3正方形的性质与判定第2课时
《第2课时 正方形的判定》教案 (公开课)2022年人教版数学
第2课时正方形的判定1．掌握正方形的判定条件；(重点)2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点)一、情境导入老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形．小明剪完后，这样检验它：比拟了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．这种检验可信吗？小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种检验对吗？小英剪完后，比拟了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？二、合作探究探究点一：正方形的判定【类型一】利用“一组邻边相等的矩形是正方形〞证明四边形是正方形如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．解析：要证四边形CEDF是正方形，那么要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC ＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【类型二】利用“有一个角是直角的菱形是正方形〞证明四边形是正方形如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请答复并证明你的结论．解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC.又∵CF＝AE，∴可证BE＝EC ＝BF＝FC.根据“四边相等的四边形是菱形〞，∴四边形BECF是菱形；(2)菱形对角线平分一组对角，即当∠ABC＝45°时，∠EBF＝90°，有菱形为正方形．根据“直角三角形中两个角锐角互余〞得∠A＝45°.解：(1)四边形BECF是菱形．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE.∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF ＝BF，∴四边形BECF是菱形；(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠3＝45°，∴∠EBF＝2∠3＝90°，∴菱形BECF是正方形．方法总结：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用判定定理1或判定定理2进行判定．探究点二：正方形的判定的应用【类型一】 正方形的性质和判定的综合应用如图，点E ，F ，P ，Q 分别是正方形ABCD 的四条边上的点，并且AF ＝BP ＝CQ ＝DE .求证：(1)EF ＝FP ＝PQ ＝QE ； (2)四边形EFPQ 是正方形． 解析：(1)证明△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP ，即可证得EF ＝FP ＝PQ ＝QE ；(2)由EF ＝FP ＝PQ ＝QE ，可判定四边形EFPQ 是菱形，又由△APF ≌△BQP ，易得∠FPQ ＝90°，即可证得四边形EFPQ 是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD .∵AF ＝BP ＝CQ ＝DE ，∴DF ＝CE ＝BQ ＝AP .在△APF 和△DFE 和△CEQ 和△BQP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DE ＝CQ ＝BP ，∠A ＝∠D ＝∠C ＝∠B ，AP ＝DF ＝CE ＝BQ ，∴△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP (SAS)，∴EF ＝FP ＝PQ ＝QE ；(2)∵EF ＝FP ＝PQ ＝QE ，∴四边形EFPQ 是菱形．∵△APF ≌△BQP ，∴∠AFP ＝∠BPQ .∵∠AFP ＋∠APF ＝90°，∴∠APF ＋∠BPQ ＝90°，∴∠FPQ ＝90°，∴四边形EFPQ 是正方形．方法总结：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意解题的关键是证得△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP .【类型二】 与正方形的判定有关的综合应用题如图，△ABC 中，点O 是AC 上的一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点F ，连接AE 、AF .(1)求证：∠ECF ＝90°； (2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，要使四边形AECF 为正方形，△ABC 应该满足条件：______________________(直接添加条件，无需证明)．解析：(1)由CE 、CF 分别平分∠BCO 和∠GCO ，可推出∠BCE ＝∠OCE ，∠GCF ＝∠OCF ，那么∠ECF ＝12×180°＝90°；(2)由MN ∥BC ，可得∠BCE ＝∠OEC ，∠GCF ＝∠OFC ，可推出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，得出EO ＝CO ＝FO ，点O 运动到AC 的中点时，那么EO ＝CO ＝FO ＝AO ，这时四边形AECF 是矩形；(3)由和(2)得到的结论，点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角时，那么推出四边形AECF 是矩形且对角线垂直，因而四边形AECF 是正方形．(1)证明：∵CE 平分∠BCO ，CF 平分∠GCO ，∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠GCF ，∴∠ECF ＝12×180°＝90°；(2)解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：∵MN ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠GCF .又∵∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠GCF ，∴∠OCE ＝∠OEC ，∠OCF ＝∠OFC ，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF .又∵当点O 运动到AC 的中点时，AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵∠ECF ＝90°，∴四边形AECF 是矩形．(3)∠ACB ＝90°.方法总结：在解决正方形的判定问题时，可从与其判定有关的其他知识点入手，例如等腰三角形，平行线和角平分线．从中发现与正方形有关联的条件求解．三、板书设计1．正方形的判定方法一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．2．正方形性质和判定的应用本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手操作的时机，变被动为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯．4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点) 3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为x分钟．(1)分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？(3)什么情况下A套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t以内(包括10t)的用户，每吨收水费a元；月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的局部，按每吨b元(b>a)收费．设某户居民月用水x t，应收水费y元，y与x之间的函数关系如以下图．(1)求a的值，并求出该户居民上月用水8t应收的水费；(2)求b的值，并写出当x>10时，y与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t时，设其函数表达式为y＝ax，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a的值；再将x＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t多还是比10t少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x≤10时，图象过原点，所以设y＝ax.把(10，15)代入，解得ayx(0≤x≤10)．当x＝8时，y×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x>10时，设y＝bx＋m(b≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x 千克，那么购进乙种水果(140－x )千克，根据题意可得5x ＋9(140－x )＝1000，解得x ＝65，∴140－x ＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W ，由题意可得W ＝3x ＋4(140－x )＝－x ＋560，故W 随x 的增大而减小，那么x 越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x ≤3x ，解得x ≥35，∴当x ＝35时，W 最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm 2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h (cm)与注水时间t (s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm 3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm 2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s ；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm 3/s ，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm ，根据圆柱的体积公式得a ·(30－15)＝18×5，解得a ＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm ，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm 2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S )＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm ，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm ，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，那么y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3xy＝3x＋2500(0≤x≤500)；(2)由题意，得55x＋35(500－x)≤x≤125.∴当x＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y(km)与自行车队离开甲地时间x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B的坐标和C的坐标，由自行车的速度就可以D的坐标，由待定系数法就可以求出BC，ED的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23.答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。
1.3《正方形的性质与判定第2课时》北师大版数学九年级上册教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠 部分得到一个正方形，可量一量验证.
【猜想1】当矩形的一__组__邻__边__相_等__时， 【猜想2】当矩形的_对__角__线__互__相__垂__直___时，
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
又∵ AC=BD，
A
∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=
∠COD=∠AOD=90°.
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都
是等腰直角三角形.
B
∴∠BAD=90°.
∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).
D O
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
则∠BEC = 90°，所以四边形 BECF 是正方形.
A
D
E
B
C
F
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有 哪些性质呢？
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有 哪些性质呢？
➢ 正方形的四个角都是直角，四条边相等. ➢ 正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（ 随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形
课时检测：08-第一章3正方形的性质与判定第2课时
1第2课时 正方形的判定测试时间:20分钟一、选择题1.(2018广东深圳坪山期末)下列说法正确的是( )A.有一个角是直角的四边形是正方形B.有一组邻边相等的四边形是正方形C.有一组邻边相等的矩形是正方形D.四条边都相等的四边形是正方形答案 C A.有一个角是直角的菱形是正方形,故本选项中说法错误;B.有一组邻边相等的矩形是正方形,故本选项中说法错误;D.四条边都相等的矩形是正方形,故本选项中说法错误.故选C.2.(2019甘肃白银靖远期末)在四边形ABCD 中,O 是对角线AC 、BD 的交点,能判定这个四边形为正方形的是( )A.AD ∥BC,∠ABC=∠ADCB.AC=BD,AB=CD,AD=BCC.OA=OC,OB=OD,AB=BCD.OA=OB=OC=OD,AC ⊥BD答案 D 由OA=OB=OC=OD 可以推出该四边形的对角线互相平分且相等,从而得出四边形是矩形,又因为AC ⊥BD,所以该四边形是正方形,故选D.3.如图,从下列四个条件:①AB=BC;②AC ⊥BD;③∠ABC=90°;④AC=BD 中选两个作为补充条件,使▱ABCD 成为正方形,下列四种选法中错误的是( )A.①②B.①③C.②③D.①④答案 A A.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴当AB=BC 时,平行四边形ABCD 是菱形,当AC ⊥BD 时,菱形ABCD 不一定是正方形,故此选项错误,符合题意;B.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴当AB=BC 时,平行四边形ABCD 是菱形,当∠ABC=90°时,菱形ABCD是正方形,故此选项正确,不符合题意;C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,当AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形,故此选项正确,不符合题意;D.∵四边形ABCD是平行四边形,∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故此选项正确,不符合题意.故选A.二、填空题4.黑板上画有一个图形,学生甲说它是多边形,学生乙说它是平行四边形,学生丙说它是菱形,学生丁说它是矩形,老师说这四名同学的答案都正确,则黑板上画的图形是.答案正方形解析是平行四边形又是菱形,也是矩形的图形是正方形.5.如图所示,一张矩形纸片,要折叠出一个最大的正方形,小明把矩形上的一个角沿折痕AE 翻折上去,使点B与AD边上的点F重合,则四边形ABEF就是最大的正方形,他判定的方法是 .答案有一组邻边相等的矩形是正方形解析判定一个四边形是正方形有两种思路:①先说明它是矩形,再说明它有一组邻边相等或对角线互相垂直;②先说明它是菱形,再说明它有一个角为直角或对角线相等.6.(2018天津滨海新区期末)如图,在△ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点.延长DE到点F,使DE=EF,得四边形ADCF.若使四边形ADCF是正方形,则应在△ABC中再添加一个条件为.23答案 ∠ACB=90°(答案不唯一)解析 当∠ACB=90°时,四边形ADCF 是正方形.理由:∵E 是AC 的中点,∴AE=EC,∵DE=EF,∴四边形ADCF 是平行四边形,∵AD=DB,AE=EC,∴DE= BC,∴DF=BC,∵CA=CB,∴AC=DF,∴四边形ADCF 是矩形.∵点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,∴DE ∥BC.∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°,∴四边形ADCF 是正方形.故答案为∠ACB=90°. 三、解答题7.(2019甘肃兰州期末)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 的顶点坐标分别是A(-2,0),B(0,-2),C(2,0),D(0,2).求证:四边形ABCD 是正方形.证明 ∵A(-2,0),B(0,-2),∴OA=2,OB=2,∴AB= =2 ,同理可求得AD=2 ,BC=2 ,DC=2 ,∴AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD 是菱形,∵BD=AC=4,∴四边形ABCD 是正方形.8.如图所示,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD 平分∠ACB,DE ⊥BC,DF ⊥AC,垂足分别为E,F.求证:四边形CFDE 是正方形.证明 ∵∠ACB=90°,DE ⊥BC,DF ⊥AC,∴四边形CFDE是矩形.∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,∴DE=DF.∴四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).9.(2019山东青岛平度期中)如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB.(1)求证:▱ABCD是矩形;(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形,并说明理由.解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形.(2)AB=AD(或AC⊥BD,答案不唯一).理由:∵四边形ABCD是矩形,且AB=AD,∴四边形ABCD是正方形.或∵四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD,∴四边形ABCD是正方形.10.如图,在平行四边形ABCD中,F是对角线的交点,E是边BC的中点,连接EF.(1)求证:2EF=CD;(2)当EF与BC满足时,四边形ABCD是矩形,并证明你的结论;(3)当EF与BC满足时,四边形ABCD是菱形,并证明你的结论;(4)当EF与BC满足时,四边形ABCD是正方形.4解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴F为AC,BD的中点,又∵E是BC的中点,∴EF为△DBC的中位线,∴2EF=CD.(2)EF⊥BC.理由:∵EF为△DBC的中位线,EF⊥BC,∴CD⊥BC,即∠BCD=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.(3)BC=2EF.理由:∵点E为BC的中点,且BC=2EF,∴EF=BE=EC,∴∠EBF=∠BFE,∠EFC=∠ECF,又∵∠EBF+∠BFE+∠EFC+∠ECF=180°,∴∠BFC=∠BFE+∠EFC=90°,∴平行四边形ABCD是菱形.(4)EF⊥BC且BC=2EF.5。
第一章 第三节正方形的性质与判定（第2课时）
正方形的判定【基础题】1．（2017春•南召县期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形2．（2017春•下陆区期中）下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线相等D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形3．（2016•宜昌模拟）在下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4．（2016•虹口区二模）下列命题中，正确的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．四角相等的四边形是正方形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形5．（2016春•高阳县期末）下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（）①AC⊥BD ②∠BAD=90°③AB=BC ④AC=BD．A．①③B．②③C．②④D．①②③6．（2016秋•纳雍县校级期中）在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDB．AB∥CD，AC=BDC．AO=BO，∠A=∠CD．AO=CO，BO=DO，AB=BC7．（2015春•重庆校级期末）四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A．OA=OB=OC=OD，AC⊥BDB．AB∥CD，AC=BDC．AD∥BC，∠A=∠CD．OA=OC，OB=OD，AB=BC【中档题】8．（2017•河西区二模）已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为．9．（2017•潍坊二模）如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于．10．（2017•资中县模拟）如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为．11．（2017•东莞市一模）平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，分别过顶点B，C作两对角线的平行线交于点E，得平行四边形OBEC．（1）如果四边形ABCD为矩形（如图），四边形OBEC为何种四边形？请证明你的结论；（2）当四边形ABCD是形时，四边形OBEC是正方形．二．以考查技能为主的试题【中档题】12．（2017•南京一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，EF∥BC．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．13．（2017•于洪区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=40°，则当∠EBA=时，四边形BFDE是正方形．14．（2017春•洛宁县期末）如图所示，点E为正方形ABCD内部的一点，且△ABE为等边三角形，试求∠ADE的度数．【较难题】15．（2017春•滨海县期末）如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF ⊥BC，E、F分别为垂足．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）若CF=3，CE=4，求AP的长．16．（2017春•韶关期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．17．（2017春•陆川县期末）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E 为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．（1）求证：四边形PMAN是正方形；（2）求证：EM=BN．18．（2017春•江北区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．（1）求证：△OAE≌△OBG．（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．正方形的判定答案1．D．2．D．3．C．4．D．5．C．6．A．7．A．8．4．9．5；10．3．11．【解答】解：（1）四边形OBEC是菱形，证明：∵BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵四边形ABCD是矩形，∴OC=0.5AC，OB=0.5BD，AC=BD，∴OC=OB，∴平行四边形OBEC为菱形；（2）当四边形ABCD是正方形时，四边形OBEC是正方形，当四边形ABCD为正方形时，则有∠COB为直角，OB=OC，∵四边形OBEC为平行四边形，∴四边形OBEC为正方形．故答案为：正方12．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴BE=CF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BDE≌△CDF．（2）∵△BDE≌△CDF，∴BD=DC，DE=DF，∵BC=2AD，∴∠BAC=90°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，∴四边形AEDF是矩形，∵AE=AF，∴四边形AEDF是正方形．13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，∴∠BAC=∠BCA，∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠BCA，即∠BAE=∠BCF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS）；（2）解：若∠ABC=40°，则当∠EBA=25°时，四边形BFDE是正方形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ABO=∠ABC=20°，∵AE=CF，∴OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，∵∠EBA=25°，∴∠OBE=25°+20°=45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴OB=OE，∴四边形BFDE是矩形，∴四边形BFDE是正方形；故答案为：25．14．【解答】解：∵E为正方形ABCD内一点，且△ABE是等边三角形，∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE=BE，∴∠DAE=∠DAB﹣∠EAB=30°，∴∠ADE=∠AED==75°．15．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，∠BCD=90°，在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（SAS）；（2）解：∵△APD≌△CPD，∴AP=PC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∵PE⊥DC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF，∴AP=EF．∵∠DCB=90°，∴在Rt△CEF中，EF===5，∴AP=EF=5．16．【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB，∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，则AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCF是正方形，理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是等腰直角三角形，∴AD=DC，且AD⊥DC，∴平行四边形ADCF是菱形．17．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，∴四边形PMAN是矩形，∵PM=PN，∴四边形PMAN是正方形；（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，∴PM=PN，∠MPN=90°，∵∠EPB=90°，∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°，∴∠MPE=∠NPB，在△EPM和△BPN中，，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM=BN．18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．∵BH⊥AF，∴∠AHG=∠AHB=90°，∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，∴∠GAH=∠OBG，即∠OAE=∠OBG．∴在△OAE与△OBG中，，∴△OAE≌△OBG（ASA）；21世纪教育网–中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网。
3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定
形，理由是 ____________________________
.
4.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中
点，连接DE，DF，CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是
.
正方形
知识点2
中点四边形
5.顺次连接矩形四边的中点所形成的四边形是（
解：（3）当∠BAC＝135°且AC＝ AB时，四边形ADEG是正
方形.
理由：由（2）①知，当∠BAC＝135°时，∠DAG＝90°，
∴▱ADEG是矩形.
∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝ AB.
∵AC＝ AB，∴AC＝AD.
∵AG＝AC＝AD.∴矩形ADEG是正方形.∴当∠BAC＝135°且AC
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.
所有正确结论的序号是 ①②③.
10.（2022·湖南邵阳中考）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于
点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.
对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角.有三位同学给出了不同的组
合方式：①a，c，d；②b，c，d；③a，b，c.你认为能得到正方形的是（ ）CA.ຫໍສະໝຸດ ①B.仅③C.①②
D.②③
3.已知矩形ABCD，给出三个关系式：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD.如果
选择关系式 ③ 作为条件（写出一个即可），那么可以判定矩形ABCD为正方
《正方形的性质与判定》教学设计
第六章特别平行四边形3.正方形的性质与判断（二）一、学生知识状况解析学生的知识基础：学生从前已经借助折纸、画图、丈量、证明等活动研究过平行四边形、菱形、矩形的性质和判断，还在第一课时学习了正方形的性质，本节课主若是对正方形的判断进行推理证明，而前方的研究过程和方法为本节课的推理证明供给了铺垫，为学生供给了相应的定理证明思路。
八年级时学生还学习了“三角形中位线定理”，这些都为本节课研究“中点四边形”做了铺垫，学生已经具备了研究该命题的基本技术。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历了“研究—发现—猜想—证明” 的过程，并初步领会了获取猜想后还应予以证明的意义，感觉到了合情推理与演绎推理的相互依赖和相互增补的辨证关系，并且学生拥有了必定的推理证明的能力。
同时在从前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，拥有了必定的合作学习的经验，具备了必定的合作与沟通的能力。
二、教课任务解析教材基于学生对特别平行四边形和三角形中位线定理的认识的基础之上，提出了本课的详尽学习任务：掌握正方形判判定理、理解中点四边形形状取决于原四边形的对角线的地点和数目关系，但这不过是这堂课外显的近期目标。
本课内容隶属于“图形与几何”中的“图形的性质”，因此务必服务于演绎推理教课的远期目标：“让学生经历‘研究—发现—猜想—证明’的过程，领会证明的必需性，掌握用综合法证明的格式，初步感觉公义化思想，发展空间看法”，同时也应力争在学习中逐渐达成学生的相关感情态度目标。
为此，本节课的教课目标是：知识与技术：1.掌握正方形的判判定理，并能综合运用特别四边形的性质和判断解决问题。
2.发现决定中点四边形形状的要素，娴熟运用特别四边形的判断及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。
3.使学生进一步领会证明的必需性以及计算与证明在解决问题中的作用。
过程与方法：1.经历“研究—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判判定理，发现决定中点四边形形状的要素，并能综合运用特别四边形的性质和判断解决问题。
3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定
8．(9 分)如图，正方形 ABCD 的边长为 6，菱形 EFGH 的三个顶点 E，G，H 分别在正 方形 ABCD 的边 AB，CD，DA 上，且 AH＝2，连接 CF.若 DG＝2，求证：菱形 EFGH 为正 方形．
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形 EFGH 是菱形， ∴HG＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.又 ∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱 形 EFGH 为正方形
解：(1)AF＝DE.理由：∵ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°.又∵AE＝ BF，∴△DAE≌△ABF，∴AF＝DE
(2)四边形 HIJK 是正方形．如图，H，I，J，K 分别是 AE，EF，FD，DA 的中点，∴HI
＝
KJ
＝
1 2
AF
，
HK
＝
IJ
＝
1 2
ED.
∵
AF
＝
DE
O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形 ABCD 是正方形，则可行的条件是( D )
A．AO＝CO B．AC⊥BD C．AB∥CD D．AC＝BD
7．(3 分)(2016·兰州)▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC⊥BD，请添加一个
条件：___∠___B_A__D__＝___9_0_°___(_答__案___不___唯__一___)____，使得▱ABCD 为正方形．
12．如图，以边长为 1 的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中 点为顶点作四边形，…依次作下去，
图中所作的第三个四边形的周长为___2_____；所作的第 n 个四边形的周长为__4_( _22_)_n __．
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D. AO=BO
4. （5分）如图SK1-3-6，在△ABC中，
点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，
且DE∥CA，DF∥BA. 下列四种说法： ①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四 边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是 菱形；④如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF 是正方形. 其中，正确的有_①___②__③__④__（填序号）.
垂直平分；③四条边相等且四个内角也相等；④对角线相
等的菱形.
A. ①②④
B. ①③④ C. ③④ D. ①②③④
3. （5分）如图SK1-3-5，在□ABCD中，
AC⊥BD于点O，若增加一个条件，使得四
边形ABCD是正方形，则下列条件中，不正
确的是 A. AC=BD
（ B） B. AB=BC
C. ∠ABC=90°
3正方形的性质与判定第 2课时
2020/9/12
课堂十分钟
1. （5分）下列条件之一使菱形ABCD是正方形的为 ③AB=BC ④AC=BD.
A. ①③
B. ②③ C. ②④ D. ①②③
2. （5分）下列能判定一个四边形是正方形的条件是
（ B）
①一组邻边相等且对角线相等并互相平分；②对角线互相