么不等式20x kx b <+<的解集为〔 〕 A ．2x <- B ．21x -<<- C ．20x -<< D ．10x -<< 2.如图2，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线x y =上 运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为〔 〕 A.〔0，0〕 B.〔－1，－1〕个案修改yxO BA〔2题〕yOxB A〔1题〕C.〔－21，－21〕 D.〔－22，－22〕3.沪杭高速铁路已开工建设，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题．如图3，假设v 是关于t 的函数，图象为折线C B A O ---，其中)350,(1t A ，)350,(2t B ，)0,8017(C ，四边形OABC 的面积为70，那么=-12t t 〔 〕 A ．51B ．163 C ．807 D ．160314.甲、乙两名运发动进行长跑训练，两人距终点的路程y 〔米〕与跑步时间x 〔分〕之间的函数图 象如以下图，根据图象所提供的信息解答问题： ⑴求甲距终点的路程y 〔米〕和跑步时间 x 〔分〕 之间的函数关系式；⑵当x =15时，两人相距多少米？在15＜x ＜20的 时段内，求两人速度之差． 能力提升：1. 如图，过点Q 〔0，3.5〕的一次函数与正比例函数y =2x 的图象相交于点P ，能表示这个一次函数图象的方程是 〔 〕A ．3x －2y+3.5＝0B ．3x －2y －3.5＝0C ．3x －2y+7＝0D ．3x +2y －7＝0 y ＝－3x －2的图象不经过〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 函数y=kx 的函数值随x 的增大而增大，那么函数的图像经过〔 〕 A ．一、二象限 B ． 一、三象限 C ．二、三象限 D ．二、四象限 4. 将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是______________.5. 假设一次函数y kx b =+，当x 得值减小1，y 的值就减小2，那么当x 的值增加2时，y 的值〔 〕A ．增加4B ．减小4C ．增加2D ．减小2 二、拓展探究1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y 〔万元〕与销售量x 〔万升〕之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．〔销售利润＝〔售价－本钱价〕×销售量〕请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答以下问题：⑴求销售量x 为多少时，销售利润为4万元；⑵分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；⑶我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？〔直接写出答案〕Ox 〔万升〕y 〔万元〕 CB A 4 10 1日：有库存6万升，本钱价4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，本钱价4.5元/升． 31日：本月共销售10万升．五月份销售记录一次函数复习〔二〕A ．2x <-B ．21x -<<- C ．20x -<< D ．10x -<< 2.如图2，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线x y =上 运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为〔 〕 A.〔0，0〕 B.〔－1，－1〕C.〔－21，－21〕 D.〔－22，－22〕3.沪杭高速铁路已开工建设，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题．如图3，假设v 是关于t 的函数，图象为折线C B A O ---，其中)350,(1t A ，)350,(2t B ，)0,8017(C ，四边形OABC 的面积为70，那么=-12t t 〔 〕 A ．51B ．163 C ．807 D ．160315.甲、乙两名运发动进行长跑训练，两人距终点的路程y 〔米〕与跑步时间x 〔分〕之间的函数图 象如以下图，根据图象所提供的信息解答问题： ⑴求甲距终点的路程y 〔米〕和跑步时间 x 〔分〕 之间的函数关系式；⑵当x =15时，两人相距多少米？在15＜x ＜20的 时段内，求两人速度之差． 能力提升：1. 如图，过点Q 〔0，3.5〕的一次函数与正比例函数y =2x 的图象相交于点P ，能表示这个一次函数图象的方程是 〔 〕A ．3x －2y+3.5＝0B ．3x －2y －3.5＝0C ．3x －2y+7＝0D ．3x +2y －7＝0 y ＝－3x －2的图象不经过〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 函数y=kx 的函数值随x 的增大而增大，那么函数的图像经过〔 〕 A ．一、二象限 B ． 一、三象限 C ．二、三象限 D ．二、四象限 4. 将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是______________.5. 假设一次函数y kx b =+，当x 得值减小1，y 的值就减小2，那么当x 的值增加2时，y 的值〔 〕A ．增加4B ．减小4C ．增加2D ．减小2 二、拓展探究1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y 〔万元〕与销售量x 〔万升〕之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．〔销售利润＝〔售价－本钱价〕×销售量〕请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答以下问题：⑴求销售量x 为多少时，销售利润为4万元；⑵分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；⑶我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的C1日：有库存6万升，本钱价4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，本钱五月份销售记录。
《5.1二次根式》作业设计方案-初中数学湘教版12八年级上册
《二次根式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在让学生通过练习巩固对二次根式概念的理解，掌握二次根式的性质和运算法则，并能够运用所学知识解决实际问题。
通过作业的完成，提高学生的数学思维能力和解题能力。
二、作业内容1. 概念理解题：设计一系列关于二次根式概念的问题，如二次根式的定义、性质等，要求学生通过阅读课本和思考，准确回答问题。
2. 基础运算题：设计一些简单的二次根式加减乘除运算题，让学生熟练掌握二次根式的运算法则。
3. 应用题：设计一些与实际生活相关的二次根式应用题，如测量物体长度、计算面积等，让学生在解决问题的过程中，理解二次根式的实际意义。
4. 综合题：设计一些综合性的二次根式问题，涉及多个知识点，提高学生的综合运用能力。
三、作业要求1. 认真阅读课本，理解二次根式的概念和性质。
2. 独立完成作业，不得抄袭他人答案。
3. 运算过程中，注意运算步骤的规范性，保证答案的准确性。
4. 应用题和综合题要结合实际生活，理解问题的背景和意义。
5. 按时完成作业，并认真检查答案的正确性。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生的答案正确性、解题步骤的规范性、答案的简洁性等方面进行评价。
2. 评价方式：采用教师批改、同学互评、自我评价相结合的方式，及时反馈学生的作业情况。
3. 评价反馈：对于优秀作业进行表扬和鼓励，对于存在问题的地方进行指导和纠正，帮助学生提高数学学习能力。
五、作业反馈1. 收集学生的作业情况，统计学生的作业完成情况和错误情况。
2. 分析学生的作业问题，找出学生在学习过程中存在的困难和不足。
3. 根据分析结果，制定针对性的教学计划，帮助学生解决学习中存在的问题。
4. 将作业反馈及时告知学生，让学生了解自己的学习情况，及时调整学习策略。
六、总结本节课的作业设计旨在帮助学生巩固二次根式的概念和运算法则，提高学生的数学思维能力和解题能力。
通过作业的完成和反馈，帮助学生发现自己的不足之处，制定针对性的学习计划，提高学习效果。
5.1 第2课时 二次根式的化简2
四、归纳小结 ⑴积的算术平方根的性质：
⑵最简二次根式：①
②
5、巩固提升
★⒈下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. 12
B. x 2
C. 0.1
D.2 3
★★⒉化简：
⑴ 4x4 8x2 x 0
⑵
4x2
4xy x2 y
y2
x
0,
y
0, 且x
y
★★★⒊比较 2 7 与 4 2 的大小.
2
5.1 二次根式
【教学目标】
第2课时 二次根式的化简
1. 理解并掌握二次根式的性质： a b a b(a 0,b 0) ，并学会利用这一性质对
二次根式进行化简. 2.掌握最简二次根式的概念. 【教学重点】
二次根式的相关性质 a b a b(a 0,b 0) .
【教学难点】
运用二次根式的性质： a b a b(a 0,b 0) 进行化简.
① 23
2 3 ；② 2 5
2 5 ；③ 5 6
5 6
⑶结论： a b a b(a 0,b 0)
⑷例：化简下列二次根式：
① 18 ② 20 ③ 72
1 ④2
3 ⑤5
2.最简二次根式： 观察上面的例题中各小题的最后结果，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？ 通过分析得到，二次根式有如下两个特点： ⑴被开方数中不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. *在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式. 三、应用迁移
【教学过程】 一、新课引入 计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
⑴ 49 ， 4 9 Nhomakorabea；
专题01 二次根式化简的四种压轴题全攻略(原卷版)
专题01 二次根式化简的四种压轴题全攻略例1=x 的取值范围为 ___．【变式训练1】已知m ，n 为实数，且3n -+==________．【变式训练2】（1a 的取值范围是__________；（22a =-，则a 的取值范围是_______；【变式训练3】已知a 、b 、c 为一个等腰三角形的三条边长，并且a 、b 满足7b =，求此等腰三角形周长．【变式训练43a =-成立，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．0a …B ．3a …C ．3a -…D ．3a …类型二、利用数轴化简二次根式例1．实数a 、b + ）A ．22a b +B ．2a -C ．2b -D ．22a b-【变式训练1】实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简|a ﹣b |的结果是（ ）A ．aB ．﹣aC ．2bD ．2b ﹣a【变式训练2】实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简||a 的结果是（ ）A ．2a b -+B ．2a b -C ．b -D ．b【变式训练3】已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：类型三、利用字母的取值范围化简二次根式例1．若37m <<________．例2.设a ，b ，c 是△ABC b ﹣a ﹣c |的结果是________．【变式训练1】已知0a >_______________【变式训练2】若实数a ，b ，c =c ＝______．【变式训练3】化简：2-=_______．类型四、双重二次根式的化简例1_______例2.阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一==1===以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1；（2【变式训练1】阅读理解“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法7==+设x =-，>故0x >，由22x =33=+-2=解得x -=【变式训练2】先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，72a b -=，使得22m +=，=)a b ==>7m =，12n =，由于437+=，4312´=即227+=2===（1=；（2【变式训练3由于437+=，4312´=，即：227+=，=2====问题：（1=__________=____________﹔（2a，b（a b>），使a b m+=，ab n=，即22m+=那么便有：=__________．（3（请写出化简过程）课后作业120-=，那么这个等腰三角形的周长为（）A．8B．10C．8或10D．92=x、y、z为有理数．则xyz＝（）A．34B．56C．712D．131834y=+，则yx＝_____．4．如图，实数a，b=__．5．已知a，b b+2，求ab的值．6．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点C与点B关于原点对称，若A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a＝．（1）则b＝，c＝，bc＋6＝；（2+．7（1；（2）已知a，b，c8．观察下列等式：1=-==解答下列问题：（1）写出一个无理数，使它与3的积为有理数；（2；（3．9．先阅读下列的解答过程，然后作答：的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a b m +=、ab n =，这样22m +==)a b ==>这里7m =，12n =．由于437+=，4312´=，即227+=2\=由上述；例题的方法化简：（1；（2．。
八年级二次根式化简题100题
八年级二次根式化简题100题1. 二次根式化简题在八年级数学学习中，二次根式化简是一个重要的知识点。
通过化简二次根式，我们可以简化计算过程，更好地理解和应用根式的性质。
本文将为大家提供100道八年级二次根式化简题，帮助大家巩固和提高相关知识。
1. $\sqrt{16} = 4$2. $\sqrt{25} = 5$3. $\sqrt{36} = 6$4. $\sqrt{49} = 7$5. $\sqrt{64} = 8$6. $\sqrt{81} = 9$7. $\sqrt{100} = 10$8. $\sqrt{121} = 11$9. $\sqrt{144} = 12$10. $\sqrt{169} = 13$11. $\sqrt{196} = 14$12. $\sqrt{225} = 15$13. $\sqrt{256} = 16$15. $\sqrt{324} = 18$16. $\sqrt{361} = 19$17. $\sqrt{400} = 20$18. $\sqrt{441} = 21$19. $\sqrt{484} = 22$20. $\sqrt{529} = 23$21. $\sqrt{576} = 24$22. $\sqrt{625} = 25$23. $\sqrt{676} = 26$24. $\sqrt{729} = 27$25. $\sqrt{784} = 28$26. $\sqrt{841} = 29$27. $\sqrt{900} = 30$28. $\sqrt{961} = 31$29. $\sqrt{1024} = 32$30. $\sqrt{1089} = 33$31. $\sqrt{1156} = 34$32. $\sqrt{1225} = 35$34. $\sqrt{1369} = 37$35. $\sqrt{1444} = 38$36. $\sqrt{1521} = 39$37. $\sqrt{1600} = 40$38. $\sqrt{1681} = 41$39. $\sqrt{1764} = 42$40. $\sqrt{1849} = 43$41. $\sqrt{1936} = 44$42. $\sqrt{2025} = 45$43. $\sqrt{2116} = 46$44. $\sqrt{2209} = 47$45. $\sqrt{2304} = 48$46. $\sqrt{2401} = 49$47. $\sqrt{2500} = 50$48. $\sqrt{2601} = 51$49. $\sqrt{2704} = 52$50. $\sqrt{2809} = 53$51. $\sqrt{2916} = 54$53. $\sqrt{3136} = 56$54. $\sqrt{3249} = 57$55. $\sqrt{3364} = 58$56. $\sqrt{3481} = 59$57. $\sqrt{3600} = 60$58. $\sqrt{3721} = 61$59. $\sqrt{3844} = 62$60. $\sqrt{3969} = 63$61. $\sqrt{4096} = 64$62. $\sqrt{4225} = 65$63. $\sqrt{4356} = 66$64. $\sqrt{4489} = 67$65. $\sqrt{4624} = 68$66. $\sqrt{4761} = 69$67. $\sqrt{4900} = 70$68. $\sqrt{5041} = 71$69. $\sqrt{5184} = 72$70. $\sqrt{5329} = 73$72. $\sqrt{5625} = 75$73. $\sqrt{5776} = 76$74. $\sqrt{5929} = 77$75. $\sqrt{6084} = 78$76. $\sqrt{6241} = 79$77. $\sqrt{6400} = 80$78. $\sqrt{6561} = 81$79. $\sqrt{6724} = 82$80. $\sqrt{6889} = 83$81. $\sqrt{7056} = 84$82. $\sqrt{7225} = 85$83. $\sqrt{7396} = 86$84. $\sqrt{7569} = 87$85. $\sqrt{7744} = 88$86. $\sqrt{7921} = 89$87. $\sqrt{8100} = 90$88. $\sqrt{8281} = 91$89. $\sqrt{8464} = 92$91. $\sqrt{8836} = 94$92. $\sqrt{9025} = 95$93. $\sqrt{9216} = 96$94. $\sqrt{9409} = 97$95. $\sqrt{9604} = 98$96. $\sqrt{9801} = 99$97. $\sqrt{10000} = 100$98. $\sqrt{10201} = 101$99. $\sqrt{10404} = 102$100. $\sqrt{10609} = 103$通过以上100道二次根式化简题的练习，相信大家对二次根式的化简有了更深入的理解。
二次根式的化简
【二次根式化简】1、被开方数是小数的二次根式化简例1、化简,1.5分析：被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解。
评注：化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。
2、被开方数是分数的二次根式化简例2、化简 '\125分析：因为，125=5X 5X 5=5 2X 5,所以，只需分子、分母同乘以5就可以了。
解：、1 =. 1 5二。
^125 \ 5 5 5 5 25评注：化简时，通常分子、分母同时乘以分数分母的一个恰当因数或因式，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。
3、被开方数是非完全平方数的二次根式化简例3、化简.482分析：因为，48=16X 3=4 X 3,所以，根据公式.ab a ,b (a>0, b>0)，就可以把积的是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来，从而实现化简的目的。
解：.48 = .16 3 16 3 ,42 3 4 3。
评注：将被开方数进行因数分解，是化简的基础。
4、被开方数是多项式的二次根式化简例4、化简.(x y)3分析：当指数是奇数时，保持底数不变，设法把指数化成是一个偶数和一个奇数的积。
解：(X y)3= (X y)2(x y) (x y)2x y (x y) .一x y。
评注：当多项式从二次根号中开出来的时候，一定要注意添加括号。
否则，就失去意义。
5、被开方数是隐含条件的二次根式化简*例5、把』根号外的因式移到根号内，得 （）.【答案】C.由二次根式的意义知 x v 0,贝U I '能向根号里移 X ,到根号里面要变成2•化简a 「的结果是:\ aA ) 、aB ) - a C3.已知xy 0，化简二次根式 x.. ：—2的正确结果为 _______________【J 化简】例1.已知a 、b 、cABC 的三边长，化简十E 十-+ 十3-匸『■+ 十广 【答案与解析】•/ a 、b 、c ABC 的三边长，■- L ； ■- 1 ■-'二“ 迄+ 0、a+h~c >0, a - c = £3 - (^ + r) < 0t € - a 7 =匸■(口+ uQ,原式 i .：： .■ - I i_. I i | - . | ；一 -i -■【总结升华】 在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确,a 是非负数, 反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的化简》说课稿2
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的化简》说课稿2一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的化简》是初中数学的重要内容，本节内容是在学生已经掌握了实数、分数、有理数等基础知识的基础上进行讲解的。
二次根式的化简不仅涉及到数学知识的深入，还能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本节课的教学内容主要包括二次根式的定义、性质和化简方法，以及如何运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、分数、有理数等基础知识，对于数学中的概念和性质有一定的理解能力。
但是，二次根式的化简涉及到一些较为复杂的数学运算和逻辑推理，对于部分学生来说可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对不同学生的实际情况进行有针对性的教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解二次根式的定义和性质，掌握二次根式的化简方法，能够运用二次根式的知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的定义、性质和化简方法。
2.教学难点：二次根式的化简过程中的逻辑推理和运算技巧。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解等方法，引导学生主动探究二次根式的化简方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生直观地理解二次根式的化简过程。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习实数、分数、有理数等基础知识，引出二次根式的定义和性质。
2.自主学习：让学生自主探究二次根式的化简方法，教师给予适当的引导和帮助。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的化简方法，互相学习和借鉴。
4.教师讲解：针对学生的讨论结果，教师进行讲解和总结，强调化简过程中的关键步骤和注意事项。
二次根式的化简
.
第十一章二次根式
问题
二次根式的性质 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第七节二次根式的化简
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第十一章二次根式
问题
二次根式的性质 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第七节二次根式的化简
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第十一章二次根式
问题
二次根式的性质 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第七节二次根式的化简
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第十一章二次根式
(1) (a 3)2 (a 3); (2) (4 ３b)2 (b 4 );
3 (3) (m n)2 (m n).
分析： 从条件出发，判断根号下面 式子的底数是非负数还是负 数，再根据公式计算出结果
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第十一章二次根式
问题
二次根式的性质 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第七节二次根式的化简
问题
二次根式的性质 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第七节二次根式的化简
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第十一章二次根式
问题
二次根式的性质 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第七节二次根式的化简
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第十一章二次根式
问题
二次根式的性质 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第七节二次根式的化简
；烫金纸 烫金纸
第十一章二次根式
问题
二次根式的性质 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第七节二次根式的化简
小结
第七节二次根式的化简
练习1
练习１ 把下列各式化简b(a 0)
(3) x2 y (x 0) 4
(4)
18x3 b2
y
(b
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例3、化简：
(1) 16 9
(2) 32 25
解：（1）
16 9
=
16 = 4 93
（2）
32 25
=
16 2 52 =
16 52
2=4 2 5
（1） 8a2 （3） 9a2
16
（2） 16b4 （4） 25a4
64
例4 化简下列二次根式：
(1)
9； 5
(2)
27 . 8
解 (1) (2)
( 1 ) b3 ； 8a 2
( 2 ) 3a2 +6a+3 .
解 (1)
b3 = 8a2
b2· b = 2· 22 · a2
2
b b 2a 2
·
=
b 2a
b 2
=
b 2a
b×b =
·
b 4a
2b
( 2 ) 3a2 +6a+3 = 3(a2 +2a+1) = 3(a+1)2 = 3(a+1).
（1） 4 = ， （2） 9= ，
（3） 25= ， （4） 81= ，
（5） 144 = ，（6） 196= ，
(7) a（2 a 0）
.
二次根式
一般地，我们把形如 a(a 0)的式子 叫做二次根式，“ ”称为二次根号。
本课节内容
5.1 二次根式和它的化简
——5.1.2 二次根式的化简
例1 化简下列二次根式
(1) 18
(2) 20
解1：18 9 2 9 2 3 2
2 20
32 2
45 4 5 2 5
22 5
我们把式子中9（32）、4（22）叫做平方因子
(1) 25 49 (3) 18 (5) 27
(2) 121 4 (4) 32 (5) 48
或 72 36 2 62 2 6 2
2 8a2b3 2• 22 • a2 •b2 •b 2ab 2b
在化简时，一定要把被开方式中所有平方因子 全部移到根号外，否则未完成化简。
例2：化简下列二次根式
1 9a3ba 0,b 0 2 4b2 12ab2 a 0,b 0
8 42 4 2 2 2
45 9 5 9 5 3 5
所以 类似 8 、45 等这样的二次根式还能化简。
结论
a· b = a · b ( a≥0 , b≥0 ).
①
公式①从左到右看，是积的算术 平方根的性质.
利用积的算术平方根的这一性 质，可以化简二次根式．
二次根式的化简
答案：a2 14ab 6b2
( 2 ) 4a2+4ab+b2 . 答案：2a+b
拓展延伸
化 简 a 2 2a 1 a 1
解： a2 2a 1
a 12 1 a
解：
1 9a3b
一般步骤： ①先把被开方式分解成平方
32 • a2 • a • b
因子和其它因子相乘的形式。
3a ab
2 4b2 12ab2
②再根据积的算术平方根的 性质和 a2 a(a 0把) 平方因 子移到根号外。
4b2 1 3a
2b 1 3a
当被开方式是多项式时，先 因式分解化为积的形式。
知识探究
观察比较
积的算术平方根的性质
1 4 3 = 4 3
2 254 = 25 4 ab a • b a 0,b 0
3
11 49
=
1 1 49
…………
两个非负数的积的算术 平方根等于这两个非负 数的算术平方根的积
现在你能用上面的性质说明 8 2 2吗？
把满足上述两条件的二次根式，叫做 最简二次根式.
一般地，在二次根式的运算中，最后 结果通常要求化成最简二次根式.
化简带根号的式子的结果的要求： 1，根号内不能含有能开方的因数或因式 2， 根号内（被开方数）不含分母 3， 分母上不带根号。
2. 设a≥0，b＞0，化简下列二次根式：
(1)
7a5 ； 18b 3
9 5
=
32 5
=
32×
1 5
=
3
1 5
=
3
1× 5 5× 5
=3
1 ×2
5
5
=
3 5
5；
27 8
=
32× 22×
3 2
=
3
2
×
3
2 2
=
3 2
3 2
=
3 2
3× 2 2× 2
=
3 2
1
2
×
2
6
=
3 4
6.
例5 设a＞0，b≥0，化简下列二次根式：
被开方数有什么特点的二次根式 才能化简呢？
被开方数能写成平方因子和其 它因子相乘形式的二次根式
化简二次根式时，可以直接把根号下 的每一个平方因子去掉平方后移到根 号外。
（注意：移到根号外的数必须 是非负数）
尝试练习
设 a 0 ，b 0 ，化简下列二次根式。
1 72
2 8a2b3
解：1 72 98 32 22 2 3 2 2 6 2