完整版等差数列前n项和教案

等差数列的前n项和（第一课时）教学设计
【教学目标】
一、知识与技能
1 •掌握等差数列前n项和公式；
2•体会等差数列前n项和公式的推导过程；
3•会简单运用等差数列前n项和公式。

二、过程与方法
1・通过对等差数列前n项和公式的推导，体会倒序相加求和的思想方法；
2.通过公式的运用体会方程的思想。

三、情感态度与价值观
结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。

【教学重点】
等差数列前n项和公式的推导和应用。

【教学难点】
在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。

【重点、难点解决策略】
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。

利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

【教学用具】
多媒体软件，电脑
【教学过程】
一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务：
前n 和呢，于数列{a n } :ai, a 2, as, a n ,…我 称ai+且2+23+…+a n 数列{a n } 的前n 和，用Sn 表不，Sn=ai+a2+a3+…+a
如 ,
Si =ax S 7 =ai+a 24-a 3+ +a 7,下面我们来共同探究如何求等差数列的前
n 项
和。

二、问题牵引，探究发现 问题1：（播放媒体资料情景引入）古算术《张邱建算经》中卷有一道题：今有与人钱，初一人 与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？
即:Sioo=l+2+3+ • +100=?
著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世；那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同 学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。

同学们讨论后总结发言：等差数列项数为偶数相加时首尾配对，变不同数的加法运算为
相同数的乘法运算大大提高效率。

高斯的方法很妙，如果等差数列的项数为奇数时怎么办
呢？ — ...... .... 探索与发现1：假如让你计算从第一人到第21人的钱数，高斯 的首尾配对法行吗？ 即计算S2F1+2+3+・+21的值，在这个过程中让学生发现当 项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助 学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。

特点：
首项与末项的和：
第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和:
1+ 100 = 101, 2 + 99 =101, 3+98
=101,
50+ 51 = 101, 101 X 50 = 5050。

5050
第50项与倒数第50项的和:
于是所求的和是：
1 + 2+3+ • +100 二 101X50
把“全等三角形”倒置，与原构成平行四形。

平行四形中的每行宝石的个数均
21个，共21行。

有什么启?
1 +
2 +
3 + ……+20 +21
21 + 20 + 19 + ……+ 2 +1
S21= 1 + 2 + 3+,,,+ 21=（21 + 1） X 21 4-2=231
个方法也很好，那么数偶数个方法行？
探索与2:第5人到12人一共有多少数？
学生探究的同通画演示帮助学生思考才的方法是否同可行？同学自主探究一下（老演示画帮助学生）
8 (5 12)
Ss二5 + 6+7+8 + 9+10+11 +12 二 --------- 68
2
［意】一步引学生探究数偶数的等差数列求和倒序相加是否可行。

从而得出倒序相加法适合任意数的等差数列求和，最确立倒序相加的思想和方法！
好，我就找到了一个好方法一'到序相加法！在来一如何求下面个等差数列的前n 和？
解：（根据前面的学，学生自主思考独立完成）
Q Sn123L(n 1) n
Sn n a1)a2)L 2 1
2 Sn
(
1
n)a n)L(1n) 14 4 4 4 24 4 4
n
4 3
n a 1)
Sn2
【意】化倒序相加法的理解和运用，更一般的等差数列求和打下基。

至此同学已掌握了倒序相加法，相信大家可以推更一般的等差数列前n和公式了。

3 :于一般的等差数列{a J首a】，公差d,如何推它的前n和s n公式呢? 2:等差数列1,2,3, ,n, 的前n和怎么求呢？
n 二;
a +a +a. +
S n ai
a 2
a n
(1)
S n
8 n
& n
1 ai
a
a
ai
a n
d 2 n 1
a3
n 2
a n ai
•
• •
(1)+
（2）可
得:
2
Sn
n(ai a n )
S r
n (a la n )
2
公式形：将Qn ai （n l ）d 代入可得:S n na 1
n （n 1 ）
d
2
【意】学生在前面的探究基上水到渠成理成章很快就可以推出一般等差数列的 前n 和公式，从而完成本 的中心任。

在个程中放手学生自主推，同也复等差数列的通 公式和基本性。

三、公式的与理解：
1、根据前面的推可知等差数列求和的两个公式：
n (a a )
―一(公式_) 2
⑶明确若a.i,d,n,an 中已知三个量就可求Sn 。

2、两个公式共涉及 ai, d, n, an, Sn 五个量,“知三”可“求二”。

用梯形面公式等差数列前n 和公式，里形行了割、两种理，着等差数列n 和的两个公 式・，学生想思考 来有助于。

Sn
n (ai a n )
nai
n (n 1) ------- d 2
（公式二） 探究:
1、（1）相同点: 都需知道ai 与n;
（2）不同点: 第一个需知道an ,第二个需知道d;
2、探索与 3 :等差数列前 n 和公式与梯形面公式有什么系？
【设计意图】帮助学生类比联想，拓展思维，增加兴趣，强化记忆
四、公式应用、讲练结合
下面我们来看两个例题：
1 •例题1:
2000年11月14日教育部下发了〈〈关于在中小学实施“校校通”工程的通知〉〉•某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网・据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元•为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元•那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通” 工程中的总投入是多少？
解:设从2001年起第n年投入的资金为an,根据题意，数列｛ an｝是一个等差数列，其中
81二500,d= 50
10 9
那么，到2010年（n=10）,投入的资金总额为siolO 500 ------------- 507250
2
答：从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。

【设计意图】让学生体会数列知识在生活中的应用及简单的数学建模思想方法。

2•例题2：
已知一个等差数列Qn｝的前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件可以确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
解：
法1：由题意知
sio31O , S201220
d 错误！未找到引用源。

得:
代入公式Sn n —错误味找到引用源。

得:
2
②①得，a2o aio
10d
60 ,故 d 6
【设计意图】掌握并能灵活应用公式并体会方程的思想方法。

3 •练一练：
10ai 45d 20ai 190d
解得ai 4 , d 6
n(n 1)
s n 4n --------------------
2
法2：由题意知
S10
2 310
错误！禾找到弓I 用源。

1220
6 3n n
310 , S20 1220
10 (ai aio)
S10 2
310 ,
S2
1 20
20 (ai &20 )
9 1220
即
1 1062①
a a
,a a 122②
由 ai aio 62 得 2ai 9d 62 故 ai 4
ai (n l)d 6n 2
n(ai an)
2
2
3n n
代入公式Snnai
有了两个公式，请同学们来练一练，看谁做的快做的对！
【意】熟悉并化公式的理解和用，一步巩固“知三求二”。

五、
分享收：Q 舌堂气氛，鼓励学生大胆言，培养和表达能力
1、 倒序相加法求和的思想及用；
2、 等差数列前n 和公式的推 程;
n(ai a n )
,Snnai
2
4、前n 和公式的灵活用及方程的思想。

六、作布置： （一） 面作：
A 3, 4, 5
（二） 后思考：
思考:等差数列的前 n 和公式的推方法除了倒序相加法有没有其它方法呢?
【意】通布置面作巩固所学知及方法，同通布置后思考来延伸知拓展思。

附:板
3、掌握等差数列的两个求和公式
s n
n(n 1)
-------------- d ；
2。