等差数列前n项和说课课件
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等差数列的前n项和PPT课件
中，SS奇 偶＝1113，求公差d.
(2)含2n＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的
和之比为( )
2n＋1 A. n
n＋1 B. n
n－1 C. n
n＋1 D. 2n
S奇＋S偶＝120， 解析：(1)SS奇 偶＝1113，
⇒SS奇 偶＝ ＝5655， ，
∴S偶－S奇＝5d.
∴65－55＝5d.∴10＝5d.
S8 S16
＝
________.
[分析]
可以设出首项a1与公差d，代入条件
S4 S8
，进一
步求
S8 S16
的值．但是，我们注意到序号为4、8、16，可以考
虑用性质来解．
[解] ∵SS48＝13，故设S4＝x，则S8＝3x. 由于S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，且S4＝ x，S8－S4＝3x－x＝2x， ∴新数列公差为x. ∴S12－S8＝3x，S16－S12＝4x， ∴S12＝3x＋S8＝3x＋3x＝6x，而S16＝S12＋4x＝6x＋4x ＝10x. ∴SS186＝130xx＝130.
[解] 由等差数列性质：
an＝a1＋2a2n－1，bn＝b1＋2b2n－1，
a1＋a2n－1 2n－1a1＋a2n－1
∴abnn＝b1＋2b2n－1＝2n－1b21＋b2n－1＝AB22nn－－11
2
2
＝4722nn－－11＋＋217＝184nn＋－263.
[点评] 恰当的应用等差中项可以简化解题过程．
2．若项数为2n，则 S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1 ＝d＋d＋…＋d＝nd， SS奇偶＝n2n2aa1＋2＋aa2n2－n1＝22aan＋n 1＝aan＋n 1.
1212等差数列及前n项和(公开课)ppt
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汇报人：
01 添 加 目 录 文 本
02 等 差 数 列 的 概 念
等差数列的前n项和 03 公 式
04 等 差 数 列 的 应 用
05 等 差 数 列 的 实 例
等差数列的图表表 06 示
单击添加文档标题
等差数列的概念
等差数列的定义 等差数列的通项公式 等差数列的性质 等差数列的应用
项和公式
定义：等差数列的每一项和它前面的那一项的差是一个定值，这个定值叫做公差。 通项公式：an=a1+(n-1)d。 前n项和公式：sn=n/2(a1+an)。 例子：以a1=1，d=2为例，计算前n项和。
通项公式：a_n = a_1 + (n-1) * d 前n项和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n) 等差数列的图像特征：二次函数的图像
出前n项和
应用场景：常 用于解决等差 数列的相关问 题，如求和、
判断等
等差数列的应用
等差数列在求和公式中的应用
等差数列在找规律问题中的应用
添加标题
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等差数列在解决数列问题中的应用
等差数列在解决实际问题中的应用
等差数列可以用于描述粒子运动 规律
等差数列可以用于描述振动和波 动
前n项和公式：sn=(a1+an)n/2
潮汐现象：海水受月亮和太阳的引力而产生的周期性涨落现象 年份：每4年一闰，每100年不闰，每400年又闰 气温：白天和晚上的温度差是一定的，随着时间推移，温度逐渐升高或降低 种植：在农田中种植庄稼，等距离种植保证光照和养分分布均匀生物学中细胞增殖ຫໍສະໝຸດ 次数日常生活中的存款复利计算
汇报人：
01 添 加 目 录 文 本
02 等 差 数 列 的 概 念
等差数列的前n项和 03 公 式
04 等 差 数 列 的 应 用
05 等 差 数 列 的 实 例
等差数列的图表表 06 示
单击添加文档标题
等差数列的概念
等差数列的定义 等差数列的通项公式 等差数列的性质 等差数列的应用
项和公式
定义：等差数列的每一项和它前面的那一项的差是一个定值，这个定值叫做公差。 通项公式：an=a1+(n-1)d。 前n项和公式：sn=n/2(a1+an)。 例子：以a1=1，d=2为例，计算前n项和。
通项公式：a_n = a_1 + (n-1) * d 前n项和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n) 等差数列的图像特征：二次函数的图像
出前n项和
应用场景：常 用于解决等差 数列的相关问 题，如求和、
判断等
等差数列的应用
等差数列在求和公式中的应用
等差数列在找规律问题中的应用
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等差数列在解决数列问题中的应用
等差数列在解决实际问题中的应用
等差数列可以用于描述粒子运动 规律
等差数列可以用于描述振动和波 动
前n项和公式：sn=(a1+an)n/2
潮汐现象：海水受月亮和太阳的引力而产生的周期性涨落现象 年份：每4年一闰，每100年不闰，每400年又闰 气温：白天和晚上的温度差是一定的，随着时间推移，温度逐渐升高或降低 种植：在农田中种植庄稼，等距离种植保证光照和养分分布均匀生物学中细胞增殖ຫໍສະໝຸດ 次数日常生活中的存款复利计算
等差数列的前n项和PPT优秀课件5
S n a 1 ( a 1 d ) ( a 1 2 d ) [ a 1 ( n 1 ) d ] S n a n ( a n d ) ( a n 2 d ) [ a n ( n 1 ) d ]
n 个 2 S n （ a 1 a n ) （ a 1 a n ) （ a 1 a n )
(2) 求正整数列中前n个偶数的和.
n(22n) Sn 2 n(n1).
3. 等差数列 5,4,3,2, ···前多少项和是 –
30？
解： a1=5 , d = -1 , Sn = -30
Sn
5nn(n1)(1)30 2
n15或n4(舍)
课堂小结
1.等差数列前n项和Sn公式的推导: 倒序相加法
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；
Sn
n(a1 an) 2
Snna1n(n21)d
说明：(1)正确合理的选择公式. (2).注意与通项公式相结合.
课后作业：
1：作业本：§2.3等差数列的前n项和（1） 2: 预习 课本P44，例3，例4
再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
题
分析：由于 a1a2a3 34an2an1an146
所以 3(a1an)180
解
从而
Sn
n(a1an) 2
390得n
=
等差数列的前n项和第一课时ppt课件
S= n&##43;1
2S n(n 1), S n(n 1)
2
问题4：设等差数列 {an} 的首项 为a1，公差为d，如何求等差数列 的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?
解： 倒序相加
S=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an
S=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1 因为a1+an=a2+an-1=a3+an-
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100
S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100,∴S=5050.
问题3:
求和:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
(1)已知d=3,an=20,Sn=65, 求a1和n以及此数列的后6项和； (2) 已知an=11-3n,求Sn.
(3)已知a11=-1，求S21.
三.小结
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
--------方程思想
问题1:怎样才能快速地计算出 一堆钢管有多少根？
5+9=14 6+8=14 7+7=14 8+6=14 9+5=14
2S n(n 1), S n(n 1)
2
问题4：设等差数列 {an} 的首项 为a1，公差为d，如何求等差数列 的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?
解： 倒序相加
S=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an
S=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1 因为a1+an=a2+an-1=a3+an-
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100
S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100,∴S=5050.
问题3:
求和:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
(1)已知d=3,an=20,Sn=65, 求a1和n以及此数列的后6项和； (2) 已知an=11-3n,求Sn.
(3)已知a11=-1，求S21.
三.小结
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
--------方程思想
问题1:怎样才能快速地计算出 一堆钢管有多少根？
5+9=14 6+8=14 7+7=14 8+6=14 9+5=14
等差数列前n项和说课稿PPT课件
15
.
2．启发引导，探索发现
问题3：求1到n的正整数之和，即 1 2 3 L n ？
Q sn 1 2 3 L (n 1) n sn n (n 1) (n 2) L 2 1
2sn (11 4 n4) 4(14 n2) 4 L4 4(143n)
n
n(n 1) sn 2
17
.
3．类比联想，解决问题
设 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 S n , 即 S n = a 1 + a 2 + a 3 L a n ，
如 何 求 S n ？
方法1：Q S n = a 1 a 2 a 3 L a n S n = a n a n 1 a n 2 L a 1倒序相加法
S n a n ( a n d ) ( a n 2 d ) L a n ( n 1 ) d
2Sn(1a144 an4 )4(a4 14 2 an)44L44 (a144a3n)
n个
n(a1an)
倒序相加法
19
Sn
=
n(a1 an) 2
.
4．总结公式，进行记忆
4
.
一、教材分析
2．教学目标
知识与技能目标：掌握等差数列的前n项和公式，并 能运用公式解决简单的问题。
过程与方法目标：经历公式的推导过程，体会数形结合 的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，掌握倒序相 加法。
情感与态度价值观：使学生获得发现的成就感，优化思 维品质，提高代数的推理能力。
5
.
一、教材分析
即 1 2 3 L 2 1 ？
借助几何图形的直观性，引导学生使用 熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒 置，与原图补成平行四边形
等差数列的前n项和公式说课课件
创设和谐，互动的课堂环境，组织引导学生自主学习与合作探究相结合地探索新知.
三、教学分析---(二)学法分析
问题情景
观察、探究、反思、交流
知识、技能、核心素养
三、教学分析---(三)教学思路
环节一：重温经典算法，归纳“探”公式
本节课首先从古希腊毕达哥斯拉学派的数学家常用小石子在沙
滩上摆成各种形状来研究数.比如：他研究
三、教学分析---(三)教学思路
环节六：分层作业，应用迁移
1.基础性作业
（1）必做题：教材第22-23页练习第1,2,3题.；
（2）选做题：类比等差数列的通项公式与一次函数的关系，思
考等差数列前n项和公式与一元二次函数之间有什么关系？从函
数的角度可以发现哪些差数列前n项和公式的性质？
三、教学分析---(四)板书设计
定．等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，
Sn”五个量，故知三可求其二．
学生经历从历史到现实，特殊到一般，数与形的探究过程，最终提炼出一
般公式，提炼出等差数列前n项和的五个决定量，感受了数学研究的一般过程。
三、教学分析---(三)教学思路
环节三：运用公式，巩固理解
例6 已知数列{an}是等差数列.
探究方法：经历了研究函数的一般路径
能力水平：学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力
障碍分析：公式的灵活应用能力不足、从实际情境中建立数
学模型的能力还有待提升.
二、教学目标分析---（三）教学目标和重、难点
教学目标：
经历几种求和方法的比较
，体会历史与现实，简单到
复杂，特殊到一般，数与形
的有机结合，培养学生化归
重公式与函数之间的联系，强化对等差数列的整体认识，
三、教学分析---(二)学法分析
问题情景
观察、探究、反思、交流
知识、技能、核心素养
三、教学分析---(三)教学思路
环节一：重温经典算法，归纳“探”公式
本节课首先从古希腊毕达哥斯拉学派的数学家常用小石子在沙
滩上摆成各种形状来研究数.比如：他研究
三、教学分析---(三)教学思路
环节六：分层作业，应用迁移
1.基础性作业
（1）必做题：教材第22-23页练习第1,2,3题.；
（2）选做题：类比等差数列的通项公式与一次函数的关系，思
考等差数列前n项和公式与一元二次函数之间有什么关系？从函
数的角度可以发现哪些差数列前n项和公式的性质？
三、教学分析---(四)板书设计
定．等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，
Sn”五个量，故知三可求其二．
学生经历从历史到现实，特殊到一般，数与形的探究过程，最终提炼出一
般公式，提炼出等差数列前n项和的五个决定量，感受了数学研究的一般过程。
三、教学分析---(三)教学思路
环节三：运用公式，巩固理解
例6 已知数列{an}是等差数列.
探究方法：经历了研究函数的一般路径
能力水平：学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力
障碍分析：公式的灵活应用能力不足、从实际情境中建立数
学模型的能力还有待提升.
二、教学目标分析---（三）教学目标和重、难点
教学目标：
经历几种求和方法的比较
，体会历史与现实，简单到
复杂，特殊到一般，数与形
的有机结合，培养学生化归
重公式与函数之间的联系，强化对等差数列的整体认识，
高中数学：2.3《等差数列前n项和》课件 (共21张PPT)
例2:等差数列-10，-6，-2，2，…前多 少项的和是54 ？
例3：在等差数列an 中，已知
a10 29, S10 155 ,求 a1 .
五、当堂题A１（1）、２； 选做题：课本46页，习题A,1（3）、（4）
备用: 例6.在等差数列{an}中，
等差数列的前n项和(一）
和硕县高级中学 王建刚
学习目标：
1、掌握等差数列前n项和公式及其推导过程；
2、初步掌握公式的简单运用。
教学重点、难点：
重点是等差数列前n项和公式，难点是获
得推导公式的思路。[克服难点的关键是 通过具体例子发现一般规律]
一.预习反馈：
一.预习反馈：
一.预习反馈：
一.预习反馈：
(1)已知d=3,an=20,Sn=65,
求a1和n以及此数列的后6项和； (2) 已知an=11-3n,求Sn.
(3)已知a11=-1，求S21.
例6. 已知一个等差数列的前10项的和是310， 前20项的和是1220，求其前n项和的公式.
EX.1.若一个等差数列前3项和为34， 最后三项和为146，且所有项的和为 390，则这个数列共有______项。
问题二:
泰姬陵被称为世界七大奇迹之一，传说陵寝中有 一个梯形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成， 共有8层(见下图)，你知道这个图案一共用了多少 宝石吗？
三.问题探究： 问题三:如何求等差数列an的前n项和Sn ?
a1
an
an
a1
问题三：设等差数列 {an} 的首项为a1，公差为d， 如何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
例3：在等差数列an 中，已知
a10 29, S10 155 ,求 a1 .
五、当堂题A１（1）、２； 选做题：课本46页，习题A,1（3）、（4）
备用: 例6.在等差数列{an}中，
等差数列的前n项和(一）
和硕县高级中学 王建刚
学习目标：
1、掌握等差数列前n项和公式及其推导过程；
2、初步掌握公式的简单运用。
教学重点、难点：
重点是等差数列前n项和公式，难点是获
得推导公式的思路。[克服难点的关键是 通过具体例子发现一般规律]
一.预习反馈：
一.预习反馈：
一.预习反馈：
一.预习反馈：
(1)已知d=3,an=20,Sn=65,
求a1和n以及此数列的后6项和； (2) 已知an=11-3n,求Sn.
(3)已知a11=-1，求S21.
例6. 已知一个等差数列的前10项的和是310， 前20项的和是1220，求其前n项和的公式.
EX.1.若一个等差数列前3项和为34， 最后三项和为146，且所有项的和为 390，则这个数列共有______项。
问题二:
泰姬陵被称为世界七大奇迹之一，传说陵寝中有 一个梯形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成， 共有8层(见下图)，你知道这个图案一共用了多少 宝石吗？
三.问题探究： 问题三:如何求等差数列an的前n项和Sn ?
a1
an
an
a1
问题三：设等差数列 {an} 的首项为a1，公差为d， 如何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
4.2.2等差数列的前n项和公式说课课件(人教版)
列的首项和公差得到它的前n项和公式吗？
转化为基本量a1和d
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
n(n 1) Sn na1 2 d
也可以通过
Sn a1 a2 a3 an
利用求和公式和每 项具体化
a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ]
1
n项 2
2
n 1个
n n 1
2
2
n 1 1 n n 1 n n 1
2
2
2
演绎推理“推”公式
问题4：在求前n个正整数的和时，对n分奇偶数进行讨论得到的结果是一样
的，那么怎样避开分类讨论实现“配对”，将“不同数的求和”化归为“相
同数的求和”呢？
“奇数加奇数、偶数加偶数”都可以变成偶数，根据这个性质让它自己和自己配对.
3+98 =101 a3+a98 =101
50+51 =101 a50+a51=101
S100 (1 100 ) (2 99) (50 51)
=50 ×101=5050 首尾配对法
通过S配10对0=凑(a成1+相a1同00)的+数(a，2+变a9“9) 多+…步+求(和a5”0+为a51) “一步相乘=5”0 ，×即10将1“=5不05同0数的求和”转化为
（简化计算）
设计意图：高斯算法蕴含着等差数列的特殊性 质，让学生去观察、探索、发现等差数列的 这一性质，引导学生提炼高斯算法的实质， 体会转化与化归的思想方法.
高斯 Gauss.C.F （1777~1855）
高斯, 德国数学家. 与阿基米德, 牛顿 并称为历史上最 伟大的数学家, 有 “数学王子”之称.
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设计意图：让学生发现规律，形成最佳解 法。同时引入“倒序相加”的求和方法。
新知探究
你能利用上面规律推导等差数列的前n项和公式吗？（分组探究）
用两种方法表示sn sn a1 (a1 d) (a1 2d) [a1 (n 1)d] ① sn an (an d) (an 2d) [an (n 1)d] ②
本例已知首项，前n项和、并且可以求出公差，利用公式2求项数。 事实上，在两个求和公式中各包含四个元素，从方程的角度，知三 必能求余一。
变式练习
在等差数列an中，a1 20, an 54, sn 999,求n.
拓展应用
知三求二
例３ 在等差数列an中，已知d 20, n 37, sn 629,
问题 二
情景导入 1+2+3+……+100=？
能不能迅速算出呢？
高斯的故事
新知探究
图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石
这是求奇数个项的和的问题，不能简单 模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项 11看成首、尾两项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯“首尾 配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况 求和。
等差数列前n项和
等差数列的前n项和 教学教 教 教 总 材情学 法 学 结 分分目 学 过 作 析析标 法 程 业
教材分析
《等差数列的前n项和》是本章的重要 内容，它与前面学过的等差数列通项公式 和性质有着密切的联系，同时又为以后学 习等比数列做好知识准备，在整个章节起 着承上启下的作用，同时他也是高考命题 的重点和热点。
2Sn n(a1 an )
公式1
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
拓展应用
选用公式
例１ 某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：m） 是：7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 这位长跑运动员７天共跑了多少米？
经历公式的推导过程，体会数形结合的思想。体验 从特殊到一般的研究方法，学会观察；（难点）
3、情感与价值观
数学问题生活化，渗透数学史和数学文化。
教法
问题呈现
探究发现
学法
观察、归纳、推理
等差数列的前n项和
情景导入（特殊）
教
学 过
探究新知（一般）
程
拓展应用（特殊）
情景导入
问题 一
★建筑工地上一堆圆木， 从上到下每层的数目分别 为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？
（重点：应用公式）
作业布置
A 必 做 题 ： 课 本 118 页 ， 练 习 １ 、 ２ 、 ３ ； 习 题 3.3 第２题（３、４）
B选做题：在等差数列中，
1、已知a2 a5 a12 a15 36, 求s16; 2、已知a6 20,求s11
必做题是让学生巩固所学的知识，熟练公式的应用。根据学生的 特点，为了促进数学成绩优秀学生的发展，培养他们分析问题解决 问题的能力，我们设计了选做题，达到分层教学的目的。
进而提出有无简单的方法？
新知探究
图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
s21
(1
21) 2
21
21
1
我们根据高斯的算法，来计算一下1， 2，3，…，n，…的前n项的和：
思路1：高斯算法：把数列和配成对。
思路2：观察规律，把数 列倒过来再相加一次。
倒序相 加法
求a1及an .
本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。 事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、 项数、尾项、前n项和五个元素，如果已知其中三个，联 列方程组，就可求其余二个。
课堂小结
特殊
一般
特殊
高斯算法
公式1
Sn
n(a1 2
an )
公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
例题应用
（难点：推导公式）
教学评价
1、由特殊到一般的研究方法 2、用直线的形式展示小结
我的说课到此结束, 欢迎您批评指正!
学情分析
学生已经学习了等差数列的通项公 式、性质与数列求和等有关内容。经过 初高中的数学学习，已具有一定的自主 探究能力，从特殊到一般的推理能力， 但学生对于倒序求和的思想还初次见到。
教学目标
1、 知识与技能
掌握等差数列前n项和公式并能熟练应用公式解决一 些简单的与前项和有关的问题；（重点）
2、过程与方法
本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、尾项、项数出发，使 用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。达到学生 熟悉公式的要素与结构的教学目的。
通过两种方法的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以 便于计算。
拓展应用
变用公式
例２ 等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的 和为54？