人教版数学选修一3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件课件
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【高中课件】高中数学人教A版选修221.2.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件ppt.ppt
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.
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重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一应用导数的运算法则求导
1 .运 用 可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数,一定要先分 析函数 y=f(x)的结构和特征,若直接求导很繁琐,一定要先进行合理的化简
思 路 分析:解答本题可先确定式子的形式,再用基本初等函数的导数公
式 和 导数的运算法则求解.
解 :(1)y'=(x2+lo g3x)'=(x2)'+(lo g3x)'=2x+������l1n3.
(2)y'=
cos������ ������
'=(cos������
)'������-cos ������2
g'(x)=[ln(3x-1)]'=(33������������--11)' = 3���3���-1,
h'(x)=
sin
-������
+
π 3
'=
cos
-������
+
π 3
答 案 :2e2x+1
3 3������-1
-cos
-������
+
π 3
·
-������
+π
3
'=-cos
-������
解导函数.
2.能运用复合函
数的求导法则进
行复合函数的求
数学：1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)
' 3 3 '
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件
[分析] (1)利用导数的几何意义和导数的运算法则，求 出切线的斜率，由点斜式写出切线的方程．(2)将切线方程与 曲线 C 的方程联立，看是否还有其他解即可．
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
高中数学新课标人教A版选修1-1《3.2.2 导数的运算法则》课件
x 2x (1)y＝－sin21－2cos 4；
1＋ x 1－ x (2)y＝ ＋ ； 1－ x 1＋ x (3)y＝x· tan x.
1 g′（x） 时，有g（x）′＝－ 2 . g （x）
(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商
f（x） 的导数运算中，不能出现[f(x)· g(x)]′＝f′(x)· g′(x)以及 g（x）′
f′（x） ＝ 这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积 g′（x） 与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商 的导数法则中分子上是“－”．
2．变形化简，减少求导的运算量 应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时， 在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积和商的求导法则， 应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简， 然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
题型一 求导法则的直接运用 【例 1】 求下列函数的导数． (1)y＝3x－lg x； x＋3 (3)y＝ 2 ； x ＋3 (2)y＝(x2＋1)(x＋1)； (4)y＝－sin x＋ex.
是什么？ 提示 f(x)，g(x)都有导数，且 g(x)≠0.
名师点睛 1．运用导数运算法则的注意事项 (1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进 行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的 和或差，即[f1(x)± f2(x)± …± fn(x)]′＝f1′(x)± f2′(x)±…±f′ n (x)． ②[ af(x)± bg(x)]′＝af′(x)± bg′(x)； ③当 f(x)＝1
题型二 导数求导法则的灵活运用 【例 2】 求下列函数的导数： 2 (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝xsin x－cos x； x5＋ x7＋ x9 (3)y＝ ； x x x (4)y＝x－sin cos . 2 2 [ 思路探索 ] 可先对函数解析式进行化简化为基本初等函数的 和、差、积、商，再用基本初等函数的导数公式和四则运算法 则求解．
1＋ x 1－ x (2)y＝ ＋ ； 1－ x 1＋ x (3)y＝x· tan x.
1 g′（x） 时，有g（x）′＝－ 2 . g （x）
(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商
f（x） 的导数运算中，不能出现[f(x)· g(x)]′＝f′(x)· g′(x)以及 g（x）′
f′（x） ＝ 这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积 g′（x） 与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商 的导数法则中分子上是“－”．
2．变形化简，减少求导的运算量 应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时， 在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积和商的求导法则， 应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简， 然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
题型一 求导法则的直接运用 【例 1】 求下列函数的导数． (1)y＝3x－lg x； x＋3 (3)y＝ 2 ； x ＋3 (2)y＝(x2＋1)(x＋1)； (4)y＝－sin x＋ex.
是什么？ 提示 f(x)，g(x)都有导数，且 g(x)≠0.
名师点睛 1．运用导数运算法则的注意事项 (1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进 行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的 和或差，即[f1(x)± f2(x)± …± fn(x)]′＝f1′(x)± f2′(x)±…±f′ n (x)． ②[ af(x)± bg(x)]′＝af′(x)± bg′(x)； ③当 f(x)＝1
题型二 导数求导法则的灵活运用 【例 2】 求下列函数的导数： 2 (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝xsin x－cos x； x5＋ x7＋ x9 (3)y＝ ； x x x (4)y＝x－sin cos . 2 2 [ 思路探索 ] 可先对函数解析式进行化简化为基本初等函数的 和、差、积、商，再用基本初等函数的导数公式和四则运算法 则求解．
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件
第三章 §3.2 导数的运算
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
高中数学 第3章 导数及其应用 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人教A版选修1
利用导数求函数解析式
[探究问题] 对于函数y＝f(x)而言，f′(x)与f′(a)相同吗？
提示：不同，f′(x)是函数y＝f(x)的导数，而f′(a)是f′(x)在x＝a处 的函数值．
【例3】
(1)已知函数f(x)＝
ln x x
＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大
小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，
f′(1)＝( )
A．－e
B．－1
C．1
D．e
B [∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(1)＋1x， 又f′(1)＝2f′(1)＋1， ∴f′(1)＝－1，故选B．]
课堂 小结 提素 养
求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、 积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函 数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公 式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转 化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬 时速度等问题．
1．本题主要考查导数的运算法则，导数的几何性质及二次函数 最值问题及求曲线的切线方程．
2．曲线的切线问题是这类问题的纽带和桥梁，如①求与坐标轴 围成的三角形面积问题；②求与切线垂直(平行)的直线方程问题； ③求与切线有关的定值问题等．
[跟进训练]
2．设函数f(x)＝x－
3 x
，求证曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直
f(x)＝2x3－9x2＋12x [因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝0，f′(2) ＝0，f(1)＝5，
3a＋2b＋c＝0，
所以12a＋4b＋c＝0， a＋b＋c＝5，
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 人教课标版精品课件
(g(x) 0)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数 运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
解 (x3 )： (2x) (3) 3x2 因2
为
所 以
练习2、求下列函数的导数。
(1) y x4 2x
(2) y 3cos x 4sin x
(3) y 2ex (4)y (x 1)(x 2)
那个年代的钱特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是单位给分的，房子也都不交水电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。 一九七六年唐山大地震的时候，老吴在唐山的老家也遭受了灾害，屋子倒了，人也砸伤了，老吴赶紧请假和他爱人一起回去处理老家的事情去了。老李对老吴说，“你放心的回老家吧！你的孩子我帮你看。”当时老吴的老大才十四岁，还有一个刚刚才上学的七岁的小女儿。
大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。
导数的运算法则: 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
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2019/5/23
[解] (1)y′＝(tanx)′＝(csionsxx)′＝
sinx′coscxo－sxsi2nxcosx′＝cos2cxo＋sxsi2n2x＝co1s2x.
(2)y′＝(3x2＋x·cosx)′＝(3x2)′＋(x·cosx)′
＝6x＋x′·cosx＋x·(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.
2019/5/23
(3)两个函数商的函数的求导法则 设函数 f(x)，g(x)是可导的，且 g(x)≠0 ，则[gfxx]′＝f′xgx[g－xf]2xg′x，特别地，
当 f(x)＝1 时， 有[g1x]′＝－g[g′xx]2.
2019/5/23
利用求导公式和运算法则求导数 例 1 求下列函数的导数． (1)y＝tanx； (2)y＝3x2＋x·cosx； (3)y＝( x－2)2－sinx2·cos2x. [分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后再 求导两种方法，要注意正确区分．
2019/5/23
5．已知 f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又 f(2x＋1) ＝4g(x)，且 f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求 g(4)．
2019/5/23
解：由 f(2x＋1)＝4g(x)，得
4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
答案：D
2019/5/23
2．曲线 y＝xn 在 x＝2 处的导数为 12，则 n 等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得 n＝3. 答案：C
2019/5/23
3．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 2x＋y －1＝0，则( )
2019/5/23
1.下列结论正确的个数为( )
①y＝ln2，则 y′＝21 ②y＝x12，则 y′|x＝3＝－227
③y＝2x，则 y′＝2xln2 ④y＝logຫໍສະໝຸດ x，则 y′＝xl1n2A．0
B．1
C．2
D．3
2019/5/23
解析：①y＝ln2 为常数，所以 y′＝0，①错；②③④均 正确，直接利用公式即可验证．
2019/5/23
(2)两个函数积的函数的求导法则 设函数 f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数 乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数． 推论：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数． 即[cf(x)]′＝cf′(x)．
1 (8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2019/5/23
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________. (2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __.
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 解析：由题知，f′(x0)＝－2<0. 答案：B
2019/5/23
4．函数 y＝sixnx的导数为________． 解析：y′＝sinx′x－x2sinx·x′＝xcosxx－2 sinx. 答案：xcosxx－2 sinx
欢迎来到数学课堂
2019/5/23
3．2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
2019/5/23
2019/5/23
1.能利用给出的基本初等函数的导数公式求函数的导 数．
2．能利用初等函数的导数公式和导数的运算法则求简 单函数的导数.
2019/5/23
1.基本初等函数的导数公式 (1)若 f(x)＝c，则 f′(x)＝__0______. (2)若 f(x)＝xn，则 f′(x)＝_n_x_n_－_1___. (3)若 f(x)＝sinx，则 f′(x)＝_c_o_s__x___.
① ②
由 f′(x)＝g′(x)，得 2x＋a＝2x＋c，
∴a＝c.③
2019/5/23
由 f(5)＝30，得 25＋5a＋b＝30.④ ∴由①③可得 a＝c＝2. 又由④，得 b＝－5.再由②，得 d＝－12. ∴g(x)＝x2＋2x－21.故 g(4)＝16＋8－12＝427.
2019/5/23
(4)若 f(x)＝cosx，则 f′(x)＝_－__s_i_n_x__.
2019/5/23
(5)若 f(x)＝ax，则 f′(x)＝__a_xl_n_a___. (6)若 f(x)＝ex，则 f′(x)＝___e_x____.
1 (7)若 f(x)＝logax 则 f′(x)＝__x_ln_a____.
(3)y′＝ [(
x
－
2)2
－
sin
x 2
·cos
x 2
]′
＝
[(
x
－
2)2]′
－
(
1 2
sinx)′＝(x－4 x＋4)′－12cosx＝1－ 2x－21cosx.
2019/5/23
1.对基本初等函数的导数公式的理解 (1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式，学 会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握． (2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别，这是易 错点．
2019/5/23
2．对导数的运算法则的理解 (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函 数的导数的和(或差)．
f (x)g(x)－f (x)g(x) (3)[gfxx]′＝________g__2 _( x_)_______________.
2019/5/23
思考探究 能否认为函数 f(x)＝a2＋2ax－x2 的导数 f′(x)与函数 f(a) ＝a2＋2ax－x2 的导数 f′(a)是相同的？ 提示：求导是对自变量的求导，要分清表达式中的自 变量，f′(x)＝2a－2x，f′(a)＝2a＋2x.故 f′(x)与 f′(a) 不相同．
[解] (1)y′＝(tanx)′＝(csionsxx)′＝
sinx′coscxo－sxsi2nxcosx′＝cos2cxo＋sxsi2n2x＝co1s2x.
(2)y′＝(3x2＋x·cosx)′＝(3x2)′＋(x·cosx)′
＝6x＋x′·cosx＋x·(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.
2019/5/23
(3)两个函数商的函数的求导法则 设函数 f(x)，g(x)是可导的，且 g(x)≠0 ，则[gfxx]′＝f′xgx[g－xf]2xg′x，特别地，
当 f(x)＝1 时， 有[g1x]′＝－g[g′xx]2.
2019/5/23
利用求导公式和运算法则求导数 例 1 求下列函数的导数． (1)y＝tanx； (2)y＝3x2＋x·cosx； (3)y＝( x－2)2－sinx2·cos2x. [分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后再 求导两种方法，要注意正确区分．
2019/5/23
5．已知 f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又 f(2x＋1) ＝4g(x)，且 f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求 g(4)．
2019/5/23
解：由 f(2x＋1)＝4g(x)，得
4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
答案：D
2019/5/23
2．曲线 y＝xn 在 x＝2 处的导数为 12，则 n 等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得 n＝3. 答案：C
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3．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 2x＋y －1＝0，则( )
2019/5/23
1.下列结论正确的个数为( )
①y＝ln2，则 y′＝21 ②y＝x12，则 y′|x＝3＝－227
③y＝2x，则 y′＝2xln2 ④y＝logຫໍສະໝຸດ x，则 y′＝xl1n2A．0
B．1
C．2
D．3
2019/5/23
解析：①y＝ln2 为常数，所以 y′＝0，①错；②③④均 正确，直接利用公式即可验证．
2019/5/23
(2)两个函数积的函数的求导法则 设函数 f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数 乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数． 推论：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数． 即[cf(x)]′＝cf′(x)．
1 (8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2019/5/23
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________. (2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __.
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 解析：由题知，f′(x0)＝－2<0. 答案：B
2019/5/23
4．函数 y＝sixnx的导数为________． 解析：y′＝sinx′x－x2sinx·x′＝xcosxx－2 sinx. 答案：xcosxx－2 sinx
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3．2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
2019/5/23
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1.能利用给出的基本初等函数的导数公式求函数的导 数．
2．能利用初等函数的导数公式和导数的运算法则求简 单函数的导数.
2019/5/23
1.基本初等函数的导数公式 (1)若 f(x)＝c，则 f′(x)＝__0______. (2)若 f(x)＝xn，则 f′(x)＝_n_x_n_－_1___. (3)若 f(x)＝sinx，则 f′(x)＝_c_o_s__x___.
① ②
由 f′(x)＝g′(x)，得 2x＋a＝2x＋c，
∴a＝c.③
2019/5/23
由 f(5)＝30，得 25＋5a＋b＝30.④ ∴由①③可得 a＝c＝2. 又由④，得 b＝－5.再由②，得 d＝－12. ∴g(x)＝x2＋2x－21.故 g(4)＝16＋8－12＝427.
2019/5/23
(4)若 f(x)＝cosx，则 f′(x)＝_－__s_i_n_x__.
2019/5/23
(5)若 f(x)＝ax，则 f′(x)＝__a_xl_n_a___. (6)若 f(x)＝ex，则 f′(x)＝___e_x____.
1 (7)若 f(x)＝logax 则 f′(x)＝__x_ln_a____.
(3)y′＝ [(
x
－
2)2
－
sin
x 2
·cos
x 2
]′
＝
[(
x
－
2)2]′
－
(
1 2
sinx)′＝(x－4 x＋4)′－12cosx＝1－ 2x－21cosx.
2019/5/23
1.对基本初等函数的导数公式的理解 (1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式，学 会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握． (2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别，这是易 错点．
2019/5/23
2．对导数的运算法则的理解 (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函 数的导数的和(或差)．
f (x)g(x)－f (x)g(x) (3)[gfxx]′＝________g__2 _( x_)_______________.
2019/5/23
思考探究 能否认为函数 f(x)＝a2＋2ax－x2 的导数 f′(x)与函数 f(a) ＝a2＋2ax－x2 的导数 f′(a)是相同的？ 提示：求导是对自变量的求导，要分清表达式中的自 变量，f′(x)＝2a－2x，f′(a)＝2a＋2x.故 f′(x)与 f′(a) 不相同．