运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的圆周运动

运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的圆周运动
将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。

中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）
概念的全面类比
为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关
概念之间关系。

具体对应如下：
等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力重力、电场力的合力
等效重力加速度等效重力与物体质量的比值
等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置
等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置
等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
二、题型归类
（1）单摆类问题（振动的对称性）
例1、如图2-1所示，一条长为L 的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为α。

求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？
运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动，
对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。

等效分析：对小球在B 点时所受恒力力分析（如图2-2），将重力与电场力等效为一个恒力，将 其称为等效重力可得：α
cos mg g m ='，小球就做只受“重力”mg ′与绳拉力运动，可等效为单摆运动。

规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对
应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当悬线与竖直线的夹角满足αβ2=，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。

（2）类平抛运动
例1：水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m 的微粒由板中间以某一初速平行于板
g
'
图2-3 图2-1
的方向进入，若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒带正电，电量为q ，仍以相同的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多
少？并说明上下板间带电性？
解：当微粒不带电时，只受重力做平抛运动d/4=1/2gt 2，带电后，应根据极板电性不同分两
种情况讨论
（1）若上极板带正电，下极板带负电（如图a ）
微粒水平方向仍作匀速直线运动时间为t ，竖直方向受
重力和电场力均向下，竖直位移s=1/2(g+qU/md) t 2 ，要使
微粒不再射出电场，则s>d/2,解得U>mgd/q.
（2）若上极板带负电，下极板带正电（如图b ）
分析方法上同，只是此时电场力向上，竖直位移
s=1/2(qU/md-g) t 2，要使微粒不再射出电场，则s>d/2,
解得U>3mgd/q.由于微粒不带电时能射出电场，故当重
力大于电场力时，微粒一定能射出，满足条件。

（3）竖直平面内的圆周运动
例1、如图3-1所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为
R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。

整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。

现有一质量为m 的带正电，电量为E
mg q 33=
小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？
运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、
电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道。

对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过
山车。

等效分析：如图3-2所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力g m '，
大小3
32)()(22mg mg qE g m =+='
，33==mg qE tg θ，得︒=30θ，于是重效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型。

规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供
向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道。

如果将斜面顺时针转过300，就成了如图
3-3所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B ，则B 点应满足“重
力”当好提供向心力即：R
mv g m B 2=' 假设以最小初速度v 0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根
图3-1 E ' + (a) + (b)
据动能定理：20221212mv mv R g m B -=
'- 解得：3
3100gR v = “最低点”类问题
如图1-1所示，ab 是半径为R 的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，匀强电场与圆周在同一平面内。

现在该平面内，将一带正电的粒子从a 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c 点时粒子的动能最大。

已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：（1）电场方向与ac 间的夹角θ。

（2）若小球在a 点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰好能落在c 点，那么初动能为多大？
运动特点：小球只受恒定电场力作用下的运动
对应联想：重力场中存在的类似的问题，如图1-2所示，在竖直平面内，从圆周的d 点以相同
的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，
可知到达圆周最低点e 时小球的动能最大，且“最低点”e 的特点：重力方向上过圆
心的直径上的点。

等效分析：重力场的问题中，存在一个“最低点”对应的速度最大。

同理恒定电场中也是对应
的“最低点”时速度最大，且“最低点”就是c 点。

规律应用：电场力方向即为如图1-3所示过圆心作一条过c 点的直径方向，由于粒子带正电，
电场方向应为斜向上，可得θ=30°。

解析：（1）对这道例题不少同学感到无从下手，其实在重力场中有一个我们非常熟悉的事实：如图
1所示，在竖直平面内，从圆周的a 点以相同的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达圆周最低点d 时小球的动能最大，最低点是过圆心的竖直直径的一点，根据这一事实，我们将电场等效为重力场，那么小球也应该是在“最低点”时速度最大，所以过圆心作一条过c 点的直径，这就是电场的方向，如图2所示，所以θ=30°。

图1 图2
（2）小球做类似平抛运动，由平抛运动知识可知 x v t y at EQt m
===022
122，， 而 x R y x ==cos /tan θθ，，
c 图
1-1 图1-2
图1-3
1 2
1
8
2。

解得E mv REQ
k
==。