复习曲线运动和万有引力定律
4章末总结曲线运动与万有引力定律的应用
2.类平抛运动
【例3】 如图2所示, 一带电粒子以
竖直向上的初速度v0,自A处进入 电场强度为E、方向水平向右的匀 强电场中,它受到的电场力恰与重 图2
力大小相等.当粒子到达图中B处时,速度大小仍
专题讲座
专题一 曲线运动和平抛运动 1.物体做曲线运动的条件
2.曲线运动的特点
3.利用运动的合成与分解研究一般曲线运动的思 维流程 (欲知)曲线运动规律→经等效分解后,(只需)研 究两直线运动规律→经等效合成后,(得知)曲线
运动规律.
【例1】在抗洪战斗中,一摩托艇要到正对岸抢救灾 民.关于该摩托艇能否到达正对岸的说法中正确
为v0,但方向变为水平向右,那么A、B之间的电势
差等于多少?从A到B经历的时间为多长? 解析 带电粒子从A→B的过程中,竖直分速度减
小,水平分速度增大,表明带电粒子的重力不可忽
略,且带正电荷,受电场力方向向右.依题意有 mg=Eq.
根据动能定理:UABq-mgh=0(动能不变)
在竖直方向上做竖直上抛运动,则
v02-0=2gh,v0=gt
v0 v2 解得 h ,t 2g g
U AB Eqv0 Ev0 mgh mg v0 q q 2g 2 gq 2g
2 2 2
答案
Ev0 2g
2
v0 g
点评
带电粒子在电场中具有加速作用和偏转作
用.分析问题时,注意运动学、动力学、功和能等
有关规律的综合运用.当带电粒子在电场中的运动 不是类平抛运动,而是较复杂的曲线运动时,可以 把复杂的曲线运动分解到两个互相正交的简单的 分运动来求解.
2023届高考物理三轮重点题型2万有引力与曲线运动
高考三轮：重点题型--万有引力与曲线运动(2)❶万有应力的应用：万有引力定律、天体问题、双星问题、宇宙速度、同步卫星❷曲线运动的综合应用：平抛运动、匀速圆周运动、曲线运动中的能量与动量问题1我国已成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。
该卫星()A.入轨后可以位于北京正上方B.入轨后的速度大于第一宇宙速度C.发射速度大于第二宇宙速度D.若发射到近地圆轨道所需能量较少解析D 同步卫星只能位于赤道正上方，A 错误；由GMm r 2=mv 2r 可得v =GM r ，可知卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B 错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C 错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少。
2世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”在圆满完成4个月的在轨测试任务后，正式交付用户单位使用。
如图为“墨子号”变轨示意图，轨道A 与轨道B 相切于P 点，轨道B 与轨道C 相切于Q 点，以下说法正确的是()A.“墨子号”在轨道B 上由P 向Q 运动的过程中速率越来越大B.“墨子号”在轨道C 上经过Q 点的速率大于在轨道A 上经过P 点的速率C.“墨子号”在轨道B 上经过P 点时的向心加速度大于在轨道A 上经过P 点时的向心加速度D.“墨子号”在轨道B 上经过Q 点时受到的地球的引力小于经过P 点时受到的地球的引力解析D “墨子号”在轨道B 上由P 向Q 运动的过程中，逐渐远离地心，速率越来越小，故选项A 错误；“墨子号”在A 、C 轨道上运行时，轨道半径不同，根据G Mm r2=m v 2r 可得v =GM r ，轨道半径越大，线速度越小，故选项B 错误；“墨子号”在A 、B 两轨道上经过P 点时，离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，故选项C 错误；“墨子号”在轨道B 上经过Q 点比经过P 点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，故选项D 正确。
高考专题复习第5单元-曲线运动 万有引力与航天-物理
L 2 例 2 (1)垂直河岸 u ＋v2； v u L (2)偏上游与河岸夹角 α＝arccosv v2－u2
L v
L
第22讲 │ 要点探究
[解析] (1)为使渡河时间最短， 必须使垂直于河岸的分速度 尽可能大，即应沿垂直于河岸的方向划船，则渡河经历的时间 L 为 t1 ＝ v ， uL 小船沿平行河岸的分位移为 s′＝ut1＝ v ， L 2 2 2 所以小船渡河位移 x1＝ L ＋s′ ＝ v u ＋v2.
第22讲 │ 要点探究
变式题 2 A [解析] 船头正对对岸时，时间最短， d 为 t1＝ ；船相对于水的速度大于水速，所以最短位移等 v船 d 于河的宽度 d，渡河时间为 t2＝ 2 2 ；联立以上方程 v船－v水 v船 t2 可以解得： ＝ 2 2，A 选项正确． v水 t2－t1
第22讲 │ 考点整合
(2)a 恒定：性质为匀变速运动，可分为三类： 匀加速直线 ①初速度 v 与 a 同向，性质为____________运动； ②初速度 v 与 a 反向，性质为____________运动； 匀减速直线 ③初速度 v 与 a 成一定角度(不为 0° 180° 或 )，性 质为____________运动(轨迹在 v、a 之间， 速度方向逐 匀变速曲线 渐向 a 的方向接近，但不可能达到)．
第22讲 │ 要点探究
变式题 1 A [解析] 橡皮在水平方向运动与铅笔的 运动相同，为匀速直线运动．因绳的长度不变，水平部分 绳的长度随时间均匀增大， 所以竖直部分绳的长度随时间 均匀减小，橡皮在竖直方向也做匀速直线运动．因此橡皮 的合运动是匀速直线运动．
第22讲 │ 要点探究
[2010· 同安一中] 某人横渡一河流，船滑行相对于谁的速 度和水流动速度一定，此人过河最短时间为 t1；若船相对于水 的速度大于水速，则船相对于水的速度与水速大小之比为 ( )
高考物理复习曲线运动和万有引力必背公式
高考物理复习曲线运动和万有引力必背公式运动的合成与分解按平行四边形法例进行。
以下是整理的曲线运动和万有引力必背公式，请考生切记学习。
1)平抛运动1.水平方向速度： Vx=Vo2. 竖直方向速度： Vy=gt3.水平方向位移： x=Vot4. 竖直方向位移： y=gt2/25.运动时间 t=(2y/g)1/2( 往常又表示为 (2h/g)1/2)6.合速度 Vt=(Vx2+Vy2)1/2=[Vo2+(gt)2]1/2合速度方向与水平夹角：tg=Vy/Vx=gt/V07.合位移： s=(x2+y2)1/2 ，位移方向与水平夹角： tg=y/x=gt/2Vo8.水平方向加快度： ax=0; 竖直方向加快度： ay=g注：(1)平抛运动是匀变速曲线运动，加快度为 g，往常可看作是水平方向的匀速直线运与竖直方向的自由落体运动的合成;(2)运动时间由着落高度 h(y) 决定与水平抛出速度没关 ;(3)与的关系为 tg=2tg(4)在平抛运动中时间 t 是解题重点 ;(5) 做曲线运动的物体必有加快度，当速度方向与所受协力 ( 加快度 ) 方向不在同向来线上时，物体做曲线运动。
2)匀速圆周运动1. 线速度 V=s/t=2r/T2.角速度=/t=2f1 / 33. 向心加快度a=V2/r=2r=(2/T)2r4.向心力F心=mV2/r=m2r=mr(2/T)2=mv=F 合5.周期与频次： T=1/f6. 角速度与线速度的关系： V=r7.角速度与转速的关系 =2n( 此处频次与转速意义同样 )8.主要物理量及单位：弧长 (s) ： (m); 角度 () ：弧度 (rad);频次 (f);赫(Hz);周期(T)：秒(s);转速(n);r/s;半径(r)：米 (m); 线速度 (V) ：m/s; 角速度 () ：rad/s; 向心加快度： m/s2。
注：(1)向心力能够由某个详细力供给，也能够由协力供给，还能够由分力供给，方向一直与速度方向垂直，指向圆心;(2)做匀速圆周运动的物体，其向心力等于协力，而且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，所以物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不停改变 . 3)万有引力1. 开普勒第三定律：T2/R3=K(=42/GM){R ：轨道半径， T：周期， K：常量 ( 与行星质量没关，取决于中心天体的质量) ｝2.万有引力定律： F=Gm1m2/r2(G=6.6710-11N?m2/kg2 ，方向在它们的连线上 )3.天体上的重力和重力加快度： GMm/R2=mg;g=GM/R2{R：天体半径 (m) ， M：天体质量 (kg) ｝4.卫星绕行速度、角速度、周期：V=(GM/r)1/2;=(GM/r3)1/2;T=2(r3/GM)1/2{M：中心天体质2 / 3精选资料量｝5. 第一 ( 二、三 ) 宇宙速度 V1=(g 地 r 地 )1/2=(GM/r地6. 地球同步卫星GMm/(r 地+h)2=m42(r 地+h)/T2{h36000km ，h：距地球表面的高度，r 地：地球的半径｝注： (1) 天体运动所需的向心力由万有引力供给， F 向 =F 万 ;(2) 应用万有引力定律可估量天体的质量密度等;(3)地球同步卫星只好运转于赤道上空，运转周期和地球自转周期同样 ;(4)卫星轨道半径变小时，势能变小、动能变大、速度变大、周期变小 ( 一起三反 );(5) 地球卫星的最大围绕速度和最小发射速度均为。
高三物理一轮复习第四章第4讲万有引力定律及其应用课件
第二十一页，共三十六页。
1．[估算天体质量] (2018·浙江 4 月选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每 16 天绕
土 则卫星 土星一 星绕周 的土， 质星其 量运公 约动转 为，轨(土B道星半的) 径引约力为提供1.2卫×星10做6 圆km周，运已动知的引向力心常力量，G设＝土6星.67质×量10为－11MN，·mG2RM/k2mg2，
约为( C )
代入可得 ρ≈5×1015 kg/m3，故 C 正确．
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
12/9/2021
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3大“．工慧[天程眼体建”质设卫量捷星和报的密频向度传心的，加综“速合慧度计眼大算”]小卫为习星近a邀＝平游(2主T太π席)空2 在r．＝2“40Tπ1慧228r，眼年选”新于项年贺2A0词1正7中确年提；6到根月，据1科5G日技M在创r2m酒新＝泉、m重卫4Tπ22r
第十四页，共三十六页。
(1)在赤道上：GMRm2 ＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：GMRm2 ＝mg2. (3)在一般位置：万有引力 GMRm2 等于重力 mg 与向心力 F 向的矢量和． 越靠近南北两极 g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引 力近似等于重力，即GRM2m＝mg.
12/9/2021
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2．[万有引力定律的应用] (2018·高考北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与 若“使想苹检果验落“地使的月力球”绕遵地循球同运样动的的规力律”，与在已“知使月苹地果距落离地约的为力地”球遵半循径同60样倍的的规情律况—下—，万需有
曲线运动与万有引力试题
《曲线运动与万有引力定律》基础知识复习一、曲线运动1、曲线运动的性质：（1）曲线运动中运动的方向时刻_______ （改变、不变、），质点在某一时刻（某一点）的速度方向是沿______________ ，并指向运动的凹侧。
（2）曲线运动一定是________ 运动，一定具有_________ 。
2、曲线运动的条件：（1）运动速度方向与加速度的方向共线时，运动轨迹是___________（2）运动速度方向与加速度的方向不共线，且合力为定值，运动为_____ ____运动，如：_________________________ ___（3）运动速度方向与加速度的方向不共线，且合力不为定值，运动为____ _______运动，如：_____________________________________3、曲线运动速度大小、方向的的判定：（1）当力的方向与速度垂直时：速度的大小_______（变、不变、可能变），（2）当力的方向与速度成锐角时：速度的大小________ （变大、不变、变小），（3）力的方向与速度成钝角时：速度的大小___________ （变大、不变、变小），曲线运动轨迹向___________________弯曲；1. 关于物体做曲线运动，下列说法正确的是A. 物体在恒力作用下不可能做曲线运动B. 物体在变力作用下不可能作曲线运动C. 作曲线运动的物体，其速度方向与加速度方向不在同一直线上D. 物体在变力作用下不可能作直线运动2. 下列曲线运动的说法中正确的是A. 速率不变的曲线运动是没有加速度的B. 曲线运动一定是变速运动C. 变速运动一定是曲线运动D. 曲线运动一定有加速度，且一定是匀加速曲线运动3．关于物体做曲线运动的条件，下述说法正确的是A. 物体在恒力作用下不可能做曲线运动B. 物体在变力作用下一定做曲线运动C. 合力的方向与物体速度的方向不相同也不相反时，物体一定做曲线运动D. 做曲线运动的物体所受到的力的方向一定是变化的4. 红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的：A. 直线P B．曲线Q C．曲线R D．无法确定二、平抛运动5. 如图所示，飞机离地面高度为H＝500m，水平飞行速度为v1＝100m/s，追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g=10m/s2)6. 关于平抛运动，下列说法中正确的是A. 平抛运动都是加速度不变的运动B. 平抛运动的水平射程只决定于初始位置的高度，而与抛出速度无关；C. 平抛运动的水平射程只决定于初速度的大小，而与抛出高度无关；D. 平抛运动的速度和加速度方向都是在不断变化的。
004物理总复习名师学案--曲线运动和万有引力定律
物理总复习名师学案--曲线运动和万有引力定律●考点指要【说明】 不要求会推导向心加速度的公式a =Rv 2.●复习导航本章所研究的运动形式不同于前面两章，但研究的方法仍与前面一致，即根据牛顿第二定律研究物体做曲线运动时力与运动的关系.所以本章知识是牛顿运动定律在曲线运动形式下的具体应用.另外，运动的合成和分解是研究复杂运动的基本方法，万有引力定律是力学中一个独立的基本定律.复习好本章的概念和规律，将加深对速度、加速度及其关系的理解，加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析解决实际问题的能力，同时对复习振动和波、交流电、带电粒子在电场或磁场中的运动做好必要的准备.平抛物体运动的规律及其研究方法、圆周运动的角速度、线速度、向心加速度和万有引力、人造卫星都是近年来高考的热点.由于航天技术、人造地球卫星属于现代科技发展的重要领域，所以近些年的高考对万有引力、人造卫星的考查每年都有.平抛运动、匀速圆周运动还经常与电场力、洛伦兹力联系起来进行综合考查.所以，对本章的复习应给予足够的重视.本章内容可分成三个单元组织复习：(Ⅰ)运动的合成和分解；平抛运动.(Ⅱ)圆周运动.(Ⅲ)万有引力定律；人造地球卫星.第Ⅰ单元 运动的合成和分解·平抛运动●知识聚焦一、运动的合成和分解1.运动的独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，互不影响.2.运动的合成：加速度、速度、位移都是矢量，遵守矢量的合成法则. (1)两分运动在同一直线上时，同向矢量大小相加，反向矢量大小相减.(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图4—1—1所示.图4—1—1(3)两分运动垂直时或正交分解后的合成 a 合=22y x a a + v 合=22y x v v + s 合=22y x s s +3.运动的分解：是运动合成的逆过程.分解原则：根据运动的实际效果分解或正交分解. 二、曲线运动1.曲线运动的特点：运动质点在某一点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的曲线的切线方向.因此，质点在曲线运动中的速度方向时刻在改变.所以曲线运动一定是变速运动.但是，变速运动不一定是曲线运动.2.物体做曲线运动的条件：从运动学角度说，物体的加速度方向跟速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动.从动力学的角度说，如果物体所受合外力的方向跟物体的速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动.三、平抛运动1.定义：水平抛出的物体只在重力做用下的运动.2.性质：是加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.3.处理方法：可分解为(1)水平方向速度等于初速度的匀速直线运动.v x ＝v 0，x ＝v 0t.(2)竖直方向的自由落体运动.v y ＝gt ，y ＝21gt 2. 下落时间t ＝g y /2 (只与下落高度y 有关，与其他因素无关). 任何时刻的速度v 及v 与v 0的夹角θ：v ＝220)()(gt v +，θ＝arctan （gt /v 0）任何时刻的总位移： s ＝222022)21()(gt t v y x +=+●疑难辨析1.匀变速曲线运动与非匀变速曲线运动的区别：加速度a 恒定的曲线运动为匀变速曲线运动，如平抛运动. 加速度a 变化的曲线运动为非匀变速曲线运动，如圆周运动. 2.对运动的合成和分解的讨论 （１）合运动的性质和轨迹两直线运动合成，合运动的性质和轨迹由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定：两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动.一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍是匀变速运动：二者共线时为匀变速直线运动；二者不共线时为匀变速曲线运动.两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动：当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动；当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动.(2)轮船渡河问题的分解方法1：将轮船渡河的运动看做水流的运动(水冲船的运动)和轮船相对水的运动(即设水不流动时船的运动)的合运动.方法2：将船对水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解如图4—1—2所示，则v 1－v 2cos θ为轮船实际上沿水流方向的运动速度，v 2sin θ为轮船垂直于河岸方向的运动速度.图4—1—2①要使船垂直横渡，则应使v 1－v 2cos θ＝0，此时渡河位移最小为d .②要使船渡河时间最短，则应使v 2sin θ最大，即当θ＝90°时，渡河时间最短为t ＝d /v 2. （2）物体拉绳或绳拉物体运动的分解——按运动的实际效果分解.例如，图4—1—3中，人用绳通过定滑轮拉物体A ，当人以速度v 0匀速前进时，求物体A 的速度.图4—1—3首先要分析物体A 的运动与人拉绳的运动之间有什么样的关系.物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看做两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v 0；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值.这样就可以将v A 按图示方向进行分解，很容易求得物体A 的速度v A ＝cos 0v .当物体A 向左移动，θ将逐渐变大，v A 逐渐变大.虽然人做匀速运动，但物体A 却在做变速运动.在进行速度分解时，要分清合速度与分速度.合速度就是物体实际运动的速度，是平行四边形的对角线.虽然分速度的方向具有任意性，但只有按图示分解时，v 1才等于v 0，才能找出v A 与v 0的关系，因此，分速度方向的确定要视题目而具体分析.在上述问题中，若不对物体A 的运动认真分析，就很容易得出v A ＝v 0cos θ的错误结果.3.平抛运动中，任何两时刻(或两位置)的速度变化量Δv ＝g Δt ，方向恒为竖直向下.如图4—1—4所示.图4—1—4●典例剖析［例1］一艘小船从河岸的A 处出发渡河，小船保持与河岸垂直方向行驶，经过10 min 到达正对岸下游120 m 的C 处，如图4—1—5所示.如果小船保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5 min 恰好到达正对岸的B 处，求河的宽度.图4—1—5【解析】 解决这类问题的关键是画好速度合成的示意图，画图时首先要明确哪是合运动哪是分运动.对本题来讲，AC 和AB 是两个不同运动过程中船相对于岸的实际运动方向，那么AB 和AC 就是速度合成平行四边形的对角线.一旦画好平行四边形，剩下的工做就是根据运动的等时性以及三角形的边角关系列方程求解了.设河宽为d ，河水流速为v 水，船速为v 船，船两次运动速度合成如图4—1—6和4—1—7所示图4—1—6 图4—1—7第一次渡河与第二次渡河在垂直岸的方向上位移相等，则 v 船t 1=v 船sin αt 2 ① 第一次渡河沿水流方向上位移为BC ，则BC ＝v 水t 1②由图4—1—7可得船的合速度：v =v 水tan α，所以河的宽度为： d =v t 2＝v 水tan α·t 2 ③ 由①式得 sin α=0.8 故tan α=24由②式得 v 水=12 m/min 代入③式可得河宽d =１2×34×１2.5 m ＝200 m 【思考】 (1)若渡河过程中水流的速度突然变大了，是否影响渡河时间?是否影响到达对岸的地点? (2)如果v 船＜v 水，小船还能不能到达对岸的B 点?这时的最小位移该如何求?【思考提示】 （1）水流的速度增大，不影响过河的时间，但影响到达对岸的地点.（2）当v 船＜v 水时，小船不能到达对岸B 点.当v 船跟船的合速度垂直时，船过河的位移最小. 【设计意图】 通过本例说明运动合成与分解的方法，并进一步说明分析小船过河问题的方法. ［例2］在高空匀速水平飞行的飞机，每隔1 s 投放一物体，则 A.这些物体落地前排列在一条竖直线上B.这些物体都落在地面上的同一点C.这些物体落地时速度大小和方向都相同D.相邻物体在空中距离保持不变【解析】 这些物体离开飞机后均做平抛运动.在水平方向上，物体与飞机的速度相同，所以所有物体在落地前均处在飞机的正下方.故A 选项正确.物体下落的总时间相同，水平方向最大位移也相同，由于不同物体的抛出点不同，所以落地点也不同.故Ｂ选项错.物体落地时的水平分速度v 0均相同，竖直分速度v y ＝gh 2也相同，所以这些物体落地速度的大小和方向都相同.故C 选项正确.任两个相邻物体在空中的距离Δh ＝h 1－h 2＝21gt 2－21g （t －1）2＝21g （2t －1），即随着t 的增大，Δh 也逐渐增大.Ｄ选项错.故正确选项为AC【思考】 (1)飞机上的人看物体做什么运动?地面上的人又认为物体做什么运动? (2)若某时刻一物体刚离开飞机，试画出此前四个物体的运动轨迹示意图.(3)若物体在落地前的最后10 s 内，其速度方向由跟竖直方向成60°变为45°.那么，飞机的高度和速度多大?相邻物体落地点间的距离多大?【思考提示】 （1）飞机上的人看物体做自由落体运动，地面上的人看物体做平抛运动.（2）如图a 所示. （3）如图b 所示. v y1=v 0tan30° v y2=v 0tan45° v y2-v y1=g Δt求得v 0=236.6 m/s v y2=v 0=236.6 m/s 飞机的飞行高度为h =1026.2362222⨯=g v y m=2799 m 相邻物体落地点间的距离为236.6 m.【设计意图】 复习平抛运动的规律及研究方法.［例3］如图4—1—8所示，排球场总长为18 m ，设网的高度为2 m ，运动员站在离网3 m 远的线上正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出.(g =10 m/s 2)图4—1—8(1)设击球点的高度为2.5 m ，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界? (2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度多大，球不是触网就是出界，试求出此高度?【解析】 水平击出的排球其运动情况虽然受空气阻力的影响，但是当这类题目出现在中学物理中时仍然可以简化为只受重力做用，因此在这里可以认为其运动为平抛运动.第(1)问中击球点位置确定之后，恰不触网是速度的一个临界值，恰不出界则是击球速度的另一个临界值.第(2)问中确定的则是临界轨迹，当击球点、网的上边缘和边界点三者位于临界轨迹上时，如果击球速度变小则一定触网，否则速度变大则一定出界.（1）如图4—1—9所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ.排球恰不出界时其轨迹为Ⅱ.根据平抛物体的运动规律：x=v 0t 和h ＝21gt 2可得，当排球恰不触网时有：图4—1—9 x 1＝3 m x 1＝v 1t 1① h 1＝2.5 m －2 m ＝0.5 m ，h 1＝21gt 12②由①②可得：v 1=9.5 m/s当排球恰不出界时有： x 2＝3 m ＋9 m ＝12 m,x 2＝v 2t 2 ③ h 2＝2.5 m,h 2＝21gt 22④由③④可得：v 2＝17 m/s所以既不触网也不出界的速度范围是： 9.5 m/s ＜v ≤17 m/s(2) 图4—1—10所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹.设击球点的高度为h ，根据平抛运动的规律则有：图4—1—10 x 1＝3 m ，x 1＝v t 1′⑤ h 1′＝h －2 m,h 1′＝21gt 1′2⑥ x 2＝3 m ＋9 m ＝12m,x 2＝v t 2′ ⑦ h 2＝h ＝21gt 2′2⑧解⑤～⑧式可得所求高度h =2.13 m.【说明】 本题涉及的物理过程并不复杂，但每当遇到类似的题目时常常又感到无从下手，因此能养成一个良好的分析问题解决问题的思路特别重要.结合本题的解题过程不难看出，解决本题的关键有三点：其一是确定运动性质——平抛运动；其二是确定临界状态——恰不触网或恰不出界；其三是确定临界轨迹——轨迹示意图.【设计意图】 （1）通过本例说明平抛运动中临界问题的分析方法；（2）练习应用平抛运动规律分析实际问题的方法.●反馈练习 ★夯实基础1.做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是 A.大小相等，方向相同 B.大小不等，方向不同 C.大小相等，方向不同 D.大小不等，方向相同【解析】 平抛运动是匀变速运动，加速度为重力加速度，速度的改变量为Δv =gt 故平抛运动的物体每1 s 速度的增量大小为9.8 m/s ，方向竖直向下，A 选项正确. 【答案】 A2.对平抛运动的物体，若g 已知，再给出下列哪组条件，可确定其初速度大小 A.水平位移 B.下落高度C.落地时速度的大小和方向D.落地时位移的大小和方向【解析】 平抛运动的物体水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动.已知落地时速度大小和方向，则初速度为落地速度的水平分速度.【答案】 C3.物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切tan α随时间t 变化的图象是如图4—1—11中的图4—1—11【解析】 由图中可看出平抛物体速度与水平方向夹角α正切即为：tan α＝00,v gt v g v v y为定值，则tan α与t 成正比. 【答案】 B4.有关运动的合成，以下说法正确的是A.两个直线运动的合运动一定是直线运动B.两个不在一直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动C.两个匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动D.匀加速直线运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动【解析】 判断合运动是直线运动还是曲线运动，依据是物体所受的合外力或物体的合加速度与合速度方向是否在一条直线上.【答案】 B5.甲乙两人在一幢楼的三层窗口比赛掷垒球，他们都尽力沿水平方向掷出同样的垒球，不计空气阻力.甲掷的水平距离正好是乙的两倍.若乙要想水平掷出相当于甲在三层窗口掷出的距离，则乙应A.在5层窗口水平掷出B.在6层窗口水平掷出C.在9层窗口水平掷出D.在12层窗口水平掷出【解析】 由于h 甲=h 乙，x 甲=2x 乙，所以v 甲=2v 乙；由x =v 0t 得为使x 甲′=x 乙′，须使t 甲′=21t 乙′；由h =21gt 2得h 甲′=41h 乙′，故为使甲、乙掷出球的水平距离相等，乙应在12层窗口水平抛出. 【答案】 D6.从倾角为θ的足够长的斜面上的A 点，先后将同一小球以不同的初速度水平向左抛出.第一次初速度为v 1，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α1，第二次初速度为v 2,球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α2，若v 1＞v 2,则A.α1＞α2B.α1=α2C.α1＜α2D.无法确定【解析】 如图所示，由平抛运动的规律知l sin θ=21gt 2l cos θ=v 0t 解得:t =gv θtan 20 由图知 tan(α+θ)=v gtv v y ==2tan θ 所以α与抛出速度 v 0无关，故α1=α2，选项B 正确. 【答案】 B7.炮台高出海面45 m ，炮弹的水平出口速度为600 m/s ，如果要使炮弹击中一艘正以36 km/h 的速度沿直线远离炮台逃跑的敌舰，那么应在敌舰离炮台____ m 处开炮.（g ＝10 m/s 2）【解析】 击中敌舰用时间：21gt 2＝h ，t ＝3 s ，则有v 敌舰t ＋x ＝v 炮弹·t ，则x ＝v 炮弹·t －v 敌舰·t ＝1770 m【答案】 17708.世界上第一颗原子弹爆炸时，恩里科·费米把事先准备好的碎纸片从头顶上方撒下，碎纸片落到他身后约2 m 处.由此，费米推算出那枚原子弹的威力相当于1万吨TNT 炸药.假设纸片是从1.8 m 高处撒下.请你估算当时的风速是___m/s ，并简述估算的方法 .【答案】310或3.3 把纸片的运动看做是平抛运动，由h ＝21gt 2，v ＝ts求出风速v ★提升能力9.玻璃生产线上，宽9 m 的成型玻璃板以2 m/s 的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为10 m/s ，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制?切割一次的时间多长?【解析】 本题是研究分运动和合运动的问题.由题图可知：cos θ＝m/s10m/s2＝0.2则θ＝arccos0.2 v ⊥＝m/s 96m/s 21022=-t ＝969 s ≈0.92 s【答案】 (1)轨道方向与玻璃板运动方向成arccos0.2. (2)0.92 s10.有一小船正在渡河，如图4—1—12所示，在离对岸30 m 时，其下游40 m 处有一危险水域.假若水流速度为5 m/s,为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，从现在起，小船相对于静水的最小速度应是多大？图4—2—12【解析】 如图所示，当小船到达危险水域前，恰好到达对岸，其合速度方向沿AC 方向，sin α=53.为使船速最小，应使v 1⊥v ，则 v 1=v 2sin α=53v 2=3 m/s. 【答案】 3 m/s11.五个直径均为d =5 cm 的圆环连接在一起，用细线悬于O 点.枪管水平时枪口中心与第五个环心在同一水平面上，如图4—1—13，它们相距100 m ，且连线与球面垂直.现烧断细线，经过0.1 s 后开枪射出子弹，若子弹恰好穿过第2个环的环心，求子弹离开枪口时的速度(不计空气阻力，g 取10 m/s 2).图4—1—13【解析】 设从子弹射出到穿过环心所用时间为t ，则根据平抛运动在竖直方向上做自由落体运动的特点，得竖直方向的位移关系：s 弹＋0.05×（5－2） m ＝s 环即21gt 2＋0.05×2 m ＝21g （t ＋0.1 s ）2， 解得t =0.1 s.又据子弹水平方向做匀速直线运动：则 v 0＝1.0100t s m/s ＝1000 m/s 【答案】 1000 m/s12.如图4—1—14，AB 为斜面，倾角为30°，小球从A 点以初速度v 0水平抛出，恰好落到B 点.求：图4—1—14(1)AB 间的距离；(2)物体在空中飞行的时间；(3)从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大?【解析】 (1)、(2)由题意，得：21gt 2＝l AB sin30° ① v 0t =l AB cos30°②解得：t =gv 02tan30°＝g 332v 0l AB =4v 02/3g(3)将v 0和重力加速度g 沿平行于斜面和垂直于斜面方向正交分解如图所示.则当物体在垂直于斜面方向速度为零时与斜面距离最大，即： v ⊥0-g ⊥t ′＝0v 0sin30°-g cos30°t =0所以t =g v 3/30或：当平抛运动的速度与斜面平行时，物体离斜面最远，如图所示， 则v y =v 0tan30°=gt ′ t ′=gv g v 3330tan 00=︒ 【答案】 (1)gv 3420;(2)g v 3320;(3)g v 330‴13.光滑斜面倾角为θ，长为L ，上端一小球沿斜面水平方向以速度v 0抛出，如图4—1—15所示.求小球滑到底端时，水平方向位移多大?图4—1—15【解析】 小球的运动可分解为两个分运动：①水平方向匀速直线运动；②沿斜面向下做初速度为零的匀加速直线运动，a =g sin θ.水平方向：s =v 0t沿斜面向下：L ＝21at 2解得l =v 0θsin 2g L.【答案】 v 0θsin 2g L‴14.飞机以恒定的速度v 沿水平方向飞行，飞行高度为2000 m ，在飞行过程中释放一炸弹，在30 s 后飞行员听见炸弹落地的爆炸声.假设此爆炸声向空间各个方向传播速度都为320 m/s ，炸弹受到的空气阻力可以忽略，取g ＝10 m/s 2.则炸弹经_______s 时间落地，该飞机的飞行速度v ＝_______m/s.(答案保留2位有效数字)【解析】 炸弹飞行时间由平抛运动规律可求.竖直方向为自由落体运动，则由h ＝21gt 2，可求得t 1＝20 s.则：声音传播时间t 2＝20 s －20 s ＝10 s飞机10 s 内飞行距离为：2220003200-由此可求飞行速度.炸弹落地时，飞机在其正上方，在声音传播到飞机的10 s 内飞机的位移为x =v 0t 2如图所示，则 h 2+x 2=v 2t 22即 h 2+v 02t 22=v 2t 22解得v 0=222th v -=222102000320- m/s=250 m/s 【答案】 20 2.5×102第Ⅱ单元 圆周运动●知识聚焦一、描述圆周运动的物理量 1.线速度(1)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢.(2)方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向. (3)大小：v ＝s /t (s 是t 时间内通过的弧长). 2.角速度(1)物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢. (2)大小：ω＝φ/t （rad/s ），φ是连接质点和圆心的半径在t 时间内转过的角度. 3.周期T ，频率f做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期.做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速. 4.v 、ω、4、f 的关系T ＝f1， ω＝f T ππ22， v ＝r fr r Tωππ==22注意：T 、f 、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了. 5.向心加速度(1)物理意义：描述线速度方向改变的快慢.(2)大小：a ＝r v 2＝ω2r ＝4π2f 2r ＝2244πr（2）方向：总是指向圆心.所以不论a 的大小是否变化，它都是个变化的量.6.向心力(1)做用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小.因此，向心力不做功.(2)大小：F ＝ma ＝m r v 2＝m ω2r＝m r 2244π＝4π2m f 2r（2）方向：总是沿半径指向圆心，向心力是个变力. 二、匀速圆周运动1.特点：匀速圆周运动是线速度大小不变的运动.因此它的角速度、周期和频率都是恒定不变的.物体受的合外力全部提供向心力.2.质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直. 三、一般的圆周运动(非匀速圆周运动)速度的大小有变化，向心力和向心加速度的大小也随着变化.公式v =ωr 、a =r v 2=ω2r 、F =m rv 2=m ω2r 对非匀速圆周运动仍然适用，只是利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值.●疑难辨析1.在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量和相等量的关系.同轴的各点角速度ω相等，而线速度v ＝ωr 与半径r 成正比，向心加速度a =ω2r 与半径成正比.在不考虑皮带打滑的情况下，传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝rv与半径r 成反比,向心加速度a =r v 2与半径成反比.2.处理圆周运动的动力学问题时，在明确研究对象以后，首先要注意两个问题：(1)确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向.例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图4—2—1所示.小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O ′点，不在球心O ，也不在弹力F N 所指的PO 线上.图4—2—1(2)向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互做用力(重力、弹力、摩擦力等)以外再添加一个向心力.3.圆周运动的临界问题：图4—2—2 图4—2—3(1)如图4—2—2和图4—2—3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的做用：mg ＝m Rv 2v 临界＝Rg②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力. ③不能过最高点的条件：v ＜v 临界(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道)图4—2—4 图4—2—5(2)如图4—2—4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v ＝0时，F N ＝mg （F N 为支持力）.②当0＜v ＜Rg 时，F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力. ③当v ＝Rg 时，F N ＝0.④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大.若是图4—2—5的小球在轨道的最高点时，如果v ≥Rg 此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力.●典例剖析［例1］如图4—2—6所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ,a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮半径为4r ，小轮半径为2r ,b 点在小轮上，到小轮中心距离为r ,c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则图4—2—6A.a 点与b 点线速度大小相等B.a 点与c 点角速度大小相等C.a 点与d 点向心加速度大小相等D.a 、b 、c 、d 四点，加速度最小的是b 点【解析】 分析本题的关键有两点：其一是同一轮轴上的各点角速度相同；其二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度相同.这两点抓住了，然后再根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出正确的结论.由图4—2—6可知，a 点和c 点是与皮带接触的两个点，所以在传动过程中二者的线速度相等，即v a＝v c ，又v =ωR ， 所以ωa r ＝ωc ·2r ，即ωa ＝2ωc .而b 、c 、d 三点在同一轮轴上，它们的角速度相等，则ωb ＝ωc ＝ωd ＝21ωa ，所以选项Ｂ错.又v b ＝ωb ·r ＝ 21ωa r ＝21v a ，所以选项A 也错.向心加速度：a a ＝ωa 2r ；a b ＝ωb 2·r ＝（21ωa ）2r ＝41ωa 2r ＝41a a ；a c ＝ωc 2·2r ＝（21ωa ）2·2r ＝ 21ωa 2r ＝21a a ；a d ＝ωd 2·4r ＝（21ωa ）2·4r ＝ωa 2r ＝a a .所以选项C 、D 均正确.【思考】 在皮带传动装置中，从动轮的转动是静摩擦力做用的结果.试分析一下主动轮和从动轮上的与皮带接触的各点所受摩擦力的情况.【思考提示】 从动能的摩擦力带动轮子转动，故轮子受到的摩擦力方向沿从动轮的切线与轮的转动方向相同；主动轮靠摩擦力带动皮带，故主动轮所受摩擦力方向沿轮的切线与轮的转动方向相反.【设计意图】 帮助学生理清表示圆周运动的各物理量间的关系.并掌握讨论有关问题的方法.［例2］如图4—2—7所示，在电机距轴O 为r 处固定一质量为m 的铁块.电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O 匀速转动.则电机对地面的最大压力和最小压力之差为 .【解析】 铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg 与轮对它的力F 的合力.由圆周运动的规律可知： 当m 转到最低点时F 最大，当m 转到最高点时F 最小.设铁块在最高点和最低点时，电机对其做用力分别为F 1和F 2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：在最高点：mg ＋F 1＝m ω2r ① 在最低点：F 2－mg ＝m ω2r ②电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m 位于最低点和最高点时，且压力差的大小为：ΔF N ＝F 2＋F 1 ③由①②③式可解得：ΔF N ＝2m ω2r【思考】 (1)若m 在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动? (2)当角速度ω为何值时，铁块在最高点与电机恰无做用力?图4—2—7(3)本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图.若电机的质量为M ，则ω多大时，电机可以“跳”起来?此情况下，对地面的最大压力是多少?【思考提示】 （1）平抛运动（2）电机对铁块无做用力时，重力提供铁块的向心力，则 mg =m ω12r即 ω1=rg (3)铁块在最高点时，铁块与电动机的相互做用力大小为F 1，则 F 1+mg =m ω22r F 1=Mg 即当ω2≥mr g m M )(+时，电动机可以跳起来，当ω2=mrgm M )(+时，铁块在最低点时电机对地面压力最大，则F 2-mg =m ω22r F N =F 2+Mg解得电机对地面的最大压力为F N =2（M+m )g【设计意图】 通过本例说明在竖直平面内物体做圆周运动通过最高点和最低点时向心力的来源，以及在最高点的临界条件的判断和临界问题分析方法.［例3］如图4—2—8所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A 和B ，相距0.1 m 、长1 m 的柔软细绳拴在A 上，另一端系一质量为0.5 k g 的小球，小球的初始位置在AB 连线上A 的一侧，把细线拉紧，给小球以2 m/s 的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动.由于钉子B 的存在，使线慢慢地缠在A 、B 上.图4—2—8(1)如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A 、B 上需要多长时间? (2)如果细线的抗断拉力为7 N ，从开始运动到细线断裂需经历多长时间?【解析】 小球交替地绕A 、B 做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力F 不断增大，半周期不断减小.推算出每个半周期的时间及半周期数，就可求出总时间，根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳断裂所经历的时间.在第一个半周期内：F 1＝m 02L v t 1＝vL 0π在第二个半周期内：F 2＝m ABL L v -02t 2＝vL L AB )(0-π在第三个半周期内：F 2＝m ABL L v 202-。
(全国通用)高三物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第4节 万有引力定律及其应用课时跟踪
万有引力定律与其应用对点训练：开普勒行星运动定律与万有引力定律1．(2016·某某黄浦区期末)关于万有引力定律，如下说法正确的答案是( ) A ．牛顿提出了万有引力定律，并测定了引力常量的数值 B ．万有引力定律只适用于天体之间C ．万有引力的发现，揭示了自然界一种根本相互作用的规律D ．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是一样的解析：选C 牛顿提出了万有引力定律，卡文迪许测定了引力常量的数值，万有引力定律适用于任何物体之间，万有引力的发现，揭示了自然界一种根本相互作用的规律，选项A 、B 错误C 正确；地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是不一样的，选项D 错误。
2．对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r 与周期T 关系作出如图1所示图像，如此可求得地球质量为(引力常量为G )( )图1A ．4π2a Gb B ．4π2bGaC ．Ga4π2b D ．Gb4π2a解析：选A 由GMm r 2＝m 4π2T 2·r 可得r 3T 2＝GM 4π2，结合图线可得，a b ＝GM 4π2，故M ＝4π2aGb，A正确。
3．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的( )A ．0.25倍B ．0.5倍C ．2.0倍D ．4.0倍解析：选C 由F 引＝GMm r2＝12GM 0m ⎝ ⎛⎭⎪⎫r 022＝2GM 0mr 02＝2F 地，故C 项正确。
4．(2016·福州二模)北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统将由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中地球轨道和倾斜轨道。
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一. 本周教学内容：
复习曲线运动和万有引力定律
1. 曲线运动：当运动物体所受合外力的方向跟它速度方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动。
2. 平抛运动：在与水平初速度垂直的重力作用下的曲线运动。
平抛运动可以分解成以
为速度的水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
3. 匀速圆周运动：
（1）匀速圆周运动：做圆周运动的物体，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等。
该运动叫匀速圆周运动。
（2）线速度：做匀速圆周运动的物体通过的弧长S跟通过这段弧所用时间的比。
（3）角速度：做匀速圆周运动的物体对圆心所转过的角度跟转过这角度所用时间的比。
单位：弧度/秒
（4）周期：匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫周期。
（5）频率：单位时间内完成匀速圆周运动的圈数叫频率。
（6）向心加速度：匀速圆周运动的加速度
（7）向心力：产生向心加速度的力叫向心力。
4. 万有引力定律：宇宙间的一切物体都是相互吸引的。
两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
二. 重点、难点分析：
1. 曲线运动：
发生曲线运动的条件即物体所受合外力在垂直于速度方向的分量不为零。
物体做曲线运动时，某一位置处（或某时刻）的速度方向就是那个位置处曲线的切线方向。
在一般曲线运动中，因物体的速度大小和速度方向都要改变。
所以有两个加速度，一种叫法向加速度，法向加速度的方向与该点的速度方向垂直，指向曲率中心，它改变速度的方向。
另一种叫切向加速度，切向加速度与该点的速度方向相同，它改变速度的大小。
2. 平抛运动：
平抛运动过程中的加速度始终是重力加速度，因此，在忽略空气阻力情况下的平抛运动是匀变速曲线运动。
3. 匀速圆周运动。
质点要形成匀速圆周运动，必须具备的条件：
（1）质点具有初速度
（2）质点所受合外力的大小或
合外力的方向时刻与速度方向相垂直，并指向圆心。
注意：①正在做匀速圆周运动的质点，当质点的速度突然消失，该质点将沿着合外力的方向运动；当质点所受合外力突然消失，该质点将沿切线方向做匀速直线运动。
②当提供给质点的合外力小于所需要的向心力时，速度方向的改变将减弱，质点就会逐渐离开圆心。
当提供给质点的合外力大于所需要的向心力时，速度方向改变加剧，质点就会逐渐移近圆心。
4. 万有引力定律。
万有引力定律中所说的物体，是指可以被看作质点的物体。
注意：重力加速度是高度的函数。
在地面附近
在距地面高处，
∴
【典型例题】
[例1] 某船在静水中的速度是，要渡过河宽为的河，水流速度是且，若使船渡河的位移最小，则船头的指向如何，渡河的最小位移是多少？
分析与解答：若船在静水中的速度流水速度，则当船的实际航向垂直于河对岸时，渡河的位移最小。
该渡河位移等于河宽。
但当船速水速时，无论如何调整船头的指
向，船的实际航行不能垂直河岸。
即渡河的实际位移一定大于河宽。
如图所示，但仍存在着合位移最小的情况
设船头指向与河岸所夹锐角为
则
注意：如果不能分析出由于船在静水中的速度小于水流速度而使得船的实际航向不可能垂直河对岸，则会得出船实际位移最小值仍等于河宽的错误结果。
[例2] 有人试图发射一颗绕地球做圆周运动的卫星，设地球半径为，地球表面的重力加速度为，下列设想中哪些是可以实现（）
A. 环绕速度是
B. 环绕速度是
C. 周期为
D. 周期为
分析与解答：因为地球可视为均匀球体，而卫星可看作质点，二者之间的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，结合导出环绕速度和周期。
得
又得
∴越小，越大，越小。
当近似为地球半径R时，最大，最小。
在地球表面上有∴
∴
∴正确答案B、C
【模拟试题】
一. 曲线运动、万有引力定律综合练习题
1. 两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，卫星离地面高度为R，卫星离地面高度为3R，则、两卫星周期之比为多大？若某时刻两卫星正好
同时通过地面上同一点的正上方，卫星至少经过多少个周期两卫星相距最近？
2. 如图所示，在距一质量为M，半径为R，密度均匀的球体R远处有一质量为的质点。
此时，M对的万有引力为，当从中挖去一半径为的球体时，剩下部分对的万有引力为，则和的比是多少。
3. 用表示同步卫星的质量，表示它离地面的高度，表示地球半径，表示地球表面的重力加速度，表示地球自转角速度，则同步卫星所受地球对它的万有引力大小是：（）
A. B.
C. D.
4. 质量为5000kg的汽车，通过半径为的拱形桥时，速率为，则汽车对桥
顶的压力是多大？
5. 一个物体在周长为40米的圆周上做匀速圆周运动，已知物体在2秒内通过1/4圆弧，求：
（1）物体运动的线速度；
（2）物体运动的角速度；
（3）在1/4周期内的平均速度大小。
【试题答案】
一. 曲线运动、万有引力定律综合练习题
1. ；
2.
3. C
4.
5. ；；。