新课预习讲义选修2-1第二章求曲线的方程(学生版)

合集下载

人教版【高中数学】选修2-1第二章曲线与方程的概念讲义

案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一曲线方程概念的理解1.在建立了平面直角坐标系之后,平面内的点和有序实数对之间就建立了一一对应关系,现在要求我们进一步研究平面内的曲线与含有两个变量的方程之间的关系.平面内的曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合(或轨迹)也就是说:(1)曲线上的每一个点都要符合某种条件;(2)每个符合条件的点都要在曲线上既然平面内的点与作为它的坐标的有序实数对之间建立了对应关系,那么对应于符合某种条件的一切点,它的坐标是应该有制约的,也就是说它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束,所以探求符合某种条件的点的轨迹问题,就变为探求这些点的横坐标与纵坐标应满足怎样的约束条件的问题,含两个变量x、y的方程F(x,y)=0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束.2.在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系(1)和(2)缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的从集合的角度来看,设A是曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集,则由关系(1)可知A⊆B,由关系(2)可知BCA;同时具有这两个关系,就有A=B.3.从充要条件的角度理解,即“某点在曲线上”与“点的坐标满足曲线的方程”之间是互为充要条件的.知识点二圆系方程1.曲线系:同时具有某一特征的一组曲线叫做一个曲线系;它们的共同方程叫做这个曲线系的曲线系方程2.圆系方程:(1)过两已知圆交点的圆系方程:两相交圆C:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.则过其交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).(2)过直线与圆交点的圆系方程:直线Ax+By+C=0与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交,则过其交点的圆系方程为:x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0. 典型例题分析题型1曲线的方程与方程的曲线【例1】判断下列命题是否正确:①设点A(2,0)、B(0,2),则线段AB 的方程是x+y-2=0; ②到原点的距离等于5的动点的轨迹是y=x -25; ③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x 2-y 2=0. 解析根据曲线与方程的定义,逐条检验“两性”答案命题①中方程x+y-2=0表示一条直线,坐标满足该方程的点如(-1,3)等不在线段AB 上,故命题①错误;命题②中到原点距离等于5的动点的轨迹方程为x 2+y 2=52,方程y=x -25表示的曲线是圆x 2+y 2=25除去x 轴下半部分的曲线,故命题②错误命题③中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x,满足x 2-y 2=0,反过来坐标满足方程x 2-y=0的点到两坐标轴的距离相等,故命题③正确规律总结判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上【变式训练1】下列命题是否正确?若不正确,说明原因 (1)过点A(2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是|x|=2; (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x答案(1)错误,因为以方程|x|=2的解为坐标的点,不都在直线l 上,直线l 只是方程|x|=2所表示的图形的一部分(2) 错误,因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y=x 和y=-x,故y=x 不是所求的轨迹方程题型2曲线的交点【例2】求通过直线2x+y+4=0及圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,并且面积最小的圆的方程解析利用圆系公式可求出变圆的半径,参变量取适当值时可使变圆半径最小答案设圆的方程是(x 2+y 2+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0,即[x+(1+λ)2+(y+24-λ)=4161652+-λλ.设该圆半径为R,由圆面积公式S=πR 2,得R 2=4161652+-λλ取最小值的面积为最小.而R 2=45（λ-58）2+54,所以当λ=58时,圆面积最小.此时圆的方程是5x 2+5y 2+26x-12y+37=0.规律总结最值问题要先列出目标函数,再利用合适的方法求最值【变式训练2】已知直线x+y+b=0与曲线x 2-1+y=0有公共点,则b 的取值范围是 .答案联立两曲线方程,消去y 得x 2-x-(1+b)=0.由题意得△≥0,即1+4(1+b)≥0,解得b ≥-45规律方法总结1.判断方程是否是曲线方程,要从两方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上2.判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形,变形过程一定要注意与原方程的等价性,否则变形的方程表示的曲线就不是原方程的曲线,另外,变形的方法还有配方法、因式分解法等3.在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题, 而解决这类问题的解法称为代入法(或相关点法),而此法的关键是如何来表示出相关的点定时巩固检测基础训练1.如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C 上”是不正确的,那么下列命题中正确的是 ( ) A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C 上 B.曲线C 上的点的坐标不都满足方程f(x,y)=0C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C 上,有些不在曲线C 上D.至少有一个不在曲线C 上的点,其坐标满足f(x,y)=0 【答案】D(点拨:由简易逻辑推理可得)2.已知圆C 的方程f(x,y)=0,点A(x 0,y 0)在圆外,点B(x ´,y ´)在圆上,则f(x,y)-f(x 0,y 0)+f(x ´,y ´)=0表示的曲线是 ( ) A.就是圆C B.过A 点且与圆C 相交的圆 C.可能不是圆 D.过A 点与圆C 同心的圆【答案】D(点拨:由点B(x ´,y ´)在圆上, ∴f(x ´,y ´)=0,即方程为f(x,y)-f(x 0,y 0)=0, ∴方程过点A(x 0,y 0) 又f(x 0,y 0)为常数,∴f(x,y)-f(x 0,y 0)=0仍为圆的方程.)3.已知A(1,0),B(-1,0),动点M 满足|MA|-|MB|=2,则点M 的轨迹方程是 ( ) A.y=0(-1≤y ≤1) B.y=0(x ≥1) C.y=0(x ≤-1) D.y=0(|x|≥1) 【答案】C(点拨:由|MA|-|MB|=2可设M(x,y),则()()222211y x y x ++-+-=2整理得:y=0,又|MA|-|MB|>0,∴x ≤-1.)4.点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,则a= . 【答案】31(点拔:将点代入方程中即可.) 5.已知两定点A(-1,0),B(2,0),动点P 满足21=PB PA,则P 点的轨迹方程是 . 【答案】x 2+4x+y 2=0(点披：将|PA|与|PB|用距离公式表示出整理即可,)6.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l ,交x 轴于A 点,2l 交y 轴于B 点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】如下图,设M 点的坐标为(x ，y),则A(2x,0),B(0,2y)∵1l ⊥2l ,2l P(2,4),∴PA ⊥PB,k PA ·k PB =-1,而k PA =x x -=-12224(x ≠1),k PB =2042--y =2-y, ∴x-12·(2-y)=-1,整理得x+2y-5=0(x ≠1). ∵当x=1时,A(2.0),B(0,4∴AB 的中点M(1，2)也满足方程x+2y-5=0,综上所述,点M 的轨迹方程为x+2y-5=07.线段AB 的长度为10.它的两个端点分别在x 轴,y 轴上滑动，则AB 的中点P 的轨迹是什么? 【答案】解法一：由题意可知AB 的中点P 恒满足到原点(0,0）的题离为5,所以点P 的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆.解法二:设P 点的坐标为(x,y),由中点坐标公式知A(2x ，0),B(0,2y),因为|AB|=10,所以2244y x +=10,即x 2+y 2=25,所以点P 的轨为以原点为圆心,以5为半径的圆能力提升8.如图所示的曲线方程是（）A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.y x =0D.yx -1=0【答案】B(点拔:A 中y ≥0与图形不符,C 、D 中都不满足y= 0,而图形过原点,所以排除C 、D,只有B 符合题意.) 9.(1)方程(x+y-1)1-x =0表示什么曲线?(2)方程2x 2+y 2-4x+2y+3=0表示什么曲线? 【答案】(1)由方程(x+y-1)1-x =0可得⎩⎨⎧=-+≥-010,1y x x 或⎩⎨⎧=-≥-.01,01x x 即x+y-1=0(x ≥1)或x=1,表示直线x=1和射线x+y-1=0(x ≥1).(2)方程左边配方得2(x-1)2+(y+1)2=0,∵2(x-1)2≥0,(y+1)2≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,0)1(,0)1(222y x 得⎩⎨⎧-==,1,1y x∴方程表示的图形是点A(1,-1).10.求经过两圆C 1：x 2+y 2+6x-16=0,C 2:x 2+y 2-4x-5=0的交点,且过点(2,1)的圆的方程. 【答案】设圆的方为x 2+y 2+6x-16+λ（x 2+y 2-4x-5)=0又因为圆过点(2,1),代入方程得λ=81,所以所求圆的方程为x 2+y 2+6x-16+81(x 2+y 2-4x-5)=0.即9x 2+9y 2+44x-133=0.（点拨:过相交的两个圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0,C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0的交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(λ≠-1).11.设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为定值a(a>0),试求点P 的轨迹方程,并探求点P 的轨迹【答案】设动点P 的坐标是(x ，y),由PBPA =a(a>0)得2222)()(yc x y c x +-++=a,简得(1-a 2)x 2+2c(1+a 2)x+c 2(1-a 2)+(1-a 2)y 2=0.当a ≠1时,得x 2+221)1(2aa c -+x+c 2+y 2=0,整理得22211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c a a x +y 2=2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ac ；当a=1时，化简得x=0,所以当a ≠1时,P 点的轨迹是以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0,1122c a a 为圆心，122-a ac为半径的圆:当a=1时,P 点的轨迹是y 轴.。

人教版【高中数学】选修2-1第二章右曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质讲义

案例（二）精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一求曲线方程的步骤根据条件求曲线的方程的一般步骤可以简述为“建系、列式、变换、化简、证明”这五步这五步构成一个有机的整体,每一步都有其特点和重要性。

第一步,“建系”在具体问题中有两种情况①所研究的间题中已给定了坐标系.此时就在已给定的坐标系中求曲线的方程即可:②原题中没有确定坐标系,此时必须首先选取适当的坐标系,通常总选取特殊位置的点为原点,相互垂直的直线为坐标轴等;第二步,是求方程的重要一环,应仔细分析曲线的特征,注数)的动点P的轨迹方程意揭示隐含条件,抓住与曲线上任意点M有关的等量关系列出几何等式；第三步,在将几何条件转化为代数方程的过程中,常用到一些基本公式,如两点间距离公式,点到直线的距离公式,直线的斜率公式等；第四步,在化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量避免“失解”和“增解”;第五步,是证明,从理论上讲是必要的,但在实际处理上常被省略掉,这在多数情况下是没有问题的,如遇特殊情况,可适当予以说明。

知识点二求动点的轨迹求动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系,即动点坐标x,y所适合的等式f(x,y)=0,因此要分析形成轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式,建立等式,一般方法有：（1）直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确，,易于表达成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称为直接法，用直接法求动点轨迹的方程一般有:设点、列式代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略。

（2）定义法:运用解析几何中常用定义(例如圆锥曲线的定义),可以从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程（3）代入法:动点所满足的条件不易表达或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)都随另一动点Q(x´,y´)的运动而有规律地运当动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x,y表示成x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。

选修2-1第二章2.1.1曲线与方程(新授课课件)

思考2 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？答不能，还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是不是都在曲线上.
. 例1、判断下列结论的正误并说明理由
(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的 √ 方程为x=3;
(2)到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 X
4、方程x( x2 y2 1) 0和x2 ( x2 y2 1)2 0 所表示的图形是（）
前者是一条直线和一个圆，后者是两点
5、若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a) (a∈R)，求k的取值范围. 解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)， ∴a2＋a2＋2a＋k＝0. ∴k＝－2a2－2a＝－2a＋122＋12. ∴k≤12，∴k 的取值范围是－∞，12.
证明 ①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点. 因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解.
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k. 而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点. 由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数 k(k>0)的点的轨迹方程.
练习：
1、下图表示的曲线c的方程是所列出的方程吗？若不是，是不符合哪个条件？来自1) y xy
2) y 1 x
y
3) y 1 x2
y
1
1
1
01 x
01 x
01x
√
X
X

新课预习讲义选修2-1第二章曲线与方程(1)(教师版)

新课预习讲义选修2－1：第二章圆锥曲线与方程（一）§2.1.1曲线与方程●学习目标1.结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系．2.了解数与形结合的基本思想.●学习重点：理解曲线的方程和方程的曲线的概念．●学习难点：曲线和方程通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系．一、自学导航●知识回顾：复习1：画出函数2=(12)2y x-≤≤的图象．x复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．●预习教材：第34页——第35页的内容。

●自主梳理：曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是；(2)以这个方程的解为坐标的点都是，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．●预习检测：1．方程1－|x|＝1－y表示的曲线是()A．两条线段B．两条直线C．两条射线D．一条射线和一条线段解析：此类问题要充分考虑题目的条件．由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0.∴有y＝|x|，|x|≤1.∴曲线表示两条线段，故选A.答案： A2．如图所示，图形的方程与图中标注的方程对应正确的是()答案： D3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0y 2－4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝±2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝±2∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点答案： 4个点4．画方程|x |＋|y |＝1表示的曲线．解析： ①当x ≥0，y ≥0时，x ＋y ＝1.令x ＝0，y ＝1；令y ＝0，x ＝1.②用－x 代替x ，得|－x |＋|y |＝|x |＋|y |＝1，所以曲线关于y 轴对称．③用－y 代替y ，得|－y |＋|x |＝|y |＋|x |＝1，所以曲线关于x 轴对称．④用－x ，－y 分别代替x ，y ，得|－x |＋|－y |＝|x |＋|y |＝1，所以曲线关于原点对称．故曲线的图象如图所示. ●问题与困惑：二、互动探究●问题探究：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……；2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．●典例导析：题型一、应用曲线与方程的概念例1、如果曲线C 上的点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，那么( ) A ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线上B ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点，有些不在曲线C 上 C ．不在曲线C 上的点的坐标都不是方程f (x ，y )＝0的解D ．坐标不满足方程f (x ，y )＝0的点不在曲线C 上[题后感悟] 如何应用曲线与方程的定义解题？对于曲线C 和方程f (x ，y )＝0有如下两条：(1)曲线C 上任意点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解；(2)以方程f (x ，y )＝0的所有解为坐标对应的点都在曲线C 上，同时成立时才能称为曲线的方程、方程的曲线．而且此时，曲线C 以外的点的坐标，一定不满足方程f (x ，y )＝0，不满足方程f (x ，y )＝0的坐标对应的点一定不在曲线C 上．变式训练：已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．解析： (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上． (2)∵点M ⎝⎛⎭⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m2，y ＝－m 适合上述方程，即⎝⎛⎭⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解之得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185.题型二、曲线与方程关系的应用例2、(1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？(2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？[思路点拨]判断方程表示什么曲线问题，若给出的方程不易看出是什么曲线时，可对原方程变形．[解题过程] (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x ＋y －1＝0或⎩⎨⎧x －1≥0x －1＝0. 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，故方程表示直线x ＝1或射线x ＋y －1＝0(x ≥1)． (2)方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0， ∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)2＝0(y ＋1)2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1. ∴方程表示的图形是坐标为(1，－1)的点．[题后感悟] 判断方程表示什么曲线，必要时可对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．变式训练：方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )答案： B题型三、曲线方程的应用例3、若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，a ∈R ，求k 的取值范围． [思路点拨][规范作答] ∵曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 过点(a ，－a )， ∴a 2＝－a 2＋2a ＋k . ∴k ＝2a 2－2a ＝2⎝⎛⎭⎫a －122－12， ∴k ≥－12. ∴k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞.[题后感悟] (1)点在曲线上，点的坐标就是曲线方程的解，满足方程，代入后，对参数讨论求解．(2)还要注意所给曲线方程中两个变量的范围以防所求参数不正确．变式训练：曲线4)1(22=-+y x 与直线y ＝k (x －2)＋4有两个不同的交点，求k 的范围．若有一个交点呢？无交点呢？解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)＋4x 2＋(y －1)2＝4，得(1＋k 2)x 2＋2k (3－2k )x ＋(3－2k )2－4＝0， Δ＝4k 2(3－2k )2－4(1＋k 2)[(3－2k )2－4]＝48k －20. ∴Δ>0，即k >512时，直线与曲线有两个不同的交点；Δ＝0时，即k ＝512时，直线与曲线有一个交点；Δ<0时，即k <512时，直线与曲线没有交点．[疑难解读]如何理解曲线的方程、方程的曲线的概念？ (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解(纯粹性)； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点(完备性)． [拓展] 从集合的角度来理解曲线与方程的概念设以曲线C 上任意点的坐标为元素组成的集合为A ，以方程f (x ，y )＝0的解为元素组成的集合为B ，则集合A 的任一元素都是集合B 中的元素，即A ⊆B ；而集合B 的任一元素也都是集合A 中的元素，即B ⊆A .由A ⊆B 且B ⊆A 得A ＝B ，此等式说明代数问题与几何问题通过坐标形成了完美、和谐的统一．[误区警示]◎过点M (1,2)的直线与曲线y ＝ax 有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求实数a 的取值范围．【错解】设过点M (1,2)的直线方程为y －2＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝a x消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0. 则由已知Δ＝(2－k )2＋4ka >0.(*)设直线与曲线y ＝ax 的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则y 1＋y 2＝2－k ，又y 1＋y 2＝a . ∴a ＝2－k ，即k ＝2－a ，代入(*)得a 2＋4a (2－a )>0. 解得0<a <83.即所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，83.【错因】没讨论k 的存在性及k 是否为零的情况．设直线的斜率时，要考虑k 是否存在；存在时要考虑是否为零的情况．【正解】 (1)当过点M (1,2)的直线斜率k 不存在或k ＝0时，直线l 与曲线y ＝ax 都只有一个交点．(2)当k ≠0时，设过点M (1,2)的直线l 方程为y －2＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)y ＝a x消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0. 依题意应有Δ＝(2－k )2＋4ka >0.(*)设直线与曲线y ＝ax 的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则y 1＋y 2＝2－k ，而已知y 1＋y 2＝a . ∴2－k ＝a ，即k ＝2－a 代入(*)式得 a 2＋4a (2－a )>0.即3a 2－8a <0，解得0<a <83.∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2. ∴所求a 的取值范围是(0,2)∪⎝⎛⎭⎫2，83.三、巩固拓展●必做：教材第37页，习题2.1 A 组第1、2题 ●补充作业：一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫15，15 C ．(1,5)D ．(4,4)解析：代入每个点逐一验证，D 正确．答案： D2．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在C 上 C ．不在C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 答案： C3．方程(3x －4y －12)[log 2(x ＋2y )－3]＝0的图象经过点A (0，－3)，B (0,4)，C (4,0)，D ⎝⎛⎭⎫53，－74中的( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由方程x ＋2y >0，可知A ，D 两点不符合题意；对于点B (0,4)，x ＋2y ＝8＝23，则有log 2(x ＋2y )－3＝0；对于点C (4,0)，3x －4y －12＝0.故选C.答案： C4．方程y ＝|x |x2表示的曲线为图中的( )解析： y ＝|x |x 2，x ≠0，为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B.又因为当x >0时，y ＝1x >0；当x <0时，y ＝－1x >0，所以排除D.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知0≤α＜2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________．解析：由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12又因为0≤α＜2π，所以α＝π3或α＝53答案：π3或5π36．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R)的交点有______个．解析：利用数形结合的思想方法，如图所示：答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分) 7．判断下列命题是否正确．(1)过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为|y |＝3. (2)以坐标原点为圆心，半径为r 的圆的方程是y ＝r 2－x 2. (3)方程(x ＋y －1)·x 2＋y 2－4＝0表示的曲线是圆或直线．(4)点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)都在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．解析： (1)不对，过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为y ＝3，而不是|y |＝3. (2)不对．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2. 两边开平方取算术根，得x 20＋y 20＝r .即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r 的圆上的一点如点⎝⎛⎭⎫r 2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r 的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2. (3)不对．由(x ＋y －1)·x 2＋y 2－4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0或x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4≥0 所以表示的是圆和两条射线． (4)不对．把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，满足方程，且A 点的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点B (－32，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25， ∵(－32)2＋(－4)2＝34≠25，∴点B 不在方程所表示的曲线上．尽管C 点坐标满足方程，但 ∵横坐标5不满足小于或等于0的条件， ∴点C 不在曲线x 2＋y 2＝25(x ≤0)上．8．已知曲线C 的方程为x ＝9－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解析：由x ＝9－y 2，得x 2＋y 2＝9.又x ≥0，∴方程x ＝9－y 2表示的曲线是以原点为圆心，3为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·9＝92π.所以所求图形的面积为92π.9．已知方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)．求m ，n 的值．解析： ∵方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－1＋1)2＋n ＝1，(m ＋1)2＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝－1.∴m ＝－1，n ＝1为所求．。

人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程

2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。

高中数学新课标人教A版选修2-1：2.1《求曲线的方程》(第二课时)课件

离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
分析：在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
解：如图，取直线l为x轴, 过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy.
设点M(x,y)是曲线上任意一点，作
y
MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集
P=｛合M|｜MF｜－｜MB｜=2｝. F
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
O
M
B
x
x2 ( y 2)2 y 2,
①
将①式移项后两边平方，得
x 2 (y
2)2
(y
2)2,化简得 y Nhomakorabea1 x2.
8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程
例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰
在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为
直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出
一个方程吗？
南沙群岛风光视频
解析几何与坐标法我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
1.如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

新课预习讲义选修2－1：第二章圆锥曲线与方程（二）§2.1.2求曲线与方程●学习目标1.了解求曲线方程的步骤．2.会求简单曲线的方程.●学习重点：.利用坐标法根据曲线的性质求曲线的方程和已知曲线的方程讨论曲线的类型．●学习难点：1.利用不同的方法求曲线的方程及对坐标法的理解．2.求曲线方程的题目经常与向量、直线方程、方程思想结合在一起命题.一、自学导航●知识回顾：复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，及点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?●预习教材：第24页——第25页的内容。

●自主梳理：（简称：一建坐标二设点，三列方程四化简）二、求轨迹方程的一般方法：1. 直接法；2. 定义法；3.代入法；4. 参数法；5.交轨法（此外还有几何法等）●预习检测：1．已知A (1,0)，B (－1,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程是( )A ．y ＝0(－1≤x ≤1)B ．y ＝0(x ≥1)C ．y ＝0(x ≤－1)D ．y ＝0(|x |≥1)2．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝4(x >0)C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2(0<x <2)3.如图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且4=⋅MN OP ，则动点P 的轨迹方程为________．4．已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．●问题与困惑：二、互动探究●典例导析：题型一、直接法求曲线方程例1、已知B (－1,0)，C (2,0)是△ABC 的顶点，∠ACB ＝2∠ABC .求顶点A 的轨迹方程．[思路点拨][题后感悟] (1)本例用直接法求轨迹方程，即直接根据已知等量关系式列方程求解．(2)注意：列方程时，如果出现分母，要考虑可能为零的情况，如在本例中，分x ≠2和x ＝2两种情况讨论，并且据等量关系式和图象，又可判断x >1.这些隐含的约束条件不仅要挖掘出来，还要在求出的方程中标示出来．变式训练： 1．如图，已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且⋅=⋅，求动点P 的轨迹方程．l －1 O • F y x题型二、定义法求曲线的方程例2、已知Rt △ABC ，|AB |＝2a (a ＞0)，求直角顶点C 的轨迹方程．[思路点拨][题后感悟] (1)求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．(2)如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征．变式训练：2.过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．题型三、代入法求曲线的方程例3、动点M 在曲线122=+y x 上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．[思路点拨][题后感悟] (1)代入法：像本例将所求点M 的坐标代入已知曲线方程求得动点M 的轨迹方程的方法叫代入法．(2)代入法求轨迹(曲线)方程的基本步骤为①设点：设所求轨迹上任意点M (x ，y )，设动点(已知轨迹的动点)P (x 0，y 0)．②求关系式：求出两个动点的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ). ③代入：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．(3)何时用代入法求轨迹方程？已知一个点（相关点）在已知曲线上运动，并带动另一个点M 运动，在求动点M 的方程时，往往用代入法．变式训练：3.已知点A 是抛物线y ＝x 2－4上的动点，过A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，试求线段AB 的中点M 的轨迹方程．题型四、参数法求曲线的方程例4、过点)0,4(-P 的直线l 与曲线42:22=+y x C 交于B A ,；求AB 中点Q 的轨迹方程变式训练： 4. 过点)1,3(-M 且被点M 平分的曲线1422=-y x 的弦所在直线方程[疑难解读]1．坐标法与解析几何的研究对象(1)坐标法：借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫做坐标法．(2)用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．[特别提醒]解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何问题的一门数学学科．解析几何开创了数、形结合的研究方法，使数学的发展进入了一个新阶段，解析几何成为进一步学习数学、物理和其他一些学科的基础．2．求曲线方程(轨迹方程)常见的方法（1）直接法；（2）定义法（待定系数法）；（3）代入法；（4）参数法；（5）交轨法；等3.建立适当的坐标系(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系；(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；(4)若已知一定点和一定直线，常以点到直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线的反向延长线为x 轴建立直角坐标系．[误区警示]◎等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个顶点是B(3,5)，求另一个顶点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？【错解】设另一顶点C的坐标为(x，y)，依题意，得|AC|＝|AB|，由两点间距离公式，得(x－4)2＋(y－2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，化简得C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10，C的轨迹是以A(4,2)为圆心，以10为半径的圆．【错因】造成以上错误的原因是没有认真考虑题目要求的几何条件实际上有两个：(1)A、B、C三点要组成一个三角形；(2)A、B、C三点组成的三角形是一个等腰三角形．错解过程中，只是根据条件(2)，由|AC|＝|AB|求出方程，所得方程保证满足条件(2)，而无法保证满足条件(1)，解题后没有进行检验，因此造成解题不严密．【正解】设另一顶点C的坐标为(x，y)，依题意，得|AC|＝|AB|，由两点间距离公式，得(x－4)2＋(y－2)2＝(4－3)2＋(2－5)2.化简，得(x－4)2＋(y－2)2＝10.因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线．即点B、C不能重合，且B、C不能为⊙A的一直径的两个端点．因为B、C不重合，所以点C的坐标不能为(3,5)，又因为点B、C不能为⊙A的一直径的两个端点．由x ＋32＝4，得x ＝5.点C 的坐标不能为(5，－1)．故点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5和⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5y ＝－1除外点C 的轨迹是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，除去点(3,5)，(5，－1)．三、巩固拓展●必做：教材第37页，习题2.1 A 组第3、4题；B 组1、2题●补充作业：一、选择题(每小题5分，共20分)1．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)2．已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|M N →|·|M P →|＋M N →·N P →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x 3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π4．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·M B →＝0，则动点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2) 二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．6．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．三、解答题(每小题10分，共30分)7．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若B P →＝2P A →，且O Q →·A B →＝1.求P 点的轨迹方程．8．过点P1(1,5)作一条直线交x轴于点A，过点P2(2,7)作直线P1A的垂线，交y轴于点B，点M在线段AB 上，且BM∶MA＝1∶2，求动点M的轨迹方程．9．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)。