上海市十二校高三数学上学期12月联考试题 理(含解析)苏教版

2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1.【题文】已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U __．【结束】2.【题文】函数)12arcsin(-=x y 的定义域为 ．【结束】3.【题文】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S = .（用数字作答）【答案】63【解析】试题分析：要求数列的前n 项的和，一般先确定下这个数列是不是等差数列或者等比数列，或者是否能转化为等差（或等比）数列，例如本题中由12n n a a +=，110a =≠，故数列{}n a 是等比数列，公比2q =，因此66126312S -==-．考点：等比数列的定义与前n 项和．【结束】4.【题文】计算：2(1)(13)lim (2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．222322213(1)(13)321lim lim lim 12(2)(1)21n n n n n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞--++---+==-++-+++-+++0=． 考点：“∞∞”型极限问题． 【结束】5.【题文】集合{}12-<<=x x A ，{}0<-=a x x B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．【结束】6.【题文】设()887872x a x a x -=++…10a x a +，则87a a ++…0a +＝ ． 【答案】83【解析】试题分析： 0128,,,,a a a a 中正负相间，当然我们可以通过令1x =±求出【结束】7.【题文】已知函数)(x f 有反函数)(1x f -，且[),,0,24)(1+∞∈-=+x x f x x 则=-)0(1f ．【结束】8.【题文】已知袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为4:3．假设从袋中任取2个球，取到的都是红球的概率为413．那么袋中的红球有 __个．【结束】9.【题文】已知函数32tan sin )(x x x x f ++=，)1,1(-∈x ，则满足不等式0)12()1(<-+-a f a f 的实数a 的取值范围是 ．【结束】10.【题文】已知x 是7,6,5,,3,2,1x 这7个数据的中位数，且y x -,,2,12这四个数据的平均数为1，则xy 1-的最小值为 ．【结束】11.【题文】设ω>0，若函数)(x f = sin 2x ω cos 2x ω 在区间[－3π，4π]上单调递增，则ω的范围是_____________． 【答案】3(0,]2【结束】12.【题文】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________.【结束】13.【题文】函数)(x f y =的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在[]b a ,上的面积，已知函数nx y sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡n π,0上的面积为)(2*∈N n n ，则函数1)3sin(+-=πx y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,3ππ上的面积为 ． 【答案】23π+【结束】14.【题文】（理）函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数，例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题：①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②指数函数)(2)(R x x f x ∈=是单函数；③若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则)()(21x f x f ≠；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；⑤若)(x f 为单函数，则函数)(x f 在定义域上具有单调性．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)【答案】②③④【解析】试题分析：这类问题，就是要读懂新定义的知识，能用我们已学的知识理解新知识，并加以应用.如①中(1)1(1)f f -==，但11-≠，故)()(2R x x x f ∈=不是单函数；②指数【结束】二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.【题文】命题:p 1a =;命题:q 关于x 的方程20x a -+=有实数解,则p 是q 的( ).(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【结束】16.【题文】下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（ ） (A) )4cos()4sin(ππ++=x x y (B)xx y 2sin 2cos 1+= (C) x y 2tan 2= (D)x x y cos sin =【答案】A【结束】17.【题文】定义函数D x x f y ∈=),(（定义域），若存在常数C ，对于任意D x ∈1,存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21,则称函数)(x f y =在D 上的“均值”为C ．已知函数[]100,10,lg )(∈=x x x f ，则函数)(x f y =在[]100,10上的均值为（ ） (A)101 (B)43 (C) 10 (D) 23【结束】18.【题文】某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………（ ）（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.【结束】三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.【题文】(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分. 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠AB C=90°, A B=BC=1.(1)求异面直线B 1C 1与AC 所成角的大小；(2)若该直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为22，求点A 到平面A 1BC 的距离．（2）∵ABC S ∆=12，三棱柱111ABC A B C -的体积1ABC V S AA ∆=⋅=∴11AA AB （2分）∵CB ⊥平面11ABB A 1，∴190ABC ∠=︒，1A BC S ∆=, 设点A 到平面A 1BC 的距离为h ，（4分） 三棱锥A 1-ABC 的体积V=113ABC S AA ∆⨯⨯=三棱锥A-A 1BC 的体积V=113A BC S h ∆⨯⨯,（6分）∴3h =.（8分） 考点：（1）异面直线所成的角；（2）点到平面的距离．20.【题文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分．已知以角B 为钝角的的三角形ABC 内角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，)sin ,3(),2,(A n b a m -== ，且m 与n 垂直．（1）求角B 的大小；（2）求C A cos cos +的取值范围∵0sin ≠A ，∴23sin =B ，（6分） 又∵∠B 是钝角，∴∠B 32π= （7分） （2）)3sin(3sin 23cos 21cos )3cos(cos cos cos ππ+=++=-+=+A A A A A A C A （3分）由（1）知A ∈（0，3π），)32,3(3πππ∈+A , （4分） ]1,23()3sin(∈+πA ，（6分） ∴C A cos cos +的取值范围是]3,23( （7分） 考点：（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．21.【题文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．某企业生产某种商品x 吨，此时所需生产费用为（100001002+-x x ）万元，当出售这种商品时，每吨价格为p 万元，这里b ax p +=（b a ,为常数，0>x ）（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160万元，求b a ,的值．当且仅当100=x 时等号成立，（6分）【结束】22.【题文】(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分，第,3小题满分8分. 已知函数R x b a x x x f ∈+-=,)(.（1）当0,1==b a 时，判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）当1,1==b a 时，若45)2(=x f ，求x 的值； （3）若0<b ，且对任何[]1,0∈x 不等式0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围．试题分析：（1）0,1==b a 时，()1f x x x =-为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值()f m 与()f m -不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当1,1==b a 时，45)2(=x f 为（2）当1,1==b a 时，11)(+-=x x x f ， 由45)2(=x f 得451122=+-x x （1分） 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-<⎪⎩⎪⎨⎧=--≥0412)2(120412)2(1222x x x x x x 或 （3分） 解得212)(22122212=-=+=x x x ，或舍或 （5分） 所以1)21(log 221log 22-+=+=x 或1-=x （6分） （3）当0=x 时，a 取任意实数，不等式0)(<x f 恒成立，故只需考虑(]1,0∈x ，此时原不等式变为x b a x -<- （1分） 即xb x a x b x -<<+【结束】23.【题文】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时， 12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）设123m a =+(3m >且m ∈N )，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N )时，都有0n a =.【答案】(1) 0或2；（2）证明见试题解析；（3）证明见试题解析．【解析】（3）由于1a 是正整数，要证明从某一项开始，数列各项均为0，这提示我们可首先证明n a 为非负（这可用数学归纳法加以证明），然后由于数列的关系，可见数列在出现0之前，是递减的，下面要考虑的是递减的速度而已．当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，1122n n n a a a +-=<，因此对所有正整数n ，都有12n n a a +≤，依此类推有112n n a a -≤，只要1112n a -≤，则有0n a =． 试题解析：（1）∵1a 为偶数，∴可设12()Z a n n =∈，故122a a n ==， 若n 为偶数，则32n a =，由123,,a a a 成等差数列，可知2132a a a =+， 即522n n =，解得0n =，故10a =； （2分）若n 为奇数，则312n a -=，由123,,a a a 成等差数列，可知2132a a a =+， 即51222n n =-，解得1n =，故12a =； ∴1a 的值为0或2． （4分）（2）∵123(3,)N m a m m =+>∈是奇数，∴1121212m a a --==+， 223122m a a --==，33422m a a -==，依此类推， 可知341,,,m a a a +成等比数列，且有12m n n a -+=(31)n m ≤≤+，又0121m a +==，21102m a +-==，30m a +=，… ∴当1n m ≤+时，0n a >；当2n m ≥+时，都有0n a =． （3分）故对于给定的m ，n S 的最大值为121m m a a a a +++++123010(23)(21)222(222)4m m m m m m ----=+++++++=++++112142321m m ++-=+=+-，所以123m n S +≤+． （6分）。