新人教版九年级下册数学：《二次函数》(第一课时)
2611二次函数的定义课件新人教版九年级下
知识运用
练习１、m取何值时，函数是
m2 2m1
y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？
驶向胜利 的彼岸
练一练:
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
最高次数=2
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
a≠ 0
整式，X的取值范围任意实数
注意：
可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
（1）y=3(x-1)²+1 (2)y=_1_ -x x²
(3)s=3-2t²
这节课你有什么收获和体会？
结束寄语 下课了!
•生活是数学的源泉.
• 探索是数学的生命线.
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.正方体表面积公式是什么？
3. n边形对角线条数
d=
1 2
n(n-3)
如图：正方体的六个面全是全等的正方形如图， 设正方体的棱长为x，表面积为y．
X
X
显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的 函数，它们具体的关系可以表示为
展示才智
3、若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，求 m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则
新人教版九年级下册数学：《二次函数》(第一课时)
5.指出下列函数的二次项系数,一次项系数,常数项 分别是多少?
y = -2-3x2
3 2 y x 5
-3
3 5
0 0
-2 0
y=
2(x-2)2+8x
2
0
8
我们把形如y=ax² +bx+c(其中a,b,c是 常数，a≠0)的函数叫做二次函数
二次项: ax2
一次项:
常数项: bx c二Fra bibliotek项系数: a 一次项系数: b
写出下列函数的表达式,
1.圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之间 的关系_____ ,自变量是___,它的最高次数 2 r S=πr 是__. 2 2.正方形的边长为a,如果边长增加2,新图形的 2 面积s与a之间的函数关系式为____ S=(a+2) a 它的最高次数是____. 自变量是___, 2
3.再看函数y=(x+1)2-4，自变量是___,自变量的
x
最高次数是___, 2
这些函数和以前学得函数有什么不 同?
这些函数都是二次函数.
我们把形如y=ax² +bx+c(其中a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x
2
是
1 (2) y 2 x (3) y x(1 x) (4) y ( x 1) x
初三(下)数学课本第4页
• 习题26.1 1. 2.
3. 4.
结束寄语
下课了!
•生活是数学的源泉.
•
探索是数学的生命线.
1.若y=(a2-1)x2是二次函数则, a的取 a≠±1 值范围是_____
人教课标版九年级数学下册第26章第一节二次函数教案
九年级下册（新人教版）
26.1.1二次函数（教学设计）
教学设计思想：
本节内容可以安排一课时，在课堂中，先以现实生活中的实际问题为例，激起学生的求知欲与探索兴趣，然后利用与一次函数的类比、归纳得出二次函数的概念，教师出示巩固性练习，学生以多种形式完成。
通过这节课的学习要让学生充分理解二次函数的有关概念，能够表示简单的二次函数关系，在学习活动，体会通过探究得到发现的乐趣。
教学目标：
1．知识与技能：
结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念。
能够表示简单变量之间的二次函数关系。
2．过程与方法：
通过二次函数的有关概念的学习，体会由一次函数走向二次函数的归纳、类比思想，即为以后二次函数的图象和性质的学习打下基础；
3．情感、态度与价值观：
体会数学与人们生活的联系。
在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究得到发现的乐趣。
教学重点：
结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念。
教学难点：
寻找、发现实际生活中的二次函数问题。
教学方法：
采取引导发现法，创设合理的问题情境，激发学生思维的积极性，充分体现学生的主体作用。
教学安排：
1课时。
教具准备：
投影仪。
课后反思：
这节课我从学生熟悉的问题入手，列出变量间的二次函数关系式，归纳二次函数的概念，通过例题的学习加深对二次函数的概念的理解。
在教学活动中积极组织学生参与和教师的有效指导，培养学生的合作意识和交流能力，帮助学生树立正确的人生观和价值观。
【人教版】九年级下册数学《二次函数》全章教案
二次函 数（1）一．导入：用长为20cm 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为x cm ，面积为y 2cm . 求：y 与x 的函数关系式.二．二次函数：形如c bx ax y ++=2（其中b 、c 为常数，且0≠a ）的函数叫做x 的二次函数. 注：0≠a ，若0=b 可化为c ax y +=2；0≠a ，若0=c 可化为bx ax y +=2三．例题与练习：1．下列各式中：①2x y =，②012=-+y x ，③122=-y x ，④1212-+-=x x y ，⑤1+=x y ，⑥012=--x y ，其中y 是x 的二次函数的是 .练习：下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．12=+x xy Ｂ．0222=-+y x Ｃ．22-=-ax y Ｄ．012=++y x2．若函数()22++-=x x m y m 是二次函数，则m 的值为 .练习：若函数()13112+-+=+x x m y m 是二次函数，则m 的值为 .3．若二次函数12++=mx x y 的图象经过点（2，1），则m 的值为 .练习：若二次函数()32122--+++=m m x x m y 图象经过原点，则m 的值为 .4．若二次函数c bx ax y ++=2满足1=++c b a ，则此二次函数的图象必经过点 ；若满足0=+-c b a ，则此二次函数的图象必经过点 .练习：若二次函数c bx ax y ++=2满足024=+-c b a ，则此二次函数的图象必经过点 .5．将函数3822--=x x y 化成 练习：将函数1632+--=x x y 化成 ()k h x a y +-=2的形式 ()k h x a y +-=2的形式7．将进货单价为30元的故事书按40元售出时，就能卖出500本书，已知这种书每本每涨价1元，其销售量就会减少10本.设销售单价为x 元，销售总利润为y 元.⑴写出y 与x 的函数关系式； ⑵求当销售单价为多少元时，销售总利润最大？最大利润为多少？练习：某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60kg ，单价每降低1元，日均多售出2kg ，在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天，俺整天计算）.设销售单价为x 元，日均获利为y 元.⑴求y 与x 的函数关系式，并注明x 的取值范围； ⑵求单价定为多少时，日均获利最多？最多为多少？课 后 作 业（1）1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．0212=-+x yＢ．022=+y x Ｃ．22-=-x x Ｄ．0422=+-y x 2．若函数()4331-++=-x x m y m 是二次函数，则m 的值为（ ）A ．3或3- Ｂ．3 Ｃ．3- Ｄ．2或2-3．对于二次函数2432+-=x x y ，当1-=x 时，y 的值为（ ）A ．9 Ｂ．1 Ｃ．3 Ｄ．3-4．二次函数c bx ax y ++=2，若2-=x 时，0=y ，则下列式子成立的是（ ）A ．024=++c b a Ｂ．024=+-c b a Ｃ．024=++-c b a Ｄ．024=+--c b a5．二次函数42-=x y 与x 轴交点的坐标为（ ）A ．（0，4-） Ｂ．（2，0） Ｃ．（2，0）和（2-，0） Ｄ．（2-，0）6．二次函数4322-+=x x a y 经过点（2，6），则a 的值为（ ）A ．1 Ｂ．1- Ｃ．1或1- Ｄ．2或2-7．将下列二次函数化成一般形式.⑴()()232+--=x x y ⑵()2423--=x x y8．将下列二次函数化成()k h x a y +-=2的形式⑴51222+-=x x y ⑵342---=x x y9．求下列二次函数与x 轴、y 轴的交点坐标.⑴x x y 642-= ⑵542--=x x y10．某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格，经过试验发现，当销售单价为20元时最多能销售360件，在这基础上每提高1元每月就少销售30件.设销售单价为x （元/件），每月的销售利润为y （元）.⑴写出y 与x 的函数关系式； ⑵求当销售单价为多少元时，每月销售利润最大？最大利润为多少？二 次 函 数（2）二次函数的图象与性质：一．例题与练习：1．二次函数2x y =⑴_______=a ，_______=b ，_______=c⑵当____=x 时，函数值y 有最 （填大或小） 值为 ⑶完成表格：⑷描点，画出图象：练习1：二次函数2x y -=⑴_______=a ，_______=b ，_______=c⑵当____=x 时，函数值y 有最 （填大或小）值为⑶完成表格：⑷描点，画出图象：2. 相关知识：⑴二次函数的图象为 ；⑵二次函数的图象为 图形；⑶开口方向 ；⑷顶点坐标 ；⑸对称轴为 . ⑹增减性： . 练习2：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y =与22x y -=的图象22x y =⑴列表：⑵描点，画出图象22x y -=⑴列表：⑵描点，画出图课 后 作 业（2） 1．将二次函数()()x x y 323--=化为一般形式为 .2.对于二次函数6432---=x x y 来说，a = ，b = ，c = .3.若二次函数()21x m y -=的图象的开口方向向上，则m 的取值范围为 .4.二次函数241x y -=的顶点坐标为 ，对称轴为 . 5.若点A （2，8）与点B （2-，m ）都在二次函数2ax y =的图象上，则m 的值为 .6.已知点（m ，4-）在二次函数221x y -=的图象上，则m 的值为 . 7.请你写出一个顶点为原点，且开口方向向下的二次函数表达式为： .8.若二次函数()23x m y -=在对称轴右边的图象上，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围为 . 9.二次函数2ax y =的图象必经过的一点的坐标为 .10.若点A （4-，n ）与点B （m ，8-）都在二次函数2ax y =的图象上，且关于对称轴对称，则n m +的值为 .11. 将函数下列各函数化成()k h x a y +-=2的形式 ⑴42212--=x x y ⑵2134322+--=x y12.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：⑴23x y = ⑵231x y -=13.请你利用上题中的直角坐标系和函数23x y =⑴画出23x y =向右平移3个单位的图象；⑵观察新得到的抛物线图象回答：顶点坐标为 ，对称轴为 ，与y 轴交点为 .※⑶请你试求出变换后的二次函数的解析式.二 次 函 数（3）二次函数的图象与性质：一．例题与练习：1.二次函数12+=x y⑴_______=a ，_______=b ，_______=c⑵当____=x 时，函数值y 有最 （填大或小）值为⑶完成表格：⑷描点，画出图象：相关结论：⑴开口方向 ；⑵顶点坐标 ；⑶与2x y =的图象的关系 ；⑷对称轴为 ；⑸其图象是由2x y =的图象经过怎样的图形变换得到的？2.二次函数12--=x y⑴_______=a ，_______=b ，_______=c⑵当____=x 时，函数值y 有最 （填大或小） 值为 ⑶完成表格： ⑷描点，画出图象： 相关结论： ⑴开口方向 ；⑵顶点坐标 ；⑶与2x y -=的图象的关系 ； ⑷对称轴为 ；⑸其图象是由2x y -=的图象经过怎样的图形变换得到的？练习：1．二次函数52-=x y 的图象是由2x y =的图象经过怎样的图形变换得到的？⑴开口方向 ；⑵顶点坐标 ；⑶对称轴为 .2．练习：二次函数422--=x y 的图象是由22x y -=的图象经过怎样的图形变换得到的？⑴开口方向 ；⑵顶点坐标 ；⑶对称轴为 .3．练习：将二次函数23x y =的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到的函数解析式为 ，再沿y 轴向下平移7个单位长度得到的函数解析式为 .课 后 作 业（3）1．下列二次函数的开口方向向上的是（ ）A ．132+-=x yB ．32-=ax yC ．2312-=x y D ．()512--=x a y 2．若二次函数()1632--=x m y 的开口方向向下，则m 的取值范围为（ ）A ．2>mB ．2<mC ．2≠mD ．2->m3．若二次函数1211-=x a y 与二次函数3222+=x a y 图象的形状完全相同，则1a 与2a 的关系为（ ）A ．1a =2aB ．1a =2a -C ．1a =2a ±D ．无法判断4．将二次函数22x y -=的图象向下平移5个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）A ．522+=x yB ．522--=x yC ．522+-=x yD ．522-=x y5．若二次函数()2622--=x m y 由二次函数25x y -=平移得到的，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1 或1-D ．0或1-6．二次函数3312--=x y 图象的顶点坐标为（ ） A ．（0，3） B ．（0，3-） C ．（31-，3） D ．（31-，3-） 7．将二次函数122--=x y 图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为（ ）A ．（0，6-）B ．（0，4）C ．（5，1-）D ．（2-，6-）8．将二次函数12+-=x y 图象向左平移3个单位得到的抛物线的对称轴为（ ）A ．直线0=xB ．直线4=xC ．直线3-=xD ．直线3=x9．二次函数22x y =⑴将其向下平移2个单位得到的抛物线解析式为 .⑵通过列表，描点，画出⑴中抛物线的图象；⑶求⑵中抛物线与x 轴的交点坐标，并求出顶点与x 轴的交点所组成三角形的面积；⑷若点A （1x ，m ）、B （2x ，n ）在⑵中抛物线的图象上，且021<<x x ，则m 与n 的大小关系为 .※⑸若将二次函数22x y =图象沿x 轴翻折，再向上平移5个单位得到的抛物线的解析式为 .※⑹求直线1-=x y 与⑵中抛物线的交点坐标.二 次 函 数（4）二次函数的图象与性质：一．例题与练习：1.二次函数()21+=x y⑴将此函数化成一般形式为 ，其中_______=a ，_______=b ，_______=c⑵当__________=x 时，函数值y 有最 （填大或小）值为 ⑶完成表格： ⑷描点，画出图象： 相关结论： ⑴开口方向 ；⑵顶点坐标 ；⑶与2x y =的图象的关系 ；⑷对称轴为 ；⑸其图象是由2x y =的图象经过怎样的图形变换得到的？⑹猜想：二次函数()25-=x y 的图象是由2x y =的图象经过怎样的图形变换得到的？1.二次函数()21--=x y⑴将此函数化成一般形式为 ，其中_______=a ，_______=b ，_______=c ⑵当__________=x 时，函数值y 有最 （填大或小）值为⑶列表：⑷描点，画出图象相关结论：⑴开口方向 ；⑵顶点坐标 ；⑶与2x y -=的图象的关系 ； ⑷对称轴为 ；⑸其图象是由2x y -=的图象经过怎样的图形变换得到的？练习：1．二次函数()26-=x y 的图象是由2x y =的图象经过怎样的图形变换得到的？⑴开口方向 ；⑵顶点坐标 ；⑶对称轴为 .2．练习：二次函数()232+-=x y 的图象是由22x y -=的图象经过怎样的图形变换得到的？⑴开口方向 ；⑵顶点坐标 ；⑶对称轴为 .3．练习：将二次函数23x y =的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到的函数解析式为 ，再沿x 轴向左平移7个单位长度得到的函数解析式为 .课 后 作 业（4） 1．对于二次函数4232-+-=x x y 来说，_______=a ，_______=b ，_______=c .2．抛物线322+-=x y 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 .3．将抛物线231x y =沿y 轴向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再沿y 轴向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 .4．把抛物线c ax y +=2沿y 轴向下平移7个单位得到的抛物线的解析式为432-=x y ，则=a ， =c .5．抛物线()232+-=x y 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 .6．将抛物线25x y -=沿x 轴向左平移6个单位长度得到的新的二次函数解析式为 .此时函数的顶点坐标为 ，对称轴为 .7．把抛物线()2h x a y -=沿x 轴向右平移3个单位长度得到的新的二次函数解析式为()255--=x y ，则=a ， =h .8．把抛物线221x y =向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 ，此时抛物线的开口方向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 .9．二次函数1422--=x x y⑴将其化成()k h x a y +-=2的形式；⑵说明⑴中抛物线是由22x y =的图象经过怎样的图形变换得到的？⑶写出⑴中抛物线的顶点坐标，对称轴.⑷求⑴中抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标.10．二次函数()222--=x y⑴将此函数化成一般形式为 ，其中_______=a ，_______=b ，_______=c⑵当__________=x 时，函数值y 有最 （填大或小）值为⑶列表：⑷描点，画出图象⑸将该函数图象向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ， 此时抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为 .二 次 函 数（5）二次函数的图象与性质：一．探究：1．将二次函数22x y -=的图象沿y 轴向上平移5个单位长度，再沿x 轴向左平移3个单位长度得到的函数解析式为 .此时函数的顶点坐标为 ，对称轴为 .2．猜想二次函数()2122+-=x y 的图象顶点坐标为 ，对称轴为 ，是由22x y =的图象经过怎样的图形变换得到的？3．将二次函数()2122+-=x y 化为一般形式为 .二．例题与练习1．二次函数4422+-=x x y⑴将其化为()k h x a y +-=2的形式⑵通过列表、描点画出该函数图象；⑶此函数的开口方向 ；顶点坐标为 ，意义为 ；对称轴为 .⑷其图象是由22x y =的图象经过怎样的图形变换得到的？⑷若将此图象沿y 轴向上平移5个单位长度，再沿x 轴向左平移2个单位长度得到的新的二次函数解析式为 .此时函数的顶点坐标为 ，对称轴为 .2.相关规律：二次函数322+-=x x y 图象的画法⑴利用配方法将一般形式化为()k h x a y +-=2的形式即顶点式 顶点坐标为（h ，k ），对称轴为h x = ⑵列表：中间列分别为顶点的横坐标与纵坐标，共选7对有序实数对，⑶描点，画出图象3. 对于二次函数1632---=x x y ⑴利用配方法将一般形式化为顶点式⑵通过列表、描点画出该函数图象；⑶此函数的开口方向 ；顶点坐标为 ，意义为 ；对称轴为 . ⑷其图象是由22x y =的图象经过怎样的图形变换得到的？⑸若将此图象沿y 轴向上平移5个单位长度，再沿x 轴向左平移2个单位长度得到的新的二次函数解析式为 .此时函数的顶点坐标为 ，对称轴为 .课 后 作 业（5）1．对于二次函数4222+-=x x y 来说，_______=a ，_______=b ，_______=c . 2．抛物线2212--=x y 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 .3．将抛物线22x y -=沿y 轴向下平移5个单位得到的抛物线的解析式为 ，再沿y 轴向上平移2个单位得到的抛物线的解析式为 .4．把抛物线c ax y +=2沿y 轴向下平移4个单位得到的抛物线的解析式为432-=x y ，则=a ， =c . 5．抛物线()2221--=x y 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 .6．将抛物线24x y =沿x 轴向左平移3个单位长度得到的新的二次函数解析式为 .此时函数的顶点坐标为 ，对称轴为 .7．把抛物线()2h x a y -=沿x 轴向右平移3个单位长度得到的新的二次函数解析式为()255--=x y ，则=a ， =h .8．把抛物线221x y =向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 ，此时抛物线的开口方向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 . 9．二次函数3422+--=x x y ⑴利用配方法将一般形式化为顶点式⑵此函数的开口方向 ；顶点坐标为 ，意义为 ；对称轴为 .⑶其图象是由22x y -=的图象经过怎样的图形变换得到的？⑷画出该函数的图象⑸在所提供的图中，画出该图象关于x 轴的对称图形，并直接写出所得新的抛物线的解析式.二 次 函 数（6）一．二次函数的性质：1.表达式：①一般式：c bx ax y ++=2（0≠a ）； ②顶点式：()k h x a y +-=2（0≠a ）2.顶点坐标：①（ab 2-，a b ac 442-） ②（h ，k ）3.意义：①当abx 2-=时，0>a ，y 有最小值为a b ac 442-；0<a ，y 有最大值为a b ac 442-②当h x =时，0>a ，y 有最小值为k ；0<a ，y 有最大值为k4.a 的意义：0>a ，图象开口向上；0<a ，图象开口向下；21a a ±=说明两函数图象大小形状相同.5.对称轴：①abx 2-=；②h x = 6.对称轴位置分析：①0=b ，对称轴为y 轴；②0<ab ，对称轴在y 轴的右侧；③0>ab ，对称轴在y 轴的左侧；（左同右异）7.增减性：①0>a ，a b x 2->时，y 随x 的增大而增大；a bx 2-<时，y 随x 的增大而减小 ②0<a ，a b x 2->时，y 随x 的增大而减小；ab x 2-<时，y 随x 的增大而增大 8.与y 轴的交点为（0，c ） 9.与x 轴的交点：02=++c bx ax①042=-=∆ac b ，有一个交点； ②042>-=∆ac b ，有两个交点； ③042<-=∆ac b ，没有交点 10.平移：化成顶点式()k h x a y +-=2，上加下减：m k ±；左加右减：m h ±二．练习：1．已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图，判断下列式子与0的关系.（填“<”“>”“=”） ①0____a ； ②0_____b ； ③0____c ； ④0____c b a ++；⑤0____c b a +-； ⑥0_____42ac b -； ⑦0____2b a +； ⑧0____2b a -； 2．若二次函数b ax y +=2（0≠⋅b a ），当x 取1x 、2x 时，函数的值相等，则当x 取21x x +时，函数值为 .3．若（5-，0）是抛物线c ax ax y ++=22与x 轴的一个交点，则另一交点坐标为 . 4．已知抛物线322--=x x y⑴求此抛物线与x 轴的交点A 、B 两点的坐标，与y 轴的交点C 的坐标.⑵求ABC ∆的面积.⑶在直角坐标系中画出该函数的图象⑷根据图象回答问题：①当0>y 时，x 的取值范围？②当0<x 时，y 的取值范围？③当______x 时，y 随x 的增大而增大；当______x 时，y 随x 的增大而减小；课 后 作 业（6）1．已知二次函数()12322--+=x x m y 的图象的开口方向向上，则m 的取值范围为（ ） A ．23>m B ．23->m C ．32->m D ．23-<m 2.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则下列结论错误的是（ ）A ．0>aB ．0<bC ．0>abD ．0=c3.将二次函数22x y -=向右平移2个单位，在向下平移3个单位得到的二次函数的解析式为（ ） A ．()3222+--=x y B ．()2322---=x y C ．()3222---=x y D ．()3222-+-=x y 4．二次函数()k h x a y +-=2，当2-=x 时，y 有最大值为5，则下列结论错误的是（ ） A ．0<a B ．顶点坐标为（2-，5） C ．对称轴为直线2-=x D ．2=h 5.抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为直线0=x ，则下列结论一定正确的是（ ） A ．0<a B ．0=b C ．0=c D ．0>c 6.下列点在二次函数42--=x y 的图象上的是（ ）A ．（1，3-）B ．（1-，3-）C ．（1-，5-）D ．（0，4）7.二次函数11211c x b x a y ++=与22222c x b x a y ++=的图象关于x 轴对称，则1a 与2a 的关系为（ ） A ．相等 B ．互为相反数 C ．互为倒数 D ．相等或互为相反数8.已知点A （2，m ）与点B （3，n ）在二次函数()312+--=x y 的图象上，则m 与n 的关系为（ ） A ．n m > B ．n m = C ．n m < D ．无法判断 9.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图. ⑴请你写出一元二次方程02=++c bx ax 的根； ⑵请你写出不等式02>++c bx ax 的解集； ⑶请你再写出3条从图象中得出的结论.10.已知二次函数12212--=x x y . ⑴求该抛物线的顶点坐标和对称轴；⑵通过列表、描点画出该函数图象；⑶求该图象与坐标轴的交点坐标.11．某商店经销一种销售成本为每千克40元的农产品，所市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减小10千克，设每千克农产品的销售价格为x （元），月销售总利润为y （元）.⑴求y 与x 的函数关系式；⑶当销售价定为多少元时，月获利最大，最大利润是多少？二 次 函 数（7）二次函数解析式的确定： 一般形式：c bx ax y ++=2（0≠a ）一．例题与练习：例题1．已知二次函数32++=bx ax y 的图象经过点（1，6）和点（1-，2），求此函数的解析式 练习1．已知二次函数c bx x y ++=221的图象经过点（3-，6）和点（1-，0），求此函数的解析式 练习2．已知二次函数c x ax y +-=52的图象如图，求此函数的解析式例题2．已知二次函数的图象与x 轴的交点为（1-，0）和（3，0），且交y 轴于（0，4），求此函数的解析式练习1．已知二次函数与x 轴的交点为（2，0）和（6-，0），且经过点（3，9），求此函数的解析式练习2．已知二次函数的图象如图，求此函数的解析式练习3．已知二次函数的图象经过点（0，4）、（1，1）和（2，4），求此函数的解析式课 后 作 业（7）1．已知二次函数12+=ax y 经过点（1，2），则a 的值为 . 2．已知二次函数c ax y +=2经过点（1-，3），则c a +的值为 . 3．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（1，4）、（0，3）和（2-，5-）. ⑴求该函数的解析式⑵利用配方法求出顶点坐标和对称轴 ⑶列表、画图⑷求出该函数与坐标轴的交点坐标，并求出以各交点为顶点的三角形的面积⑸当x 为何值时，y 随着x 的增大而增大？当x 为何值时，y 随着x 的增大而减小？⑹分别写出0>y 和0<y 时，x 的取值范围.4．已知二次函数32++=bx ax y 的图象经过点（1，6）和点（1-，2），求此函数的解析式 5．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（3-，6）、（1-，0）和，求此函数的解析式6．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数。
人教版九年级数学全一册课件：22.1.1 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二 次 函 数
学习目标
1.知道二次函数的意义与特征,能够表示简单的二次函数关系. 2.二次函数实例分析,二次函数定义的理解.
学习重点
能从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数 关系.
请同学们尝试回答下面的问题: 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多 种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距 离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种 一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这 时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关 系式.
解:(1)由
������ + ������ ≠ ������, ������������-������������-������ = ������,得
������ ≠ -������, ������ = -������或������.
∴m=4,即当 m=4 时,它是二次函数. (2)当 m=-1 时,原函数为 y=-2x;
当 m2-3m-2=1 时,m=������± ������������.
������
∴当 m=-1 或������+ ������������或������- ������������时,它是一次函数.
������
������
对于二次函数要注意: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式. (2)a,b,c为常数,且a≠0. (3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数 项,但不能没有二次项. (4)自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中,自 变量的取值范围应是使实际问题有意义的值.
九年级下人教新课标26.1二次函数1教学资料
初三数学二次函数知识精讲一. 本周教学内容： 二次函数二. 重点、难点：本节课要求掌握的重点内容是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质及求解析式的方法。
学习的难点是性质的应用。
要在熟练掌握二次函数的图象及性质的基础上，善于运用一些基本数学方法如数形结合、类比法等，在实际问题中建立数学模型，以达到将抽象、复杂的问题具体化、直观化的目的。
［知识点］（一）二次函数的图象及画法二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象是对称轴平行于y 轴（或是y 轴本身）的抛物线。
几个不同的二次函数。
如果二次项系数a 相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同。
1. 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图。
画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点。
2. 用平移法画图象由于a 相同的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口及形状完全相同，故可将抛物线y ＝ax 2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象。
步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y ＝a （x －h ）2＋k 的形式，确定其顶点（h ，k ），然后做出二次函数y ＝ax 2的图象。
将抛物线y ＝ax 2平移，使其顶点平移到（h ，k ）。
（二）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质抛物线的顶点坐标为，，对称轴为直线--⎛⎝ ⎫⎭⎪=-ba acb a x b a24422 当时，抛物线的开口向上，且a >0当时，函数的最小值为；x b a y ac b a=--2442当时，随的增大而增大；x ba y x ≥-2 当时，随的增大而减小。
x bay x <-2当时，抛物线的开口向下，且a <0当时，函数的最大值为；x b a y ac b a=--2442当时，随的增大而减小；x bay x ≥-2当时，随的增大而增大。
九年级数学下册 26.1二次函数(1)精品教案 人教新课标版
它的一边长 x(cm)之间的函数关系式是____________.
3、小李存入银行人民币 500 元，年利率为 x%，两年到期，
本息和为 y 元(不含利息税)，y 与 x 之间的函数关系是-
_______，若年利率为 6%，两年到期的本利共______元.
4、在△ABC 中，∠C=90°,BC=a,AC=b,a+b=16,则 RT△ABC
名称都反映了了
一般地，形如 y ax2 bx c(a,b, c是常数a 0) 的 学生类比一次和反比 函数表达式结构
函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函 例函数概念尝试给二 特点和自变量的
数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
次函数下定义，之后， 关系.
实质上，函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关 教师给出规范概念. 考查能否判断一
设计意图
一、情境引入
学生观看图片，教师 使学生初步感知
播放实际生活中的有关抛物线的图片，概括性的介绍本章. 介绍，引出本章章题. 二次函数，引出本
二、探究新知
章，并为后续学习
㈠、用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系：
教师给出问题，学生 做铺垫。
1.正方体的棱长是 x，表面积是 y,写出 y 关于 x 的函数关 观察、思考、分析、 学生经历列函数
； y (x 3)2 x2 .
归纳：①函数表达式右边的各项是加法关系，各项系数前
面的“-”是性质符号。
强调二次函数解 析式的二次项系
1
②二次函数的几种常见形式： y ax2 ； y ax2 bx ；
y ax2 c ； y ax2 bx c .
③所缺项的系数看做为 0.
九年级数学下册 26.1《二次函数》(第1、2课时)教案 新人教版
学科：数学
课时：1
总课时数
教
学
目
标
知识与
技能
会画二次函数 的图象，能将一般式化 为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法
过程与
方法
经历二次函数 的图象的作法，体会二次函数解析式间的转化，体会求二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性
情感态度与价值观
培养学生积极参与的态度，体会利用二次函数解决实际问题的意义
（2）抛物线的顶眯坐标也可根据公式直接求解
8′
巩固顶点坐标公式
３′
通过总结，归纳提高学生学习能力
板书设计
26.1.4二次函数 的图象（1）
1. 公式推导2.例1
教学后记：
课题：26.1.4二次函数 的图象
讲课教师：
学科：数学
课时：2
总课时数
教
学
目
标
知识与
技能
会求二次函数的最大值，并能利用它解决简单的实际问题
思考：
（1）列表取值应注意什么？
（2）画函数
的图象为何先要将其化为顶点导、点评
8′
通过画二次函数的图象，培养学生动手操作的能力
3′
8′
由特殊推出一般二次函数的对称轴及顶点坐标
教师活动
学生活动
备注（教学目的、时间分配等）
例1．用配方法，把下列函数写成
的形式，并写出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标
＝－（ －15）2+225
画出函数的图象
∴ ＝15时，场地的面积S最大（S的最大值为225）．
学生板演、示范
讲解题方法、点评、补充
解： 设直角三角形一直角边长为 则另一直角边长为8－ ，设其面积为S
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不是 是
2
2 y＝-x ＋x
不是
先化简后判断
y＝x2-2x+1-x2
=-2x+1
2.下列函数关系式中,是二次函数的是(D ) A. y = 2x B. y = mx2
1 C. y 2 x
D. y = (a2+1)x2-ax+a
驶向胜利的 彼岸
3.下列函数关系式中,二次函数有 (B )个 .
观察下列函数： (1)y
驶向胜利的 彼岸
= 2x+1
(2)y (4)y
= -x-4 = 5x2
2 3 y x (5)y = -4x
(6)y
= ax+1
1.2.5 那么一次函数的一般 其中，一次函数有_____, 形式是_____ y=kx+b（k≠0）
x 自变量的次数是 1.函数y=x+1 ，自变量是___, 1 是x的一次 ___,y ____函数. t___,自变量的次数 2.函数s=-2t-4 ，自变量是 1 一次 是 ___,s是t的____ 函数.
1.若y=(a2-1)x2是二次函数则, a的取 a≠±1 值范围是_____
y (m 1) x 2. 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.
m2 m
≠ 0 如果它是二次函数,则m+1应该 ___ 2 m2-m=__, 2 所以m=___
注意:二次函数的二次项系数不能为零
3.若函数 y (m 1)x m的值。 则
m2 3m2
为二次函数，求
解：因为该函数为二次函数，
m 2 3m 2 2(1) m 1 0(2)
解（1）得：m=4或-1 m 1 解（2）得： 所以m=4
驶向胜利的 彼岸
你认为今天这节课最需要 掌握的是 ________________ 。
独立 作业
知识的升华 祝你成功！
y = (3x-1)2-9x2
1 y x x
2
y = (x+2)2-4x y = ax2+bx+c
x3 y x
5 2 1 5 y x x 3 12 6
A. 1个 B.2 个 C.3个
D.4个
4.把函数y=(5x+7)(x-3)+2x-5 般形式，写出各项系数。
解:
化成一
y=(5x+7)(x-3)+2x-5 =5x2-8x-21+2x-5 2 =5x -6x-26 它是二次函数,二次项系数 及常数项分别是5,-6,-26
5.指出下列函数的二次项系数,一次项系数,常数项 分别是多少?
y = -2-3x2
3 2 y x 5
-3
3 5
0 0
-2 0
y=
2(x-2)2+8x
2
0
8
我们把形如y=ax² +bx+c(其中a,b,c是 常数，a≠0)的函数叫做二次函数
二次项: ax2
一次项:
常数项: bx c
二次项系数: a 一次项系数: b
3.再看函数y=(x+1)2-4，自变量是___,自变量的
x
最高次数是___, 2
这些函数和以前学得函数有什么不 同?
这些函数都是二次函数.
我们把形如y=ax² +bx+c(其中a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x
2
是
1 (2) y 2 x (3) y x(1 x) (4) y ( x 1) x
写出下列函数的表达式,
1.圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之间 的关系_____ ,自变量是___,它的最高次数 2 r S=πr 是__. 2 2.正方形的边长为a,如果边长增加2,新图形的 2 面积s与a之间的函数关系式为____ S=(a+2) a 它的最高次数是____. 自变量是___, 2
初三(下)数学课本第4页
• 习题26.1 1. 2.
3. 4.结束寄语源自下课了!•生活是数学的源泉.
•
探索是数学的生命线.