等差数列前n项和1-导学案(公开课)
高一数学公开课等差数列的前N项和教案
公 开 课：2.2 等差数列的前n 项和（1）授课班级：高一（1）班 教师ZNB教学目的：1．掌握等差数列前n 项和公式的推导过程．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的实际问题.教学重点：等差数列n 项和公式的理解、推导及应用.教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：无教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +，d 为公差）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=3．等差中项：a,A,b 成等差数列,则A 叫a 与b 的等差中项（b a A +=2）5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )二、讲解新课：[创设情景]等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。
在 200 多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演 了迅速求出等差数列这么一出好戏。
那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+…… +100=？当时，当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确 答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，…，n ，…前100 项的和的问题。
今天我们就来学习如何去求等差数列的前 n 项的和！[探索研究]我们先来看看人们由高斯求前 100个正整数的方法得到了哪些启发。
人们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算 1，2，3，…，n ，…的前 n 项的和：由 1 + 2 + …+ n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知2)1(321n n n +=++++上面这种加法叫“倒序相加法”1、数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S .2．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += 证明：n n n a a a a a S +++++=-1321 ①1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②① +②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=下面我们来做几道练习题在已知等差数列{}n a 中，求数列的前n 项和n S （1）,8,18,481=-=-=n a a (2) 10,3,51===n d a .分析：（1）直接用公式即可，（2）需要通过利用等差数列的性质来求出n a 然后再用公式，从而引出等差数列前n 项和的另一公式。
必修5等差数列前n项和1_导学案(公开课)
§2.3等差数列的前n 项和导学案（第一课时）教学目标知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.重点：等差数列前n 项和公式及其应用.难点：等差数列前n 项和公式的推导思路的获得.复习回顾1.等差数列}{n a 中，若m+n=p+q,(m,n,p,q 为常数)则有： ； 一般地，1n a a += = ......问题一：一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。
这个V 形架上共放着多少支铅笔？思考：(1)问题转化求什么？能用最短时间算出来吗？(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？(3)如果换成１+２+３+…+200=？我们能否快速求和？问题二：?n 321S n =+⋯+++=（小组讨论，总结方法）高斯算法：倒序相加法：探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？问题三：已知等差数列}{n a 中，首项为1a ,公差为d ,第n 项为n a ，如何计算前n 项和n S ？新知：等差数列前n 项和公式：公式一：公式二：1. 应用公式(知三求二)例1.已知等差数列}{n a 中，（1）751=a ，1057=a , 求7S ；（2）101-=a ，4=d ， 54=n S ，求n ；（3）255=S ，10010=S ，求1a 及d 。
解：（1） （2）（3）例2. 2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。
据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。
为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。
那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？。
《等差数列的前 n 项和》 导学案
《等差数列的前 n 项和》导学案一、学习目标1、掌握等差数列前 n 项和公式及其推导方法。
2、能够熟练运用等差数列前 n 项和公式解决相关问题。
3、体会等差数列前 n 项和公式的应用价值，提高数学思维能力。
二、学习重难点1、重点（1）等差数列前 n 项和公式的推导和应用。
（2）利用等差数列前 n 项和公式解决实际问题。
2、难点（1）等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想方法的理解。
（2）灵活运用等差数列前 n 项和公式进行变形和求解。
三、知识回顾1、等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
2、等差数列的通项公式：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）（＼（a_1\）为首项，＼（n\）为项数，＼（d\）为公差）四、引入新课在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题：一个等差数列的各项之和是多少？例如，一堆按等差数列排列的钢管，如何快速计算它们的总数？这就涉及到等差数列的前 n 项和。
五、等差数列前 n 项和公式的推导方法一：倒序相加法设等差数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项为\（a_1\），公差为\（d\），前\（n\）项和为\（S_n\），则\（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋a_n\）①我们将上式倒过来写可得：＼（S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2}＋＼cdots ＋ a_1\）②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋（a_3 ＋ a_{n 2}）＋＼cdots ＋（a_n ＋ a_1)＼＼＆＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ a_n)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）又因为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_1 ＋（n 1)d)｝｛2} ＝＼frac{n2a_1 ＋（n 1)d}｛2}＼）方法二：通项公式法由等差数列的通项公式\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）可得：＼＼begin{align}S_n&＝a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d\＼＆＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d＼end{align}＼六、等差数列前 n 项和公式的应用1、已知\（a_1\），＼（d\），＼（n\），求\（S_n\）例 1：在等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 2\），＼（d ＝3\），＼（n ＝ 10\），求\（S_{10}＼）。
《等差数列的前n项和》导学案
《等差数列的前n项和》导学案（一）1、掌握等差数列前n项和公式及其推导过程；2、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。
重点：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会运用公式。
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
（1）阅读教材42---44页，回答预习案中的问题，并完成预习自测.（2）将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.我的疑惑：复习旧知1、等差数列的定义：2、数学表达形式：3、等差数列的通项公式：（1）（2）4、等差数列的性质：二、感受新知1、上下求索路思考：如何计算1+2+3…+100的值？小组合作交流问题（1）：如何计算1+2+3+…+n的值？问题（2）：如何推导等差数列的前n项和公式？2、知识直通车（1）数列的前n项和定义：（2）等差数列的前n项和公式：公式1：公式2：3、实践训练营例1 求等差数列22,24,26,…前30项的和。
例2、已知一等差数列有12项，小试牛刀.,412112Saa求=+（1）已知一等差数列 ，（ ）A.45B.60C.90D.120（2）已知一等差数列 ， ( )A.-11B.-22C.0D.224、温馨回眸情（1）本节课学到了哪些知识？（2）你觉得本节课的难点是什么？5、课后作业必做题：教材 46页 习题2.3 A 组1题和2题 选做题：教材 46页 习题2.3 B 组1题6、拓展应用探究：等差数列前n 项和 与二次函数的关系==95,10s a 则=-=++11963s ,6则a a a n s一般地，如果一个数列 的前n 项 其中p,q,r 为常数，其中 ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？7、课后反思 {}n ar qn n n ++=2p s 0p ≠。
必修5等差数列前n项和1_导学案(公开课)
§2.2.2等差数列的前n项和导学案（第一课时）知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.重点：等差数列前n项和公式及其应用.难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得.问题一：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？23S？=1001+=+++n问题二：?101321S n =+⋯+++=（还可以用高斯的方法吗？）问题三：?321S n =+⋯+++=n问题四：已知等差数列}{n a 中，首项为1a ,公差为d ,第n 项为n a ，计算前n 项和n S ？ n n a a a a S ++++= 321新知：等差数列前n 项和公式：公式一：公式二：问题四 ：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题二，你能给出它们的几何解释吗？公式1 公式21. 应用公式(知三求一)例1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an ｝的Sn ：（1）10,95,51===n a a n（2）50,2,1001=-==n d a解：（1） （2）（课后练习）已知等差数列}{n a 中，（1）751=a ，1057=a , 求7S ；（2）101-=a ，4=d ， 54=n S ，求n ；解：（1） （2）例2. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S .求n S2.变用公式例3.在等差数列{}n a 中，若,74=a 求7S .归纳：______7=S ______9=S ______13=S结论：__________)(=为奇数n S n1、在等差数列{}n a 中，若,255=S 求_____3=a .2、等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n ＋13n ＋1，则a 4b 4＝________.思考：______4=S ______6=S ______10=S归纳：__________)(=为偶数n S n1.课后作业：☆【必做】教材P41 A 组T1、T2 【选作】B 组 T4☆到网上查找有关数学家高斯的故事，你能从这些故事中得到什么启示呢？☆到网上查找等差数列前n 项和公式的应用，“发现”生活中的数学。
等差数列的前n项和公开课教案
等差数列的前n项和公开课教案等差数列的前n项和一．教学目标：（1）把握等差数列前n项和公式的推导和应用；（2）体味方程、函数和数形结合的数学思想；（3）进展同学数学抽象、规律推理和数学建模等学科核心素质；（4）感触数学文化，品尝数学魅力.二．教学重点：等差数列前n项和公式的推导及应用教学难点：等差数列前n项和公式的推导三．教学过程：（一）公式探索公元前4世纪，古希腊毕达哥拉斯学派数学家常用小石子在沙滩上摆成各种外形来讨论各种有形数。
比如：三角形数：1，3，6，10，......1 3 6 10 ......问题1：三角形数的第100个数是？【同学活动】分组研究，展示成绩问题2：三角形数的第n个数是？【同学活动】分组研究，展示不同办法，在比较争辩中感悟倒序相加的优势追问1：为什么要对和式配对？追问2：为什么要倒序相加？追问3：能再举出一个可以用倒序相加法求和的数列吗？追问4：全部等差数列都可以用倒序相加法求和吗？【同学活动】回答问题，互相补充小结：我们借助“倒序相加”这一手段，将和式转化为n个相同数求和的问题，实现了化多为少的目的，而终于这一目的可以达到的根本缘由是：等差数列自身的性质。
（二）公式应用问题3：在等差数列{}n a 中，（1）1503,101a a ==，求50S ；（2）113,2a d ==，求10.S 由（2）推导公式：1(1)2n n n d S na -=+.问题4：在等差数列{}n a 中，已知1315,,222n n d a S ===-，求1a 及n .（三）感悟提升问题5：回顾刚刚的探索过程，我们有什么收获？【同学活动】绽开研究，总结收获1. 数学学问：（1）1()2n n a a S +=（2）1(1)2n n n d S na -=+2. 数学办法：倒序相加（除了可以对等差数列求和还可以对哪些数列求和？）3. 数学思想：数形结合，方程思想，函数思想4. 数学文化：北宋时期的沈括提出了隙积术，南宋时期的杨辉发明白垛积术；《九章算术》、《张丘建算经》等我国经典数学著作中都讨论过等差数列的求和问题。
等差数列前n项和-导学案
三、实际应用
1.例：2000年11月14日教育部下发了<<关于在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于”校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在”校校通”工程中的总投入是多少?
课题:等差数列前 项和
教学内容
个性笔记
【学习目标】
1.理解数列前 项和的意义，探索并掌握等差数列前 项和的公式，掌握其中的倒序相加法。
2.掌握等差数列前 项和的两个公式并能实际应用，做到知三求二，做到转化思想贯穿整个教学过程。
【重点难点】
重点：等差数列前 项和公式及其应用
难点：等差数列前 项和公式推导
【学习方法】
观察法，归纳法
【学习过程】
一、前置作业
1.等差数列概念＿＿＿＿＿，等差数列的通项公式 =＿＿＿。
2.我们把＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做数列｛ ｝的前 项和，记作＿＿＿。
3.1+2+3+…+99+100=＿＿＿＿＿＿=＿＿＿。
4.等差数列前 项和 = + +…+ + .
= + +…+ + .
由倒序相加法（提示：左右两端相加）可得 =＿＿＿＿＿＿
如果带入等差数列的通项公式 ， 也可以用首项 与公差 表示，即
=＿＿＿＿＿＿还可以写成 =＿＿＿＿＿。
二、合作交流
1.公式应用之知三求二：
例：在等差数列｛ }中,已知: ， ， ，求 及 。
等差数列前n项和教案（共5篇）
等差数列前n项和教案（共5篇）第一篇：等差数列前n项和教案等差数列前n项和(第一课时）教案【课题】等差数列前n项和第一课时【教学内容】等差数列前n项和的公式推导和练习【教学目的】（1）探索等差数列的前项和公式的推导方法；（2）掌握等差数列的前项和公式；（3）能运用公式解决一些简单问题【教学方法】启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.【重点】等差数列前项和公式及其应用。
【难点】等差数列前项和公式的推导思路的获得【教具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】1.复习回顾 a1 + a2 + a3 +......+ an=sna1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自学问题一：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 100支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？思考：(1)问题转化求什么能用最短时间算出来吗？(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？(3)如果换成1+2+3+…+200=？我们能否快速求和？，(4)根据高斯的启示，如何计算18+21+24+27+…+624=？3..合作互学（小组讨论，总结方法）问题二：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?倒序相加法探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？问题三：已知等差数列{an }中，首项a1，公差为d，第n项为an , 如何求前n项和Sn ？等差数列前项和公式： n(a1 + an)=2Sn问题四：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？n(a1 + a n)=2Sn公式记忆——类比梯形面积公式记忆n（a1 + a n)=2S 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？展示激学应用公式例1.等差数列－10，－6，－2，2的前多少项的和为-16 例2.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?【思考问题】如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r为常数，且p ≠ 0)，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，说明理由，若不是，说明Sn必须满足的条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.3等差数列的前n 项和导学案（第一课时）
知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.
重点：等差数列前n 项和公式及其应用.
难点：等差数列前n 项和公式的推导思路的获得.
复习回顾
1.数列{}n a 的前n 项和的概念：
一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，
用n S 表示，即=n S
2.n S 与n a 的关系：(1)(2)
n n a n =⎧=⎨≥⎩ 3.等差数列}{n a 中，若m+n=p+q,(m,n,p,q 为常数)则有： ；
一般地，1n a a += = ......
问题一：一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。
这个V 形架上共放着多少支铅笔？
思考：
(1)问题转化求什么？能用最短时间算出来吗？ (2)
(3)如果换成１+２+３+…+200=？我们能否快速求和？
问题二：?n 321S n =+⋯+++=（小组讨论，总结方法）
高斯算法：
倒序相加法：
探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？
问题三：已知等差数列}{n a 中，首项为1a ,公差为d ,第n 项为n a ，如何计算前n 项和n S ？
新知：等差数列前n 项和公式：
公式一：
公式二：
问题四 ：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？
公式一： 公式二：
问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？
1. 应用公式(知三求二)
例1.已知等差数列}{n a 中，
（1）751=a ，1057=a , 求7S ；
（2）101-=a ，4=d ， 54=n S ，求n ；
（3）255=S ，10010=S ，求1a 及d 。
解：（1） （2）
（3）
例2. 2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。
据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。
为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。
那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
2.变用公式
例3.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗?
3.公式探究
例4.已知数列的前n 项和为21=2
n S n n +,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
问题六：如果一个数列}{n a 的前n 项和r qn pn S n ++=2，（其中r q p ,,为常数，且
0≠p ）那么这个数列一定是等差数列吗？若是，说明理由，若不是，说明n S 必须满足的
条件。
1.课后作业：
☆课本习题2.3A 组1-6
☆创新设计相关习题
2.对求和史的了解：
我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。
他在《张
丘建算经》中给出等差数列求和问题：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初
日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？
学习反思：。