2021-2022年高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算和空间位置关系真题演练集训理
高考数学(理科)一轮复习：单元八 立体几何 8.6 空间向量及其运算
=
2×2-8 2√3×2√5
=-
√15 . 15
关闭
C
解析 答案
第八章
知识梳理 考点自测
8.6
空间向量及其运算
关键能力
必备知识
-10-
1
2
3
45Βιβλιοθήκη 5.如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在 这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8, 则CD的长为 .
关键能力
必备知识
-6-
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若A,B,C,D是空间任意四点,则有 ������������ + ������������ + ������������ + ������������=0. ( (2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.( ) (3)空间中任意两非零向量a,b共面.( ) (4)对于空间非零向量a,b,a⊥b⇔a· b=0.( ) (5)对于非零向量b,由a· b=b· c,得a=c.( )
2 2 ������2 1 +������2 +������3 · ������1 +������2 +������3 2 2 2
(2)设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则������������= (x2-x1.y2-y1,z2-z1) |AB|=|������������|= (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 .
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高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.6 空间向量及其运算 理(2021年最新整理)
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第八章立体几何 8。
6 空间向量及其运算理1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度（模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2。
空间向量中的有关定理（1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.（2）共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b,其中x,y∈R，a，b为不共线向量．(3）空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛x，y，z｝，使得p＝x a＋y b＋z c，{a,b，c｝叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律（1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作错误!＝a ，错误!＝b ,则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若<a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b 。
②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a |｜b ｜cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ,即a ·b ＝｜a |｜b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa ）·b ＝λ（a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·（b ＋c ）＝a ·b ＋a ·c 。
高考数学一轮必备 8.6《空间向量及其运算》考情分析学案(1)
8.6空间向量及其运算考情分析1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 基础知识1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2．空间向量的线性运算及运算律(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA →＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R )． (2)运算律：(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a . (3)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (4)数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b 则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，即a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ；③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．基本定理(1)共线向量定理：空间任意两个向量a 、b (b≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c . 注意事项1.用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．2.(1)共线向量定理还可以有以下几种形式： ①a ＝λb ⇒a ∥b ；②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R 使λa ＝μb .③若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”．3.空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习．题型一 空间向量的线性运算【例1】已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x 、y 的值分别为( )A. x ＝1，y ＝1B. x ＝1，y ＝12C. x ＝12，y ＝12D. x ＝12，y ＝1答案：C解析：如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A B →＋A D →)．【变式1】 如右图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，试用a ，b ，c 表示BG →，BN →.解 BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c .题型二 共线共面定理的应用【例2】►如右图，已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．证明 取ED ′→＝a 、EF →＝b 、EH →＝c ，则HG →＝HB →＋BC →＋CG →＝D ′F →＋2ED ′→＋12AA ′→＝b －a ＋2a ＋12(AH →＋HE →＋EA ′→)＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴H G →与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面．证明E 、F 、G 、H 四点共线，只须证明HG →＝λEF →＋μEH →即可，即证HG →、EF →、EH →三个向量共面．此种方法也是证明直线与平面平行的方法．【变式2】 如图在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点， 试证A 1B ∥平面AC 1D .证明 设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ， 则 BA 1→＝BA →＋AA 1→ ＝BA →＋BB 1→＝a ＋c ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ，AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB 1→＝b －a ＋c ， BA 1→＝AC 1→－2AD →，∵AB ⊄平面AC 1D ，因此A 1B ∥平面AC 1D .题型三 空间向量数量积的应用【例3】►如图，在四面体S ABC 中，若SA ⊥BC ，SB ⊥AC ，试证SC ⊥AB . 证明 取SA →＝a ，SB →＝b ，SC →＝c ，由已知SA ⊥BC ，SB ⊥AC ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ·c －b ＝0 ①b ·c －a ＝0 ②②－①得c ·(b －a )＝0， 则SC ⊥AB .利用空间向量的基本定理适当的选取基底，将立体几何问题转化为已知⎩⎪⎨⎪⎧a ·c －b ＝0，b ·c －a ＝0，求证c ·(b －a )＝0【变式3】 已知如右图所示，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°.(1)求证：C 1C ⊥BD ； (2)当CDCC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． (1)证明 取CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， BD →＝CD →－CB →＝a －b ，CC 1→·BD →＝c·(a －b )＝c·a －c·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴C 1C →⊥BD →，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，CA 1→＝a ＋b ＋c ，C 1D →＝a －c . ∴CA 1→·C 1D →＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a||c|－2c 2＝0， (3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0， ∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|. 即当CD CC 1＝|a||c|＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 重难点突破【例4】如图，四棱锥SABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.(1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值．[解析] 以C 为坐标原点，射线CD 为x 正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .设D (1,0,0)，则A (2,2,0)、B (0,2,0)． 又设S (x ，y ，z )，则x ＞0，y ＞0，z ＞0.(1)证明 A S →＝(x －2，y －2，z )，BS →＝(x ，y －2，z )，DS →＝(x －1，y ，z )，由|AS →|＝|BS →|得x －22＋y －22＋z 2＝x 2＋y －22＋z 2，故x ＝1.由|DS →|＝1得y 2＋z 2＝1，又由|BS →|＝2得x 2＋(y －2)2＋z 2＝4， 即y 2＋z 2－4y ＋1＝0，故y ＝12，z ＝32.于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32，AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，32，BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，DS →·AS →＝0，DS →·BS →＝0，故DS ⊥AS ，DS ⊥BS ，又AS ∩BS ＝S ，所以SD ⊥平面SAB .(2)解 设平面SBC 的法向量a ＝(m ，n ，p )，则a ⊥BS →，a ⊥CB →，∴a ·BS →＝0，a ·CB →＝0. 又BS →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，32，CB →＝(0,2,0)，故⎩⎪⎨⎪⎧m －32n ＋32p ＝0，2n ＝0.取p ＝2得a ＝(－3，0,2)． 又AB →＝(－2,0,0)，cos 〈AB →，a 〉＝AB →·a |AB →|·|a |＝217.故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为217. 巩固提高1. 已知AB →＝(2,4,5)， CD →＝(3，x ，y )，若AB →∥CD →，则( ) A. x ＝6，y ＝15B. x ＝3，y ＝152C. x ＝3，y ＝15D. x ＝6，y ＝152答案：D解析：∵32＝x 4＝y5，∴x ＝6，y ＝152，选D 项．2.已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析：设l 与α所成的角为θ， ∵cos 〈m ，n 〉＝－12，∴sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.又∵直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A. a 2B. 12a 2C. 14a 2D.34a 2 答案：C解析：AE →·A F →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2. 故选C.4. 已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A. P (2,3,3)B. P (－2,0,1)C. P (－4,4,0)D. P (3，－3,4)答案：A解析：由于n ＝(6，－3,6)是平面α的法向量，所以它应该和平面α内的任意一个向量垂直，只有在选项A 中， MP →＝(2,3,3)－(1，－1,2)＝(1,4,1)，MP →·n ＝(1,4,1)· (6，－3，6)＝0，所以选项A 中的点P 在平面α内．5.在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 不确定 答案：B解析：选取不共面的向量AB →，AC →，AD →为基底，则原式＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＋AC →·AB →－AC →·AD →＋AD →·AC →－AD →·AB → ＝0.。
高考理科数学一轮复习《第8章立体几何与空间向量》8.6 空间向量及其运算
第八章 立体几何与空间向量 ＝21O→A＋32×12(O→B＋O→C)－23×21O→A ＝61O→A＋31O→B＋31O→C ＝61a＋31b＋31c. 【答案】 16a＋13b＋13c
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第八章 立体几何与空间向量
2．若本例(2)中条件不变，问题改为：设 E 是棱 DD1 上的点， 且D→E＝23D→D1，若E→O＝xA→B＋yA→D＋zA→A1，试求 x，y，z 的值．
第八章 立体几何与空间向量
§8.6 空间向量及其运算 ［考纲要求］1.了解空间向量的概念，了解空间向量的 基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表 示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向 量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量 的共线与垂直.
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第八章 立体几何与空间向量 ＝－61O→A＋31O→B＋31O→C. O→G＝O→M＋M→G＝21O→A－61O→A＋13O→B＋13O→C ＝31O→A＋31O→B＋31O→C.
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第八章 立体几何与空间向量 题型二 共线定理、共面定理的应用 【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的
第八章 立体几何与空间向量 【证明】 (1)如图，连接BG，
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第八章 立体几何与空间向量 则E→G＝E→B＋B→G＝E→B＋12(B→C＋B→D) ＝E→B＋B→F＋E→H＝E→F＋E→H， 由共面向量定理的推论知： E，F，G，H 四点共面． (2)因为E→H＝A→H－A→E ＝21A→D－21A→B＝21(A→D－A→B)＝21B→D， 所以 EH∥BD.
2023年新高考数学一轮复习8-6 空间向量及其运算和空间位置关系(知识点讲解)含详解
专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量2①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a ⊥b ⇔θ＝__π2__⇔a ·b ＝0．③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．④|a ·b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |．⑤对于实数a 、b 、c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．⑥a ·b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__．⑦不为零的三个实数a 、b 、c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·b )c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )． 5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：6. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 7.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c例2. （2022·全国·高三专题练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)． 【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0例5.（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量； ④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例6.（2020·全国·高三专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； （2）//AC EG ． 【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0-B ．()1,1,0-C ．()0,1,1-D ．()1,0,1-例8.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM ；（2）求BM 的长.例9. （2020·全国·高三专题练习）已知向量(2,1,2)a =-，(1,0,1)c =-，若向量b 同时满足下列三个条件：①1a b ⋅=-；①3b =；①b 与c 垂直.（1）求2a c +的模； （2）求向量b 的坐标. 【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.（1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：//BD 平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++. 例11.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面P AD ①平面ABCD ，ABCD 为正方形，①P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：（1）PB //平面EFG ； （2）平面EFG //平面PBC . 【规律方法】利用空间向量证明平行的方法 1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 题型五：利用空间向量证明垂直例12.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，O ，1O 是圆柱底面的圆心，1AA ，1BB ，1CC均为圆柱的母线，AB 是底面直径，E 为1AA 的中点．已知4AB =，BC =(1)证明：1AC BC ⊥；(2)若1AC BE ⊥，求该圆柱的体积．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．例14．（2020·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由. 【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量2①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a ⊥b ⇔θ＝__π2__⇔a ·b ＝0．③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．④|a ·b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |．⑤对于实数a 、b 、c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．⑥a ·b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__．⑦不为零的三个实数a 、b 、c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·b )c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )． 5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：6. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 7.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可. 【详解】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+.故选：D例2. （2022·全国·高三专题练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+ 则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++故选：B例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)．【答案】111244a b c ++【解析】 【详解】因为在四面体O ABC -中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，()1222OA OD O OE A OD ∴=+=+()111222a OB OC =+⨯+()1111124244a b c a b c =++=++ ，故答案为111244a b c ++. 【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1 D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0【答案】B 【解析】 【分析】利用共面向量的基本定理逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，设()()()1,1,00,1,11,0,1m n =+，所以，110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解；对于B 选项，因为()()()2,2,403,0,021,1,2=⋅+，故B 选项中的三个向量共面；对于C 选项，设()()()1,2,31,3,22,3,1x y =+，所以，2133223x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解；对于D 选项，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，所以，013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾.故选：B.例5.（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量； ④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可. 【详解】设E,F 分别为AD 和A 1D 1的中点，①OA +2OD OE =与1OA +12OD OF =不是一对相反向量，错误； ②OB -11OC C B =与OC -11OB B C =不是一对相反向量，错误；③OA 1+OB 1+OC 1+()1OD OC OD OA OB OC OD OA OB =----=-+++是一对相反向量,正确； ④OC -OA AC =与OC 1-111OA AC =不是一对相反向量,是相等向量，错误． 即正确结论的个数为1个故选：A例6.（2020·全国·高三专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；AC EG．（2）//【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）证明出AC、AB、AD为共面向量，结合AC、AB、AD有公共点可证得A、B、C、D四点共面，同理可证得E、F、G、H四点共面；AC EG．（2）证得EG k AC=，再由EG和AC无公共点可证得//【详解】（1）因为AC AD mAB=+，所以，AC、AB、AD为共面向量，因为AC、AB、AD有公共点A，故A、B、C、D四点共面，因为EG EH mEF=+，则EG、EH、EF为共面向量，因为EG、EH、EF有公共点E，故E、F、G、H四点共面；（2）OE kOA=，=，OF kOB=，OH kOD()EG EH mEF OH OE m OF OE=+=-+-()()()=-+-=+=+=，//k OD OA km OB OA k AD kmAB k AD mAB k AC∴，AC EGAC EG.因为AC、EG无公共点，故//【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1-【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：对于A 选项中的向量()11,0,1a =-，11111cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅⋅，则1,120a a 〈〉=；对于B 选项中的向量()21,1,0a =-，22211cos ,22a a a a a a ⋅〈〉===⋅，则2,60a a 〈〉=；对于C 选项中的向量()30,1,1a =-，2321cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅，则2,120a a 〈〉=；对于D 选项中的向量()41,0,1a =-，此时4a a =-，两向量的夹角为180.故选B.例8.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP=.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM ； （2）求BM 的长.【答案】（1）111222a b c -++；（2）2【解析】 【分析】（1）将AD BC =，BP AP AB =-代入1()2BM BC BP =+中化简即可得到答案；（2）利用22||BM BM =，结合向量数量积运算律计算即可. 【详解】（1）M 是PC 的中点，1()2BM BC BP ∴=+.AD BC =，BP AP AB =-，1[()]2BM AD AP AB ∴=+-，结合AB a =，AD b =，c AP =，得1111[()]2222BM b c a a b c =+-=-++.（2）1AB AD ==，2PA =， ||||1a b ∴==，||2c =.AB AD ⊥，60PAB PAD ∠=∠=︒， 0a b ∴⋅=，21cos601a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒=.由（1）知111222BM a b c =-++，()2222211112222224BM a b c a b c a b a c b c ⎛⎫∴=-++=++-⋅-⋅+⋅⎪⎝⎭13(114022)42=⨯++--+=，6||2BM ∴=即BM 例9. （2020·全国·高三专题练习）已知向量(2,1,2)a =-，(1,0,1)c =-，若向量b 同时满足下列三个条件：①1a b ⋅=-；①3b =；①b 与c 垂直. （1）求2a c +的模；（2）求向量b 的坐标. 【答案】（1）1；（2）(2,1,2)b =-或(2,1,2)b =---. 【解析】 【分析】（1）求出2a c +的坐标，即可求出2a c +的模；（2）设(,,)b x y z =，则由题可知22222190x y z x y z x z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解出即可得出．【详解】解：（1）∵()2,1,2a =-，()1,0,1c =-， ∴()20,1,0a c +=， 所以21a c += ；（2）设(),,b x y z =，则由题可知222221,9,0,x y z x y z x z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得2,1,2,x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或2,1,2,x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 所以()2,1,2b =-或()2,1,2b =---. 【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.（1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：//BD 平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得出EF HG =可证；（2）通过证明//HE BD 可得；（3）可得四边形EFGH 为平行四边形，M 为EG 中点，即可证明. 【详解】（1）E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 12EF AC ∴=，12HG AC =，EF HG ∴=，又E ，F ，G ，H 四点不共线，故E ，F ，G ，H 四点共面； （2）E ，H 分别是AB ，AD 的中点， 12HE DB ∴=，//HE DB ∴，//HE BD ∴， HE ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，∴//BD 平面EFGH ；（3）由（1）知四边形EFGH 为平行四边形，M ∴为EG 中点， E ，G 分别是AB ，CD 的中点， 11111()()()()22224OM OE OG OA OB OC OD OA OB OC OD ⎡⎤∴=+=+++=+++⎢⎥⎣⎦. 例11.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面P AD ①平面ABCD ，ABCD 为正方形，①P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：（1）PB //平面EFG ；（2）平面EFG //平面PBC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，构建空间直角坐标系A -xyz ，并确定A ，B ，C ，D ，P ，E ，F ，G 的坐标，法一：求得(0,1,0),(1,2,1)EF EG ==-，即可确定平面EFG 的一个法向量n ，又0PB n ⋅=有n PB ⊥，则 PB //平面EFG 得证； 法二：由(2,0,2)PB =-，(0,1,0)FE =-，(1,1,1)FG =-，可知22PB FE FG =+，根据向量共面定理即有PB ，FE 与FG 共面，进而可证PB //平面EFG ；（2）由（1）有(0,1,0),(0,2,0)EF BC ==即2BC EF =，可得BC //EF ，根据线面平行的判定有EF //平面PBC ，GF //平面PBC ，结合面面平行的判定即可证平面EFG //平面PBC .【详解】（1）因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1,2,0). 法一：(0,1,0),(1,2,1)EF EG ==- 设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =，则00n EF n EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020y x y z =⎧⎨+-=⎩,令z ＝1，则(1,0,1)n =为平面EFG 的一个法向量， ∵(2,0,2)PB =-，∴0PB n ⋅=，所以n PB ⊥， ∵PB ⊄平面EFG ， ∴PB //平面EFG .法二：(2,0,2)PB =-，(0,1,0)FE =-，(1,1,1)FG =-. 设PB sFE tFG =+，即(2,0,－2)＝s (0,－1,0)＋t (1,1,－1)，所以202t t s t =⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩解得s ＝t ＝2.∴22PB FE FG =+，又FE 与FG 不共线，所以PB ，FE 与FG 共面.∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .（2）由（1）知：(0,1,0),(0,2,0)EF BC ==，∴2BC EF =，所以BC //EF .又EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF //平面PBC ，同理可证GF //PC ，从而得出GF //平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ⊂平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG //平面PBC .【规律方法】利用空间向量证明平行的方法1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题题型五：利用空间向量证明垂直例12.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，O ，1O 是圆柱底面的圆心，1AA ，1BB ，1CC均为圆柱的母线，AB 是底面直径，E 为1AA 的中点．已知4AB =，BC =(1)证明：1AC BC ⊥；(2)若1AC BE ⊥，求该圆柱的体积．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直（2）建立空间直角坐标系，根据垂直条件解出圆柱的高(1)连结AC ，可知AC BC ⊥1CC ⊥平面ABC 1CC BC ∴⊥1CC AC C =BC ∴⊥平面1ACC1BC AC ∴⊥(2)如图，以C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设圆柱的高为h可得1(2,0,0),(0,0,),(2,0,)2h A B C h E1(2,0,),(2,)2h AC h BE =-=-由题意得21402h AC BE ⋅=-+=，解得h =故圆柱的体积2V πr h ==例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）E 为CC 1的中点.【解析】【分析】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.（1）计算10A E BD →→⋅=即可证明；（2）求出面A 1BD 与面EBD 的法向量，根据法向量垂直计算即可．【详解】以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．（1）1A E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，1A E BD →→⋅＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E BD →→⊥，即A 1E ⊥BD ；（2）设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为1n →＝(x 1，y 1，z 1)，2n →＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB →＝(a ，a ，0)，1DA →＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )∴10n DB →→⋅=， 110n DA →→⋅=， 20n DB →→⋅=，10n DE →→⋅=. ∴11110,0,ax ay ax az +=⎧⎨+=⎩, 22220,0.ax ay ay ez +=⎧⎨+=⎩ 取x 1＝x 2＝1，得1n →＝(1，－1，－1)，2n →＝(1，－1，a e)．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得1n →⊥2n →. ∴2－a e＝0，即e ＝2a . ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .例14．（2020·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，AG =【解析】【分析】（1）以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：根据向量的坐标可得11113EF A A AC =-+，由此可证//EF 平面11AAC C ； （2）将问题转化为线段AC 上是否存在一点G ，使EG AC ⊥，则问题不难求解.【详解】（1）如图所示：以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则1(0,0,0)A ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)C ，设(0,0,)A a ，则4(0,,)3E a ，2(,2,0)3F ， 所以22(,,)33EF a =-，1(0,0,)A A a =，11(2,2,0)AC =， 因为11113EF A A AC =-+，所以EF ，1A A ，11AC 共面，又EF 不在平面11AAC C 内， 所以//EF 平面11AAC C（2）线段AC 上存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C ，且3AG =，证明如下：在三角形AGE 中，由余弦定理得EG ===， 所以222AG EG AE +=，即EG AG ⊥，又1A A ⊥平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，、所以1A A EG ⊥，而1AG A A A ⋂=，所以EG ⊥平面11AAC C ，因为EG ⊂平面EFG ，所以EFG ⊥面11AAC C ，【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示。
高三数学一轮总结复习目录
高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算教案理含解析新人教A版
高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算教案理含解析新人教A版§8.6空间向量及其运算最新考纲考情考向分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1.空间向量的有关概念及定理语言描述共线向量(平行向量)如果空间一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量共线向量定理两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝x b共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝x a＋y b空间向量分解定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝x a＋y b＋z c2.两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，通常规定0≤〈a ，b 〉≤π. 3.两条异面直线所成的角把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角. 4.数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉； ②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a·a ，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 数乘向量λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)共线a∥b (b ≠0)⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3(b 与三个坐标平面都不平行)垂直 a⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23概念方法微思考1.共线向量与共面向量相同吗？提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面.( √ )(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × ) (5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( × ) 题组二 教材改编2.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________. 答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°) ＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2. 题组三 易错自纠4.在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3，2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直答案 B解析 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)， ∴AB →＝－3CD →， ∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .5.已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 答案 2 6 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0， ∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.6.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______. 答案 18解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面， ∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.题型一 空间向量的线性运算例1 如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)MP →＋NC 1→.解 (1)因为P 是C 1D 1的中点， 所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P → ＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c . 思维升华 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点.用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案 12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 ∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. (2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( )A.12(－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(－a －b ＋c ) 答案 B解析 NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB →＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC →＝12(a ＋b －c ). 题型二 共线定理、共面定理的应用例2 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH . 证明 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面. (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P ，A ，B )共线 空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB →且同过点PMP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1).(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ 解 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1—→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→ ＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面. (2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内， 又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面， ∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内； 当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1. 题型三 空间向量数量积的应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点.(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值. (1)证明 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos60°＋a 2cos60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB . 同理可证MN ⊥CD .(2)设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60° ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角.(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值. 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1， ∴cos〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.1.已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( )A.(0,3，－6)B.(0,6，－20)C.(0,6，－6)D.(6,6，－6)答案 B解析 由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20).2.在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3.已知向量a ＝(2m ＋1,3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A.32B.－2C.0D.32或－2 答案 B解析 当m ＝0时，a ＝(1,3，－1)，b ＝(2,0,0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m，解得m ＝－2. 4.在空间直角坐标系中，已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为( ) A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(0,0，－3)答案 C解析 设P (0,0，z )，则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2， 解得z ＝3.5.已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6B.2π3 C.π3D.π6答案 D解析 ∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1,1,2)， ∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A.3B.2C.1D.3－ 2 答案 D解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2， 故|BD →|＝3－ 2.7.已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________. 答案 －9解析 由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.8.已知a ＝(x ,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，则c ＝________. 答案 (3，－2,2) 解析 因为a ∥b ，所以x－2＝4y ＝1－1， 解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)， 又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0， 即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2).9.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________. 答案 平行解析 如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ，由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA →＝32PM →＋32PN →，∴VA →，PM →，PN →共面. 又VA ⊄平面PMN ， ∴VA ∥平面PMN .10.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1—→＋A 1B 1—→)2＝3A 1B 1—→2； ②A 1C →·(A 1B 1—→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确的序号是________. 答案 ①②解析 ①中，(A 1A →＋A 1D 1—→＋A 1B 1—→)2＝A 1A →2＋A 1D 1—→2＋A 1B 1—→2＝3A 1B 1—→2，故①正确；②中，A 1B 1—→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确.11.已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →).(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内. 解 (1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面.(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面. ∴点M 在平面ABC 内.12.已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2). (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)令AE →＝tAB →(t ∈R )， 所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB → ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25.13.(2018·本溪模拟)如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案 56解析 连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ， OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c . 又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 所以x ＝16，y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.14.A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定答案 C解析 ∵M 为BC 中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形.15.已知O (0,0,0)，A (1,2,1)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________. 答案 (1,1,2)解析 由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1,1,2).16.如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点.(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值.(1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |， 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos〈AC ′→，CE →〉＝AC ′→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算和空间位置关系学案理
§8.6 空间向量及其运算和空间位置关系考纲展示►1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置． 2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 6．理解直线的方向向量与平面的法向量．7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 8．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．考点1 空间向量的线性运算空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________的向量． (4)共面向量：________________的向量． 答案：(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)平行或重合 (4)平行于同一个平面(1)[教材习题改编]已知在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则化简AB →＋12(BD →＋BC →)＝________.答案：AG →解析：AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.(2)[教材习题改编]如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →可用a ，b ，c 表示为________．答案：－12a ＋12b ＋c解析：由图可知，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝BB 1→＋12B 1D 1→＝BB 1→＋12(A 1D 1→－A 1B 1→)＝c ＋12(b －c )＝－12a ＋12b＋c .[典题1] (1)[2017·河南郑州模拟]如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.[答案] 56[解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ， OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →23⎝⎭222＝16a ＋13b ＋13c . 又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 所以x ＝16，y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.(2)如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AP →； ②MP →＋NC 1→.[解] ①因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .②因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →2⎝⎭2＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c . [点石成金] 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．考点2 共线、共面向量定理的应用空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b ⇔存在唯一一个λ∈R ，使a ＝λb .(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组{x ，y ，z }使得p ＝x a ＋y b ＋z c .空间向量理解的误区：共线；共面． 给出下列命题：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；③已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c ；④若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.其中为真命题的是________. 答案：④解析：若a 与b 共线，则a ，b 所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但三个却不一定共面，故②不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一个向量p 才一定能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故③不正确；据向量运算法则可知④正确.[典题2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .[证明] (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →.由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →. 因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .[点石成金] 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面 PA →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x ) OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y ) OB →如图所示，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？解：∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知，向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．考点3 利用向量证明平行与垂直问题向量法证明平行与垂直 (1)两个重要向量 ①直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有________个．②平面的法向量直线l ⊥平面α，取直线l 的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有________个，它们是共线向量．(2)空间位置关系的向量表示答案：(1)①无数②无数[典题3] [2017·广东汕头模拟]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.[证明]以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM →.又CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .(2)证法一：由(1)知，BA →＝(0,4,0)，PB →＝(23，0，－2)， 设平面PAB 的一个法向量为m ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1,0，3)．又∵平面PAD 的一个法向量n ＝(－3，2,1)， ∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0， ∴平面PAB ⊥平面PAD .证法二：如图，取AP 的中点E ，连接BE ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)． ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥PA .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →.∴BE ⊥DA .又PA ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面PAD . 又∵BE ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD .[点石成金] 1.利用向量法证明平行问题的三种方法 (1)证明线线平行：两条直线的方向向量平行． (2)证明线面平行：①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示． (3)证明面面平行：两个平面的法向量平行．2．利用向量法证明垂直问题的三种方法(1)证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0. (2)证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行． (3)证明面面垂直：①其中一个平面与另一个平面的法向量平行； ②两个平面的法向量垂直.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .证明：以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B 1(4,0,4)，D (2,0,2)，A 1(0,0,4)．(1)DE →＝(－2,4,0)，平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,4)，∵DE →·AA 1→＝0，DE ⊄平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .(2)B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)， B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， ∴B 1F →⊥EF →，∴B 1F ⊥EF . B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，∴B 1F →⊥AF →，∴B 1F ⊥AF .∵AF ∩EF ＝F ，∴B1F⊥平面AEF.考点4 空间向量数量积的应用1.两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).答案：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0正确使用空间向量的数量积．(1)已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________． 答案：－13解析：a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2,1，－6)，∴(a ＋b )·(a －b )＝－13.(2)已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案：－2515解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2515.[典题4] 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝1，∠ACD ＝90°，把△ADC 沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求BD 的长．[解] ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°.又∵AB ＝AC ＝CD ＝1，AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，∴|BD →|＝BD →2＝BA →＋AC →＋CD →2 ＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD→ ＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈BA →，CD →〉＝3＋2cos 〈BA →，CD →〉，∴|BD →|＝2或 2.∴BD 的长为2或 2.[点石成金] 1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．2．利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．3．可以通过|a|＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．(1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°.MN →＝AB →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB → ＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q·p ＋r·p －p 2) ＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证，MN ⊥CD .(2)解：由(1)可知，MN →＝12(q ＋r －p )， ∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2 ＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q·r －p·q －r·p )] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22 ＝14×2a 2＝a 22， ∴|MN →|＝22a .∴MN 的长为22a . (3)解：设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )， MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q·p ＋r·q －12r·p ＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ， ∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22， ∴cos θ＝23， ∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.[方法技巧] 1.利用空间向量解决立体几何问题的两种思路(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．[易错防范] 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a ＝λb (λ∈R )即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．课外拓展阅读“两向量同向”意义不清致误分析[典例] 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．[错因分析] 将a ，b 同向和a∥b 混淆，没有搞清a∥b 的意义：a ，b 方向相同或相反．[解析] 由题意知，a∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3， 即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，①x 2＋y －2＝2x .②把①代入②，得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3.[答案] 1,3温馨提醒1．两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．2．若两向量a ，b 满足a ＝λb (b ≠0)且λ>0，则a ，b 同向；在a ，b 的坐标都是非零的条件下，a ，b 的坐标对应成比例且比值为正值．。
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2021年高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算和空间位
置关系真题演练集训理新人教A 版
[典例] 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2
＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．
[错因分析] 将a ，b 同向和a∥b 混淆，没有搞清a∥b 的意义：a ，b 方向相同或相反．
[解析] 由题意知，a∥b ， 所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3
， 即⎩⎨⎧ y ＝3x ，①
x 2＋y －2＝2x .②
把①代入②，得
x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0，
解得x ＝－2或x ＝1.
当x ＝－2时，y ＝－6；
当x ＝1，y ＝3.
当⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，
两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．
当⎩⎨⎧ x ＝1，
y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，
a 与
b 同向，所以⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3.
[答案]1,3
温馨提醒
1．两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．
2．若两向量a，b满足a＝λb(b≠0)且λ>0，则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a，b的坐标对应成比例且比值为正值．。