数学习题-(已知双曲线中心在原点且一个焦点为F)
山东省13年-17年春考数学真题试卷
山东省2013年普通高校招生（春季）考试一、选择题1．若集合{}1234M =，，，，{}123N =，，，则下列关系中正确的是 (A ) MN M = (B ) M N N = (C ) N ⊂≠ M (D ) N ⊃≠ M 2．若p 是假命题，q 是真命题，则下列命题为真命题的是(A ) q ⌝ (B ) p q ⌝∧ (C ) ()p q ⌝∨ (D ) p q ∧3．过点()12P ，且与直线310x y +-=平行的直线方程是(A ) 350x y +-= (B ) 370x y +-=(C ) 350x y -+= (D ) 350x y --=4．“2a c b +=”是“a ，b ，c 成等差数列”的(A ) 充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件(C ) 充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件5．函数y 的定义域为(A ) []15-， (B ) []51--， (C ) (][)15-∞-+∞，， (D ) (][)51-∞-+∞，， 6．已知点()()1234M N ，，，，则12→MN 的坐标是 (A ) ()11， (B ) ()12， (C ) ()22， (D ) ()23，7．若函数2sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则ω的值为 (A ) 1 (B ) 2 (C ) 12(D ) 4 8．已知点()16M -，，()32N ，，则线段MN 的垂直平分线方程为(A ) 40x y --= (B ) 30x y -+=(C ) 50x y +-= (D ) 4170x y +-=9．五边形ABCDE 为正五边形，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的三角形的个数是(A ) 5 (B ) 10 (C ) 15 (D ) 2010．二次函数()()31y x x =--的对称轴是(A ) 1x =- (B ) 1x = (C ) 2x =- (D ) 2x =11．已知点()92P m m -+，在第一象限，则m 的取值范围是 (A ) 29m -<< (B ) 92m -<< (C ) 2m >- (D ) 9m <12．在同一坐标系中，二次函数()21y a x a =-+与指数函数xy a =的图像可能是(A) (B) (C) (D)13．将卷号为1至4的四卷文集按任意顺序排放在书架的同一层上，则自左到右卷号顺序恰为1，2，3，4的概率等于(A)18(B)112(C)116(D)12414．已知抛物线的准线方程是2x=，则该抛物线的标准方程是(A) 28y x= (B) 28y x=- (C) 24y x= (D) 24y x=-15．已知()tan2πα+=，则2cosα等于(A)45(B)35(C)25(D)1516．在下列函数图像中，表示奇函数且在()0+∞，上为增函数的是(A) (B) (C) (D)17．()521x-的二项展开式中3x的系数是(A) 80- (B) 80 (C) 10- (D) 1018．下列四个命题：① 过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行；② 过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直；③平行于同一个平面的两个平面平行；④垂直于同一个平面的两个平面平行．其中真命题的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 419．设01a b<<<，那么log5a与log5b的大小关系是(A) log5a<log5b(B) log5a=log5b(C) log5a>log5b(D) 无法确定20．满足线性约束条件⎩⎨⎧x＋y－2≤0x≥0y≥0的可行域如图所示，则线性目标函数22z x y=-取得最大值时的最优解是(A) ()00， (B) ()11， (C) ()20， (D) ()02，第20题图21．若()0a b ab >≠，则下列关系中正确的是(A ) a b > (B ) 22ac bc > (C ) 11a b< (D ) c a c b -<-22． 22. 在△ABC中，已知34a b c ==，，ABC 的面积是(A(BC) (D) 23．若点()3log 3n P m ，关于原点的对称点为()19P '-，，则m 与n 的值分别为 (A ) 13，2 (B ) 3，2 (C ) 13-，2- (D ) 3-，2- 24．某市2012年的专利申请量为10万件，为了落实“科教兴鲁”战略，该市计划2017年专利申请量达到20万件，其年平均增长率最少为(A ) 12.25 % (B ) 13.32 % (C ) 14.87 % (D ) 18.92 %25．如图所示，点P 是等轴双曲线上除顶点外的任一点， 12A A ，是双曲线的顶点，则直线1PA 与2PA 的斜 率之积为(A ) 1 (B ) 1-(C ) 2 (D ) 2-卷二（非选择题，共75分）二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）26．已知函数()2f x x =，则()1f t -= ． 27．某射击运动员射击5次，命中的环数分别为9，8，6，8，9．这5个数据的方差为 ．28．一个球的体积与其表面积的数值恰好相等，该球的直径是 ．29．设直线0x y --与圆2225x y +=的两个交点为A B ，，则线段AB 的长度为 ． 30．已知向量→a ()cos sin θθ=，，→b ()03=，，若→a ·→b 取最大值，则 →a 的坐标是 ．三、解答题（本大题5小题，共55分．请在答题卡相应的题号处写出解答过31．(本小题9分) 在等比数列{}n a 中，24a =，38a =．求：(1) 该数列的通项公式；(2) 该数列前10项的和． 32．(本小题11分) 已知点()43P ，是角α终边上一点，如图所示，求sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．)33．(本小题11分) 如图所示，已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -．(1) 求三棱锥1C BCD -的体积；(2) 求证：平面1C BD ⊥平面11A B CD ．34．(本小题12分) 某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式．居民当月用电量不超过100度的部分，按基础电价收费；超过100度不超过150度的部分，按0.8元/度收费；超过150度的部分按1.2元/度收费．该市居民当月用电量x （度）与应付电费y （元）的函数图像如图所示．(1) 求该市居民用电的基础电价是多少元/度？(2) 某居民8月份的用电量为210度，求应付电费多少元？(3) 当(]100150x ∈，时，求x 与y 的函数关系式(x 为自变量)．35．(本小题12分) 已知椭圆的一个焦点为()10F ． (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 圆2245x y +=的任一条切线与该椭圆均有两个交点A ，B ，求证：OA OB ⊥（O 为坐标原点）． A B C D C 1A 1B 1 D 1 第33题图机密★启用前山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）1.集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，则A B 等于（ ）A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2}【考查内容】集合的交集【答案】B2.不等式15x -<的解集是（ ） A.(6-,4) B.(4-,6) C.(,6)(4,)--+∞∞ D.(,4)(6,)--+∞∞【考查内容】绝对值不等式的解法【答案】B 【解析】1551546x x x -<⇒-<-<⇒-<<.3.函数1y x=的定义域是（ ） A.{}10x x x -≠且… B.{}1x x -… C.{}>10x x x -≠且 D.{}>1x x -【考查内容】函数的定义域【答案】A【解析】10x +…且0x ≠得该函数的定义域是{}10x x x -≠且….4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考查内容】充分、必要条件【答案】C【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，“直线与圆相切” ⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”.5.在等比数列{}n a 中，241,3a a ==，则6a 的值是（ ）A.5-B.5C.9-D.9【考查内容】等比数列的性质【答案】D【解析】2423a q a ==，2649a a q ==. 6.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量,OA a OB b ==，则AM 可以表示为（ ）第6题图 15SD1 A.12a b + B.12a b -+ C.12a b - D.12a b -- 【考查内容】向量的线性运算【答案】B 【解析】12AM OM OA b a =-=-. 7.终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ） A.2,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z B.,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z C.2,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z D.,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z【考查内容】终边相同的角的集合【答案】A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是2,2x k k ⎧π⎫+π∈⎨⎬⎩⎭Z . 8.关于函数22y x x =-+，下列叙述错误的是（ ）A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线1x =C.函数的单调递减区间是[1,)-+∞D.函数的图象经过点（2,0）【考查内容】二次函数的图象和性质【答案】C【解析】222(1)1y x x x =-+=--+，最大值是1，对称轴是直线1x =，单调递减区间是[1,)+∞，（2,0）在函数图象上.9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ）A.10B.20C.60D.100【考查内容】组合数的应用【答案】A【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有35C 10=种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了）10.如图所示，直线l 的方程是（ ）第10题图 15SD20y -=20y -=310y --=D.10x -=【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程 【答案】D【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率3tan 30k ==，直线l 与x 轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l ：01)y x -=-，即10x -=. 11.对于命题p ,q ,若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，则（ ）A. p ,q 都是真命题B. p ,q 都是假命题C. p ,q 一个是真命题一个是假命题D.无法判断【考查内容】逻辑联结词 【答案】C【解析】由p q ∧是假命题可知p ,q 至少有一个假命题，由p q ∨是真命题可知p ,q 至少有一个真命题，∴p ,q 一个是真命题一个是假命题.12.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，2()2f x x =+，则(1)f -的值是（ ） A.3- B.1- C.1 D.3 【考查内容】奇函数的性质 【答案】A【解析】2(1)(1)(12)3f f -=-=-+=-.13.已知点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，点A 的坐标是（4,3），则AP 的值是（）B.C.D.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模 【答案】D【解析】∵点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，∴2131log 2,()93m m -=-==，∴P 点坐标为(9,2)-，(5,5),52AP AP =-=14.关于x ，y 的方程221x my +=，给出下列命题：①当0m <时，方程表示双曲线； ②当0m =时，方程表示抛物线；③当01m <<时，方程表示椭圆； ④当1m =时，方程表示等轴双曲线；⑤当1m >时，方程表示椭圆. 其中，真命题的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念 【答案】B【解析】当0m <时，方程表示双曲线；当0m =时，方程表示两条垂直于x 轴的直线；当01m <<时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当1m =时，方程表示圆；当1m >时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆.①③⑤正确.15.5(1)x -的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ） A.0 B.1- C.32- D.32 【考查内容】二项式定理 【答案】D【解析】所有项的二项式系数之和为012345555555C C C C C C 32+++++=.16.不等式组1030x y x y -+>⎧⎨+-<⎩表示的区域（阴影部分）是（ ）A B C D 15SD3 15SD4 15SD5 15SD6 【考查内容】不等式组表示的区域 【答案】C【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：0010-+>，0030+-<，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C 选项中所示.17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ） A.29 B.23C.14D.12【考查内容】古典概率【答案】D【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为224⨯=，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为2142=. 18.已知向量(cos,sin ),(cos ,sin ),12121212a b 5π5πππ==则a b 的值等于（ ）A.12C.1D.0【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算【答案】A【解析】1 sin cos cos sin sin1212121262 a bπππππ=+==.19.已知,αβ表示平面，m，n表示直线，下列命题中正确的是（）A.若mα⊥，m n⊥，则nαP B.若mα⊂，nβ⊂，αβP，则m nPC.若αβP，mα⊂，则mβP D.若mα⊂，nα⊂，mβP，nβP，则αβP【考查内容】空间直线、平面的位置关系【答案】C【解析】A. 若mα⊥，m n⊥，则nαP或n在α内；B. 若mα⊂，nβ⊂，αβP，则m nP或m与n异面；D. 若mα⊂，nα⊂，mβP，nβP，且m、n相交才能判定αβP；根据两平面平行的性质可知C正确.20.已知1F是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点，点P在双曲线上，直线1PF与x轴垂直，且1PF a=，则双曲线的离心率是（）C.2D.3【考查内容】双曲线的简单几何性质【答案】A【解析】1F的坐标为(,0)c -，设P点坐标为(,)cy-，2222()1yca b--=，解得2bya=，由1P F a=可得2baa=，则a b=卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为a的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面积是.【考查内容】直棱柱的侧面积【答案】4ah22.在△ABC中，105A∠=,45C∠=,AB=则BC= .【考查内容】正弦定理【解析】由正弦定理可知，sin sinAB BCC A=,sin sin1056sinAB ABCC===23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2 ，则从第五个号码段中抽取的号码应是.【考查内容】系统抽样【答案】42【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是241042+⨯=.24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x y x +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于 . 【考查内容】椭圆的简单几何性质【答案】【解析】圆22670x y x +--=的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即3,4c a ==，b =.25.集合,,M N S 都是非空集合，现规定如下运算： {}()()()M N S x x MN NS SM ⊗⊗=∈.且()x MNS ∉.若集合{}{},A x a x b B x c x d =<<=<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，满足：①0,0,a b c d e f <<<；②a b c d e -=-=-；③a b c d e +<+<+.则A B C ⊗⊗= .【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集【答案】{}x c x e b x d <<或剟【解析】∵a b c d +<+，∴a c d b -<-；∵a b c d -=-，∴a c b d -=-；∴b d d b -<-，b d <；同理可得d f <，∴b d f <<.由①③可得0a c e b d f <<<<<<.则{}A B x c x b =<<，{}B C x e x d =<<，{}CA x e x b =<<.ABC ⊗⊗={}x c x e bx d <<或剟.三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员. 【考查内容】等差数列的实际应用【解】由题意知各排人数构成等差数列{}n a ，设第一排人数是1a ，则公差3d =，前5项和5120S =,因为1(1)2n n n S na d -=+，所以154120532a ⨯=+⨯，解得118a =. 答：第一排应安排18名演员.27.（本小题8分）已知函数2sin(2),y x x ϕ=+∈R ，02ϕπ<<.函数的部分图象如图所示.求： （1）函数的最小正周期T 及ϕ的值； （2）函数的单调递增区间.15SD7 第27题图【考查内容】正弦型函数的图象和性质 【解】（1）函数的最小正周期22T π==π,因为函数的图象过点（0,1），所以2sin 1ϕ=，即1sin 2ϕ=，又因为02ϕπ<<，所以6ϕπ=. (2)因为函数sin y x =的单调递增区间是[2,2],22k k k ππ-+π+π∈Z .所以222262k x k πππ-+π++π剟，解得36k x k ππ-+π+π剟， 所以函数的单调递增区间是[,],36k k k ππ-+π+π∈Z .28.(本小题8分)已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[2,4]-上的最大值是16. (1)求实数a 的值;(2)若函数22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,求满足不等式log (12)1a t -…的实数t 的取值范围.【考查内容】指数函数的单调性 【解】（1）当01a <<时，函数()f x 在区间[2,4]-上是减函数， 所以当2x =-时，函数()f x 取得最大值16，即216a -=，所以14a =. 当1a >时，函数()f x 在区间[2,4]-上是增函数，所以当4x =时，函数()f x 取得最大值16，即416a =，所以2a =.（2）因为22()l o g (32)g x xx a =-+的定义域是R ,即2320x x a -+>恒成立.所以方程2320x x a -+=的判别式0∆<，即2(3)420a --⨯<，解得98a >，又因为14a =或2a =，所以2a =.代入不等式得2log (12)1t -…，即0122t <-…，解得1122t -<…，所以实数t 的取值范围是11[,)22-.29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2,3SA SD AB ===.(1)求SA 与BC 所成角的余弦值； （2）求证：AB SD ⊥.15SD8 第29题图【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（1）因为AD BC P ,所以SAD ∠即为SA 与BC 所成的角，在△SAD 中，2SA SD ==， 又在正方形ABCD 中3AD AB ==,所以222222232cos 2223SA AD SD SAD SA AD +-+-∠==⨯⨯34=,所以SA 与BC 所成角的余弦值是34.(2)因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD平面ABCD AD =,在正方形ABCD 中，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面SAD ,又因为SD ⊂平面SAD ,所以AB SD ⊥.30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O ,焦点F 在x 轴的正半轴上，Q 是抛物线上的点，点Q 到焦点F 的距离是1，且到y 轴的距离是38.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l 经过点M (3，1),与抛物线相交于A ，B 两点，且OA OB ⊥,求直线l 的方程.15SD10 第30题图【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为22y px =，因为点Q 到焦点F 的距离是1， 所以点Q 到准线的距离是1，又因为点Q 到y 轴的距离是38，所以3128p =-，解得54p =，所以抛物线方程是252y x =. （2）假设直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3x =，与252y x =联立，可解得交点A 、B的坐标分别为，易得32OA OB =，可知直线OA 与直线OB 不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则方程为1(3)y k x -=-，整理得31y kx k =-+，设1122(,),(,),A x y B x y 联立直线l 与抛物线的方程得23152y kx k y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩①② ,消去y ，并整理得22225(62)96102k x k k x k k --++-+=，于是2122961k k x x k -+=.由①式变形得31y k x k+-=，代入②式并整理得2251550ky y k --+=， 于是121552k y y k-+=，又因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即12120x x y y +=， 229611552k k k k k -+-++=，解得13k =或2k =. 当13k =时，直线l 的方程是13y x =，不满足OA OB ⊥，舍去.当2k =时，直线l 的方程是12(3)y x -=-，即250x y --=，所以直线l 的方程是250x y --=.机密★启用前山东省2016年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分。
专题22 双曲线(解答题压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
x2 a2
y2 4
1 a
0 的中心为原点 O ，左、右
焦点分别为
F1 、
F2
，离心率为
35 5
，点
P
是直线
x
a2 3
上任意一点，点 Q
在双曲线
E
上，
且满足 PF2 QF2 0 .
（1）求实数 a 的值；
（2）证明：直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值；
（3）若点 P 的纵坐标为1，过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M 、N ，在线段
(2)是否存在直线 l，使得 l 与 M 交于 A，B 两点，且弦 AB 的中点为 P 4, 6 ？若存在，求 l
的斜率；若不存在，请说明理由.
②双曲线中的最值问题
1．（2022·全国·高三阶段练习）在一张纸上有一圆 C : (x 2 3)2 y2 36 ，定点 M 2 3, 0 ，
折叠纸片 C 上的某一点 M1 恰好与点 M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 KQ ，设 折痕 KQ 与直线 M1C 的交点T .
专题 22 双曲线（解答题压轴题）
双曲线（解答题压轴题）
①双曲线的中点弦问题 ②双曲线中的最值问题 ③双曲线中定点、定值、定直线问题
④双曲线中向量问题 ⑤双曲线综合问题 ①双曲线的中点弦问题 1．（2022·四川·树德中学高三期中（文））已知抛物线 C ： x2 2 py （ p 0 ）的焦点为 F ， P 为 C 上的动点，Q 为 P 在动直线 y t （ t 0 ）上的投影.当 △PQF 为等边三角形时，其面
曲线 C 的实轴长为 2，焦距为 2 3 ，且点 P（0，-1）到渐近线的距离为 3 . 3
（1）求双曲线 C 的方程；
高中数学双曲线练习题及答案
高中数学双曲线练习题及答案双曲线相关知识双曲线的焦半径公式：A。
$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$B。
$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$C。
$\frac{y^2}{24}-\frac{x^2}{12}=1$D。
$\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1$3.设 $e_1,e_2$ 分别是双曲线 $-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 和 $-\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ 的离心率，则$e_1^2+e_2^2$ 与 $e_1e_2$ 的大小关系是 $1:$定义：双曲线上任意一点 $P$ 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2.已知双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$点 $P(x,y)$ 在左支上PF_1│=-(e x+a)$；$│PF_2│=-(e x-a)$点 $P(x,y)$ 在右支上PF_1│=ex+a$；$│PF_2│=ex-a$运用双曲线的定义例1.若方程 $x^2\sin\alpha+y^2\cos\alpha=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的双曲线，则角 $\alpha$ 所在象限是（）A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限练1.设双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 上的点$P$ 到点 $(5,0)$ 的距离为 $15$，则 $P$ 点到 $(-5,0)$ 的距离是（）A。
7 B。
23 C。
5 或 23 D。
7 或 232.已知双曲线的两个焦点是椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{5y^2}{32}=1$ 的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（）。
A。
$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{4}=1$ B。
高中数学选择性必修一双曲线(习题课)
题型四 双曲线的综合问题
例 4 (2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点 F1(－ 17，0)， F2( 17，0)，点 M 满足|MF1|－|MF2|＝2.记 M 的轨迹为 C.
(1)求 C 的方程； (2)设点 T 在直线 x＝12上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两 点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
【解析】 (1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2 17， 所以点 M 的轨迹 C 是以 F1，F2 分别为左、右焦点的双曲线的右支． 设双曲线的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，半焦距为 c，则 2a＝2，c＝ 17， 得 a＝1，b2＝c2－a2＝16， 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x2－1y62 ＝1(x≥1)． (2)设 T(12，t)，由题意可知直线 AB，PQ 的斜率均存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 y－t＝k1(x－12)(k1≠0)，直线 PQ 的方程为 y－t＝k2(x－12)(k2≠0)，
＋2kx－2＝0.
4k2＋8（1－k2）＞0，
由题设条件得－1－2kk2＜0，
∴－ 2＜k＜－1.
－1－2 k2＞0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，
则 Qx1＋2 x2，y1＋2 y2， y1＋y2
kPQ＝x1＋2 2x2＋2＝（x1y＋1＋x2y）2 ＋4. ∵x1＋x2＝k22－k 1，
( 3，0)． (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且O→A·O→B
>2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围． 【解析】 (1)设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 由已知得 a＝ 3，c＝2，∴b＝1. 故所求双曲线方程为x32－y2＝1.
人教A版高中数学选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练 (1)(含答案解析)
14．(多选)已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点 与双曲线 的左焦点重合，若两曲线相交于 ， 两点，且线段 的中点是点 ，则该双曲线的离心率等于______.
3．椭圆 的左、右焦点分别为 ，过焦点 的倾பைடு நூலகம்角为 直线交椭圆于 两点，弦长 ，若三角形 的内切圆的面积为 ，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
4．已知直线 垂直于抛物线 的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为 的直线与E交于另一点C，若 ，则p=（ ）
A． B．
C． D．
5．已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）
A． B．
C． D．
6．已知椭圆C： 的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为 ，当 时，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆C：x2＋ ＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为上顶点．若BM＝BN，则椭圆C的离心率的取值范围是（）
33．设椭圆 的的焦点为 是C上的动点，直线 经过椭圆的一个焦点， 的周长为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求 的最小值和最大值．
34．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过 和 两点；
（2）过点 ，且与椭圆 有相同的焦点．
35．已知动点 到直线 的距离与到定点 的距离的差为 ．动点 的轨迹设为曲线 ．
(完整版)圆锥曲线离心率专题历年真题
1．（福建卷）已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)2．（湖南卷）过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )3．（辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )325．(陕西卷)已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为A.2B. 3C.263D.2336. (全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A （B ）12（C ）2 （D 1 7. （广东卷）若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )（Ｂ）32（Ｃ）83（Ｄ）238.（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+9．[全国]设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45 10．（ 福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33B ．32 C ．22 D ．2311．（ 重庆理）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）A ．43B ．53C ．2D ．7312.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3 C.(3,+∞)D.[)3,+∞13.（江西卷 7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1) B ．1(0,]2C ．(0,2D ．,1)2 14.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(25)，D ．(215.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABC D16.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y +=17.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． 18.（全国一15）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．19、（全国2理11）设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，，理由祥见解析．【解析】（1）由已知首先得到，再由离心率为２可求得的值，最后利用双曲线中基本量的关系求出值，从而就可写出所求双曲线的标准方程；（2）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，消去得到关于的一个一元二次方程；再设，则由韦达定理就可用的式子表示出，再用点Ｐ，Ｑ的坐标表示出直线ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可写出点Ｍ，Ｎ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再计算得，即证明得；（3）先取直线的斜率不存在的特列情形，研究出对应的的值，然后再对斜率存在的情形给予一般性的证明：不难获得，从而假设存在使得恒成立，然后证明即可．试题解析：（1）由题可知： 1分2分∴双曲线C的方程为： 3分（2）设直线的方程为：，另设：4分5分又直线AP的方程为，代入 6分同理，直线AQ的方程为，代入 7分9分（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分下证：对直线存在斜率的情形也成立.11分12分13分∴结合正切函数在上的图像可知， 14分【考点】1．双曲线的标准方程；2．直线与双曲线的位置关系；３．探索性问题．2.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.【答案】x2－＝1【解析】由已知，一条渐近线方程为，即又，故c＝2，即a2＋b2＝4，解得a＝1，b＝3双曲线方程为x2－＝1考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式3.若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．【答案】10【解析】依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．4.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.5.设的离心率为,则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以.【考点】双曲线及重要不等式.6.设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.7.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是() A．(1，＋∞)B．(1,2)C．D．【答案】B【解析】由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，，即，解得，又双曲线的离心率大于1，从而，故选B。
双曲线基础题(含答案)
双曲线基础题一、单选题1．已知动点(),P x y2=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支2．已知双曲线的两个焦点分别为()10,5F −，()20,5F ，双曲线上一点P 与1F ，2F 的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A ．221916x y −=B ．221169x y −=C ．221916y x −=D ．221169y x −=3．已知平面内两定点()13,0F −，()23,0F ，下列条件中满足动点P 的轨迹为双曲线的是（ ） A ．127PF PF −=± B ．126PF PF −=± C ．124PF PF −=±D ．22126PF PF −=±4．已知双曲线22:1169x y C −=的两焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，若110PF =，则2PF =（ ）． A ．16B ．18C ．4或16D ．2或185．若双曲线22:1916x y E −=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11B ．9C ．5D ．36．设双曲线22:4640C x y −+=的焦点为12,F F ，点P 为C 上一点，16PF =，则2PF 为（ ） A ．22B ．14C ．10D ．27．已知双曲线C ：221169x y −=的左右焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，则21PF PF −=（ ） A ．－8B ．8C ．10D ．8．若方程22122x y m m−=+−表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．22m −<<B ．2m >−C ．0m ≥D ．2m ≥9．已知方程22111x y k k−=+−表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，1）B ．（0，+∞）C ．[0，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 10．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4B ．－4C ．－14D ．1411．若方程22154x y m m +=−+表示的图形是双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞5B ．m ＜－4C ．m ＜－4或m ＞5D ．－4＜m ＜512．“102a <<”是“方程22121x y a a+=−表示的曲线为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．若双曲线221y x m−=的一个焦点为()3,0−，则m =（ ）． AB ．18 C．D ．814．椭圆22214x y a +=与双曲线22212x y a −=有相同的焦点，则=a （ ）A ．1−B ．1C ．1±D ．215．若方程2244x ky k +=表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A．B．CD16．双曲线221916x y −=的左顶点与右焦点间的距离为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．817．若椭圆22125x y m +=与双曲线221515x y −=的焦点相同，则m 的值为（ ）A ．3±B ．4C ．6D ．918．已知椭圆221(1)x y a a +=>和双曲线221(0)x y m m −=>有相同焦点，则（ ）A ．2a m =+B ．2m a =+C ．222a m =+D ．222m a =+19．与双曲线22154x y −=有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22154x y +=C ．22110x y +=D ．221134x y +=20．若椭圆22125x y m +=与双曲线221515x y −=的焦点相同，则m 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1221．双曲线2214x y −=的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）AB ．2 CD ．122．等轴双曲线的一个焦点是()10,6F −，则其标准方程为（ ）A ．2211818x y −=B ．22199y x −=C ．2211818y x −=D ．22199x y −=23．等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π324．双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线方程为y x =，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2 BC ．3 D25．等轴双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>焦距为4，则C 的一个顶点到一条渐近线的距离为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．1226．双曲线2214y x −=的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C．y =D．2y x =±27．双曲线2228x y −=的渐近线方程是（ ）A ．12y x =±B ．2y x =± C．y = D．y x =28．已知双曲线()222:1016x y C b b−=>的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =± D ．34y x =?29．双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>A．y =B．y =C．2y x =±D．y x = 30．若直线31y x =−与双曲线22:1C x my −=的一条渐近线平行，则实数m 的值为（ ） A ．19B ．9C ．13D ．331．双曲线22143x y −=的离心率是（ ）A ．32B ．54C2D ．5232．若双曲线C 两条渐近线方程是y x =±，则双曲线C 的离心率是（ ）． ABC ．2D33．已知直线20x y −=双曲线22221y xa b−=的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2 CD34．已知双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D二、解答题35．求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，a =A ()5,2−； （2）焦点在y 轴上，焦距是16，离心率43e =； （3）离心率e =M ()5,3−． 36．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点)，()3,2； (2)焦点为()0,5−，()0,5，经过点⎝； (3)a b =，经过点()3,1−； (4)经过(3,−和9,54⎫⎛ ⎪⎝⎭两点．37．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，离心率为53，两顶点间的距离为6；(2)以椭圆22159x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点.38．求适合下列条件的曲线标准方程.（1）虚轴长为16的双曲线的标准方程； （2）过点()1,3P −的抛物线的标准方程.39．求双曲线22494x y −=−的顶点坐标､焦点坐标､实轴长､虚轴长､离心率和渐近线方程. 40．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、离心率、焦点和顶点坐标、渐近线方程： (1)2277x y −=； (2)2228x y −=−． 41．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）焦距为(－5,2)，且焦点在x 轴上； （2）焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A (－5,6).42．m ，n 为何值时，方程221x y m n+=表示下列曲线：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线？43．已知曲线C 的方程为22173x y m m−=−−，根据下列条件，求实数m 的取值范围：(1)曲线C 是椭圆； (2)曲线C 是双曲线．。