2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第10章 第4节 古典概型
2021高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.5古典概型课件理
12 C.3 D.3
解析：甲乙丙站一排共有 A33＝6 种，其中甲在中间有 A22＝2 种， ∴概率 P＝26＝13. 答案：C
5．从 52 张扑克牌(没有大小王)中随机地抽一张牌，这张牌是 J 或 Q 或 K 的概率是________．
解析：在 52 张牌中，J，Q 和 K 共 12 张，故是 J 或 Q 或 K 的概 率是1522＝133.
答案：B
2．[2019·全国卷Ⅰ]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变 化，每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——” 和“阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦， 则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是( )
5 11 A.16 B.3221 11 C.32 D.16
解析：由 6 个爻组成的重卦种数为 26＝64，在所有重卦中随机取 一重卦，该重卦恰有 3 个阳爻的种数为 C63＝6×65×4＝20.根据古典概 型的概率计算公式得，所求概率 P＝2604＝156.故选 A.
答案：A
悟·技法 1.求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数 n. (2)求出事件 A 包含的所有基本事件数 m. (3)代入公式 P(A)＝mn ，求出 P(A)． 2．基本事件个数的确定方法 (1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型． (2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可 看成是坐标法.
解析：对于 A，发芽与不发芽概率不同；对于 B，任取一球的概 率相同，均为14；对于 C，基本事件有无限个；对于 D，由于受射击运 动员水平的影响，命中 10 环，命中 9 环，…，命中 0 环的概率不等．因 而选 B.
答案：B
3 ． [2018·全 国 卷 Ⅲ] 若 某 群 体 中 的 成 员 只 用 现 金 支 付 的 概 率 为
2021版高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.4古典概型课件苏教版
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(1)甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、
丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙
获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是
()
3
1
3
2
A.4
B.3
C.10
D.5
16
(2)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1
张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张
32
(2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}， {A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B， E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}， {E，F}，共15种．
(ⅱ)由表格知，符合题意的所有可能结果为 {A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B， F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种． 所以，事件M发生的概率P(M)＝1115.
其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－366＝
5 6.]
13
课堂考点探究
14
考点1 简单的古典概型 计算古典概型事件的概率可分3步
(1)计算基本事件总个数n； (2)计算事件A所包含的基本事件的个数m； (3)代入公式求出概率P. 提醒：解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图 法．
2 3
种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为CC2336＝230.故选C.]
25
2．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区
高考数学一轮复习第十章概率102古典概型课件文
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3．(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色 的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花 坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.13 B.12 C.23 D.56
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的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包
括 A1 但不包括 B1 的概率． 列举所有 找出满足条件
[思路引导] 基本事件 → 的基本事件 → 求概率
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[解] (1)由题意知，从 6 个国家任选 2 个国家，其一切可 能的结果组成的基本事件有：
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[解析] (1)设两道题分别为 A，B 题，所以抽取情况共有： AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第 1 个，第 2 个分别是两个女教师抽取的题目，第 3 个表示男教师抽 取的题目，一共有 8 种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的 事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共 4 种．故所求事件的概率 为12.故选 C.
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[解析] 基本事件为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)， (1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共 10 个．可构成勾股 数的基本事件为(3,4,5)，故所求概率为110，选 C.
[解析] 从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在 一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，共有 6 种选法．红 色和紫色的花不在同一花坛的有 4 种选法，根据古典概型的概率 计算公式，所求的概率为46＝23.故选 C.
江苏专用高考数学大一轮复习第十章算法统计与概率10.5古典概型教案含解析
江苏专用高考数学大一轮复习第十章算法统计与概率10.5古典概型教案含解析 §10.5 古典概型考情考向分析 古典概型每年都会考查，主要考查实际背景下的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查，其中计数的方法局限于枚举法．常以填空题形式出现，属于中低档题．1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的．3．如果1次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n.如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n.4．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.概念方法微思考1．任何一个随机事件与基本事件有何关系？提示 任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和．2．如何判断一个试验是否为古典概型？提示 一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．( × )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )(3)从市场上出售的标准为500±5g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．( × )(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( √ ) (5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( √ )(6)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，且集合A 中的元素个数为n ，所有的基本事件构成集合I ，且集合I 中元素个数为m ，则事件A 的概率为n m.( √ )题组二 教材改编2．[P103练习T6]从A ，B ，C 三名同学中选2名为代表，则A 被选中的概率为________．答案 23解析 从A ，B ，C 三名同学中选2名为代表，有AB ，AC ，BC 三种可能，则A 被选中的概率为23. 3．[P101例3]一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．答案 23解析 抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种．∴所求概率为46＝23. 4．[P103练习T4]袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为________．答案 25解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P ＝615＝25.5．[P103习题T4]同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．答案 56解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率为P ＝1－66×6＝56. 题组三 易错自纠6．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为___．答案 23解析 设两本不同的数学书为a 1，a 2，1本语文书为b ，则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率为P ＝46＝23. 7．已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为________．答案 23解析 要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2>0，又a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，即a >b ，而a ，b 的取法共有3×3＝9(种)，其中满足a >b 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.题型一 基本事件与古典概型的判断1．下列试验中，古典概型的个数为________．①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．答案 1解析 ①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型；③符合古典概型的特点，是古典概型．2．有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件．解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．3．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为3 11，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．题型二 古典概型的求法例1(1)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．答案 25解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25.(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________．答案 56解析 设取出的2个球颜色不同为事件A ，基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，共6种，事件A 包含5种，故P (A )＝56. (3)(2018·无锡模拟)从3男2女共5名学生中任选2名参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为________．答案 35解析 记3名男生分别为x 1，x 2，x 3,2名女生分别为y 1，y 2，则从3男2女共5名学生中任选2名包含的基本事件为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10个．其中选出的2人恰好为1男1女包含6个基本事件，分别为(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)．故所求事件的概率为610＝35. 引申探究1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．解 基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A ，则A 包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，所以P (A )＝46＝23. 2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．解 基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率P ＝616＝38. 思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．跟踪训练1某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． 解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事件的概率为P ＝315＝15. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个． 包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个，则所求事件的概率为P ＝29. 题型三 古典概型与统计的综合应用例2某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．解 (1)由题意知，样本数据的平均数x ＝4＋6＋12＋12＋18＋206＝12. (2)样本中优秀服务网点有2个，概率为26＝13，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13＝30(个)． (3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a 1，a 2，非优秀服务网点有4个，分别记为b 1，b 2，b 3，b 4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M ，则事件M 包含的可能情况有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，共8种，故所求概率P (M )＝815. 思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．跟踪训练2从某学校2018届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率．解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，所以后三组的频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9，由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2，设第六组人数为m，则第七组人数为m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：(2)由(1)知身高在[180,185)内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在[190,195]的男生有两名，设为A，B.若x，y∈[180,185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y∈[190,195]，只有AB1种情况；若x，y分别在[180,185)，[190,195]内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15，事件|x－y|≤5包含的基本事件的个数为6＋1＝7，故所求概率为715.1．(2018·苏州模拟)若a ，b ∈{0,1,2}，则函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 有零点的概率为________．答案 23解析 a ，b ∈{0,1,2}，当函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 没有零点时，a ≠0，且Δ＝4－4ab <0，即ab >1，∴(a ，b )有3种情况：(1,2)，(2,1)，(2,2)．基本事件总数n ＝3×3＝9，∴函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 有零点的概率为P ＝1－39＝23. 2．从边长为1的正方形的中心和顶点这5个点中随机(等可能)取两点，则该两点间距离为22的概率为________．答案 25解析 设此正方形为ABCD ，中心为O ，则任取两点的取法有AB ，AC ，AD ，AO ，BC ，BD ，BO ，CD ，CO ，DO ，共10种；取出的两个点的距离为22的取法有AO ，BO ，CO ，DO ，共4种，故所求概率为410＝25. 3．从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是________．答案 59解析 ∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取， ∴P (第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝59×48＝518， P (第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝49×58＝518，∴P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝518＋518＝59. 4．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是________．答案 13 解析 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖记为事件A ，共有(1,2)，(2,1)2种，所以P (A )＝26＝13. 5．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．答案 13解析 点P (m ，n )的情况为(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13. 6．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．答案 16解析 从2,3,8,9中任取2个不同的数字，记为(a ，b )，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，其中符合log a b 为整数的有log 39和log 28两种情况，∴P ＝212＝16. 7．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．答案 14解析 记两个食堂为A ，B ，则甲、乙、丙在两个食堂用餐的所有情况有(A ，A ，A )，(A ，A ，B )，(A ，B ，A )，(A ，B ，B )，(B ，A ，A )，(B ，A ，B )，(B ，B ，A )，(B ，B ，B )，共8种，其中他们在同一个食堂用餐有2种情形，概率为28＝14. 8.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．答案 310解析 依题意，记题中被污损的数字为x ，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x ＋5)≤0，得x ≥7，即此时x 的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为P ＝310.9．在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π3，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________． 答案310解析 基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为3，故所求概率为P ＝310.10．(2018·无锡模拟)已知a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：ax －by ＋3＝0，则直线l 1⊥l 2的概率为________． 答案112解析 易知直线l 2的所有情况共有36种，若直线l 1与直线l 2垂直，则－2·a b ＝－1⇒a b ＝12，使直线l 1⊥l 2的{(a ，b )}＝{(1,2)，(2,4)，(3,6)}，故直线l 1⊥l 2的概率P ＝336＝112.11．设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求事件“|a |≤|b |”发生的概率．解 (1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的情况共36种．因为a ⊥b ，所以m －3n ＝0，即m ＝3n ，有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事件“a ⊥b ”发生的概率为236＝118.(2)由|a |≤|b |，得m 2＋n 2≤10，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为636＝16.所以事件“|a |≤|b |”发生的概率为16.12．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解 (1)A ，B ，C 三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2. (2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有：{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.13．已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________． 答案 13解析 因为A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，记有序数对A ，B 为(A ，B )，则所有的(A ，B )为(－3，－1)，(－3,1)，(－3,2)，(－1,1)，(－1,2)，(1,2)，(－1，－3)，(1，－3)，(2，－3)，(1，－1)，(2，－1)，(2,1)，共12个，而满足直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，即A ，B 同号的有序数对有(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)，共4个，故该事件的概率为412＝13. 14.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C. 则事件B包含的基本事件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝616＝38.事件C包含的基本事件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．15．设a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[1,2]上没有零点的概率为________．答案5 16解析 由已知f ′(x )＝3x 2＋a >0，所以f (x )在R 上单调递增，若f (x )在[1,2]上有零点，则需⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a －b ≤0，f (2)＝8＋2a －b ≥0，经验证有(1,12)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(4,4)共5对不满足上述不等式组，总的情况有16对，故所求概率为516.16．已知直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：ax －by ＋1＝0，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}． (1)求直线l 1∩l 2≠∅的概率；(2)求直线l 1与l 2的交点位于第三象限的概率．解 (1)直线l 1的斜率k 1＝12，直线l 2的斜率k 2＝ab.设事件A 为“直线l 1∩l 2＝∅”．a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}的总事件数为(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．若l 1∩l 2＝∅，则l 1∥l 2，即k 1＝k 2，即b ＝2a .满足条件的实数对(a ，b )有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．∴P (A )＝336＝112.∴P (A )＝1112，故l 1∩l 2≠∅的概率为1112.(2)设事件B 为“直线l 1与l 2的交点位于第三象限”， 由于直线l 1与l 2有交点，则b ≠2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝b ＋2b －2a ，y ＝a ＋1b －2a .∵l 1与l 2的交点位于第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2b －2a<0，a ＋1b －2a <0.∵a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，∴b <2a .∵总事件数共36个，满足b <2a 的事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共27种． ∴P (B )＝2736＝34.故l 1与l 2的交点位于第三象限的概率为34.。
(复习指导)第10章第4节古典概型含解析
第4节 古典概型一、教材概念·结论·性质重现1．古典概型(1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．(2)性质：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个； ②等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．2．古典概型中事件的概率在样本空间含有n 个样本点的古典概型中，(1)每个基本事件发生的概率均为1n .(2)如果事件C 包含有m 个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P (C )＝m n .3．古典概型中概率的性质假设古典概型对应的样本空间含n 个样本点，事件A 包含m 个样本点，则： (1)由0≤m ≤n 与P (A )＝m n 可知0≤P (A )≤1.(2)因为A 中包含的样本点个数为n －m ，所以P (A )＝n －m n ＝1－m n ＝1－P (A )，即P (A )＋P (A )＝1.(3)若事件B 包含有k 个样本点，而且A 与B 互斥，则容易知道A ＋B 包含m ＋k 个样本点，从而P(A＋B)＝m＋kn＝mn＋kn＝P(A)＋P(B)．频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的k，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值都计算了一个比值kn古典概型的概率计算公式kn是一个定值，对同一个随机事件而言，k，n都不会变化1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”．( × )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．( × )(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．( × )(4)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( √ )(5)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( × )(6)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测量其质量，属于古典概型．( × )2．(2021·江淮十校模拟)《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为()A.18 B.14C.38 D.12C解析：抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为38.故选C.3．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为()A.23 B.14C.13 D.12D解析：一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)，(反，反)，(正，反)，(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故概率p＝24＝12.故选D.4．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．35解析：设3个红色球为A1，A2，A3,2个黄色球为B1，B2，从5个球中，随机取出2个球的样本点有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．其中2个球的颜色不同的样本点有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6个，所以所求概率为610＝35.5．在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大122，则口袋中原有小球的个数为________．10解析：设原来口袋中白球、黑球的个数均为n.依题意n＋12n＋1－n2n＝122，解得n＝5.所以原来口袋中小球的个数为2n＝10.6．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为________．711解析：先后两次出现的点数中有5的情况有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的情况有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求事件的概率p＝7 11.考点1古典概型的判断——基础性1．下列关于古典概型的说法中正确的是()①试验中样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点发生的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝k n.A．②④B．③④C．①④D．①③④D解析：由古典概型的特征知①③④正确，②错误．2．下列问题中是古典概型的是()A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D．同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的总数之和是5的概率D解析：A，B两项中的样本点发生不是等可能的；C项中样本点有无限多个；D项中样本点的发生是等可能的，且个数有限．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点才是古典概型．考点2简单的古典概型的概率——基础性(1)(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23 B.35C.25 D.15B解析：设5只兔子中测量过某项指标的3只记为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只记为b1，b2，从5只兔子中随机取出3只，样本空间Ω＝{(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)}，共10个样本点．事件“恰有2只测量过该指标”{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)}，共6个样本点．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)(2021·八省联考)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为()A.16 B.13C.12 D.23C解析：设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1,2,3.用有序实数对表示三人拿到的卡片种类，如(1,3,2)表示A同学拿到1号卡片，B同学拿到3号卡片，C同学拿到2号卡片．三人可能拿到的卡片结果组成的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}，共6个样本点．其中满足题意的样本点为(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，共3个．所以，恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为p＝36＝12.(3)(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取三点，则取到的三点共线的概率为()A.15 B.25C.12 D.45A解析：从O，A，B，C，D中任取3点的情况有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(B，C，D)，(A，C，D)，共有10种不同的情况．由图可知取到的三点共线的有(O，A，C)和(O，B，D)两种情况，所以所求概率为210＝15.故选A.古典概型中样本点个数的探求方法(1)列举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识．1．(2020·河北区高三二模)袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是()A.35 B.45C.720 D.1320D解析：由题意可得，从中任取3个球一共有C36＝20(个)等可能的样本点，恰有1种颜色的情况有1种，即3个全是蓝球，恰有3种颜色的样本点有1×2×3＝6(个)，所以恰有2种颜色的样本点共13个，所以其概率为1320.故选D.2．(2020·太原市高三模拟)根据党中央关于“精准脱贫”的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为()A.16 B.14C.13 D.12A解析：派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，样本点总数n＝C24A33＝36.甲、乙两位专家派遣至同一县区包含的样本点个数m＝C22C13A22＝6.所以甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为mn＝636＝16.故选A.考点3 古典概型的交汇问题——综合性考向1 古典概型与平面向量的交汇(1)设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A.18 B.14 C.13 D.12A 解析：有序数对(m ，n )的所有可能结果数为4×4＝16.由a ⊥(a －b )，得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的样本点为(2,1)和(3,4)，共2个．所以所求的概率P (A )＝216＝18.故选A.(2)(2021·宿迁模拟)已知k ∈Z ，A B →＝(k,1)，A C →＝(2,4)．若|A B →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是________．37解析：因为|A B →|＝k 2＋1≤4，所以－15≤k ≤15. 因为k ∈Z ，所以k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC 为直角三角形时，应有AB ⊥AC ，或AB ⊥BC ，或AC ⊥BC .由A B →·A C →＝0，得2k ＋4＝0，所以k ＝－2.因为B C →＝A C →－A B →＝(2－k,3)，由A B →·B C →＝0，得k (2－k )＋3＝0，所以k ＝－1或3.由A C →·B C →＝0，得2(2－k )＋12＝0，所以k ＝8(舍去)．故使△ABC 为直角三角形的k 值为－2，－1或3，所以所求概率p ＝37.考向2 古典概型与函数的交汇(1)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1.若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23D 解析：(1)f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2.由题意知f ′(x )＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，所以a >b ，有序数对(a ，b )所有可能结果有3×3＝9(种)，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(3,0)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，共6种．故所求概率p ＝69＝23.(2)已知a ∈{0,1,2}，b ∈{－1,1,3,5}，则函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是( )A.512B.13C.14D.16A 解析：因为a ∈{0,1,2}，b ∈{－1，1,3,5}，所以样本点总数n ＝3×4＝12.函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数．①当a ＝0时，f (x )＝－2bx ，符合条件的只有(0，－1)，即a ＝0，b ＝－1.②当a ≠0时，需要满足b a ≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．所以函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是512.求解古典概型交汇问题的思路求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：1．(2021·宁波模拟)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n .记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是( ) A.512B.12C.712D.56C 解析：cos θ＝a·b |a ||b |＝m －n |a ||b |.因为θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以m ≥n . (m ，n )一共有6×6＝36(种)不同组合．满足m ≥n 的有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21(种)．所以所求的概率p ＝2136＝712.2．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a π4x ，a 为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f (x )在[0,4]上零点的个数不小于4的概率为( )A.13B.12C.25D.23 B 解析：依题意，函数f (x )在[0,4]上零点的个数不小于4等价于函数f (x )的周期的74倍不大于4，即74×2πa π4≤4，解得a ≥72，故a ＝4,5,6.而所有a 的值共6个，所以函数f (x )在[0,4]上零点的个数不小于4的概率为12.。
2021高考江苏版(文)数学一轮复习讲义： 第10章 第55课 古典概型
第55课古典概型[最新考纲]内容要求A B C古典概型√1．根本领件的特点(1)任何两个根本领件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成根本领件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)所有根本领件只有有限个．(2)每个根本领件的发生都是等可能的．3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个根本领件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝m n.4．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的根本领件的个数根本领件的总数.1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽〞属于古典概型，其根本领件是“发芽与不发芽〞．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面〞“一正一反〞“两个反面〞，这三个结果是等可能事件．()(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性一样．()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)以下试验中，是古典概型的有________．(填序号)①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．③[由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]3．甲、乙两名运发动各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，那么他们选择一样颜色运动服的概率为________．13[甲、乙两名运发动选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．所以所求概率P＝39＝13.]4．(2021·全国卷Ⅲ改编)小敏翻开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，那么小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．115[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝1 15.]5．(2021·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，那么出现向上的点数之和小于10的概率是________．56[将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(A)＝636＝16，所以P(A)＝1－16＝56.]简单古典概型的概率(1)5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________. 【导学号：62172303】(2)(2021·全国卷Ⅰ改编)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，那么红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．(1)0.6(2)23[(1)记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种可能．其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为610＝0.6.(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝46＝23.][规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算根本领件总个数n；(2)计算事件A所包含的根本领件的个数m；(3)代入公式求出概率P.2．用列举法写出所有根本领件时，可借助“树状图〞列举，以便做到不重、不漏．[变式训练1](1)(2021·南京模拟)将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，那么点P(m，n)在直线y＝12x下方的概率为________．(2)(2021 ·江苏高考)袋中有形状、大小都一样的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，那么这2只球颜色不同的概率为______．(1)16(2)56[(1)将一颗骰子连续抛掷2次，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种不同的结果，其中在直线y＝1 2x下方的有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)共6种不同的结果，故所求事件的概率P＝636＝16.(2)从4个球中一次随机摸出2只球，共有(红，白)，(红，黄1)，(红，黄2)，(白，黄1)，(白，黄2)，(黄1，黄2)共6种情况，那么2只颜色不同的共有5种情况，故所求事件的概率P＝56.]复杂古典概型的概率动．参加活动的儿童需转动如图55-1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停顿转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规那么如下：图55-1①假设xy≤3，那么奖励玩具一个；②假设xy≥8，那么奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比拟小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[解]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，那么根本领件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以根本领件总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，那么事件A包含的根本领件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C.那么事件B包含的根本领件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝616＝38.事件C包含的根本领件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．[规律方法] 1.此题易错点有两个：(1)题意理解不清，不能把根本领件列举出来；(2)不能恰当分类，列举根本领件有遗漏．2．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．[变式训练2]某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率. 【导学号：62172304】[解] (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的根本领件有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些根本领件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中〞所包含的根本领件有{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.古典概型与统计的综合应用11日的网购金额，所得数据如下表：网购金额(单位：千元)人数 频率 (0,1]16 (1,2]24 (2,3]x p (3,4]y q (4,5]16 (5,6]14 合计 200(1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)；(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人中进展问卷调查，假设需从这5人中随机选取2人继续访谈，那么此2人来自不同群体的概率是多少？图55-2[解] (1)根据题意有： ⎩⎨⎧ 16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32， 解得⎩⎨⎧x ＝80，y ＝50.∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如下图，(2)根据题意，网购金额在(1,2]内的人数为2424＋16×5＝3(人)，记为：a ，b ，c .网购金额在(4,5]内的人数为1624＋16×5＝2(人)，记为：A ，B .那么从这5人中随机选取2人的选法为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种．记2人来自不同群体的事件为M，那么M 中含有(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共6种．∴P(M)＝610＝35.[规律方法]有关古典概型与统计结合的题型是高考考察概率的一个重要题型，已成为高考考察的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．[变式训练3]海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进展抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进展检测.(1)(2)假设在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进展进一步检测，求这2件商品来自一样地区的概率．[解](1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝1 50，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.那么从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有根本领件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2} ，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的时机均等，因此这些根本领件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自一样地区〞，那么事件D包含的根本领件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以这2件商品来自一样地区的概率P(D)＝4 15.[思想与方法]1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的根本领件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的根本领件有多少个．2．确定根本领件的方法(1)当根本领件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法．3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算．[易错与防范]古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算根本领件总数和事件包括的根本领件个数时，它们是否是等可能的．课时分层训练(五十五)A组根底达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．(2021·镇江期中)从甲、乙、丙3名候选学生中选取2名作为青年志愿者，那么甲被选中的概率为________．23[从甲、乙、丙3名候选学生中选取2名共有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)三种情况，甲被选中的概率P ＝23.]2．(2021·无锡期中)某人抛掷质地均匀的骰子，其抛掷两次的数字之和为7的概率是________．16[抛掷两次骰子共有36种不同的结果，其中数字之和为1的共有(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，6种不同的结果，故所求事件的概率P ＝636＝16.]3．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，那么2本数学书相邻的概率为________. 【导学号：62172305】23 [设两本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为b .那么在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.]4．(2021·扬州模拟)从1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，那么这2个数的和为偶数的概率是________．25[从5个数中随机抽取2个不同的数，共有10种不同的结果，其中2个数的和为偶数，共有(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)4种不同的结果，故所求事件的概率P ＝410＝25.]5．同时抛掷三枚质地均匀、大小一样的硬币一次，那么至少有两枚硬币正面向上的概率为________．12 [所有可能的试验结果有(上，上，上)，(上，上，下)，(上，下，上)，(下，上，上)，(下，下，下)，(下，下，上)，(下，上，下)，(上，下， 下)共8种．只有一枚正面向上的试验结果只有3种，全部向下的1种，故所求事件的概率P ＝1－3＋18＝12.]6．(2021 ·全国卷Ⅰ改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，那么称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，那么这3个数构成一组勾股数的概率为________．110 [从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.]7．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．13[记“两人都中奖〞为事件A ， 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P (A )＝26＝13.]8．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，那么点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________.【导学号：62172306】13 [点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.]9．在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝n π3，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________．15[根本领件总数为10，满足方程cos x ＝12的根本领件数为2，故所求概率为P ＝210＝15.]10．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，那么向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为________.【导学号：62172307】16[由题意知，向量m共有4×3＝12个，由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，那么满足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)共2个，故所求概率P＝212＝16.]二、解答题11．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运发动人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运发动组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运发动的人数；(2)将抽取的6名运发动进展编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运发动中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运发动中至少有1人被抽到〞，求事件A发生的概率．[解](1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运发动人数分别为3,1,2.(2)①从6名运发动中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②编号为A5和A6的两名运发动中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝915＝35.12．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全一样．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c〞的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全一样〞的概率．[解](1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c 〞为事件A ，那么事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c 〞的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全一样“为事件B ，那么事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全一样〞的概率为89.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，假设a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，那么该函数有两个极值点的概率为________．23[对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，即a >b .又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23.]2．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全一样，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，那么使不等式a －2b ＋4＜0成立的事件发生的概率为________．14[由题意知(a ，b )的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a －2b ＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．故所求事件的概率P＝416＝14.]3．某饮料公司对一名员工进展测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全一样，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．假设该员工3杯都选对，那么评为优秀；假设3杯选对2杯，那么评为良好；否那么评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．[解]将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，那么从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可见共有10种．令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，那么(1)P(D)＝110，即此人被评为优秀的概率为110.(2)P(E)＝35，P(F)＝P(D)＋P(E)＝710.∴此人被评为良好及以上的概率为7 10.4．一个袋中有4个大小一样的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，假设连续取三次，那么分数之和为4分的概率是多少？[解](1)连续取两次的根本领件有：(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16个．连续取两次都是白球的根本领件有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个．故所求概率为416＝14.(2)连续取三次的根本领件有：(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)；(红，白1，红)，(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白1，黑)，…，共64个．因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，假设连续取三次，那么分数之和为4分的根本领件有：(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共15个．故所求概率为15 64.。
2021高考数学一轮复习讲义《古典概型》
每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. 5
B.4
C.5
D.7
18
9
9
9
解析 由题意可知依次抽取两次的基本事件总数 n＝9×8＝72，抽到的 2 张卡片
上的数奇偶性不同的基本事件个数
m＝C15C14A22＝40，所以所求概率
p＝m＝40＝5. n 72 9
答案 C
6.(2019·长沙模拟改编)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此
11 故一次摸球摸到白球的可能性为 5 ，
11 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为 3 ，
11 显然这三个基本事件出现的可能性不相等， 故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型. 规律方法 古典概型中基本事件个数的探求方法： (1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x，y)可看成是有 序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同. (3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识. 【训练 1】 甲、乙两人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2、红桃 3、红桃 4、方片 4)玩 游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌 不放回，各抽 1 张. (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况. (2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏 是否公平？为什么？ 解 (1)设(i，j)表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，则甲、乙二人抽到 的牌的所有情况(方片 4 用 4′表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3， 4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共 12 种. (2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′， 3)，共 5 种情况，∴甲胜的概率 p＝ 5 ，∵ 5 ≠1，∴此游戏不公平.
2021版高考数学苏教版(新课程版)一轮复习 11.4 古典概型
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核心考点·精准研析考点一古典概型1.在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是 ( )A. B. C. D.2.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.世纪金榜导学号【解析】1.选A.在1,2,3,6中随机取出3个数,所有的结果为123,126,136,236,共4种,其中数字2是这3个数的平均数的结果只有123,所以由古典概型的概率公式得所求概率为.2.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D}, {C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.②由①,不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以,事件M发生的概率为P(M)=.1.求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.2.求基本事件个数的三种方法(1)列举法:把所有的基本事件一一列举出来,此方法适用于情况相对简单的问题.(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包含的基本事件数.(3)树状图法:树状图法是使用树的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要方法.考点二古典概型的综合问题命题精解读考什么:(1)考查数学文化背景下的古典概型问题(2)考查与实际生活有关的概率问题怎么考:以数学文化或实际生活为载体考查概率问题新趋势:考查与向量、函数等知识交汇的概率问题学霸好方法1.解决数学文化背景下或实际生活中的概率问题的方法充分读取题目信息,恰当转化为古典概型问题,代入概率公式求解.2.考查与向量、函数等知识交汇的概率问题脱去向量、函数的“外衣”,构造概率模型求解.与数学文化有关的古典概型问题【典例】为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套,如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍,那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选D.记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a 、b、c、d,则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab、ac、ad、bc、bd、 cd,共6种,符合条件的情况为ab共1种,故概率为.与函数、向量等知识交汇的古典概型问题【典例】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋. 世纪金榜导学号(1)写出数量积X的所有可能取值.(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【解析】(1)X的所有可能取值为-2 ,-1,0, 1.(2)数量积为-2的只有·一种;数量积为-1的有·,·,·,·,·,·六种; 数量积为0的有·,·,·,·四种;数量积为1的有·,·,·,·四种,所以所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为P1=.因为去唱歌的概率为P2=,所以小波不去唱歌的概率P=1-P2=1-=.1.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为 ( )A.0.4B.0.6C.0.8D.1【解题指南】先对产品标号,然后列举出可能出现的结果,根据古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】选B.5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A为“恰有一件次品”,则P(A)==0.6.2.现在某类病毒记作X m Y n,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为________.【解析】因为正整数m的选取有1,2,3,4,5,6,7,共7种情况,而对于m 的每一种取法,n可以取1,2,3,4,5,6,7,8,9,共9种方法,所以基本事件空间中有7×9=63个元素,其中事件“m,n都取到奇数”包含的基本事件数为4×5=20,所以所求的概率为.答案:1.若a,b∈{-1,0,1,2},则使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的概率为________.【解析】要使方程有实数解,则a=0或所有可能的结果为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),共16个,其中符合要求的有13个,故所求概率P=.答案:2.甲、乙两人玩一种游戏,在装有质地、大小完全相同,编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率.(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.【解析】(1)设“两个编号和为8”为事件A,则事件A包括的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个.又甲、乙两人取出的数字共有6×6=36种等可能的结果,故P(A)=.(2)这种游戏规则是公平的.设甲赢为事件B,乙赢为事件C,由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2), (4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18个.所以甲赢的概率P(B)==,故乙赢的概率P(C)=1-==P(B),所以这种游戏规则是公平的.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
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第四节古典概型[最新考纲] 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率．1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型的特点3．古典概型的概率计算公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．()(3)概率为0的事件一定是不可能事件．()(4) 从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型． ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为()A.23 B.14C.13 D.12D[一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P＝24＝12.]2．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下的2种颜色的花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花种在同一花坛的概率是()A.110 B.12 C.13 D.56C[把这4种颜色的花种在两个花坛中的所有情况为(红，黄)，(白，紫)；(红，白)，(黄，紫)；(红，紫)，(黄，白)；(黄，白)，(红，紫)；(黄，紫)，(红，白)；(白，紫)，(红，黄)，共有6种，其中红色和紫色的花种在同一花坛的情况有2种，所以红色和紫色的花种在同一花坛的概率P＝26＝13，故选C.]3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()A.25 B.415C.35 D.23A[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝615＝25.]4．同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为．56[掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－636＝56.]考点1简单的古典概型计算古典概型事件的概率可分3步(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.提醒：解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法．(1)甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.34 B.13 C.310 D.25(2)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110 B.15C.310 D.25(3)(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516 B.1132C.2132 D.1116(1)D(2)D(3)A[(1)用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元．乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝410＝25.(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝1025＝25.故选D.(3)由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C36＝6×5×46＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝2064＝516.故选A.]古典概型中基本事件个数的探求方法(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x，y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识．[教师备选例题]1．设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A.18B.14C.13D.12A [有序数对(m ，n )的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a ⊥(a －b )，得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2，由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以所求的概率P (A )＝216＝18.]2．用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，若用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a 1＜a 2＜a 3＞a 4＞a 5特征的五位数的概率为 ．120[1,2,3,4,5可组成A 55＝120个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的5必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有C 24C 22＝6个，故出现a 1＜a 2＜a 3＞a 4＞a 5特征的五位数的概率为6120＝120.]1.(2019·武汉模拟)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为()A.310 B.25C.320 D.14C[将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C36种放法，甲盒中恰好有3个小球有C23种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为C23C36＝320.故选C.]2．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是()A.512 B.13C.14 D.16A[∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，∴基本事件总数n＝3×4＝12.函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；②当a≠0时，需要满足ba≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P＝5 12.]考点2古典概型与统计的综合求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目A B C D E F子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○(ⅰ)(ⅱ)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．[解](1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．(ⅱ)由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事件M发生的概率P(M)＝11 15.有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．[教师备选例题]某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．[解](1)由题意知，样本数据的平均数x＝4＋6＋12＋12＋18＋206＝12.(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为26＝13，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13＝30(个)．(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，故所求概率P(M)＝815.移动公司拟在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．[解](1)设事件A为“从中任选1 人获得优惠金额不低于300元”，则P(A)＝150＋10050＋150＋100＝5 6.(2)设事件B为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出2人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15个．其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4个．则P(B)＝4 15.故这2人获得相等优惠金额的概率为4 15.。