1.3.4正方形性质与判定

§1.3.4正方形性质与判定（九年级上数学006）——研究课

班级________姓名________

一.学习目标：

1．理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定；

2．能运用正方形的性质和判定进行简单的计算与证明．

二．学习重点：正方形的性质理解和掌握；学习难点：正方形形的性质、判定的综合应用．三．教学过程

知识梳理1：正方形的定义：.

正方形的性质：（边）（角）

（对角线）

（对称性）

正方形的判定：既是又是四边形是正方形．集合表示：

1. 已知平行四边形ABCD，在以下4个条件中再选哪两个条件，能使平行四边形ABCD成为正方形？有种选法.①AB=BC②AC⊥BD ③∠ABC=90°④AC=BD

2. (10 义乌)下列说法不正确

．．．的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形

C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形

边讲边练：

①正方形与等腰三角形（等边三角形）结合

1. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°

2. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD到E，使CE=CB，则∠DBE＝°.

3. 如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：

（1）∠E=22.5°；(2) ∠AFC=112.5°；(3) ∠ACE=135°；（4）AC=CE；(5) AD∶CE=1∶2. 其中正确的有（）A．5个B.4个C.3个D.2个

4. 如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.

°.

5. (10 孝感)已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED 的度数是

第1题图第2题图第3题图第4题图6. 如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.求证：PM = QM.

②正方形与旋转结合

1. (10 泸州)如图1，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ后与△AED 重合，则θ的取值可能为 （ ）

A .90°

B .60°

C .45°

D .30°

2. (10 上海)已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图2所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.

3. 如图3，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ．

4. 如图4，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′与点O 重合，A ′B ′交BC 于点E ，A ′D ′交CD 于点F ，若正方形A ′B ′C ′D ′绕点O 旋转某个角度后，OE =OF 吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？

5. (11 烟台)如图5，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .

6. 如图6，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为

.

7. (10 自贡)边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图7所示阴影部分），则这个风筝的面积是 .

8. (10 茂名)如图8，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形AB ′C ′D ′，边B ′C ′与DC 交于点O ，则四边形AB ′OD 的周长．．

是 . 图1 图2 图3

图5 图6 图7 图8

③正方形对角线的对称性

1. 如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，

PF⊥BD于F，则PE+PF= .可以用一句话概括：正方形边上的任意

一点到两对角线的距离之和等于.

思考：如若P在AB的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出

你的结论，并加以说明.

2.(10 宜宾)如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；

④∠PFE=∠BAP；⑤PD= 2EC．其中正确结论的序号是．

思考：当点P在DB的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（1）正确结论是否依旧成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.

3．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.试判断PE与PB的关系.

4.如图，正方形ABCD的面积为12，△ADE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PB＋PE的和最小，则这个最小值为.

④正方形的折叠

1.如图1，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是 .

2. (10 柳州)如图2，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则AM 的长是 .

3.(11 重庆)如图3，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE

对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是 .

4.(10 徐州)如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD

沿EF 折叠(点E 、F 分别在边AB 、CD 上)，使点B 落在

AD 边上的点 M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于

点P ， 连接EP ．

(1)如图②，若M 为AD 边的中点，

①△AEM 的周长=_____cm ；

②求证：EP =AE +DP ；

(2)随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A 、D 重合)，△PDM 的周长是否发生变化?请说明理由．

(11 舟山)以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．

（1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；

（2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°）， ① 试用含α的代数式表示∠HAE ；

② 求证：HE =HG ；

③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．

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