等差数列的前n项和学案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
【学习目标】1.熟练掌握等差数列前n 项和的性质,并能灵活运用.
2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.
3.理解a n 与S n 的关系,能根据S n 求a n .
【学法指导】1.任何一个数列{a n }与它的前n 项和S n 之间都有一个等量关系式,此公式为:
a n =⎩⎪⎨⎪⎧
S 1 n =1,S n -S n -1 n≥2,题中已知一个数列的前n 项和,则可利用此公式求得此数列的通项公式,同时要注意此公式是一个分段的函数,所以在使用此公式求解
时,要分类讨论.
2.数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解,这也是利用函数解决数列问
题的一个重要应用.
3.等差数列的前n 项和与二次函数联系十分紧密,要辨析它们之间的关系,从更高境
界处理等差数列的前n 项和问题.
一.知识导学
1.前n 项和S n 与a n 之间的关系
对任意数列{a n },S n 是前n 项和,S n 与a n 的关系可以表示为a n =⎩⎪⎨⎪⎧
n =1, n≥2. 2.等差数列前n 项和公式:S n = = .
3.若等差数列{a n }的前n 项和公式为S n =An 2+Bn +C ,则A =_ __,B = ,C = .
4.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n -48,则S n 取得最小值时,n 为________.
二.探究与发现
[问题情境]
1.如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式,那么这个数列确定了吗如果确定了,那么如何求它的通项公式应注意一些什么问题
2.如果一个数列的前n 项和的公式是S n =an 2+bn +c(a ,b ,c 为常数),那么这个数列一定是等差数列吗
3.如果{a n }是一个等差数列,那么{|a n |}还是等差数列吗如果不再是等差数列,如何求{|a n |}的前n 项和
这一节课我们就来解答上面的问题.
【探究点一】数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系
问题 我们已经知道,如果通项公式a n 已知,就能求出S n ;反过来,如果已知数列{a n }的前n 项和
S n ,能否求出它的通项公式a n
探究 如果数列{a n }的前n 项和的公式是S n =an 2+bn +c(a ,b ,c 为常数),求通项公式a n ,并判断这
个数列一定是等差数列吗
【探究点二】等差数列前n 项和的最值
问题 由于S n =na 1+nn -12d =d 2n 2+(a 1-d 2)n ,当d =0时,S n =na 1;当d≠0时,此解析式可以看作
二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 的二次函数,其图象为抛物线y =d 2x 2+
(a 1-d 2)x 上的点集,坐标为(n ,S n )(n ∈N *).
因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:
(1)若a 1>0,d <0,则数列的前面若干项为 项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最 值.
(2)若a 1<0,d >0,则数列的前面若干项为 项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最 值; 特别地,若a 1>0,d >0,则S 1是{S n }的最 值;若a 1<0,d <0,则S 1是{S n }的最 值.
【典型例题】
例 1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2n 2-3n ,求通项公式a n .
小结 已知前n 项和S n 求通项a n ,先由n =1时,a 1=S 1求得a 1,再由n≥2时,a n =S n -S n -1求a n ,
最后验证a 1是否符合a n ,若符合则统一用一个解析式表示.
跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n =3n ,求a n .
例2 在等差数列{a n }中,a n =2n -14,试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值.
小结在等差数列中,求S n的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,则从第1项起到该项的各项的和为最大(小).由于S n 为关于n的二次函数,也可借助二次函数的图象或性质求解.
跟踪训练2在等差数列{a n}中,a1=25,S17=S9,求S n的最大值
例3若等差数列{a n}的首项a1=13,d=-4,记T n=|a1|+|a2|+…+|a n|,求T n.
小结等差数列{a n}前n项的绝对值之和,由绝对值的意义,应首先分清这个数列的哪些项是负的,哪些项是非负的,然后再分段求出前n项的绝对值之和.
跟踪训练3已知等差数列{a n}中,记S n是它的前n项和,若S2=16,S4=24,求数列{|a n|}的前n 项和T n.
三.巩固训练
1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2,则a n等于()
A.n B.n2 C.2n+1 D.2n-1
2.数列{a n}为等差数列,它的前n项和为S n,若S n=(n+1)2+λ,则λ的值是
()
A.-2 B.-1 C.0 D.1
3.设数列{a n}的通项为a n=2n-7(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a7|=________.
四.小结
1.公式a n =S n -S n -1并非对所有的n ∈N *都成立,而只对n≥2的正整数才成立.由S n 求通项公式a n =f(n)时,要分n =1和n≥2两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示.
2.求等差数列前n 项和的最值
(1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *,结合二次
函数图象的对称性来确定n 的值,更加直观.
(2)通项法:当a 1>0,d<0,⎩
⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0时,S n 取得最大值; 当a 1<0,d>0,⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≤0,a n +1≥0时,S n 取得最小值. 3.求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和,关键是找到数列{a n }的正负项的分界点.