2019春冀教版九年级下册数学第30章习题专训课件：用二次函数解决问题的四种类型 (共29张PPT)
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冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 用二次函解决实际问题中的最值问题
模型和数据，可推断出此燃气灶烧开 一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角 度约为( )
A．18°B．36°C．41°D．58°
【点拨】设该函数图像的最低点的横坐标为x0，则x0＞ 54，即36＜x0＜54，故选C.
18＋54 2
【答案】C
且x＜
9．【易错：忽略取值范围而致错】某地区一段时间内温度y与时间t的函 数关系满足y＝－t2＋12t＋2，当7≤t≤10时，该地区的最高温度是
冀教版九年级下
第三十章 二次函数
30.4二次函数的应用 第2课时 用二次函数解决实际问题
中的最值问题
1C 2 75 3A 4 1558 5 见习题
提示：点击 进入习题
6B 7C 8C 9B 10 见习题
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11 见习题 12 见习题
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1．【2019·河北邢台桥西区模拟】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC ＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动(不与点B重合)， 动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动(Q不与点C重合)．如果P， Q分别从A，B同时出发，那么当四边形APQC的面积最小时，经过的时间是 ()
1558
5．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销知，这种服装每天的 销售量t(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足一次函数关系式：t ＝－3x＋204.
(1)该商场卖这种服装每天的销售利润y(单位：元)与每件的销售价x(单位： 元)之间的函数表达式为______________________；
A．3sB．4sC．5sD．6s
B
7．【2020·山西】竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关 系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时 离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地 面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大 高度为( )
A．18°B．36°C．41°D．58°
【点拨】设该函数图像的最低点的横坐标为x0，则x0＞ 54，即36＜x0＜54，故选C.
18＋54 2
【答案】C
且x＜
9．【易错：忽略取值范围而致错】某地区一段时间内温度y与时间t的函 数关系满足y＝－t2＋12t＋2，当7≤t≤10时，该地区的最高温度是
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第三十章 二次函数
30.4二次函数的应用 第2课时 用二次函数解决实际问题
中的最值问题
1C 2 75 3A 4 1558 5 见习题
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11 见习题 12 见习题
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1．【2019·河北邢台桥西区模拟】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC ＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动(不与点B重合)， 动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动(Q不与点C重合)．如果P， Q分别从A，B同时出发，那么当四边形APQC的面积最小时，经过的时间是 ()
1558
5．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销知，这种服装每天的 销售量t(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足一次函数关系式：t ＝－3x＋204.
(1)该商场卖这种服装每天的销售利润y(单位：元)与每件的销售价x(单位： 元)之间的函数表达式为______________________；
A．3sB．4sC．5sD．6s
B
7．【2020·山西】竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关 系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时 离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地 面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大 高度为( )
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 用二次函数解决实际问题
1 当x＝18时，p＝－ ×(18－6)2＋2.8＝－0.4＜0. 45 1 故这次所发的球能够过网且不会出界．
45
(3)若该队员发球要想过网，又使排球不会出界(排球压线属于没出界)，求二 次函数中二次项系数的最大值．
解：设抛物线的表达式为p＝n(x－6)2＋h，将(0，2)代入，得36n＋h＝2， 即h＝2－36n， ∴此时抛物线的表达式为p＝n(x－6)2＋2－36n. 要使排球不出界，则n(18－6)2＋2－36n≤0，解得n≤－ .
(1)以抛物线形水流顶点为坐标原点建立平 面直角坐标系的函数表达式为 __________________________；
y＝－x2
(2)从抛物线形水流顶点向地面作垂线，得到垂足，以该垂足为坐标原点建 立平面直角坐标系的函数表达式为________________；
(3)以点A为坐标原点建立平面直角坐标系的函数表达式为 __y_＝__－__x_2_＋__2_.2_5_____．
冀教版九年级下
第三十章 二次函数
30.4二次函数的应用 第1课时 用二次函数解决实际问题
1C
2 (6＋3 2)
3 见习题 44 5 见习题
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6B
72
8 见习题 9 见习题
答案显示
ห้องสมุดไป่ตู้
1．有一桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现 把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则抛物线的表达 式为( )
1 45
要使排球过网，则n(9－6)2＋2－36n>2.24，解得n<－ .
故二次函数中二次项系数的最大值为－ .
2 225
1 45
9 度是11.25m．其中不正确的个数是( )
45
(3)若该队员发球要想过网，又使排球不会出界(排球压线属于没出界)，求二 次函数中二次项系数的最大值．
解：设抛物线的表达式为p＝n(x－6)2＋h，将(0，2)代入，得36n＋h＝2， 即h＝2－36n， ∴此时抛物线的表达式为p＝n(x－6)2＋2－36n. 要使排球不出界，则n(18－6)2＋2－36n≤0，解得n≤－ .
(1)以抛物线形水流顶点为坐标原点建立平 面直角坐标系的函数表达式为 __________________________；
y＝－x2
(2)从抛物线形水流顶点向地面作垂线，得到垂足，以该垂足为坐标原点建 立平面直角坐标系的函数表达式为________________；
(3)以点A为坐标原点建立平面直角坐标系的函数表达式为 __y_＝__－__x_2_＋__2_.2_5_____．
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第三十章 二次函数
30.4二次函数的应用 第1课时 用二次函数解决实际问题
1C
2 (6＋3 2)
3 见习题 44 5 见习题
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6B
72
8 见习题 9 见习题
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ห้องสมุดไป่ตู้
1．有一桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现 把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则抛物线的表达 式为( )
1 45
要使排球过网，则n(9－6)2＋2－36n>2.24，解得n<－ .
故二次函数中二次项系数的最大值为－ .
2 225
1 45
9 度是11.25m．其中不正确的个数是( )
冀教版九年级数学下册第30章二次函数的应用复习课件
水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为
1 5
y＝－ (x－3)2＋5(0＜x＜8)；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋 湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
1.“身高1.8米”、“离水池中心的距离”分别对应解析式中的什么？ 身高为1.8米，即y的值，离水池中心的距离即x的值.
积为y m2.(1)求y与x的函数关系式；
1.本题适合用什么方法确定函数表达式？ 根据题中数量关系确定.
2.如何求阴影部分的面积？ 转化为矩形面积减两个直角三角形的面积
由题可得矩形的面积为_4_8__，空白部分为两个全等的直角三角 形，其面积为_(_6_－__x__)(_8_－___x，) 用矩形的面积减去两个空白部分三角形的 面积和即可得函数表达式.
二次函数的应用复习
一、生活中的抛物线型
在现实生活中存在抛物线形状的物体，如：桥洞、隧道等； 现实生活中存在抛物线形状的物体运动路线，如：喷泉、篮 球（铅球、高尔夫球等）的运动路线. 此类问题常利用已有的抛物线，建立合适的直角坐标系，求 出函数表达式后解决实际问题.
例1.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈
解：（1）y＝6×8－2×12 ×(6－x)(8－x) ＝－x2＋14x (0＜x＜6)；
(2)若改造后观花道的面积为13 m2，求x的值；
解：当y＝13时，－x2＋14x＝13， 解得x＝1或x＝13， ∵0＜x＜6， ∴x＝1
(3)若要求0.6≤x≤1，求改造后油菜花地所占面积的最大值．
（3）设油菜花田地占地面积为w， 则w＝48－y＝x2－14x＋48＝ (x－7)2－1， ∵a=1＞0，抛物线开口向上
1 5
y＝－ (x－3)2＋5(0＜x＜8)；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋 湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
1.“身高1.8米”、“离水池中心的距离”分别对应解析式中的什么？ 身高为1.8米，即y的值，离水池中心的距离即x的值.
积为y m2.(1)求y与x的函数关系式；
1.本题适合用什么方法确定函数表达式？ 根据题中数量关系确定.
2.如何求阴影部分的面积？ 转化为矩形面积减两个直角三角形的面积
由题可得矩形的面积为_4_8__，空白部分为两个全等的直角三角 形，其面积为_(_6_－__x__)(_8_－___x，) 用矩形的面积减去两个空白部分三角形的 面积和即可得函数表达式.
二次函数的应用复习
一、生活中的抛物线型
在现实生活中存在抛物线形状的物体，如：桥洞、隧道等； 现实生活中存在抛物线形状的物体运动路线，如：喷泉、篮 球（铅球、高尔夫球等）的运动路线. 此类问题常利用已有的抛物线，建立合适的直角坐标系，求 出函数表达式后解决实际问题.
例1.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈
解：（1）y＝6×8－2×12 ×(6－x)(8－x) ＝－x2＋14x (0＜x＜6)；
(2)若改造后观花道的面积为13 m2，求x的值；
解：当y＝13时，－x2＋14x＝13， 解得x＝1或x＝13， ∵0＜x＜6， ∴x＝1
(3)若要求0.6≤x≤1，求改造后油菜花地所占面积的最大值．
（3）设油菜花田地占地面积为w， 则w＝48－y＝x2－14x＋48＝ (x－7)2－1， ∵a=1＞0，抛物线开口向上
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 集训课堂 练素养 二次函数图像信息题的四种常见类型
(2)若y2随着x的增大而增大，且抛物线与直线都经过x轴 上的同一点，求直线的表达式.
解：①当y1＝－x2－2x时，－x2－2x＝0， 得x＝0或－2， ∴抛物线与x轴的交点是(0，0)和(－2，0)． ∵y2随着x的增大而增大，且直线过点A(－1，5)， ∴抛物线与直线都经过x轴上的同一点(－2，0)．
把点(－1，5)，(－2，0)的坐标分别 代入 y2＝kx＋b，得－－k2＋k＋b＝b＝5，0， 解得kb＝＝51，0， ∴y2＝5x＋10.
②当y1＝－x2－2x＋8时，－x2－2x＋8＝0， 得x＝－4或2， ∴抛物线与x轴的交点是(－4，0)和(2，0)． ∵y2随着x的增大而增大，且直线过点A(－1，5)， ∴抛物线与直线都经过x轴上的同一点(－4，0)．
6 【中考·广州】已知抛物线y1＝－x2＋mx＋n，直线y2 ＝kx＋b，抛物线的对称轴与直线交于点A(－1，5)， 点A与抛物线的顶点B的距离是4.
(1)求抛物线的表达式；
解：由题意得 B(－1，1)或(－1，9)， ∴－2×（m－1）＝－1，4×（4×－（1－）1·n）－m2＝1 或 9. 解得 m＝－2，n＝0 或 8. ∴抛物线的表达式为 y1＝－x2－2x 或 y1＝－x2－2x＋8.
③当 x＝－1 时，y＝a－b＋c＝0， ∴(a＋c)2－b2＝(a＋b＋c)(a－b＋c)＝0，正确． ④当 x＝1 时，y＝a＋b＋c＝n. ∵a＝－b2，c＝32b， ∴n＝2b，2c－a＝72b.∵b<0， ∴72b>4b，即 2c－a>2n，错误．
4 【2021·凉山州】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像 如图所示，则下列结论中不正确的是( ) D A．abc>0
∵二次函数 y2＝2x2＋x＋m 的图像的对称轴为直线 x＝ －14，且 2＞0， ∴当 0≤x≤1 时，y 随 x 的增大而增大，且最小值为 m. ∵当 0≤x≤1 时，总有 y2≥y1， ∴m≥4，即 m 的最小值为 4.
冀教版九年级数学下册第30章二次函数PPT课件
x y=x2 … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图像．
y 9
6
3
-4
-2
o
2
4
பைடு நூலகம்
x
当取更多个点时，函数y=x2的图像如下：
y
9
6
② s=3-2t²
③y=x2
1 ④ y= 2 x
不是，右边 是分式.
⑤y=x² +x ³ +25
不是，x的最 高次数是3.
⑥ y=(x+3)² -x²
y=6x+9
方法归纳
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数
和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函 数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊 形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？
这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子 (3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该 增种多少棵橙子树？ (100+x)(600-5x)=60320 解得，
x1 4, x2 16
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图像有最高点．
y=-x2
知识要点
二次函数y=ax2 的图像性质：
1. 顶点都在原点; 2. 图像关于y轴对称;
3.当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图像．
y 9
6
3
-4
-2
o
2
4
பைடு நூலகம்
x
当取更多个点时，函数y=x2的图像如下：
y
9
6
② s=3-2t²
③y=x2
1 ④ y= 2 x
不是，右边 是分式.
⑤y=x² +x ³ +25
不是，x的最 高次数是3.
⑥ y=(x+3)² -x²
y=6x+9
方法归纳
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数
和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函 数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊 形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？
这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子 (3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该 增种多少棵橙子树？ (100+x)(600-5x)=60320 解得，
x1 4, x2 16
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图像有最高点．
y=-x2
知识要点
二次函数y=ax2 的图像性质：
1. 顶点都在原点; 2. 图像关于y轴对称;
3.当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
2019_2020学年九年级数学下册第三十章二次函数30.4二次函数的应用教学课件(新版)冀教版
2.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这 种服装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）可 看成是一次函数关系：
t＝－3x＋204。 （1）写出商场卖这种服装每天销售利润y（元）与每件的 销售价x（元）间的函数关系式； （2）通过对所得函数关系式进行配方，指出 商场要想每天 获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最 大利润为多少？
跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求
抛物线的解析式．
解：由题意得 x= 40/2 =20
∴顶点坐标为（20，16）
设y=a(x-20)2+16
0=400a+16
a=- 1/25
1
∴y =- 1/25 (x-20)2+16
y =-1/25x2 + 8/5 x
今天我们学到了什么？
求二次函数解析式的一般方法： .已知图象上三点坐标，通常选择一般式。 .已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶 点式。
y 60 x 40300 18x
18 x2 60 x 6000 (0≤x≤20)
当x
b 2a
5 3
时，y最大
18 5 2 3
60
5 3
6000
6050
答：定价为 58 1 元时，利润最大，最大利润为6050元
3
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的 一般步骤 : ➢求出函数解析式和自变量的取值范围
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应
定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）
（1）设此一次函数解析式为 y kx b 。
1分
则
15k b 25 20k b 20
九年级数学下册 第三十章 二次函数30.1 二次函数习题课件冀教版
3.已知二次函数y=1-2x-x2，其中二次项系数a=__-_1__,一次项 系数b=__-_2__，常数项c=__1___.
4.对于二次函数y=x2+3x-2，当x=-1时，y的值为__-_4__，当 y=8时，x的值为_2_或__-5_.
5.已知函数y=(m+3)xm2+2m-1，当m为何值时，y是x的二次函数？
②y=3(x-1)2+2;
③y=x2+
1 x2
+1;
④y=(x-3)2-x2.
其中不是二次函数的是(B )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
2.国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的 百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y
与x的函数关系式为( C )
A.y=36(1-x) B.y=36(1+x) C.y=18(1-x)2 D.y=18(1+x)2
2 22
m的二次函数，对应的a,b,c的值依次为 1 ，- 1 ，0
(2)当m=45时，y = 45(45-1) =990 .
22
2
列二次函数表达式
归纳：根据实际问题列二次函数的表达式应注意: (1)正确辨别自变量与因变量; (2)确保找到正确的等量关系; (3)将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式; (4)确保自变量有意义.
解: 依题意,得 m+3≠0， m2+2m-1=2，
解得 m=1. 故当m=1时，y是x的二次函数.
6.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,若每箱以50元的 价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天 少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关 系式； 解: y=-3x+240.
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故抛物线的解析式为
y＝－
5 4
x2＋5.
当x＝1时，y＝ 1 5 ；当x＝ 3 时，y＝ 3 5 .
4
2
16
故 骣ççç桫1 ,
15 4
÷÷÷
，骣ççç桫32
,
35 16
÷÷÷
两点在抛物线上．
当竖直摆放5个圆柱形桶时，
桶高为0.3×5＝1.5＝ 3 (米)． 2
∵3 ＜15 且 3 ＜35 ， 2 4 2 16
形桶时，网球可以落入桶内．
题型2 建筑物问题
2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成， 为了牢固，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m(如图)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为( C ) A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m
习题课 阶段方法技巧训练（二）
专训1 用二次函数解决问 题的四种类型
利用二次函数解决实际问题时，要注意数形 结合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从 而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目 的．
类型 1 建立平面直角坐标系解决实际问题
题型1 物体运动类问题
1. 如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球， 网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为B. 有人在 直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶， 试图让网球落入桶内．已知AB＝4米， AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5 米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为 0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度 忽略不计)．
2 即△DHE的面积取得最小值，最小值是
27
a2.
8
类型 3 建立二次函数模型解决动点探究问题
6．如图所示，直线y＝
1 2
x－2与x轴、y轴分别交于点
A，C，抛物线过点A，C和点B(1，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线
AC的距离DE最大时，求出
点D的坐标，并求出最大距
解：由已知得OA＝OA1＝8 m，OC＝8 m，AB＝6 m． 故C(0，8)，B(－8，6)．
设抛物线BCB1对应的函数解析式为y＝ax2＋8， 将B点坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，
解得a＝－ 1 , 32
所以y＝－
1 3
2
x2＋8(－8≤x≤8)．
(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，
∴网球不能落入桶内．
(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入
桶内？
解： 设竖直摆放m个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．
由题意，得 3 5 ≤0.3m≤ 1 5 ，
16
4
解得 7 7 ≤m≤ 1 2 1 .
24
2
∵m为整数，∴m的值为8，9，10，11，12.
∴当竖直摆放8个，9个，10个，11个或12个圆柱
解：(2)设BE＝x，△DHE的面积为y. 依题意，
得y＝S△CDE＋S梯形CDHG－S△EGH
＝ 1 ×3a×(3a－x)＋ 1 (3a＋x)x－ 1 ×3a×x，
∴∴y当＝x＝122 x32－a，32 即axE＋是B92 Ca的2，2中即点y＝时，12骣 ççç桫 yx取-得2 32最a÷÷÷小+值287，a2.
题型3 拱桥(隧道)问题
3．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐 标系中的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y 轴对称．隧道拱部分BCB1 为一段抛物线，最高点C离 路面AA1的距离为8 m，点 B离路面AA1的距离为6 m， 隧道宽AA1为16 m.
(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数解析式．
离．
解： (1)在y＝
1 2
x－2中，
令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，
∴A(4，0)，C(0，－2)．
设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在抛物线上，
\
ìïïïïíïïïïî
16a＋ 4 a＋ b＋ c＝ － 2
b＋ c＝ .
c＝ 0，
(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？
解： 以点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分
线为y轴建立如图的直角坐标系，
则有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D
骣ççç桫
3 2
,
0 ÷÷÷ .
设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，
由抛物线过点M和点B，
可得a＝－ 5 , c＝5. 4
0，
解得
∴抛物线的解析式为y＝－ 1
xìïïïïïïïïíïïïïïïïïî abc2＝＋＝＝ －－525
1， 2 ， 2.
x－2.
2
2
(2)设点D的坐标为(x，y)，
∴BC＝EG，HG＝FC，∠G＝∠BCF， ∴CG＝BE，HG∥FC， ∴四边形FCGH是平行四边形， ∴FH ＝∥ CG， ∴∠DFH＝∠DCG＝90°. 由题意可知，CF＝BE＝a. 在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a， ∴DH＝ DF2+FH2= 5a.
(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积 取得最小值？并求该三角形面积的最小值．
装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安
全通过这个隧道？并说明理由．
解：能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的
距离为2 m．如图，设抛物线上横坐标为2的点为点
D，过点D作DE⊥AA1于点E. 当x＝2时，
y＝－ 骣
即D ççç桫2 因为 7
3
, 7
1
2
7
×22＋8＝ 7 7 ,
7 8
÷÷÷
题型2 利用二次函数解决图形面积的最值问题
5．如图所示，正方形ABCD的边长为3a，两动点E， F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC， CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中 始终保持△EGH≌△BCF， B，E，C，G在一条直线 上．
(1)若BE＝a，求DH的长． 解： (1)连接FH，∵△EGH≌△BCF，
,
8
所以DE＝ 7
7 8
m.
＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．
8
类型 2 建立二次函数模型解决几何最值问题
题型1 利用二次函数解决图形高度的最值问题
4.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根 绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地 方距地面高都是2.5米，绳子自然 下垂呈抛物线状，身高1米的小明 距较近的那棵树0.5米时，头部刚 好接触到绳子，则绳子的最低点 距地面的高度为____0_.5___米．
y＝－
5 4
x2＋5.
当x＝1时，y＝ 1 5 ；当x＝ 3 时，y＝ 3 5 .
4
2
16
故 骣ççç桫1 ,
15 4
÷÷÷
，骣ççç桫32
,
35 16
÷÷÷
两点在抛物线上．
当竖直摆放5个圆柱形桶时，
桶高为0.3×5＝1.5＝ 3 (米)． 2
∵3 ＜15 且 3 ＜35 ， 2 4 2 16
形桶时，网球可以落入桶内．
题型2 建筑物问题
2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成， 为了牢固，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m(如图)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为( C ) A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m
习题课 阶段方法技巧训练（二）
专训1 用二次函数解决问 题的四种类型
利用二次函数解决实际问题时，要注意数形 结合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从 而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目 的．
类型 1 建立平面直角坐标系解决实际问题
题型1 物体运动类问题
1. 如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球， 网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为B. 有人在 直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶， 试图让网球落入桶内．已知AB＝4米， AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5 米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为 0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度 忽略不计)．
2 即△DHE的面积取得最小值，最小值是
27
a2.
8
类型 3 建立二次函数模型解决动点探究问题
6．如图所示，直线y＝
1 2
x－2与x轴、y轴分别交于点
A，C，抛物线过点A，C和点B(1，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线
AC的距离DE最大时，求出
点D的坐标，并求出最大距
解：由已知得OA＝OA1＝8 m，OC＝8 m，AB＝6 m． 故C(0，8)，B(－8，6)．
设抛物线BCB1对应的函数解析式为y＝ax2＋8， 将B点坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，
解得a＝－ 1 , 32
所以y＝－
1 3
2
x2＋8(－8≤x≤8)．
(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，
∴网球不能落入桶内．
(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入
桶内？
解： 设竖直摆放m个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．
由题意，得 3 5 ≤0.3m≤ 1 5 ，
16
4
解得 7 7 ≤m≤ 1 2 1 .
24
2
∵m为整数，∴m的值为8，9，10，11，12.
∴当竖直摆放8个，9个，10个，11个或12个圆柱
解：(2)设BE＝x，△DHE的面积为y. 依题意，
得y＝S△CDE＋S梯形CDHG－S△EGH
＝ 1 ×3a×(3a－x)＋ 1 (3a＋x)x－ 1 ×3a×x，
∴∴y当＝x＝122 x32－a，32 即axE＋是B92 Ca的2，2中即点y＝时，12骣 ççç桫 yx取-得2 32最a÷÷÷小+值287，a2.
题型3 拱桥(隧道)问题
3．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐 标系中的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y 轴对称．隧道拱部分BCB1 为一段抛物线，最高点C离 路面AA1的距离为8 m，点 B离路面AA1的距离为6 m， 隧道宽AA1为16 m.
(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数解析式．
离．
解： (1)在y＝
1 2
x－2中，
令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，
∴A(4，0)，C(0，－2)．
设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在抛物线上，
\
ìïïïïíïïïïî
16a＋ 4 a＋ b＋ c＝ － 2
b＋ c＝ .
c＝ 0，
(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？
解： 以点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分
线为y轴建立如图的直角坐标系，
则有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D
骣ççç桫
3 2
,
0 ÷÷÷ .
设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，
由抛物线过点M和点B，
可得a＝－ 5 , c＝5. 4
0，
解得
∴抛物线的解析式为y＝－ 1
xìïïïïïïïïíïïïïïïïïî abc2＝＋＝＝ －－525
1， 2 ， 2.
x－2.
2
2
(2)设点D的坐标为(x，y)，
∴BC＝EG，HG＝FC，∠G＝∠BCF， ∴CG＝BE，HG∥FC， ∴四边形FCGH是平行四边形， ∴FH ＝∥ CG， ∴∠DFH＝∠DCG＝90°. 由题意可知，CF＝BE＝a. 在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a， ∴DH＝ DF2+FH2= 5a.
(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积 取得最小值？并求该三角形面积的最小值．
装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安
全通过这个隧道？并说明理由．
解：能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的
距离为2 m．如图，设抛物线上横坐标为2的点为点
D，过点D作DE⊥AA1于点E. 当x＝2时，
y＝－ 骣
即D ççç桫2 因为 7
3
, 7
1
2
7
×22＋8＝ 7 7 ,
7 8
÷÷÷
题型2 利用二次函数解决图形面积的最值问题
5．如图所示，正方形ABCD的边长为3a，两动点E， F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC， CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中 始终保持△EGH≌△BCF， B，E，C，G在一条直线 上．
(1)若BE＝a，求DH的长． 解： (1)连接FH，∵△EGH≌△BCF，
,
8
所以DE＝ 7
7 8
m.
＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．
8
类型 2 建立二次函数模型解决几何最值问题
题型1 利用二次函数解决图形高度的最值问题
4.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根 绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地 方距地面高都是2.5米，绳子自然 下垂呈抛物线状，身高1米的小明 距较近的那棵树0.5米时，头部刚 好接触到绳子，则绳子的最低点 距地面的高度为____0_.5___米．