数列课件PPT 5章 2节
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数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
新教材高中数学第5章数列：第2课时等比数列的性质ppt课件新人教B版选择性必修第三册
2．等比数列的性质 在等比数列{an}中，若 s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则 as·at＝ ap·aq . (1)特别地，当 2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝ a2s . (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首 末两项的积，即 a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意两个实数都有等比中项．
()
(2)在等比数列{an}中，a2·a8＝a10.
()
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．( )
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，
则{an}是等比数列． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
4．在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，则 a8a9a10a11＝________. 25 [∵{an}是等比数列， ∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12， ∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7a12)2＝52＝25.]
合作 探究 释疑 难
等比中项的应用
【例 1】 (1)如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( )
0，所以 b＜0，所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9.
(2)由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项， ∴a23＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得 a1＝d， ∴aa21＋＋aa43＋＋aa190＝1136dd＝1136.]
由等比中项的定义可知：Ga ＝Gb ⇒G2＝ab⇒G＝± ab.这表明只有 同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为 相反数.反之，若 G2＝ab，则Ga ＝Gb ，即 a，G，b 成等比数列.所以 a， G，b 成等比数列⇔G2＝abab≠0.
高考数学一轮复习课件5.2等差数列
一个小题或在解答题中出现，在解题时，应 熟练掌握通项公式与前n项和公式，规范答题 避免不必要的失分．
• (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中， 已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ()
•A．58 D．176
B．88
C．143
•(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6 项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n ＞6)，则a9＋a10＝
【尝试解答】 (1)S11＝11（a12＋a11）＝11（a42＋a8）＝ 88.
法二 同法一得d＝－53.
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求an，再利用
an≥0
aห้องสมุดไป่ตู้＋1≤0
或
an≤0
an＋1≥
0
求出其正负转折
•【思路点拨】 (1)由S2＝a3求{an}的公差d， 进而代入求a2与Sn； •(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根 据方程Sk＝－35，求k值．
【尝试解答】 (1)由 S2＝a3，得 a1＋a2＝a3，
∴d＝a3－a2＝a1＝12，
因此 a2＝a1＋d＝1，Sn＝n42＋n4.
【答案】
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节 容量为a9，且数列{an}为等差数列．
则aa71＋＋aa82＋＋aa93＝＋3aa4＝1＋42a11＋d＝6d4＝. 3，
解之得a1＝1232，d＝676，故a5＝a1＋4d＝6676.
【答案】
67 66
• (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中， 已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ()
•A．58 D．176
B．88
C．143
•(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6 项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n ＞6)，则a9＋a10＝
【尝试解答】 (1)S11＝11（a12＋a11）＝11（a42＋a8）＝ 88.
法二 同法一得d＝－53.
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求an，再利用
an≥0
aห้องสมุดไป่ตู้＋1≤0
或
an≤0
an＋1≥
0
求出其正负转折
•【思路点拨】 (1)由S2＝a3求{an}的公差d， 进而代入求a2与Sn； •(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根 据方程Sk＝－35，求k值．
【尝试解答】 (1)由 S2＝a3，得 a1＋a2＝a3，
∴d＝a3－a2＝a1＝12，
因此 a2＝a1＋d＝1，Sn＝n42＋n4.
【答案】
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节 容量为a9，且数列{an}为等差数列．
则aa71＋＋aa82＋＋aa93＝＋3aa4＝1＋42a11＋d＝6d4＝. 3，
解之得a1＝1232，d＝676，故a5＝a1＋4d＝6676.
【答案】
67 66
高考数学一轮复习第五章数列推理与证明第2讲等差数列课件理
第十页，共四十三页。
考点(kǎo di等ǎn)差1数列的基本(jīběn)运算 例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)记 Sn为等差数列(děnɡ chā shù liè){an}的前n项 和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
第十一页，共四十三页。
解析：方法一，设公差为 d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1 ＋7d＝列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
第2讲 等差数列(děnɡ chā shù liè)
第一页，共四十三页。
1.理解(lǐjiě)等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
第二页，共四十三页。
1.等差数列的定义
7.等差数列的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
a1<0，d>0，则Sn存在(cúnzài)最_小_____值.
第六页，共四十三页。
1.(2015 年重庆(zhònɡ qìnɡ))在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6 ＝( B )
A.－1
第七页，共四十三页。
第十六页，共四十三页。
考点(kǎo diǎ等n) 差2 数列的基本性质(xìngzhì)及应用 例2：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40 ＝( ) A. 思路点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据 (gēnjù)题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n项和公式求S40； 思路2，设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A， B，从而得Sn，进而得S40；
考点(kǎo di等ǎn)差1数列的基本(jīběn)运算 例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)记 Sn为等差数列(děnɡ chā shù liè){an}的前n项 和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
第十一页，共四十三页。
解析：方法一，设公差为 d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1 ＋7d＝列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
第2讲 等差数列(děnɡ chā shù liè)
第一页，共四十三页。
1.理解(lǐjiě)等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
第二页，共四十三页。
1.等差数列的定义
7.等差数列的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
a1<0，d>0，则Sn存在(cúnzài)最_小_____值.
第六页，共四十三页。
1.(2015 年重庆(zhònɡ qìnɡ))在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6 ＝( B )
A.－1
第七页，共四十三页。
第十六页，共四十三页。
考点(kǎo diǎ等n) 差2 数列的基本性质(xìngzhì)及应用 例2：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40 ＝( ) A. 思路点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据 (gēnjù)题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n项和公式求S40； 思路2，设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A， B，从而得Sn，进而得S40；
2023年新教材高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列课件
[提速度]
1．(2022·枣庄质检)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，
所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为
()
A．28
B．29
C．30
D．31
解析：由结论(8)，设项数为奇数2n－1，S奇－S偶＝an＝319－290＝29， 故选B．
答案：B
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，2S2002200 －2S2001144 ＝6，则S2 023＝
b1＋2 b5＝192＋ 2 64＝128．故选C．
答案：C
2．已知等差数列{an}满足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，则该等差数列的公差为 ( )
A．1或－1
B．2
C．－2
D．2或－2
解析：由a1＋a9＝a4＋a6＝22，a1·a9＝57，所以a1，a9是方程x2－22x＋57＝0的两 实数根，解得aa19＝ ＝31，9 或aa19＝ ＝13，9， 所以公差d＝a9－8 a1＝2或－2．故选D． 答案：D
第二节 等差数列
(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义；(2)探索并掌握等差数列的前n项 和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；(3)体会等差数列与一 元一次函数的关系．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
3
课时过关检测
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
等差数列的判定与证明方法 方法
解读
适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N *)为同一常
数⇔{an}是等差数列
解答题中的
高考数学一轮总复习第五章数列2等差数列课件高三全册数学课件
(2)因为{an}是等差数列，公差为 d，所以 a3(n＋1)－a3n＝3d(与 n 值无关的常数)，所以数列{a3n}也是等差数列．
(3)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为 d1，d2，则 pan＋1＋ qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与 n 值无 关的常数)，即数列{pan＋qbn}也是等差数列．
钱．( C )
5
3
A.3
B.2
4
5
C.3
D.4
第二十三页，共四十八页。
解析：设甲、乙、丙、丁、戊分别为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d，由题意可得：
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， 联立解得 a＝1，d＝－16. ∴这个问题中，甲所得为 1－2×(－16)＝43(钱)． 故选 C.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2
＝3a1，则SS150＝____4____.
第十六页，共四十八页。
【解析】 (1)解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，
∵Sa45＝ ＝05， ，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得da＝1＝2－，3，
(1)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则 a10＝ 18 .
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－5，S9＝27，则公
差 d＝ 2 .
(3)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8
＝ 180 . (4)在等差数列{an}中，S6＝4，S18＝24，则 S12＝ 12 .
(3)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为 d1，d2，则 pan＋1＋ qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与 n 值无 关的常数)，即数列{pan＋qbn}也是等差数列．
钱．( C )
5
3
A.3
B.2
4
5
C.3
D.4
第二十三页，共四十八页。
解析：设甲、乙、丙、丁、戊分别为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d，由题意可得：
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， 联立解得 a＝1，d＝－16. ∴这个问题中，甲所得为 1－2×(－16)＝43(钱)． 故选 C.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2
＝3a1，则SS150＝____4____.
第十六页，共四十八页。
【解析】 (1)解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，
∵Sa45＝ ＝05， ，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得da＝1＝2－，3，
(1)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则 a10＝ 18 .
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－5，S9＝27，则公
差 d＝ 2 .
(3)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8
＝ 180 . (4)在等差数列{an}中，S6＝4，S18＝24，则 S12＝ 12 .
数列_课件PPT
④各项符号特征和绝对值特征等，并对此进行 归纳，猜想．
(2)一个数列不一定能有通项公式，如果有，通项公式也 不一定是唯一的，可能有不同的表达形式．
如 an＝(－1)n 可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝－ 1 1n为偶n数为奇 数 ，这些通项公式虽然形式上不 同，但都表示同一数列．
之间的函数
关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)
，
那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列 C．数列n＋n 1的第 k 项为 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N＋)
解析： (1)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝22＝1； 当 n＝3 时，a3＝3； 当 n＝4 时，a4＝42＝2. ∴数列{an}的前四项为 1,1,3,2. (2)∵a1＝2，an＋1＝12an＋3， ∴a2＝1＋3＝4，a3＝5，a4＝121，a5＝243. ∴数列{an}的前 5 项为 2,4,5，121，243.
(2)19081不是该数列中的项，5681是该数列中的项， 若19081是该数列中的项， 则19081＝33nn－ ＋21，解得 n＝3090＝1030∉N＋，
∴19081不是数列{an}中的项； 若5681是该数列中的项， 则5681＝33nn－ ＋21，解得 n＝1890＝20∈N＋， ∴5681是数列{an}中的项，且为第 20 项．
(2)数列与数集的区别与联系
数列与数集都是具有某种共同属性的数的全 体．数列中的数是有序的，数集中的元素是无 序的，同一个数在数列中可重复出现，而数集 中的元素是互异的．
(2)一个数列不一定能有通项公式，如果有，通项公式也 不一定是唯一的，可能有不同的表达形式．
如 an＝(－1)n 可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝－ 1 1n为偶n数为奇 数 ，这些通项公式虽然形式上不 同，但都表示同一数列．
之间的函数
关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)
，
那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列 C．数列n＋n 1的第 k 项为 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N＋)
解析： (1)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝22＝1； 当 n＝3 时，a3＝3； 当 n＝4 时，a4＝42＝2. ∴数列{an}的前四项为 1,1,3,2. (2)∵a1＝2，an＋1＝12an＋3， ∴a2＝1＋3＝4，a3＝5，a4＝121，a5＝243. ∴数列{an}的前 5 项为 2,4,5，121，243.
(2)19081不是该数列中的项，5681是该数列中的项， 若19081是该数列中的项， 则19081＝33nn－ ＋21，解得 n＝3090＝1030∉N＋，
∴19081不是数列{an}中的项； 若5681是该数列中的项， 则5681＝33nn－ ＋21，解得 n＝1890＝20∈N＋， ∴5681是数列{an}中的项，且为第 20 项．
(2)数列与数集的区别与联系
数列与数集都是具有某种共同属性的数的全 体．数列中的数是有序的，数集中的元素是无 序的，同一个数在数列中可重复出现，而数集 中的元素是互异的．
【全程复习方略】(广东专用)高考数学 第五章 第二节 等差数列及其前n项和名师课件 理 新人教A版
2
2
2
(3)设公差为d，则(a1+2d)2=a1(a1+3d)，即
a12+4a1d+4d2=a12+3a1d，解得a1=-4d(舍去d=0).
S3 S2 a3
4d 2d
=2.
S5 S3 a4 a5 4d 3d 4d 4d
答案:2
【互动探究】本例题(2)中条件不变，则Sn=__________.
根据不同的已知选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使
用公式Sn=na1+
nn
1
d
，若已知通项公式，则使用公式
2
Sn= n(a1 an ) ．
2
【变式备选】(2012·广州模拟)已知等差数列{an}中,
a5=1,a3=a2+2,则S11=________.
【解析】由a3=a2+2，得公差d=a3-a2=2.由a5=a1+4×2=1，得 a1=-7，所以S11=11×(-7)+ 1110 ×2=33.
3． 2 -1与 2 +1的等差中项是______.
【解析】 2 -1与 2 +1的等差中项为 ( 2 1) ( 2 1) 2 .
2
答案: 2
4．在等差数列{an}中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式 为_________.
【解析】∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,
(5)错误．根据等差数列的前n项和公式，Sn=na1+ n n 1 d
2
= d n2+(a1- d )n，显然只有公差d≠0时才是n的常数项为0的二
2
2
次函数，否则不是(甚至也不是n的一次函数，即a1=d=0时)．
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第五章 数列
数学
同理b3－b2＝b4－b3＝b5－b4＝100d.
故数列{bn}是等差数列，设其公差为d′， 则b1＝10，b2＝20，d′＝10. 所以b5＝10＋4×10＝50. 所以a41＋a42＋…＋a50＝b5＝50.
第五章 数列
数学
【通性通法】
等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，
第五章 数列
数学
Sn－1 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝ 2Sn－1＋1 (n≥2)，Sn≠0，a1＝2.
1 (1)求证：S 是等差数列； n(2)求an的表达式．
第五章 数列
数学
Sn－1 解析 (1)证法一 由Sn＝ (n≥2)得 2Sn－1＋1 1 2Sn－1＋1 1 ＝ ＝ ＋2， Sn Sn－1 Sn－1 1 1 ∴S － ＝2， Sn－1 n
的项数m使得Sn取得
的项数m使得Sn取
第五章 数列
数学
(3)关于最值问题，除上面介绍的方法外，还可利用等 差数列与函数的关系来解决，等差数列的前n项和Sn＝na1＋ nn－1 d d 2 d＝ n ＋ a1－2 n，Sn可看成关于n的二次函数式且常 2 2 数项为0，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题．
第五章 数列
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【审题指导】
利用等差数列的通项公式与前n项和公
式，转化为基本量a1、d的方程组求解．
【自 主解答 】 022， (1)因 为a1 ＝ 1，an ＝ － 512，Sn ＝－1
1＋n－1d＝－512 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022 ②
①
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1 把(n－1)d＝－513代入②得n＋ n· (－513) 2 ＝－1 022，解得n＝4，所以d＝－171. a1＋d＋a1＋4d＝19 (2)解法一 由已知可得 5×4 5a1＋ 2 d＝40 解得a1＝2，d＝3.所以a10＝a1＋9d＝29. 解法二 由S5＝5a3＝40，得a3＝8， 所以a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19， 得d＝3.所以a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.
1 1 3 (2)由(1)知S ＝2＋(n－1)×2＝2n－2， n ∴Sn＝ 3， 2n－ 2 1
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∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ 3－ 7 2n－2 2n－2 －2 ＝ ； 3 7 2n－ 2n－ 2 2 当n＝1时，a1＝2不适合an， 2 －2 故an＝ 3 7 2n－22n－2 n＝1 n≥2.
1
1
第五章 数列
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(2011·南通模拟)已知在等差数列{an}中，a1 ＝31， Sn是它的前n项和，S10＝S22， (1)求Sn；
(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．
【审题指导】 利用等差数列的性质求解第(1)题、第
(2)题，解题关键是写出前n项和公式，利用函数思想解决．
第五章 数列
答案 B
第五章 数列
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高频考点突破
(1)数列{an}是等差数列，a1＝1，an＝－512，Sn＝－ 1 022，求公差d； (2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10； (3)数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋…＋a10＝10，a11＋
a12＋…＋a20＝20，求a41＋a42＋…＋a50.
第五章 数列
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Sn 1 证法二 ∵bn＝ ＝a1＋ (n－1)d， n 2 1 1 ∴bn＋1＝a1＋ nd，bn＋2＝a1＋ (n＋1)d 2 2 1 1 ∴bn＋2＋bn＝a1＋2(n＋1)d＋a1＋2(n－1)d ＝2a1＋nd＝2bn＋1. ∴数列{bn}是等差数列．
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【通性通法】 等差数列的判定方法
答案 C
第五章 数列
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4．(2011·天津)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，
n∈N＋.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
解析 设{an}的首项，公差分别是a1，d，则 a1＋2d＝16 20×20－1 ×d＝20 20a1＋ 2 ，解得a1＝20，d＝－2，
用它们可以表示数列中的任何一项．利用等差数列的通项公 式与前n项和公式，列方程组解a1和d是解决等差数列问题的 常用方法．但有些问题利用等差数列的性质不仅可以快速获
解，而且有助于加深对等差数列问题的认识．
第五章 数列
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1．已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项和S10＝185.求 数列{an}的通项公式an.
1 1 1 是以 即 为首项，以2为公差的等差数列． ∴S S1 2 n
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1 1 证法二 ∵当n≥2时，S － Sn－1 n 2Sn－1＋1 2Sn－1 1 ＝ － ＝ ＝2， Sn－1 Sn－1 Sn－1
1 1 1 是以 即 为首项，以2为公差的等差数列． ∴S S1 2 n
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3．设等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知a3 ＝12，S12＞ 0，S13＜0. (1)求公差d的取值范围； (2)S1，S2，…，S12中哪一个值最大？并说明理由．
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5．若数列{an}是等差数列，且a1＋a8＋a15＝π，则tan(a4 ＋a12)等于 A. 3 3 C. 3 B．－ 3 3 D．－ 3
第五章 数列
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π 解析 由a1＋a8＋a15＝π得3a8＝π，∴a8＝3. 2π 又a4＋a12＝2a8＝ ， 3 2π ∴tan(a4＋a12)＝tan 3 ＝－ 3.
第五章 数列
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解法二 设b1＝a1＋a2＋…＋a10， b2＝a11＋a12＋…＋a20，
b3＝a21＋a22＋…＋a30，
b4＝a31＋a32＋…＋a40， b5＝a41＋a42＋…＋a50. 易知b2－b1＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10) ＝10d＋10d＋…＋10d＝100d.
第五章 数列
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【通性通法】
1.解决等差数列问题，熟练掌握等差数
列的有关性质，寻找项与前n项和之间的关系是解题关键． 2．在等差数列{an}中，有关Sn的最值问题： (1)a1＞0，d＜0时，满足 最大值为Sm； (2)当a1＜0，d＞0时，满足 得最小值为Sm.
a ≤0 m am＋1≥0 a ≥0 m am＋1≤0
数学
【解析】 (1)∵S10＝a1＋a2＋…＋a10， S22＝a1＋a2＋…＋a22，又S10＝S22 ∴a11＋a12＋…＋a22＝0， 12a11＋a22 ＝0，即a11＋a22＝2a1＋31d＝0， 2 又a1＝31，∴d＝－2， nn－1 ∴Sn＝na1＋ 2 d＝31n－n(n－1)＝32n－n2.
解析 设数列{an}的公差为d， 因为a2＝8，S10＝185， a1＋d＝8 a ＝5 1 所以 ，解得 ， 10×9 d＝3 d＝185 10a1＋ 2 · 所以an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2， 即an＝3n＋2.
第五章 数列
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Sn 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn＝ (n∈N n
A．2n
C．2n－1
B．2n＋1
D．2n＋2
解析 由已知得：(a7＋a8)－(a1＋a2) ＝12d＝24， ∴d＝2，∴a1＋a1＋d＝4，∴a1＝1，
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
答案 C
第五章 数列
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2．(2011·重庆)在等差数列{an}中，a2 ＝2，a3 ＝4，则
＋
)．求证：数列{bn}是等差数列．
【审题指导】 证明数列是等差数列，我们一般的思路
是利用定义，考虑从第2项起每一项与前一项的差是同一个
常数，或者考虑利用等差中项的方法证明任意的三项都满足 前项与后项之和是中间项的2倍．
第五章 数列
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【自主解答】 证法一 设等差数列{an}的公差为d， 则 1 Sn＝na1＋ n(n－1)d， 2 Sn 1 ∴bn＝ n ＝a1＋2(n－1)d， 1 1 d ∴bn＋1－bn＝a1＋ nd－a1－ (n－1)d＝ (常数)， 2 2 2 ∴数列{bn}是等差数列．
的性质解决等差数列问题是重点，也是难点；
3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以 解答题为主.
第五章 数列
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主干知识整合
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一 项的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示，定
义表达式为
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第二节 等差数列
第五章 数列
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备考导航
考纲要求
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用 有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系.
第五章 数列
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考情分析 1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点； 2.归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数
a＋b 项，且有A＝ 2
.
第五章 数列
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Sn＝
na1＋an 2
nn－1 na1＋ 2 d ＝
.
第五章 数列
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a 3．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则b等于 1 A.4 1 C. 3 1 B.2 2 D. 3
第五章 数列
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解析 ∵a，x，b,2x成等差数列 1 a＋b＝2x， a＝2x， ∴ 即 x＋2x＝2b， b＝3x. 2 a 1 ∴b＝3.