第3章 蛮力法-修改

Pi表示查找数据位置出现在i位置的概率，如果是平 均概率分布则，pi=1/n bi和ci表示查找数据位置出现在i位置时循环的次数， 根据推算可以看出
Bi和ci为 n-i+1
如果是从前往后查，bi和ci等于什么？
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查找问题中的蛮力法—顺序查找
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 15 24
6 12 35 40 98 55 查找方向
蛮力法常常是最容易应用的方法。
求an（n为非负整数）
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关于蛮力法思考
蛮力法不是一个最好的算法（巧妙和高效的算法 很少出自蛮力）,但当我们想不出更好的办法时,它 也是一种有效的解决问题的方法。 它可能是惟一一种几乎什么问题都能解决的一般 性方法，常用于一些非常基本、但又十分重要的 算法。
1 n n 1 p c ( n i 1 ) O(n) i i n i 1 2 i 1
n
数量级相同， 系数相差一半
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一般观点：
用蛮力法设计的算法，一般来说，经过适度的 努力后，都可以对算法的第一个版本进行一定程度 的改良，改进其时间性能，但只能减少系数，而数 量级不会改变。
用蛮力法解决问题，通常可以从两个方面进行算法 设计：
1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 2）找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并用逻 辑表达式表示。
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思考下面问题：找出枚举范围和约束条件
求所有的三位数,它除以11所得的余数等于它的 三个数字的平方和.
思路： 枚举范围：100—999，共900个。 约束条件：设三位数的百位、十位、个位的数字分别为x，y， z。则有x2+y2+z2≤10,进而1≤x≤3, 0≤y≤3, 0≤z≤3。 解：所求三位数必在以下数中： 100，101，102，103，110，111，112， 120，121，122，130，200，201，202， 211，212，220，221，300，301，310。 不难验证只有100，101两个数符合要求。
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蛮力法所赖的基本技术——扫描技术


关键——依次处理所有元素
基本的扫描技术——遍历
（1）集合的遍历 （2）线性表的遍历 （3）树的遍历 （4）图的遍历
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关于蛮力法思考
蛮力法（枚举法、穷举法，暴力法）要求设计者 找出所有可能的情况，然后选择其中一种情况， 若该情况不可行（或不是最优解）则试探下一种 可能的情况。 蛮力法是一种直接解决问题的方法，常常直接基 于问题的描述和所设计的概念定义。 “力”——指计算机的能力，而不是人的智力。
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算法3.2——改进的顺序查找
int SeqSearch2(int r[ ], int n, int k) //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合 { r[0]=k; i=n; while (r[i]!=k) i --; return i; } 算法3.2的基本语句是r[i]!=k，其执行次数为:
a
jj i
2 第 趟 3
i=2，j=1失败 i回溯到3，j回溯到1
ii
i i i
a b a b c a b c a c b a
a b c a c
jj j j j j
b
i=7，j=5失败 i回溯到4，j回溯到1
25
第 趟
i
i
a b a b c a b c a c b a
a
jj
i i
b
4
i=4，j=1失败 i回溯到5，j回溯到1
搜索所有的解空间 搜索所有的路径
直接计算
模拟和仿真
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一个简单的例子——百元买百鸡问题
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蛮力法解题步骤
根据问题中的条件将可能的情况一一列举出来，逐 一尝试从中找出满足问题条件的解。但有时一一列 举出的情况数目很大，如果超过了我们所能忍受的 范围，则需要进一步考虑，排除一些明显不合理的 情况，尽可能减少问题可能解的列举数目。
i的值 n n-1 n-2 ….. 2 1 N-1 N
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循环次数 1 2 3
算法3.1的基本语句是i>0和r[i]!=k，其执行次数为: n n 1 n 1 n pibi pici (n i 1) (n i 1) n 1 O(n ) n i 1 n i 1 i 1 i 1
蛮 力 法
1
2 3 4 5 6
概述
查找问题中的蛮力法 排序问题中的蛮力法
组合问题中的蛮力法
图问题中的蛮力法 几何问题中的蛮力法
1
1 蛮力法的设计思想 蛮力法是指采用遍历（扫描）技术，即 采用一定的策略将待求解问题的所有元 素依次处理一次，从而找出问题的解。 依次处理所有元素是蛮力法的关键，为 了避免陷入重复试探，应保证处理过的 元素不再被处理。
1 n 1 n pibi pi ci (n i 1) (n i 1) n 1 O(n) n i 1 n i 1 i 1 i 1
n n
Pi表示查找数据位置出现在i位置的概率，如果是平 均概率分布则，pi=1/n bi和ci表示查找数据位置出现在i位置时循环的次数， 根据推算可以看出
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蛮力法解决串匹配问题——BF算法
基本思想：从主串S的第一个字符开始和模式T的第一个 字符进行比较，若相等，则继续比较两者的后续字符；若不 相等，则从主串 S 的第二个字符开始和模式 T 的第一个字符 进行比较，重复上述过程，若T中的字符全部比较完毕，则 说明本趟匹配成功；若最后一轮匹配的起始位置是n-m，则 主串 S 中剩下的字符不足够匹配整个模式 T ，匹配失败。这 个算法称为朴素的模式匹配算法，简称BF算法。
n m 1
1 m(n m 2) (i m) pi (i m) 2 i 1 i 1 n m 1
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n m 1
• 考虑大范围数据查询比较，一般 m<<n ，所以有
n m 1
1 m(n m 2) (i m) pi (i m) 2 i 1 i 1 n m 1
i
0 1 2
3
4
5
6
7
8
9
10 15 24 6 12 35 40 98 55 查找方向
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
i
35 40 98 55
K 10 15 24 6 12
哨兵
查找方向
i
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改进的顺序查找
将待查值放在查找方向的尽头处，免去了在查找过 程中每一次比较后都要判断查找位置是否越界，从 而提高了查找速度。
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3.2.2 串匹配问题
串匹配问题——给定两个串S=“s1s2…sn” 和T=“t1t2…tm”，在 主串S中查找子串T的过程称为串匹配，也称模式匹配。
串匹配问题属于易解问题。 串匹配问题的特征：
（1）算法的一次执行时间不容忽视：问题规模 n 很大， 常常需要在大量信息中进行匹配；
（2）算法改进所取得的积累效益不容忽视：串匹配操作 经常被调用，执行频率高。
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3.2.1 顺序查找
顺序查找从表的一端向另一端逐个将元素与给定值进行 比较，若相等，则查找成功，给出该元素在表中的位置；若 整个表检测完仍未找到与给定值相等的元素，则查找失败， 给出失败信息。
0 1 2 3 24 4 5 6 7 8 9 55 i
10 15
6 12 35 查找方向
40 98
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2 查找问题中的蛮力法—顺序查找
思路：顺序查找从表的一端向另一端逐个将 元素与给定值进行比较，若相等，则查找成 功，给出该元素在表中的位置；若整个表检 测完仍未找到与给定值相等的元素，则查找 失败，给出失败信息。
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算法3.1——顺序查找
int SeqSearch1(int r[ ], int n, int k) //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合 { 基本语句 ？ i=n; while (i>0 && r[i]!=k) i--; return i; }
BF C++
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设串S长度为n，串T长度为m，在匹配成功的情况下， 考虑最坏情况，即每趟不成功的匹配都发生在串T的最后一 个字符。 例如：S="aaaaaaaaaaab" T="aaab" 设匹配成功发生在si处，则在i-1趟不成功的匹配中共 比较了 (i-1)×m 次，第 i 趟成功的匹配共比较了 m 次，所 以总共比较了i×m次，因此平均比较次数是：
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蛮力法的优点
逻辑清晰，编写程序简洁
对于一些重要的问题（比如：排序、查找、矩阵 乘法和字符串匹配），可以产生一些合理的算法
解决问题的实例很少时，可以花费较少的代价 可以解决一些小规模的问题（使用优化的算法没 有必要，而且某些优化算法本身较复杂）
可以作为其他高效算法的衡量标准
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使用蛮力法的几种情况
描述1：伪代码
描述2
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算 法
int BF(char S[ ], char T[ ]) { i=1; j=1; while (i<=S[0] && j<=T[0] && j<=T[0])) { if (S[i]==T[j]) {i++; j++;} else {i=i-j+2; j=1; } } if (j>T[0]) return (i-j+1); else return 0; }
n m 1
算法的时间复杂性为 O(m*n)=O(n)
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改进的串匹配算法——KMP算法
设计思想：尽量利用已经部分匹配的结果信息， 尽量让 i 不回溯，加快模式串的滑动速度。