带电粒子在圆形边界匀强磁场中的圆周运动例析
专题：圆形磁场问题
O1
例题(多选)如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀
强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆 心O射入这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的
时间有的较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子
（
CD ）
B v O s1 θ1 R1 s2
A．射入时的速度一定较大 B．在该磁场中运动的路程一定较长 C．在该磁场中偏转的角度一定较大 D．从该磁场中飞出的速度一定较小
2 2
2
当速度变为2V的带电粒子，不具备“磁会聚”的 条件，因此不会都通过O点。但此题可采用极端分析 法，带电微粒在磁场中经过一段半径为r’=2R的圆 弧运动后，将在y轴的右方(x>0)的区域离开磁场并做 匀速直线运动，如图所示。靠近上端点发射出来的带 电微粒在突出磁场后会射向x同正方向的无穷远处； 靠近下端点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿 出磁场。所以，这束带电微粒与x同相交的区域范围 是x>0. y
θ2
R2
结论3：运动速度v相同,方向不同，弧长越长对应 时间越长。(直径对应的弧最长)
例题：如图，半径为 r=3×10－2m的圆形区域内有一匀强磁 场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入 磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力。若要使
粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应 如何（以v0与oa的夹角表示）？最大偏转角多大？ 解析：R=mv/Bq=5×102m>r 说明：半径确定时，通过的弧越 长，偏转角度越大。而弧小于半 个圆周时，弦越长则弧越长。 sin = r/R = 37º，
h 2vt 4 3mv / qE
2
圆形磁场多次碰撞问题
高中物理-“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析
“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。
重要的是正确建立完整的物理模型，画出准确、清晰的运动轨迹。
下面我们从基本问题出发对“带电粒子在磁场中的圆周运动”进行分类解析。
一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的基本型问题找圆心、画轨迹是解题的基础。
带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛仑兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。
【例1】图示在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁场的磁感应强度为B；一带正电的粒子以速度V0从O点射入磁场中，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L。
求①该粒子的电荷量和质量比；②粒子在磁场中的运动时间。
分析：①粒子受洛仑兹力后必将向下偏转，过O点作速度V0的垂线必过粒子运动轨迹的圆心O’；由于圆的对称性知粒子经过点P时的速度方向与x轴正方向的夹角必为θ，故点P作速度的垂线与点O处速度垂线的交点即为圆心O’（也可以用垂径定理作弦OP的垂直平分线与点O处速度的垂线的交点也为圆心）。
由图可知粒子圆周运动的半径由有。
再由洛仑兹力作向心力得出粒子在磁场中的运动半径为故有，解之。
②由图知粒子在磁场中转过的圆心角为，故粒子在磁场中的运动时间为。
【例2】如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。
（粒子重力不计）分析：粒子在二磁场中的运动半径分别为，由粒子在磁场中所受的洛仑兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如图所示。
带电粒子在圆形有界磁场中运动总结
带电粒子在圆形有界磁场中运动的总结结论一、沿径向射入必沿径向射出【例1】如图1所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角。
现将带电粒子的速度变为v /3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为()A. 12Δt B. 2Δt C. 13Δt D. 3Δt 解析：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qvB ＝m v 2r故粒子第一次通过磁场区时的半径为r ＝mv qB圆弧AC 所对应的圆心角∠AO 'C ＝60°，粒子经过的 Δt ＝60°360°T T 为粒子在匀强磁场中运动的周期，大小为T ＝2em qB，与粒子速度大小无关。
当粒子速度减小为v 3后，根据r ＝mv qB 知其在磁场中的轨道半径变为r 3，粒子将从D 点射出，根据图2中几何关系得圆弧AD 所对应的圆心角∠AC 'D ＝120°，经历的时间为Δt ＝60°360°T ＝2Δt由此可知选项B正确。
答案：B结论二、电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的轨道半径与圆形磁场区域半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点的切线射出磁场；相反，若带电粒子以相互平行的速度射入磁场时，这些带电粒子在磁场中做圆周运动后，将会聚于磁场区域圆周上一点，该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行。
【例2】如图3所示，在xOy坐标系中，以(r，O)为圆心、r为半径的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。
在y＞r的足够大的区域内，存在沿Y轴负方向的匀强电场，场强大小为E．从O点以相同速率向不同方向发射质子，质子的运动轨迹均在纸面内，且质子在磁场中运动的轨迹半径也为r。
例析带电粒子在匀强磁场中的临界问题
ʏ重庆市第四十九中学 廖华英带电粒子在匀强磁场中做圆周运动,当题目中出现 恰好 最大 最小 至少 等词语时,往往意味着存在临界现象㊂求解带电粒子在匀强磁场中的临界问题,首要任务是借助轨迹圆半径R 和速度v (或磁感应强度B )之间的约束关系进行动态分析,确定粒子运动轨迹和磁场边界(或磁感应强度B )的关系,找出临界状态㊂下面以两类常见临界问题为例,阐述解题策略,供同学们参考㊂类型一:求解磁场约束条件的临界问题这类问题主要解决的是欲使带电粒子完成规定要求的磁约束,需要满足的磁感应强度的最值或磁场区域的最小面积等问题㊂图1例1 如图1所示,坐标系O x y 所在空间区域内分布着垂直于纸面向内的匀强磁场,在原点O 处有一放射源,它可以在纸面内向四周均匀地发射质量为m ,带电荷量为+q ,速率均为v 0的粒子㊂厚度不计的竖直挡板MN 放置在原点O 左侧,挡板与x 轴的交点为O ',在纸面内挡板两端点M ㊁N 与原点O 恰好构成等边三角形㊂已知挡板两端点M ㊁N 间的距离为L ,不计粒子自身重力及粒子间的相互作用㊂(1)要使所有粒子都不能打到挡板上,求磁感应强度的最小值㊂(2)要使有粒子打到挡板的左侧,求磁感应强度的最大值㊂解析:因为әO MN 为边长为L 的正三角形,所以O ㊁O '两点间的距离L O O '=L c o s 30ʎ=3L2㊂设磁感应强度为B ,粒子的轨迹圆半径为r ,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0B =m v 20r ,解得r =m v 0q B ㊂因为放射源发射的粒子的质量均为m ,带电荷量均为+q ,速率均为v 0,所以所有粒子的轨迹圆半径r 只与磁感应强度B 有关,且磁感应强度B越大,轨迹圆半径r 越小㊂图2(1)要使所有粒子都不能打到挡板上,则需从放射源沿y 轴正方向射出的粒子的轨迹圆在挡板所在位置右侧㊂画出粒子在磁场中的运动轨迹的动态圆,如图2所示,其中与挡板相切于O '点的轨迹圆的半径最大㊂根据几何知识可知,最大轨迹圆半径r m a x =12L O O '=3L4,最小磁感应强度B m i n =43m v 03qL ㊂(2)要使有粒子打到挡板的左侧,则需挡板的两端点M ㊁N 均位于从放射源沿y 轴正方向射出的粒子的轨迹圆内部㊂画出粒子在图3磁场中的运动轨迹的动态圆,如图3所示,其中经过M ㊁N 两点的轨迹圆的半径最小㊂因为最小轨迹圆的内接әO MN 为正三角形,所以最小轨迹圆半径r m i n =L 2c o s 30ʎ=3L 3,最大磁感应强度B m a x =3m v 0qL ㊂点评:本题考查带电粒子在匀强磁场中73解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月的受约束运动㊂因为所有粒子的入射速度大小相同,所以粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中的运动轨迹是一组放缩圆,在同一匀强磁场中的运动轨迹是一组半径相同的旋转圆㊂解答本题的关键是根据几何知识判断出粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中运动时的轨迹圆与约束条件的关系㊂图4例2 在平面直角坐标系O x y 中,曲线y =x220位于第一象限的部分如图4所示,第三象限内分布着方向竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度B =π10T ㊂在曲线上不同点以初速度v 0向x 轴负方向水平抛出质量为m ,带电荷量为+q 的小球,小球下落过程中都会通过坐标原点,之后进入第三象限恰好做匀速圆周运动,并在做匀速圆周运动的过程中都能打到y 轴的负半轴上㊂取重力加速度g =10m /s 2,q m=100C /k g ㊂求:(1)电场强度E 的大小㊂(2)小球的初速度v 0㊂(3)为了使所有的小球都能打到y 轴的负半轴,所加匀强磁场区域的最小面积㊂解析:(1)因为小球在第三象限内恰好做匀速圆周运动,所以在竖直方向上小球受力平衡,即m g =qE ,解得E =0.1N /C ㊂(2)设小球的抛出点坐标为(x ,y ),根据平抛运动规律得x =v 0t ,y =12g t 2,整理得y =g 2v 20x 2,又有y =x 220,则g 2v 20=120,解得v 0=10m /s ㊂(3)设小球进入第三象限时的速度为v ,与x 轴负半轴间的夹角为α,则v 0=v c o s α㊂根据洛伦兹力提供向心力得q v B =m v2r,解得r =m vq B ㊂根据几何知识可知,小球打在y 轴负半轴上的点与原点间的距离H =2r c o s α=2m v 0qB ,可见所有小球均从y 轴负半轴上同一点进入第四象限,因此所加最小磁场区域应为一半径R =m v 0qB 的半圆,其面积S m i n =πR 22,解得S m i n =0.5m 2㊂点评:本题中小球的重力不可忽略,但其重力与静电力是一对平衡力,小球在第三象限内的运动相当于仅受洛伦兹力的匀速圆周运动㊂若小球的抛出点不同,则进入磁场时的速度方向与大小都将不同㊂解答本题的关键是通过分析得出所有的小球都是从y 轴负半轴上同一点离开磁场区域的,这样才能顺利找到所加最小磁场区域的边界㊂类型二:求解带电粒子初始运动条件的临界问题这类问题主要解决带电粒子以怎样的运动条件进入限定的有界磁场区域,使带电粒子在有限的空间内发生磁偏转,从规定的位置射出磁场区域㊂一般是求带电粒子的初速度的大小范围或运动时间的极值等㊂图5例3 如图5所示,长度为L 的水平两极板间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ,两极板间距也为L ㊂初始状态下,两极板不带电,质量为m ,带电荷量为-q 的粒子从两极板左侧中点处以水平速度v 垂直于磁感线射入磁场㊂不计粒子自身重力㊂欲使粒子打到极板上,求其初速度v 的大小范围㊂解析:根据左手定则可知,粒子进入磁场时所受洛伦兹力的方向向下,粒子将向下偏转㊂粒子最终恰好打到下极板右端点和左端点是两个临界状态,分别作出这两个临界状态下粒子的运动轨迹,如图6甲㊁乙所示㊂当粒子最终恰好打到下极板的右端点时,设粒子的运动轨迹半径为R 1,根据几何知识可知,在R t әO A B 中有R 21=R 1-L 22+L 2,解得R 1=5L4㊂根据洛伦兹力提供向心力得83 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月q v 1B =m v 21R 1,解得v 1=5q B L 4m ㊂当粒子最终恰好打到下极板的左端点时,设粒子的运动轨迹半径为R 2,根据几何知识得R 2=L 4㊂根据洛伦兹力提供向心力得q v 2B =m v22R 2,解得v 2=q B L 4m ㊂因此欲使粒子打到极板上,其初速度v 的大小范围应为qB L 4mɤv ɤ5q B L 4m㊂图6点评:外界磁场区域范围的限定,使得带电粒子的初始运动条件有了相应的限制㊂求解本题的关键是要确定临界状态,找出临界状态下粒子运动轨迹的圆心,求出对应轨迹圆的半径㊂图7例4 如图7所示,矩形区域a b c d 内分布着磁感应强度为B ,方向垂直于纸面向里的匀强磁场,矩形区域的a d 边长为L ,a b 边足够长㊂现有一带电粒子从a d 边的中点O 以初速度v 0垂直于磁感线射入磁场区域,已知粒子的质量为m ,带电荷量为q ,初速度v 0与直线O d 间的夹角α=30ʎ,不计粒子自身重力㊂(1)若粒子能从a b 边射出磁场区域,求初速度v 0的大小范围㊂(2)求粒子在磁场中运动的最长时间,以及在这种情况下粒子从磁场中射出时所在位置的范围㊂解析:(1)画出粒子在磁场中的运动轨迹的动态圆,如图8所示㊂能够从a b边射出的图8粒子的两个临界运动轨迹是圆弧O C D和圆弧O E F ,其中圆弧O C D 与d c 边相切于C 点,与a b 边相交于D 点,圆心为O 1,对应粒子的最大轨迹圆半径;圆弧O E F 与a b 边相切与E 点,与a d 边相交于F 点,圆心为O 2,对应粒子的最小轨迹圆半径㊂当粒子在磁场中的运动轨迹为圆弧O C D 时,根据几何知识得轨迹圆半径r 1=L ,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0m a xB =m v 20m a x r 1,解得v 0m a x =q B L m ㊂当粒子在磁场中的运动轨迹为圆弧O E F 时,根据几何知识得轨迹圆半径r 2=L 3,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0m i n B =m v 20m i n r 2,解得v 0m i n =q B L 3m ㊂因此满足题意的初速度v 0的大小范围为q B L 3m <v 0ɤq B L m㊂(2)当粒子从a d 边射出时,粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角最大,运动时间最长㊂根据几何知识可知,当粒子从a d 边射出时,在磁场中的运动轨迹所对的圆心角均为300ʎ,粒子从a d 边射出时的位置在O ㊁F 两点之间㊂因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T =2πmqB ,所以粒子在磁场中的最长运动时间t m a x =56T =5πm3qB ,O ㊁F 两点之间的距离L O F =r 2=L3,即粒子射出磁场区域时的位置在a d 边上O 点上方0~L3范围内㊂点评:根据速率可变的带电粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切,可以确定粒子在磁场中的临界运动轨迹;根据速率与轨迹半径的关系,可以确定粒子初速度的大小范围;根据粒子在磁场中的运动时间与轨迹圆所对圆心角的关系,可以求解运动时间的极值㊂(责任编辑 张 巧)93解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月。
带电粒子在匀强磁场中的运动知识小结
带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）一．带电粒子在磁场中的运动（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即 ① 为静止状态。
② 则粒子做匀速直线运动。
（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。
（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．(4)运动时间： (Θ 用弧度作单位 )1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动．2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关．三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题)(一)边界举例:1、直线边界（进出磁场有对称性）规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等。
速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。
2、平行边界（往往有临界和极值问题）（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）3、矩形边界磁场区域为正方形，从a 点沿ab 方向垂直射入匀强磁场：若从c 点射出，则圆心在d 处若从d 点射出，则圆心在ad 连线中点处4.圆形边界（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。
）特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出一般情形：磁场圆心O 和运动轨迹圆心O ′都在入射点和出射点连线AB 的中垂线上。
或者说两圆心连线OO ′与两个交点的连线AB 垂直。
（二）求解步骤：（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、（4）作三角形．（5）据半径公式求半径，2．其特征方程为：F 洛＝F 向． 3．三个基本公式： (1)向心力公式：qvB ＝m v 2R ； (2)半径公式：R ＝mv qB ； (3)周期和频率公式：T ＝2πm qB ＝1f ； 222m t qB m qB T θππθπθ==⨯=⨯v L =t再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（6）求时间1、确定圆心的常用方法：(1)已知入射方向和出射方向(两点两方向)时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6甲所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(2)已知入射方向和出射点的位置时(两点一方向)，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6乙所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(3)两条弦的中垂线(三点)：如图3－6－7所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过O 、A 、B 三点时，其圆心O ′在OA 、OB 的中垂线的交点上．(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图3－6－8所示，过入射点A 做v 垂线AO ，延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交AO 于O 点，O 点即为圆心，求解临界问题常用到此法．(5)已知入射点，入射速度方向和半径大小2．求半径的常用方法 ：由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利用向心力公式求半径；二是：利用平面几何知识求半径。
带电粒子在匀强磁场中的运动形式解析
•带电粒子在匀强磁场中的运动形式:•电偏转与磁偏转的对比:关于角度的两个结论:(1)粒子速度的偏向角φ等于圆心角α，并等于AB弦与切线的弦切角θ的2倍(如图所示)，即。
(2)相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ'互补，即有界磁场中的对称及临界问题:(1)直线边界粒子进出磁场时的速度关于磁场边界对称．如图所示。
(2)圆形边界①沿半径方向射入磁场，必沿半径方向射出磁场。
②射入磁场的速度方向与所在半径间夹角等于射出磁场的速度方向与所在半径间的夹角。
(3)平行边界存在着临界条件：(4)相交直边界•带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动: •确定轨迹圆心位置的方法：带电粒子在磁场中做圆周运动时间和转过圆心角的求解方法：带电粒子在有界磁场中的临界与极值问题的解法：当某种物理现象变化为另一种物理现象，或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折态通常称为临界状态，涉及临界状态的物理问题叫做临界问题，产生临界状态的条件叫做临界条件，临界问题能有效地考查学生多方面的能力，在高考题中屡见不鲜。
认真分析系统所经历的物理过程，找出与临界状态相对应的临界条件，是解答这类题目的关键，寻找临界条件，方法之一是从最大静摩擦力、极限频率、临界角、临界温度等具有临界含义的物理量及相关规律人手：方法之二是以题目叙述中的一些特殊词语如“恰好”、“刚好”、“最大”、“最高”、“至少”为突破口，挖掘隐含条件，探求临界位置或状态。
如：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值。
(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越大，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场巾运动的时间越长。
(前提条件是弧是劣弧)(3)当速率v变化时，圆周角大的，运动时间越越长。
“动态圆”问题的解法：1．入射粒子不同具体地说当入射粒子的比荷不同时，粒子以相同的速度或以相同的动能沿相同的方向射人匀强磁场时，粒子在磁场中运动的周期必不相同；运动的轨迹半径，在以不同的速度入射时不相同，以相同动能入射时可能不同。
带电粒子在圆形匀强磁场中运动的一个重要结论的证明和应用
（ 号 ＋ １ ） （ 等）
半径 相 同 。 则 穿 过 磁 场 后 粒 子 的射 出 方 向 均 平 行 （ 反之 ， 平 行 人 射 的 粒 子 也 将 汇 聚于 边 缘 一 点 ） ．
证明 ： 如图 １ 所示 ， Ｏ 是 圆 形 匀 强磁场区域 的圆心 ， Ａ 是 磁 场 区 域
边缘上的一点 ， 从 Ａ 沿 任 意 方 向 射
出速 度 大 小 相 同 的粒 子 ， 粒 子 做 圆 周 运 动 的 轨 迹 半 径 与 磁 场 半 径 大 小 相 同． 设 当 速 度 沿 方 向 时 ， 粒
粒发射 装 置 ， 它 沿 轴 正 方 向
图３ —１
子 运 动 轨 迹 的 圆心 为 Ｏ ， 其 轨 迹 与 磁 场 边 缘 的 交 点 为 Ｂ； 当速度 沿 ７ Ｊ
屏光屏 ＭＮ 上 的 Ｑ点．
／ ；
、
。
０
动后 ， 将 在 ｙ轴 的 右 方 （ ｚ ＞０ ）
交 的 区域 又 在 哪 里 ？并 说 明 理 由 ．
解析 ： 本 题 考 查 带 电粒 子 在 复 合 场 中的 运 动 ． 带 电粒 子 平 行 于 ｚ 轴从 ｃ点 进 入 磁 场 ， 说 明带 电 微 粒 所 受 重 力 和 电场 力 平 衡 ． 设 电 场 强 度 大 小 为 Ｅ， 由ｍ ｇ—ｑ Ｅ ． 可 得
例 ２ （ ２ ０ ０ ９年 浙 江 理 综 ） 如图３ —１ 所示， ｚ轴 正 方 向 水
平 向右 ， Ｙ轴 正 方 向 竖 直 向上 ． 在ｘ Ｏ ｙ平 面 内 有 与 Ｙ轴 平 行 的
匀强 电场 ， 在 半径 为 Ｒ的 圆 内 还有与 ｘ Ｏ ｙ平 面 垂 直 的匀 强 磁 场． 在 圆 的 左 边 放 置 一 带 电 微
带电粒子在匀强磁场中的圆周运动分析
一、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动分析1.运动特点带电粒子以垂直于磁场方向进入磁场，其轨迹是一段圆弧．2．圆心的确定(1)基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心．(2)常用的两种方法①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8－2－5所示，图中P 为入射点，M 为出射点)．②已知入射点、入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8－2－6所示，P 为入射点，M 为出射点)．(3)带电粒子在不同边界磁场中的运动①直线边界(进出磁场具有对称性，如图8－2－7)②平行边界(存在临界条件，如图8－2－8) 图8－2－8图8－2－5 图8－2－6③圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图8－2－9)图8－2－93．半径的确定(1)做出带电粒子在磁场中运动的几何关系图．(2)运用几何知识(勾股定理、正余弦定理、三角函数)通过数学方法求出半径的大小．4．运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：t ＝α360°T (或t ＝α2πT )．例：扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆．其简化模型如图8－2－10所示：Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L ，磁场方向相反且垂直于纸面．一质量为m 、电量为－q 、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN 板处由静止释放，极板间电压为U ，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角θ＝30°.(1)当Ⅰ区宽度L 1＝L 、磁感应强度大小B 1＝B 0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30°，求B 0及粒子在Ⅰ区运动的时间t ；(2)若Ⅱ区宽度L 2＝L 1＝L 、磁感应强度大小B 2＝B 1＝B 0，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h ；(3)若L 2＝L 1＝L 、B 1＝B 0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B 2应满足的条件．【解析】 (1)如图甲所示，设粒子射入磁场Ⅰ区的速度为v ，在磁场Ⅰ区中做圆周运动的半径为R 1，由动能定理和牛顿第二定律得图甲qU ＝12mv 2① qvB 1＝m v 2R 1② B 1＝B 0由几何知识得L ＝2R 1 sin θ③联立①②③式，代入数据得B 0＝1L 2mU q④ 设粒子在磁场Ⅰ区中做圆周运动的周期为T ，运动的时间为tT ＝2πR 1v⑤ t ＝2θ360°T ⑥ 联立②④⑤⑥式，代入数据得t ＝πL 3m 2qU.⑦ (2)设粒子在磁场Ⅱ区做圆周运动的半径为R 2，由牛顿第二定律得qvB 2＝m v 2R 2⑧ 由几何知识可得h ＝(R 1＋R 2)(1－cos θ)＋L tan θ⑨ 联立②③⑧⑨式，代入数据得h ＝(2－233)L .⑩ (3)如图乙所示，为使粒子能再次回到Ⅰ区，应满足R 2(1＋sin θ)<L [或R 2(1＋sin θ)≤L ]⑪图乙联立①⑧⑪式，代入数据得B 2>3L mU 2q (或B 2≥3L mU 2q )．⑫ 【答案】 (1)1L 2mU q πL 3 m 2qU (2)⎝⎛⎭⎫2－233L (3)B 2>3LmU 2q ⎝⎛⎭⎫或B 2≥3L mU 2q●拓展带电粒子的质量m ＝1.7×10－27 kg ，电荷量q ＝1.6×10－19 C ，以速度v ＝3.2×106 m/s 沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B ＝0.17 T ，磁场的宽度l ＝10 cm ，如图8－2－11所示．(1)求带电粒子离开磁场时的速度和偏转角；(2)求带电粒子在磁场中运动的时间以及出磁场时偏离入射方向的距离．【解析】 粒子所受的洛伦兹力F ＝qvB ＝8.7×10－14 N ，远大于粒子所受的重力G ＝1.7×10－26 N ，因此重力可忽略不计．(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度仍为3.2×106 m/s. 由qvB ＝m v 2r得轨道半径 r ＝mv qB ＝1.7×10－27×3.2×1061.6×10－19×0.17 m ＝0.2 m 由图可知偏转角θ满足sin θ＝l r ＝0.10.2＝0.5，故θ＝30°. (2)带电粒子在磁场中运动的周期T ＝2πm qB， 可见带电粒子在磁场中运动的时间t ＝(30°360°)T ＝112T t ＝πm 6qB ＝3.14×1.7×10－276×1.6×10－19×0.17 s ＝3.3×10－8 s 离开磁场时偏离入射方向的距离d ＝r (1－cos θ)＝0.2×(1－32) m ＝2.7×10－2 m. 【答案】 (1)3.2×106 m/s 30° (2)3.3×10－8 s 2.7×10－2 m。
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带电粒子在圆形边界匀强磁场中的圆周运动例析
（浙江永康二中 吕未寒 321300）
带电粒子以一定速度垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力充当向心力，粒子将做匀速圆周运动。
解决带电粒子在圆形匀强磁场中的偏转解题基本思路：（四项基本原则）
●画轨迹——根据初速度和受力方向画 ●定圆心——根据两条直径相交在圆心定
●找关系——找力学关系、线度关系、角度关系
●求变量——求半径或长度、周期或时间、其它物理量
解题时画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
偏转角度θ可由R
r
=2
tan θ求出，经历时间由qB
m t θ=得出。
注意：带电粒子运动具有对称性，射出线的反向
延长线必过磁场圆的圆心。
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的三个基本公式：
①洛伦兹力提供向心力 r
m v qvB 2
=
②轨迹半径 ,qB
m v r =
③周期 qB
m T π2= （T 与r ，v 无关）
一、 临界值问题
例题1.如图所示，两个同心圆,半径分别为r 和2r ,在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 。
圆心O 放射源,放出粒子的质量为m ,带电量为q ,假设粒子速度方向都和纸面平行。
（1）图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 则初速度的大小是多少？
（2）要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少? 解：（1）如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得
331r R =
（2分） 由1
2
11R v m B qv =（2分）
得m
Bqr
v 331=
（2分） （2）设粒子在磁场中的轨道半径为R 2，
则由几何关系 22
222)2(r R R r +=- (1分)
得r R 4
3
2=
（1分） 由 2
22
2R v m B qv = (2分)
得m
Bqr
v 432=
(1分) 例题2.甲图为质谱仪的原理图．带正电粒子从静止开始经过电势差为U 的电场加速后，从G 点垂直于MN 进入偏转磁场．该偏转磁场是一个以直线MN 为上边界、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B ，带电粒子经偏转磁场后，最终到达照相底片上的H 点．测得G 、H 间的距离为 d ，粒子的重力可忽略不计．
（1）设粒子的电荷量为q ，质量为m ，试证明该粒子的比荷为：22
8q U m B d =；
（2）若偏转磁场的区域为圆形，且与MN 相切于G 点，如图乙所示，其它条件不变。
要保证上述粒子从G 点垂直于MN 进
入偏转磁场后不能．．打到MN 边界上（MN 足够长），求磁场区域的半径应满足的条件。
解：（1）粒子经过电场加速，进入偏转磁场时速度为v 有
221mv qU =
① （1分）
进入磁场后做圆周运动，轨道半径为r
r
v m qvB 2
= ② （2分）
打到H 点有 2d
r =
③ （1分） 由①②③得
228d B U m q = （2）要保证所有粒子都不能打到MN 边界上，粒子在磁场中运动偏角小于90°，临界状态为90°，如图所示，磁场区半径
乙
N
M
G
2
d
r R =
= （2分） 所以磁场区域半径满足2
d
R ≤ （2分）
二、重复性问题
例题3．如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a 、b 、c 和d ，外筒的外半径为r ，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的
大小为B 。
在两极间加上电压，使两圆筒之间的区
域内有沿半径向外的电场。
一质量为ｍ、带电量为
＋q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的S 点出发，
初速为零。
如果该粒子经过一段时间的运动之后恰
好又回到出发点S ，则两电极之间的电压U 应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）
解析：如图所示，带电粒子从S 点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a 而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。
粒子再回到S 点的条件是能沿径向穿过狭缝d .只要穿过了d ，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d 重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c 、b ，再回到S 点。
设粒子进入磁场区的速度大小为v ，根据动能定
理，有 22
1mv qU =
设粒子做匀速圆周运动的半径为R ，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有
R
v m
qvB 2=
由前面分析可知，要回到S 点，粒子从a 到d 必经过
43圆周，所以半径R 必定等于筒的外半径r ，即R=r 。
由以上各式解得m
qr B U 222=。
例题4．如图所示，一个质量为m 、电量为q 的正离子，从A 点正对着圆心O 以速度v 射入半径为R 的绝缘圆筒中。
圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场。
要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A 点射出，设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。
求：（1）磁感应强度的大小B 为多大？ （2）正离子在磁场中运动的时间t . 解析：（1）设粒子与圆筒内壁碰撞n 次（2≥n ）
a
c
r
v m B q 2
v =（力学关系）
则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为2π/（n+1）（角度关系）
1tan +=n R r π
（线度关系）
得：1
tan
+=
n qR mv B π
（2）根据周期公式 qB
m
T π2=
粒子每碰撞一次运动时间 T t π
θ20= 几何关系得 1
2+-
=n π
πθ 粒子在磁场中运动时间 0)1(t n t += 得qB
m
n m t ππ)1(2+-=
点评：临界值问题中由于粒子运动轨迹半径与粒子运动速度为正比关系，带电粒子不能穿出磁场的临界条件是其运动轨迹圆与磁场边界圆相切。
对于解决这类问题关键在于运动图景的描绘，利用几何法求解极值。
重复性问题中由于粒子受到电场作用或者碰撞作用，使粒子速度方向，导致粒子运动偏转方向改变。
只要抓住带电粒子运动的对称性，其射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。
遵循解题四原则：画轨迹，定圆心，找关系（力学关系、线度关系、角度关系），求变量，即可求解。