不定积分的基本公式与运算法
不定积分计算公式
不定积分计算公式不定积分是微积分中的重要内容之一，它是对函数的积分运算，是求导的逆运算。
在数学中，不定积分可以帮助我们求解各种函数的原函数，用符号∫来表示，被积函数称为被积表达式，积分变量叫做积分变量。
本文将介绍不定积分的计算方法和常用公式，并通过具体的例子进行说明。
一、基本公式1. 常数的不定积分当被积表达式为常数c时，不定积分为cx，其中x为积分变量，c为常数。
2. 幂函数的不定积分(a) 单项式的不定积分对于单项式x^n来说，其中n是非零整数，不定积分为(x^(n+1))/(n+1)+C，其中C为常数。
例如，∫x^3dx=(x^(3+1))/(3+1)+C=(x^4)/4+C。
(b) 反函数的不定积分当被积表达式为反函数1/x时，不定积分为ln|x|+C，其中C 为常数。
例如，∫(1/x)dx=ln|x|+C。
(c) 一般幂函数的不定积分对于一般的幂函数x^m来说，其中m不等于-1，不定积分为(x^(m+1))/(m+1)+C，其中C为常数。
例如，∫x^(-3)dx=(x^(-3+1))/(-3+1)+C=(x^(-2))/(-2)+C=-1/(2x^2)+C。
3. 指数函数的不定积分(a) e^x的不定积分为e^x+C，其中C为常数。
例如，∫e^xdx=e^x+C。
(b) a^x(lna)的不定积分为(a^x)/lna+C，其中C为常数，a不等于1。
例如，∫2^xdx=(2^x)/ln2+C。
4. 对数函数的不定积分lnx的不定积分为xlnx-x+C，其中C为常数。
例如，∫lnxdx=xlnx-x+C。
5. 三角函数的不定积分(a) sinx的不定积分为-cosx+C，其中C为常数。
例如，∫sinxdx=-cosx+C。
(b) cosx的不定积分为sinx+C，其中C为常数。
例如，∫cosxdx=sinx+C。
(c) tanx的不定积分为-ln|cosx|+C，其中C为常数。
例如，∫tanxdx=-ln|cosx|+C。
定积分和不定积分的计算方法总结
定积分和不定积分的计算方法总结一、不定积分的定义和基本性质不定积分是函数积分的一种形式，表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。
1.不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。
因此，∫f(x)dx = F(x) + C。
2.基本性质(1) 常数因子法则：若c是常数，则有∫cf(x)dx = c∫f(x)dx。
(2) 线性法则：若f(x)和g(x)都有原函数，则有∫(f(x) ±g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
(3) 逐项积分法则：若f(x)的原函数为F(x)，g(x)的原函数为G(x)，则有∫(f(x) ± g(x))dx = F(x) ± G(x)。
(4) 分部积分法则：若f(x)和g(x)都具有原函数，则有∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫(F(x)g'(x))dx，其中F(x)为f(x)的一个原函数，g'(x)为g(x)的导数。
二、定积分的定义和计算方法定积分是计算函数在一个有限区间上的面积的数值，表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间。
1.定积分的定义设f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]分为n个小区间，长度为Δx，选择每个小区间上一点ξi，记为Δx = (b-a)/n，ξi = a + iΔx (i = 0,1,2,...,n)。
定义Riemann和为S(f, Δx, ξ) = Σf(ξi)Δx =f(ξ1)Δx + f(ξ2)Δx + ... + f(ξn)Δx。
当n趋于无穷大时，Riemann和的极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为∫[a,b]f(x)dx。
2.计算方法(1)几何意义：定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上曲线与x轴之间的面积。
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
不定积分的求解方法和技巧
不定积分的求解方法和技巧不定积分是微积分中的一种重要概念，可以用来求解函数的原函数。
在求解不定积分时，有一些方法和技巧可以帮助我们简化计算和找到更好的求解路径。
接下来，我将介绍一些常见的不定积分求解方法和技巧。
一、基本不定积分公式：不定积分有许多基本公式，它们是我们在求解过程中常常会用到的工具。
下面是一些常见的不定积分公式：1. 恒等式：$\\int dx = x + C$2. 幂函数：$ \\int x^n dx = \\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C, (n \eq -1)$3. 对数函数：$\\int \\frac{1}{x} dx = \\ln|x| + C$4. 三角函数：$\\int \\sin(x) dx = -\\cos(x) + C, \\int \\cos(x) dx = \\sin(x) + C$5. 指数函数：$\\int e^x dx = e^x + C$这些基本不定积分公式可以大大简化我们计算的过程，在求解时可以灵活运用。
二、换元法：换元法是一种常用的求解不定积分的方法。
其基本思想是，通过适当选择变量替换，使积分表达式变得简单。
设有函数$y=f(u)$, 且$u=\\varphi (x)$ 是一个可导的单调函数，且$\\varphi'(x) ≠0$。
则可以计算积分$\\int f(\\varphi(x))\\varphi'(x) dx$。
换元法的具体步骤如下：1. 选择一个合适的变量替换 $u = \\varphi(x)$。
2. 计算变量替换的导数 $\\varphi'(x)$。
3. 将原函数中的$x$ 用$u$ 表示，并将$\\varphi'(x)$ 插入到积分中。
4. 做出了新的积分表达式，对 $u$ 进行不定积分。
5. 将 $u$ 再用 $x$ 替换，得到所求积分的结果。
换元法在求解一些特定形式的不定积分时特别有用，例如复合函数的形式。
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
·复习 1 原函数的定义。
2 不定积分的定义。
3 不定积分的性质。
4 不定积分的几何意义。
·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。
·讲授新课第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法一基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。
求函数的不定积分的方法叫积分法。
例1.求下列不定积分.（1）dx x⎰21（2）dx x x⎰解：（1）dx x ⎰21＝212121x x dx C C x-+-=+=-+-+⎰ （2）dx x x ⎰＝C x dx x +=⎰252352此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。
二 不定积分的基本运算法则法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±)()()]()([法则1对于有限多个函数的和也成立的．法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即dx x f k dx x kf ⎰⎰=)()( （0≠k ）例2 求3(21)x x e dx +-⎰解 3(21)x x e d x +-⎰=23x dx ⎰+dx ⎰-x e dx ⎰=412x x x e C +-+。
注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。
注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。
如上例由于41()2x x x e C '+-+=321xx e +-，所以结果是正确的。
4-2不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
·复习 1 原函数的定义.2 不定积分的定义。
3 不定积分的性质。
4 不定积分的几何意义.·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题,不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。
·讲授新课第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法一基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算,所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下:以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果,还要熟悉左端被积函数的的形式.求函数的不定积分的方法叫积分法。
例1。
求下列不定积分。
（1)dx x⎰21（2）dx x x⎰解：（1）dx x ⎰21＝212121x x dx C C x-+-=+=-+-+⎰ （2）dx x x ⎰＝C x dx x +=⎰252352此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。
二 不定积分的基本运算法则法则1 两个函数代数和的积分,等于各函数积分的代数和,即dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±)()()]()([法则1对于有限多个函数的和也成立的．法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即dx x f k dx x kf ⎰⎰=)()( （0≠k ）例2 求3(21)x x e dx +-⎰解 3(21)x x e dx +-⎰=23x dx ⎰+dx ⎰-x e dx ⎰=412x x x e C +-+。
注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数,但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾,以后仿此。
注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导,看它的导数是否等于被积函数就行了。
如上例由于41()2x x x e C '+-+=321xx e +-,所以结果是正确的。
基本不定积分公式
5.反三角函数的不定积分
∫(1/√(1-x²)) dx = arcsinx + C
∫(1/√(1+x²)) dx = arctanx + C
6.双曲函数的不定积分
∫sinhxdx=coshx+C
∫coshxdx=sinhx+C
7.分式函数的不定积分
∫(1/x+a) dx = ln，x+a， + C
其中C为常数。
2.指数函数的不定积分
∫aˣ dx = (aˣ)/(logₑa) + C
其中a>0且a≠1，C为常数。
3.对数函数的不定积分
∫(1/x) dx = ln，x， + C
4.三角函数的不定积分
∫sinx dx = -cosx + C
∫cosx dx = sinx + C
∫sec²x dx = tanx + C
其中a≠0，C为常数。
8.代换法则
通过代换可以将一个复杂的不定积分转化为一个简单的不定积分，然后利用基本公式进行求解。常见的代换方法有以下几种：
（1）以变量替代法：
当不定积分中的部分表达式与一些变量的导数形式相似时，可以进行变量替代。
（2）以三角函数替代法：
当不定积分中包含三角函数且可三角函数替代。
基本不定积分公式
不定积分是微积分的重要内容，它是定积分的逆运算。通过求导可以得到原函数，而不定积分则是给定一个函数，求出它的原函数。在求解不定积分时，我们需要掌握一些基本的不定积分公式。下面我们将介绍一些常见的基本不定积分公式。
1.幂函数的不定积分
如果n不等于-1，则有:
第二节不定积分基本公式和运算法则-精品文档
则或对被积函数进行简单的恒等变形，再求积分的 方法，叫作直接积分方法。
一、 不定积分的基本运算法则 法则 1 函数代数和的不定积分等于这两个函数的不 定积分的代数和。
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
1
cos 2
dx x
sin x 4 e x tan x C
例 7 求 2 x2 1 dx 。 x 2 ( x 2 1)
解
2x2 1
x2
(x2
dx 1)
x
x 2(
2
x
1
2
dx 1)
x2
x2
(x2
dx 1)
1
1
1
dx x2
(x2
1)
dx
x
arctan
x
C
例8 求
x
x
2
4
1
dx
例 1 求不定积分 x2 xdx 。
解 根据积分公式得
x2
xdx
5
x 2 dx
2
7
x2
CLeabharlann 7例 2 求 2xexdx 。
解 根据积分公式得
2x exdx (2e)x dx 2x ex C 1 ln 2
例 3 求 (2x3 1 cos x)dx
解 (2x3 1 cosx)dx 1 x4 x sin x C 2
再见
。
解
x4
x4 1 1
x2
dx 1
dx x2 1
( x 2 1 )( x 2 1 )
x2 1
dx
1
x
2
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例4 求
2x2 1 x2 dx.
解
2x2 1 x2
d
x
2
1 x2 1 1 x2 d x
2 1
1 1 x2
d
x
2x 2arctan x C
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法则１ 两个函数代数和的不定积分等于各个函数 的不定积分的代数和，即
f (x) g(x)d x f (x)d x g(x)d x.
法则2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积 分符号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x(k 0).
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例5
求
cos2
x dx. 2
解 利用降幂公式化简.
cos2
x 2
d
x
1
cos 2
x
d
x
1 2
1
cos
x
d
x
1 x sin x C.
2
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（1） f (x) g(x)d x f (x)d x g(x)d x
（2） kf (x)d x k f (x)d x(k 0)
3．直接积分法。
知识回顾 Knowledge Review
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谢 谢！
让我们共同进步
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4·2 不定积分的基本公式与运算法 则、直接积分法
案例研究
我国自行研制的动车组列车
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案例4.2 列车的制动点：列车快进站时必须制动减 速．若列车制动后的速度为 v 1 1 t （kg/min），问列
3 车应该在离站台停靠点多远的地方开始制动？
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案例4.2的解 求积分，得
s
1
1 3
t
d
t
1d
t
1 3
t
d
t
t
1 6
t
2
C.
依题意，当 t 0 时，s 0. 代入上式，得 C 0. 于是，
得
s t 1t2. 6
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例1 求下列不定积分：
学院
College
（1） x7 d x.
（2）
1 d x. xΒιβλιοθήκη （3） 3xex d x.
解 （1） x7dx 1 x71 C 1 x8 C.
7 1
8
（2）
1 dx
1
x 2dx
1
1 1
x 2 C 2
x C.
x
1 1
2
（3）
3x exdx
(3e)xdx (3e)x C. ln(3e)
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不定积分的基本运算法则
2 表示商品的价格，求这种商品的需求函数.
解
Q(
p)
[
A ln
2
(
1) 2
p
d
p
A ln
2
(
1) 2
p
d
p
Aln 2 1 (1) p C ln 2 2
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例2 求 (x 2cos x 3)d x.
解 (x 2cos x 3)d x
x d x 2cos x d x 3d x x d x 2 cos x d x 31d x
类似地，可以推导出其他基本积分公式：
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1d x x C
x dx 1 x1 C( 1)
1
1 x
dx
ln
x
C
ax d x ax C
A(1 ) p C. 2
将 p 0 ,Q A 代入上式，得 C 0. 所以这种商品的
需求函数为 Q(
p
)
1 A( ) p .
2
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小结：
1．不定积分的基本公式：10个公式，要熟记； 2．不定积分的基本运算法则：
ln a
ex d x ex C
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sin x d x cos x C
cos xdx sin x C
sec2x d x tan x C
csc2xdx cot x C
1
d x arcsin x C 1 x2
1
1 x2
d
x
arctan
x
C
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问 下述公式右边的对数中为什么要加绝对值？
分析
令 v 1 1 t 0, 3
得 t 3, 即 3 分钟后列
车停下来. 设列车从制动点开始计算所运行的路程为s，
则
s
1
1 3
t
d
t.
若我们能求出上述不定积分，则可得运动方程 s s(t).
于是，将 t 3代入该方程，可求得制动点的距离为s(3)
因此，我们的重点是研究不定积分的计算问题.
将 t 3 代入上式，得
s 3 1 32 1.5. 6
即列车在离站台1.5公里处开始制动.
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例6 已知某种商品的最大需求量为A（即价格为0时 的需求量），有关部门给出这种商品的需求量Q的变化 率模型为 Q( p) Aln2(1)p（也称边际需求），其中p
形与三角变形），再利用积分的基本公式与运算法则求不
定积分的方法叫做直接积分法．
例3
求
x 12
x d x.
解
x 12
x2 2x 1
x dx x dx
x
2
1 x
d
x
1 2
x2
2x ln
x
C.
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1 x
d
x
ln
x
C.
讨论 当 x 0 时，有
ln x (ln x) 1 ,
x 当 x 0 时，也有
ln x ln(x) (x) 1 1
x x x 所以 ln | x |是 1 的原函数.
x
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1 x2 2sin x 3x C. 2
问：最后的结果为什么只写一个任意常数？
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直接积分法
定义 直接用积分基本公式与运算性质求不定积 分，或者对被积函数进行适当的恒等变形（包括代数变
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抽象归纳 不定积分的基本公式
F(x) f (x) f (x)d x F(x) C (sin x) cos x cos x d x sin x C;