心理统计2

第五章概率与概率分布学习指导前几章介绍了一些描述一组数据全貌所用统计量的计算方法，这一部分内容被称为描述统计。

但研究的目的不仅仅是描述一组数据的概貌，更重要的是根据这组数据去推断它所来自的总体的某些特征，这就是推断统计要讲的内容。

推断统计通过对样本数据的分析，指出总体可能具有什么特征或不具有什么特征，由于样本是从总体中随机抽取的，是随机现象，因此这一推断过程必然以专门研究随机现象规律性的数学学科——概率论为基础。

本章主要介绍以下内容：一、随机现象、随机事件、随机变量二、概率及其计算三、概率分布四、正态分布五、二项分布六、卡方（χ2）分布七、Ｔ分布八、Ｆ分布九、抽样分布我们先来看一些例子，同样的方式抛置硬币却可能出现正面向上也可能出现反面向上；走到某十字路口时，可能正好是红灯，也可能正好是绿灯；新生婴儿可能是男孩，也可能是女孩；从全国的儿童中随机抽取一名，其智商可能高于100分，也可能低于100，其性格可能内向，也可能外向等等，这些现象只有在实验或观察完成之后才知道结果，而在此之前是无法预知的，而且在重复进行时，其结果也未必相同，这类现象就是随机现象。

随机事件随机试验的每一个可能结果。

如过十字路口可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，这是一个随机现象，而“遇到红灯”则是一个随机事件。

随机事件一般大写字母A，B，C，……表示，在一定条件下必定出现的结果称为该条件下的必然事件，记为Ω，在一定条件下必定不出现的结果称为该条件下的不可能事件，记为Φ。

在这里可以注意到一个事实，如果你连续经过几个十字路口，显然如果你在第一个路口“遇到红灯”，并不决定你在第二个路口会遇到什么灯。

因此在第一个路口“遇到红灯”，与在第二个路口“遇到红灯”这两个随机事件之间是互不影响的，我们把互不影响的两个事件称为相互独立，这就是“事件独立性”的概念。

注意并不是任何事件之间都独立，如在抽签中，第一个人抽中某一有利事件，第二个人抽中的可能性就比第一个人没有抽中小了一些。

独立性在概率论中是一个很重要的概念，除了事件的独立性外，还有随机试验的独立性，它指的是两个随机试验的所有事件之间相互独立。

例如，抛置一个硬币是一个随机试验，抛置另一次是另一个随机试验，这两个随机试验就是相互独立的，因为第一次“出现正面上”，并不影响第二次出现哪一面（因为第二次抛置出现每一面的可能性仍然是一样的），第二次“出现反面上”，也不影响第二次出现哪一面。

类似的，过两次十字路口也是相互独立的试验。

随机变量取值为随机现象各种可能结果（随机事件）的量化数值的具有随机性和规律性的变量。

随机变量的引入，使我们能用变量来刻划随机试验的结果以及随机事件，以便更好地借助于数学工具对随机现象进行研究。

随机变量一般用希腊字母ξ，η，……表示，教材中用X，Y，……表示。

比如抛置硬币，当出现“正面向上”这一事件时用1表示，当出现“反面向上”这一事件时用0表示，则“抛置硬币”这一随机现象可以用一个变量ξ来表示，随机变量ξ的每一个取值都表示一个随机事件。

在一次抛置中出现“正面向上”的可能性为0.5，可以用P(ξ=1)=0.5来表示，“ξ=1”指的就是“正面向上”这一事件，把它放在P后的括号里就表示它的概率，我们知道这一概率为0.5，所以可用前面的式子来表示。

上面所说的“随机性”指的有两层含义，一方面指随着试验和观察次数的不同，随机变量可能取得不同的数值，即随机变量在不同的观察次数中数值在不断地变化，当然只有变化才称得上是变量；另一方面，取这些不同的值是随机的，不能预先知道的，而且取这些值的可能性也不一定相同。

上面所说的“规律性”表现在，多次实验或多次观测所得到的一系列数据虽然有波动有变异，但并非漫无边际，不可捉摸，它们集体呈现出一种规律性，这里的规律性即为可能性的大小——概率。

下面再举几个随机变量的例子：例1、抛置骰子（麻将的色子），这一随机现象可以用如下的随机变量来表示：其规律为：例2、用比纳—西蒙智力量表随机测试一批儿童，得分将主要集中在70～130之间，则表示儿童智商得分的随机变量ξ就主要取这些数值，取这些数值的规律为均值为100，标准差为16的正态分布，正态分布将在后面介绍。

随机变量也分为离散型和连续型。

前面举的骰子和硬币都是离散型的例子，儿童的智商、身高、体重等则是连续型随机变量。

对于离散型随机变量，关心的是它取什么值以及取这些值的概率是多少；对于连续型随机变量，关心的是它在各个范围内取值的概率。

随机变量之间也有独立性这一概念，它指的是如果随机变量所对应的随机试验相互独立，那么称这些随机变量之间相互独立。

二、概率及其计算本节补充介绍一些概率论知识，但这些内容有些难度。

如果你能较好地理解“概率”表示“随机事件发生的可能性大小”这一概念，你又觉得下面的内容有些难懂，你可以大致浏览一下即可，而不必深究。

“概”即概括，“率”是指两个数之间的比。

这里是指用一个比值来概括某事件出现的可能性大小。

因为纯粹利用概率的概念是无法计算出概率的，所以它有几个用于不同情况下的计算办法：古典概率（先验概率）基本事件：如果某一随机实验可以分成有限的n种可能结果，这n种结果之间是互不交叉的，而且这些结果出现的可能性相等，我们把这n种可能结果称为基本事件。

如抛置骰子这一随机试验的基本事件为：{1}{2}{3}{4}{5}{6}。

基本事件必须具备如下的五个条件：①等可能性：实验中基本事件发生的概率相等（根据对称性来判断）。

②互斥性：各个基本事件不可能在一次试验中同时发生，或者说一次试验中只能发生基本事件中的一个。

③完备性：一次试验中所有基本事件必然有一个发生，即所有基本事件概率之和为100%。

④有限性：全部结果只有有限的n种。

⑤不可再分性：不可能有比基本事件范围更小的事件。

若把抛置骰子的基本事件取为：A={1，2，3}，B={4，5，6}，则它满足前面的所有4上条件，但它们可以再分。

古典概率的定义：在只含有有限个基本事件的试验中，任意事件A发生的概率定义为：例1：抛掷骰子一次，所得点数小于3的概率。

解：A={1,2},P(A)=2/6=1/3。

例2：从放有三个白球和四个黑球的一个袋子时连续地抽取2个球，球的大小和形状都一样，只有颜色的差别，求A1：取出2个白球；A2：1个黑球1个白球；A3：2个黑球的概率。

解：首先考虑基本事件怎样确定（请同学生自己先仔细思考，再看后面的分析）。

在这里试验的结果是两白、两黑、一黑一白三种情况，是不是基本事件就是A1，A2，A3？显然这样满足了互斥性、完备性、有限性、不可再分性，但不满足等可能性（这三者概率的大小正是所要求的）。

那么基本事件到底是什么？我们将7个球进行编号，则每次抽取两个球，总体的可能情况有C27=7×6/2=21种，这21种可能结果可以做为基本事件，因为它们满足上述的5个条件。

其中，A1有C23=3×2/2=3种；A2有C13·C14=12种；A3有C24=4×3/2=6种，当然A1、A2和A3的概率也就容易计算了。

例3：(生日巧合)任何40名同学参加一次聚会，问有相同生日同学存在的概率是多少？解：由于每个人的生日可以是365天中的任何一天，因此总的基本事件是365的40次方，计算有相同生日这一事件(A)可以转化为没任何两个同学的生日是相同的(A)来计算，于是40个人的生日都不相同的排列等于365·364……·326，P(A)=1-P(A)=1-0.115=0.885。

这一结果表明，任何40人的团体中，至少有两人的生日相同的可能性是88.5%。

不同人数的团体中至少有两人的生日相同的可能性列于下表：统计概率（后验概率）从古典概率的计算中，我们看到它的基础是要能从这一随机现象中找出基本随机事件，但有的时候这一条件是难以满足的，如评价射击运动员的技术水平的各环的命中率，就无法用古典概率，在古典概率不适用的情况下，可以考虑一下是否可以用统计概率来进行计算。

可见统计概率常用于随机现象不满足“基本事件等可能发生”的条件，或者某些试验不可能分为等可能的互不相交的事件。

在相同条件下进行n次试验，事件A出现了m次，如果试验次数n充分地大，且事件A出现的频率稳定在某一数值p附近，则称p为事件A的概率。

由于p也是一抽象的值，常常用n在充分大时的代替。

即：。

例4：一个射手射击500次，有400次中靶，问该射手的技术水平如何？即中靶概率。

解：几何概率将随机试验转化为长度、面积、体积来计算相应事件的概率。

公理概率不给出具体计算方法，只给出计算概率时应遵循的几条公理，前面的几种概率计算方法都满足这些公理。

三、概率分布这里介绍的几个概念对于理解概率理论乃至推断统计至关重要，望牢固掌握。

离散分布经验分布基本随机变量分布连续分布理论分布抽样分布概率分布是用来描述随机变量取某些值时的概率的数学模型，由于它实质上是将100%的可能性在各随机事件上进行分配，因此也称概率分配。

概率分布一般用图表、公式来表示。

可以从不同的角度对概率分布进行分类：离散分布与连续分布根据随机变量的取值类型将概率分布这样两类。

离散分布如果随机变量只能取有限的或无限但可以数下去的数值，则这种随机变量取值的概率规律称为离散分布。

这类分布往往将随机试验的所有结果及其相应的概率一一列出来以表示分布规律。

例1：抛置硬币这一随机试验可以用如下一些方式来表示其分布规律：①记A={正面向上}，B={反面向上}，则P(A)=0.5，P(B)=0.5。

②令出现正面向上用1表示，反面向上用0表示，则P(ξ=1)=0.5，P(ξ=0)=0.5③用图形来表示：⑤令出现正面向上用1表示，反面向上用0表示，则可以用表格表示如下:★这几种方式中用得最多的是第⑤种。

例2：某射击运动员每次射击射中靶心的机率是80%，若用1表示中靶心，用0表示没中靶心，则相应的概率分布为：例3：抛置骰子的概率分布：例4：进行如下的随机试验，3个硬币抛置一次，记录正面向上的个数。

这个试验属于二项试验，其分布称为二项分布。

本例中概率的计算将在二项分布一节讲解，在此举例的目的在于掌握离散分布的表达方式。

在这些例子中，我们应该注意所有事件的概率之和为1的特点。

连续分布如果随机变量可以取连续的数值，则这种随机变量取值的概率规律称为连续分布。

对于连续分布，我们不能列出所有取值及其对应的概率。

以身高为例，可能取值为：…160，161，162，…，168，169，170，…(单位cm)，或者介于其中的任意数值，如168.328cm。

对于连续随机变量，我们只能求出介于某一范围的人数、频率以及概率，因此连续分布的表示方法有别于离散分布，一般采用概率密度函数来表示。

当样本的容量及分组逐渐增加时，次数分布图将趋近于一条稳定而连续的曲线，这条曲线就称为连续随机变量的概率密度函数，一般记为f(x)。