高二数学会考专题辅导 专题十一平面向量的线性运算练习(无答案)
(2021年整理)高中数学平面向量习题及答案
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第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ,E 分别是AB ，AC 的中点,则（ ）． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等 D ．AD 与BD相等2．下列命题正确的是（ )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ,则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A （3，1)，B （－1，3），若点C 满足OC ＝OA ＋OB ，其中,∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为（ ）．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1）2＋(y －1）2＝5 C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足（a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是（ )．A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP ＝( ）． A ．λ(AB ＋AD ）,λ∈(0，1) B ．λ（AB ＋BC ),λ∈（0，22） C ．λ(AB －AD ),λ∈（0，1）D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22） 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝（ ）． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b ｜＝4，(a ＋2b ）·（a －3b )＝－72，则向量a 的模(第1题)为( )．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA,则点O是△ABC的（ )．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b,DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（）．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中,|AD|＝｜BC｜,EF∥AB∥CD则相等向量是（ )．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k,12)，OB＝（4，5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线,则k ＝．12．已知向量a＝（x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M（－1,3),N(1，3）,则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足｜AB|＝3，｜BC｜＝4，|CA|＝5,则AB·BC＋BC·CA ＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3,4），b＝（2，－1），且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC 的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，若a＋c＝b＋d,则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3），B(5，4),C(7，10),若点P满足AP＝AB＋λAC（λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5),C(4，3），M，N，D分别是AB，AC，BC的中点,且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE（利用向量证明）．(第19题)20．已知向量a＝（cos θ，sin θ），向量b＝(3，－1），则|2a－b｜的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行,AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB＝DC ，可能A ，B ,C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等,方向相同,故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝（x ，y ），OA ＝（3，1),OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝（－，3），又OA ＋OB ＝(3－，＋3），∴ （x ,y ）＝(3－，＋3），∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析:∵(a －2b ）⊥a ，（b －2a )⊥b ,∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0,（b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即｜a |＝|b ｜．∴｜a |2＝2｜a ｜｜b ｜cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21．∴ a 与b 的夹角是3π．5．A解析:由平行四边形法则,AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1）．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第1题)（第6题)7．C解析：由(a＋2b）·（a－3b）＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝｜a｜|b|cos 60°＝2|a｜，∴｜a|2－2|a｜－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA，即OA·(OC－OB)＝0，故BC·OA＝0,BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，∴O是△ABC的三条高的交点．9．C解析:∵AD＝＋＋DC＝－8a－2b＝2BC,∴∥BC且|｜≠｜BC｜．∴四边形ABCD为梯形．10．D解析：AD与BC,AC与BD,OA与OB方向都不相同,不是相等向量．二、填空题2．11．－3解析：A，B，C三点共线等价于，共线，AB＝OB－OA＝（4，5)－(k，12)＝（4－k，－7)，BC＝OC－OB＝（－k，10)－（4，5）＝(－k－4，5），又A，B,C三点共线，2．∴ 5（4－k)＝－7(－k－4),∴k＝－312．－1．解析:∵ M (－1，3)，N （1，3)， ∴ MN ＝(2，0），又a ＝MN ， ∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ,∴AB ·BC ＝0, ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ） ＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC ＝54．根据数积定义，结合图（右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54）＝－16, CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝（3＋2m ,4－m )，a －b ＝(1，5)．D(第13题)∵ （a ＋m b )⊥(a －b ），∴ (a ＋m b )·(a －b )＝（3＋2m )×1＋（4－m )×5＝0⇒m ＝323． 15．答案：重心．AC 于点E ，则OF解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交＝OA ＋OC ,又 OA ＋OC ＝－OB ,∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ,∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析:设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝（x ,y ）－(2，3）＝（x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－（2，3)＋λ［(7，10）－(2，3)]＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ （x －2,y －3)＝（3＋5λ，1＋7λ）． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝（47，2）．解析：∵ A (7,8)，B (3,5)，C (4,3）， AB ＝(－4，－3），AC ＝(－3,－5)． (第15题)又 D 是BC 的中点,∴ AD ＝21(AB ＋AC ）＝21(－4－3，－3－5）＝21(－7,－8）＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27,－4）＝（47，2)． 19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b ）·（b －21a ）＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1:2a －b ＝（2cos θ－3,2sin θ＋1)，∴ ｜2a －b |2＝(2cos θ－3）2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos 3π－cos θsin 3π）＝8sin （θ－3π），最大值为8,∴ ｜2a －b ｜2的最大值为16，∴｜2a －b ｜的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移,使它们的起点与原点重合，则｜2a －b ｜表示2a ，b 终点间的距离．｜2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ,b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ ｜的最大值为直径的长为4．(第19题)。
平面向量线性练习题
平面向量线性练习题平面向量线性练习题在学习平面向量的线性运算时，练习题是非常重要的一部分。
通过解答这些题目，我们能够巩固和加深对平面向量的理解，提高解题能力。
下面，我将为大家介绍一些常见的平面向量线性练习题。
1. 向量加法与减法题目：已知向量a = (3, 4)和b = (-2, 1)，求向量c = a + b和向量d = a - b。
解析：向量加法和减法是平面向量的基本运算。
对于向量a和向量b，向量c = a + b的计算方法是将a的x分量与b的x分量相加，将a的y分量与b的y分量相加；向量d = a - b的计算方法是将a的x分量与b的x分量相减，将a的y分量与b的y分量相减。
根据题目中给出的向量a和向量b的数值，我们可以得到向量c = (3 + (-2), 4 + 1) = (1, 5)，向量d = (3 - (-2), 4 - 1) = (5, 3)。
2. 向量的数量积题目：已知向量a = (2, -3)和向量b = (4, 5)，求向量a与向量b的数量积。
解析：向量的数量积也称为点积或内积，计算方法是将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加。
根据题目中给出的向量a和向量b的数值，我们可以得到a·b = 2 * 4 + (-3) * 5 = 8 - 15 = -7。
3. 向量的数量积与夹角题目：已知向量a = (3, 4)和向量b = (5, -2)，求向量a与向量b的夹角。
解析：向量的夹角可以通过向量的数量积来计算。
设向量a与向量b的夹角为θ，则有cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模。
根据题目中给出的向量a和向量b的数值，我们可以得到a·b = 3 * 5 + 4 * (-2) =15 - 8 = 7，|a| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5，|b| = √(5^2 + (-2)^2) = √(25 + 4) = √29。
(完整版)平面向量线性运算经典习题
平面向量线性运算经典习题1.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,2BC =4,||||,AB AC AB AC +=-则|AM |=( ) A.8 B.4 C.2 D.12.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且2,,CD DB CD r AB s AC ==+则r+s 的值是( ) 24..33A B C.-3 D.0 3.平面向量a,b 共线的充要条件是( )A.a,b 方向相同B.a,b 两向量中至少有一个为0C.存在λ∈R,使b=λaD.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=04.已知O ､A ､B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C,满足20,AC CB +=则OC 等于( ).2.22112..3333A OA OBB OA OBC OA OBD OA OB --+--+ 5.设D ､E ､F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,2,2,2,DC BD CE EA AF FB ===则AD BE CF ++与()BCA.反向平行B.同向平行C.不平行D.无法判断6.已知a,b 是不共线的向量,AB =λa+b,AC =a+μb,(λ,μ∈R),那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=17.设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；②+=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③8. 若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ）A ．aB ．bC ．cD ． 以上都不对9. 在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于（ ） A ．B ．4C ．4D ．410.若点O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-,则△ABC 的形状为________. 11.如图,平面内有三个向量OA ､OB ､,OC 其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC|=23,若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R),则λ+μ的值为________.12.如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若,,AB mAM AC nAN ==则m+n 的值为________.13．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R ，若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，tb ,13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？ ．14.设a 、b 是不共线的两个非零向量,(1)若2,3,OA a b OB a b OC =-=+=a-3b,求证:A 、B 、C 三点共线;(2)若8a+kb 与ka+2b 共线,求实数k 的值.15.如图所示,△ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 在AC 边上,且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,求AP:PM 的值.。
2023高考数学复习专项训练《平面向量的线性运算》(含答案)
2023高考数学复习专项训练《平面向量的线性运算》一 、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）已知非零向量a →，b →，下列说法正确的是()A. 若a →=b →，则|a →|=|b →| B. 若a →，b →为单位向量，则a →=b →C. 若|a →|>|b →|且a →与b →同向，则a →>b →D. |a →+b →|⩾|a →|+|b →| 2.（5分）已知向量, 若, 则实数等于A. B.C. 或D. 03.（5分）已知 ，且 ，则锐角 的值A. B.C.D.4.（5分）已知直线l 上有三点A 、B 、C ，O 为l 外一点，又等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OA →=(a 1+a 3)OB →+2a 10OC →，则S 11=( )A. 114B. 3C. 112D. 1325.（5分）已知a →，b →是不共线的向量，AB →=λa →+b →，AC →=a →+μb →，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为()A. λ+μ=2B. λ−μ=1C. λμ=−1D. λμ=16.（5分）已知点A(1,1),B(4,2)和向量a =(2,λ),若a ∥,则实数λ的值为A. -B. C. D. -7.（5分）已知点P(2,2)，若圆C:(x −5)2+(y −6)2=r 2(r >0)上存在两点A ，B ，使得PA →=2AB →，则r 的取值范围是( )8.（5分）设是双曲线的左焦点,是上一点,线段与虚轴的焦点为,且是线段的三等分点,则的离心率为A. B. C. 或 D.9.（5分）已知 是平面上的三个点,直线 上有一点 ,满足,则 等于A. B.C.D.10.（5分）设向量a →=(1,4)，b →=(2,x)，c →=a →+b →.若a →//c →，则实数x 的值是( )A. −4B. 2C. 4D. 811.（5分）已知向量a →=(3,1)，b →=(−6,k)，若a →//b →，则k =( )A. 18B. −18C. −2D. −612.（5分）已知平面直角坐标系内的两个向量，，且平面内的任一向量都可以唯一地表示成为实数，则实数m 的取值范围是A. B.C.D.二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知向量a →=(2,6)，b →=(−1,λ)，若a →//b →，则λ=______. 14.（5分）已知a →=(6,λ),b →=(−1,2)，若a →//b →，则实数λ=_________ . 15.（5分）化简：(1)AB →+BC →+CD →=__________;(2)AB →+BC →+CD →+DE →+EF →=__________; (3)AB →−CB →−AC →=__________;(4)A 1A 2→+A 2A 3→+⋯+An −1An →=__________.16.（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →=λAE →+μAF →，其中，μ∈R ，则λ+μ=__________.17.（5分）设向量a ＝(1,－4),b ＝(－1,x),c ＝a ＋3b .若a ∥c ,则实数x 的值是______. 三 、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）如图所示,若四边形ABCD 是一个等腰梯形,AB ∥DC,M,N 分别是DC,AB的中点,已知=a ,=b , =c ,试用a ,b ,c 表示,,.19.（12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c.向量m →=(a,−√3b)，n →=(cosA,sinB)，且m →//n →.(1)求A 的大小； (2)若|n →|=√33，求cosC 的值． 20.（12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a →=(−1,2)，又点A(8,0)，B(n,t)，C(k sinθ,t)，θ∈R ．(1)若AB →⊥a →，且|AB →|=√5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a →共线，常数k >0，求f(θ)=t sinθ的值域． 21.（12分）设函数f(x)=√3sin2x +2sin 2x −1． (Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期．(Ⅱ)已知ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f(C)=2，CA →⋅CB →=3，a +b =112，求边c ．22.（12分）设两个非零向量a →与b →不共线.试确定实数k ，使ka →+b →和a →+kb →共线. 23.（12分）已知△ABC 中，A =60∘，AB =1，AC =4，AE →=λAC →(0<λ<1).(1)求|BE →|的取值范围；(2)若线段BE 上一点D 满足AD →=μ(AB →|AB →|+AC →|AC →|)，求λ+1μ的最小值．四 、多选题（本大题共5小题，共25分） 24.（5分）下列说法中正确的是()A. 对于向量a →,b →,c →，有(a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →) →→→→→→C. 设m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →⋅n →<0”的充分而不必要条件D. 在△ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足CD →=2DB →，CD →=λAB →+μAC →，则λ+μ=025.（5分）ΔABC 是边长为3的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的有( )A. 为单位向量B.C.D.26.（5分）已知△ABC 的重心为G ，点E 是边BC 上的动点，则下列说法正确的是().A. AG →+BG →=CG →B. 若AE →=23AB →+13AC →，则△EAC 的面积是△ABC 面积的23 C. 若AB =AC =2，BC =3，则AB →·AG →=76D. 若AB =AC =2，BC =3，则当EA →·EB →取得最小值时，|EA →|=√37427.（5分）设向量a →=(k, 2), b →=(1,−1)，则下列叙述错误的是( )A. |a →|的最小值为2B. 与b →共线的单位向量只有一个为(√22,−√22) C. 若k <−2，则a →与b →的夹角为钝角 D. 若|a →|=2|b →|，则k =2√2或−2√228.（5分）(多选)下列关于平面向量的说法中不正确的是( )A. a →=(92,k)，→ b =(k,8)，若→ a / / → b ，则k =6 B. 单位向量→ i =(1,0)，→ f =(0,1)，则|3→ i −4→ f |=5 C. 若a →⋅c →=b →⋅c →且→ c ≠→ 0，则→ a =→ bD. 若点G 为ΔABC 的重心，则→ GA +→ GB +→ GC =→ 0答案和解析1.【答案】A; 【解析】此题主要考查向量的模，向量的基本知识的应用，命题的真假的判断，是基础题. 通过向量的模以及共线向量的关系，判断选项的正误即可. 解：A.若a →=b →，则|a →|=|b →|正确;对于B ，单位向量的模相等，方向不一定相同，故B 不正确;对于C ，若a →，b →满足|a →|>|b →|且a →与b →同向，则a →>b →显然不正确， 向量不能比较大小， 故C 错误;对于D ，向量的加法的平行四边形法则，可知对于任意向量a →，b →，必有|a →+b →|⩽|a →|+|b →|，故D 错误; 故选：A.2.【答案】C;【解析】主要考查向量的坐标运算，共线向量的应用.向量若则解得.故选C.3.【答案】C; 【解析】利用两向量平行，则坐标交叉相乘相等，得出sin 2，然后求解．解：因为， 且 ，所以，即，又为锐角，所以，所以．故选C ．4.【答案】A; 【解析】根据点A 、B 、C 是直线l 上不同的三点，得到存在非零实数λ，使AB →=λBC →，可推出OA →=(1+λ)OB →−λOC →，结合题意，根据平面向量基本定理得1+λ=a 1+a 3，−λ=2a 10，所以12=a 1+a 11，最后用等差数列求和公式可得{a n }的前11项和．本题以平面向量基本定理为载体，求等差数列的前11项和，着重考查了等差数列及其前n 项和和平面向量的基本定理及其意义等知识点，属于基础题．解：∵点A 、B 、C 是直线l 上不同的三点， ∴存在非零实数λ，使AB →=λBC →，即OB →−OA →=λ(OC →−OB →)，则OA →=(1+λ)OB →−λOC →， ∵若OA →=(a 1+a 3)OB →+2a 10OC →， ∴1+λ=a 1+a 3，−λ=2a 10， ∴a 1+a 3+2a 10=1， ∵数列{a n }是等差数列，∴2a 2+2a 10=1，即a 2+a 10=12=a 1+a 11，∴S 11=11(a 1+a 11)2=114．故选：A ．5.【答案】D; 【解析】 【分析】本题考查向量共线充要条件.若A 、B 、C 三点共线，则向量AC →与AB →平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使A 、B 、C 三点共线的充要条件. 【解答】解：∵A 、B 、C 三点共线⇔AB →与AC →共线⇔AB →=kAC →⇔{λ=kkμ=1，∴λμ−1=0. ∴λμ=1故选D.【解析】根据A,B 两点的坐标,可得=(3,1),∵a ∥,∴2×1-3λ=0,解得λ=,故选C.7.【答案】C; 【解析】此题主要考查了动点轨迹和圆与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题. 根据PA →=2AB →的几何意义找出圆心C 到直线AB 的距离d 与半径r 的关系，利用直线AB 与圆相交，得到0⩽d <r ，再解不等式求得r 的范围. 解：取AB 的中点D ，则CD ⊥AB. ∵PA →=2AB →，则|PD|=5|AD|. 设|CD|=d ，则√|PC|2−d 2=5√r 2−d 2. ∵P(2,2)，C(5,6)，∴|PC|2=(5−2)2+(6−2)2=25， ∴√25−d 2=5√r 2−d 2，得d 2=2524(r 2−1).∵0⩽d <r ，所以0⩽2524(r 2−1)<r 2，解得1⩽r <5. 故答案选：C.8.【答案】C;【解析】这道题主要考查双曲线离心率的计算,利用点的关系求出B 的坐标是解决本题的关键,注意进行分类讨论. 因为所以设因为是线段的三等分点,所以设若解得解得双曲线上,所以的离心率为或故选C.9.【答案】A; 【解析】10.【答案】D; 【解析】该题考查向量的坐标运算，以及平行向量的坐标关系．可先求出c →=(3,4+x)，根据a →//c →即可得出4+x −12=0，解出x 即可．解：c →=a →+b →=(3,4+x)； ∵a →//c →；∴4+x −12=0； ∴x =8． 故选：D ．11.【答案】C; 【解析】该题考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系． 根据a →//b →即可得出3k +6=0，解出k 的值即可．解：∵a →//b →； ∴3k +6=0； ∴k =−2． 故选：C ．12.【答案】D; 【解析】略13.【答案】−3; 【解析】此题主要考查向量的平行的坐标表示. 根据两向量平行的充要条件解答即可.解：因为向量a →=(2,6)，b →=(-1,λ)，a →//b →， 所以2λ−(−6)=0， 解得λ=−3. 故答案为−3.14.【答案】−12; 【解析】 【分析】本题主要考查了向量平行的条件，属于基础题. 利用向量平行的坐标关系，列出等式求解即可. 【解答】解：a →=(6,λ),b →=(−1,2)，若a →//b →，则6×2−λ×(−1)=0，解得λ=−12. 故答案为−12.15.【答案】(1)AD →;(2)AF →;(3)0→;(4)A 1A n →; 【解析】此题主要考查了向量加法、减法运算，属于基础题． 根据向量加法、减法运算法则进行运算即可． 解：(1)AB →+BC →+CD →=AD →(2)AB →+BC →+CD →+DE →+EF →=AF →(4)A 1A 2→+A 2A 3→+⋯+A n−1A n →=A 1A n →. 故答案为：AD →,AF →,0→,A 1A n →.16.【答案】43; 【解析】此题主要考查平面向量基本定理，向量的线性运算等知识，属于基础题.设AB →=a →，AD →=b →，先用a →，b →表示出AE →,AF →，AC →，根据AC →=λAE →+μAF →即可求出μ，λ，从而得解.解：设AB →=a →，AD →=b →，则AE →=12a →+b →，AF →=a →+12b →.又AC →=a →+b →，∴AC →=23(AE →+AF →)，即λ=μ=23， ∴λ+μ=43. 故答案为：43.17.【答案】4;【解析】主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算.,∴,∵解得18.【答案】=-a +b +c .∵,又=-=-c ,=-=-b ,a ,∴a -b -c .=2=a -2b -c .;【解析】19.【答案】解：(1)因为m →=(a,−√3b)，n →=(cosA,sinB)，且m →//n →.所以asinB +√3bcosA =0.由正弦定理得sinAsinB +√3sinBcosA =0.因为B ∈(0,π)，所以sinB >0，所以sinA +√3cosA =0(∗).当A ≠π2时，整理(∗)得tanA =−√3， 而A ∈(0,π)，所以A =2π3.(2)因为|n →|=√33，所以cos 2A +sin 2B =13.而A =2π3，所以(−12)2+sin 2B =13.又sinB >0，解得sinB =√36. 因为A =2π3，所以B ∈(0,π3)，所以cosB =√1−sin 2B =√336. 因为A +B +C =π，所以cosC =cos(π3−B)，=cos π3·cosB +sin π3·sinB=12×√336+√32×√36=3+√3312.;【解析】本题涉及的考点有两个向量平行的坐标公式、向量模的坐标公式、正弦定理、三角形内角和定理及两角和差公式等，属于中档题．(1)利用向量平行的坐标公式得到边角混合的方程，再由正弦定理化边为角得到目标的方程求解出目标；(2)由向量模的坐标公式得关于B 的三角方程，解出B 的正余弦，注意角的范围定三角值的正负，再由内角和定理将所求目标转化到B 后求解．20.【答案】解：（1）AB →=（n-8，t ），∵AB →⊥a →，且|AB →|=√5|OA →|，∴-（n-8）+2t=0，√(n −8)2+t 2=8√5，解得t=±8，t=8时，n=24；t=-8时，n=-8．∴向量OB →=（24，8），（-8，-8）．（2）AC →=（ksinθ-8，t ）， （2）∵向量AC →与向量a →共线，常数k ＞0，∴t=-2ksinθ+16， ∴f （θ）=tsinθ=-2ksi n 2θ+16sinθ=-2k (sinθ−4k )2+32k ．①k ＞4时，0＜4k ＜1，∴sinθ=4k 时，f （θ）=tsinθ取得最大值32k ，sinθ=-1时，f （θ）=tsinθ取得最小值-2k-16，此时函数f （θ）的值域为[−2k −16，32k ]． ②4＞k ＞0时，4k ＞1．∴sinθ=1时，f （θ）=tsinθ取得最大值-2k+16，sinθ=-1时，f （θ）=tsinθ取得最小值-2k-16， 此时函数f （θ）的值域为[-2k-16，-2k+16]．; 【解析】(1)AB →=(n −8,t)，由AB →⊥a →，且|AB →|=√5|OA →|，可得−(n −8)+2t =0，√(n −8)2+t 2=8√5，联立解出即可得出．(2)AC →=(k sinθ−8,t)，由向量AC →与向量a →共线，常数k >0，可得t =−2ksinθ+16，f(θ)=t sinθ=−2ksin 2θ+16sinθ=−2k (sinθ−4k )2+32k.对k 分类讨论，利用三角函数的值域、二次函数的单调性即可得出．该题考查了向量共线定理、模的计算公式、三角函数的值域、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=√3sin2x+2si n 2x-1 =√3sin2x-cos2x=2sin （2x-π6），∴函数f （x ）的最大值是2， 最小正周期为T=2πω=π；（Ⅱ）△ABC 中，由f （C ）=2，得2sin （2C-π6）=2，∴sin （2C-π6）=1， ∴2C-π6=π2+2kπ，k ∈Z ，解得C=π3+kπ，k ∈Z ，取C=π3；由CA →•CB →=3，得abcos π3=3，∴ab=6； 又a+b=112，∴a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=(112)2-2×6=734， 由余弦定理得：c 2=a 2+b 2-2abcosC=734-2×6×12=494， 所以c=72．;【解析】(Ⅰ)化函数f(x)为正弦型函数，求出f(x)的最大值和最小正周期； (Ⅱ)由f(C)=2求出C 的值，由CA →⋅CB →=3求出ab 的值； 再由a +b =112，利用余弦定理求得c 的值．此题主要考查了平面向量的数量积与三角函数的化简和解三角形的应用问题，是综合题．22.【答案】解：因为ka →+b →与a →+kb →共线，所以存在实数λ，使ka →+b →=λ(a →+kb →)(λ<0)， 所以{k =λ,kλ=1,所以k =±1.故当k =±1时，两向量共线． ; 【解析】非零两向量a →、b →共线的条件是存在实数λ，使a →=λb →，由此可得解法.23.【答案】解：(1)根据题意，BE →2=(AE →−AB →)2=(λAC →−AB →)2=λ2AC →2−2λAC →·AB →+AB →2=16λ2−4λ+1=16(λ−18)2+34，因为0<λ<1，根据二次函数性质可得BE →2∈[34,13), 所以|BE →|取值范围为[√32,√13); (2)由题可得：AD →=μAB →+μ4AC →=μAB →+μ4λAE →，因为B 、E 、D 三点共线，所以μ+μ4λ=1故1μ=1+14λ，所以λ+1μ=λ+14λ+1⩾2当且仅当λ=12时等号成立， 所以λ+1μ最小值为2.;【解析】此题主要考查平面向量的模以及利用基本不等式求出最值，属于中档题. (1)根据题意BE →=AE →−AB →，两边平方可得关于的二次函数，进而求出|BE →|的取值范围;(2)根据B 、E 、D 三点共线，可得1μ=1+14λ，利用基本不等式可求λ+1μ的最小值.24.【答案】BCD;【解析】【分析】本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键.难度不大.A.向量数量积不满足结合律进行判断；B.判断两个向量是否共线即可；C.结合向量数量积与夹角关系进行判断；D.根据向量线性运算进行判断. 【解答】解：A.向量数量积不满足结合律，故A 错误，B.假设向量a →与b →共线，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →， 所以−e 1→+2e 2→=5λe 1→+7λe 2→，即(5λ+1)e 1→+(7λ−2)e 2→=0→， 所以{5λ+1=07λ−2=0，则方程组无解，所以向量a →=−e 1→+2e 2→,b →=5e 1→+7e 2→不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，C.存在负数λ，使得m →=λn →，则m →与n →反向共线，夹角为180∘，此时m →·n →<0成立， 当m →⋅n →<0成立时，则m →与n →夹角满足90∘<θ⩽180∘，则m →与n →不一定反向共线， 即“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →·n →<0”的充分而不必要条件成立，故C 正确，D.由CD →=23CB →得CD →=23AB →−23AC →，则λ=23，μ=−23，则λ+μ=23−23=0，故D 正确.故正确的是BCD ， 故选BCD ·25.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查了向量共线，垂直，向量的数量积公式的运用；属于中档题.注意：三角形的内角与向量的夹角的关系，由题意，知道 a →=13AB →， b →=BC →，根据已知三角形为等边三角形解之，解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，a →，b →满足AB →=3øverrightarrow a ， 所以|3øverrightarrow a |=|AB →|=3,所以|a →|=1所以a →为单位向量，故A 正确； 又因为AC →=3øverrightarrow a +b →，又AC →=AB →+BC →=3øverrightarrow a +b →， ∴b →=BC →，故b →,BC →共线，故B 正确所以a →=13AB →，b →=BC →，所以|b →|=3，a →.b →=1×3×cos 120°=−32≠0，故C 错；6øverrightarrow a.b →=6×1×3×cos 120°=−9，b 2→=9，所以6øverrightarrow a ⋅b →+b →2=0，即(4øverrightarrow a +b →).b →=0，即(6øverrightarrow a +b →)⋅BC →=0，所以(6øverrightarrow a +b →)⊥BC →，故D 正确， 故选ABD .26.【答案】BCD; 【解析】此题主要考查向量的线性运算、向量的数量积的运算律、平面向量的基本定理，余弦定理，属于中档题.由重心的性质以及平面向量的基本定理可分析A ，得出E 为边BC 上靠近点B 的三等分点可分析B ，由余弦定理得cosA =−18，结合平面向量的数量积运算可分析C ，先由余弦定理得cos∠ABC =34，通过平面向量的数量积运算以及二次函数的性质，得出EA →·EB →取得最小值时|EB →|的大小，即可求解|EA →|，可分析D.解：设AB 的中点为D ，则GA →+GB →=2GD →，则AG →+BG →=−2GD →=−CG →，故A 不正确; 3AE →=2AB →+AC →，则AE →−AC →=2AB →−2AE →，即CE →=2EB →，E 为边BC 上靠近点B 的三等分点，则△EAC 的面积是△ABC 面积的23，故B 正确;在△ABC 中，由余弦定理得cosA =−18，则AB →·AG →=AB →·13(AB →+AC →)=13(AB →2+AB →·AC →)=13[4+2×2×(−18)]=76，故C 正确;由余弦定理得cos∠ABC =34，所以EA →·EB →=EB →·(EB →+BA →)=EB →2+EB →·BA →=EB →2+|EB →|·|BA →|cos(π−∠ABC)=EB →2−32|EB →|=(|EB →|−34)2−916， 则当|EB →|=34时，EA →·EB →取得最小值−916，此时|EA →|2=4+916−2×2×34×cos∠ABC =3716，|EA →|=√374，故D 正确. 故选BCD.27.【答案】BD;【解析】此题主要考查向量的模、向量数量积的坐标表示等，属于基础题.根据向量的数量积判断C ；根据向量的模判断A ；根据单位向量以及共线向量判断B ；根据向量的模判断D.解：C 选项，因为k <2时，a →.b →=k −2<0，且a →与b →共线时，k =−2， 所以a →与b →的夹角为钝角，故正确；A 选项，|a →|=√k 2+4⩾2，当且仅当k =0时，等号成立，所以|a →|的最小值为2，故正确；B 选项，与b →共线的单位向量还有(−√22,√22)，故错误； D 选项，若|a →|=2|b →|，所以√k 2+4=2√2，所以k 2=4，解得k =±2，故错误. 故选BD .28.【答案】AC;【解析】此题主要考查了向量的运算，平面向量的坐标运算，向量平行的性质，属于中档题.利用向量平行得出关于k 的方程，求解k 的值判断A ；利用向量的坐标运算以及求模公式判断B ；利用向量的数量积的运算法则得出c →⊥(a →−b →)或a →=b →判断C ；利用三角形的重心性质结合向量的加法运算判断D.解：A.a →=(92,k)，b →=(k,8)，若a →//øverrightarrow b ，则92×8−k 2=0，解得k =±6 ，故A 不正确；B.单位向量i →=(1,0)，f →=(0,1)，则3øverrightarrow i −4øverrightarrow f =(3,−4)，则|3øverrightarrow i −4øverrightarrow f|=√32+(−4)2=5，故B 正确；C.若a →⋅c →=b →⋅c →且c →≠0→，则c →.(a →−b →)=0，则c →⊥(a →−b →) 或a →=b →，故C 不正确； D.若点G 为ΔABC 的重心，设D 为AB 中点，由重心的性质得：GC →=−2øverrightarrowGD ，则GA →+GB →=2øverrightarrowGD =2×(−12)GC →=−GC →，则GA →+GB →+GC →=0→，故D 正确. 故选AC .。
平面向量的线性运算练习题
平面向量的线性运算练习题1. 已知平面向量a = 3i - 2j，b = 2i + 5j，求向量a + b的结果。
求解：a +b = (3i - 2j) + (2i + 5j)= 3i - 2j + 2i + 5j= 5i + 3j所以，向量a + b的结果为5i + 3j。
2. 已知平面向量u = 4i - 3j，v = 2i + 7j，w = -i + 2j，求向量2u - 3v + 4w的结果。
求解：2u - 3v + 4w = 2(4i - 3j) - 3(2i + 7j) + 4(-i + 2j)= 8i - 6j - 6i - 21j - 4i + 8j= -2i - 19j所以，向量2u - 3v + 4w的结果为-2i - 19j。
3. 已知平面向量p = -3i + 4j，q = 5i + 2j，r = 2i - j，s = -i - 5j，求向量(p + q) - (r - s)的结果。
求解：(p + q) - (r - s) = (-3i + 4j + 5i + 2j) - (2i - j + -i - 5j)= (-3i + 5i + 2i) + (4j + 2j - j - 5j)= 4i + 0j= 4i所以，向量(p + q) - (r - s)的结果为4i。
4. 已知平面向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求向量a与向量b的数量积。
求解：a ·b = (2i + 3j) · (4i - 5j)= 2i · 4i + 2i · -5j + 3j · 4i + 3j · -5j= 8i^2 - 10ij + 12ij - 15j^2= 8i^2 + 2ij - 15j^2 （注意i^2 = -1，j^2 = -1）= 8(-1) + 2ij - 15(-1)= -8 + 2ij + 15= 7 + 2ij所以，向量a与向量b的数量积为7 + 2ij。
平面向量线性运算经典习题
平面向量线性运算经典习题1.uuuur uuur uuur uuur uuur 设点 M是线段 BC的中点 , 点 A 在直线 BC外 , BC2 =4,|AB AC| |AB AC |,则|uuuurAM |=( )uuur uuur uuur uuur uuur2. 已知△ ABC 中 , 点 D 在 BC边上 , 且CD2DB ,CD r AB sAC , 则r+s的值是( )A.2B.4 3 33.平面向量 a,b 共线的充要条件是 ( ),b 方向同样,b两向量中起码有一个为0C. 存在λ∈ R,使 b=λaD.存在不全为零的实数λ, λ, 使λ a+λ2b=01214. 已知 O? A?B 是平面上的三个点uuur uuur uuur, 直线 AB上有一点 C, 知足2AC CB0,则 OC 等于( )uuur uuur uuur uuurOB B. OA2OB2 uuur1 uuur1 uuur2 uuurC. OA OBD.OA OB3333uuur uuur uuur uuur uuur uuur 5. 设 D? E? F 分别是△ ABC 的三边 BC、CA、AB上的点 , DC2BD , CE2EA, AF2FB ,uuur uuur uuur uuur则 AD BE CF 与 BC()A. 反向平行B. 同向平行C.不平行D.没法判断uuur uuur6. 已知 a,b 是不共线的向量, AB=λa+b,AC=a+μb,( λ, μ∈ R), 那么A、B、C 三点共线的充要条件为 ( )A. λ+μ=2B. λ - μ=1C.λμ=-1D. λμ =1uuur uuur uuur uuura ，而b是一非零向量，则以下各结论：① a //b ；②7. 设(AB CD ) (BC DA )a b a ；③ a b b ；④ a b a b ，此中正确的选项是（）A．①②B．③④ C ．②④D．①③8. 若a b c 化简3(a2b)2(3b c)2(a b)（）． aB ．b C． cD．以上都不对A9.在△ ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ ABC的重心，则MA MB MC等于（）A．O B．4MD C．4MF D．4ME10. 若点 O是△ ABC所在平面内的一点uuur uuur uuur uuur uuur, 且知足|OB OC | |OB OC2OA | ,则△ABC的形状为 ________.uuur uuur uuur uuur uuur11.如图 , 平面内有三个向量OA ? OB ? OC ,此中OA与OB的uuur uuur30°, 且夹角为 120°,OA与OC的夹角为uuur uuur uuur uuur uuur uuur| OA |=|OB |=1,|OC |= 2 3,若OC=λOAμ OB( λ, μ∈ R), 则λ+μ的值为 ________.12.如图 , 在△ ABC中, 点 O是 BC的中点 , 过点 O的直线分别交直线 AB,AC于uuur uuuur uuur uuur不一样的两点M,N, 若AB mAM , AC nAN , 则m+n的值为________.13．若a，b是两个不共线的非零向量，t ∈R，若 a，b 起点同样， t 为什么值1时， a， tb, 3( a＋b) 三向量的终点在一条直线上．14. 设 a、 b 是不共线的两个非零向量,uuur uuur uuur(1) 若OA2a b,OB 3a b, OC=a-3b, 求证 :A 、 B、C 三点共线 ;(2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线 , 务实数 k 的值 .15.如下图 , △ABC 中 , 点 M是 BC的中点 , 点 N 在 AC边上 , 且 AN=2NC,AM与 BN订交于点 P, 求 AP:PM的值 .。
平面向量的线性运算与应用练习题
平面向量的线性运算与应用练习题1. 问题描述：已知平面向量a = (-3, 2)和b = (5, -4)，求2a - 3b的结果。
解答：根据线性运算的定义，我们可以对向量a和b进行运算。
首先计算2a：2a = 2(-3, 2) = (-6, 4)。
然后计算3b：3b = 3(5, -4) = (15, -12)。
最后，将2a和3b相加：2a - 3b = (-6, 4) - (15, -12) = (-6 - 15, 4 - (-12)) = (-21, 16)。
所以，2a - 3b的结果为(-21, 16)。
2. 问题描述：已知平面向量a = (2, -1)和b = (-3, 4)，求|a + b|的值。
解答：根据线性运算的定义，我们可以对向量a和b进行运算。
首先计算a + b：a +b = (2, -1) + (-3, 4) = (2 - 3, -1 + 4) = (-1, 3)。
然后计算|a + b|的值，即求向量的模：|a + b| = √((-1)^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √10。
所以，|a + b|的值为√10。
3. 问题描述：已知平面向量a = (4, -2)，求向量a的单位向量和模。
解答：根据向量的定义，单位向量是模为1的向量。
首先计算向量a的模：|a| = √(4^2 + (-2)^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5。
然后，计算向量a的单位向量，即将向量a除以它的模：单位向量a' = (4, -2) / (2√5) = (2√5/2, -√5/2) = (√5, -√5/2)。
所以，向量a的单位向量为(√5, -√5/2)，模为2√5。
4. 问题描述：已知平面向量a = (3, 2)和b = (-1, 4)，求a与b的数量积和夹角。
解答：根据数量积的定义，a与b的数量积等于它们对应分量的乘积之和。
计算向量a与b的数量积：a·b = 3*(-1) + 2*4 = -3 + 8 = 5。
平面向量的线性运算习题课绝对经典(最新整理)
4. OA OC BO CO 等于( )
A. AB
B. BA
C. AC
5.化简 OP QP PS SP 的结果等于( )
D. CA
A、 QP
B、 OQ
C、 SP
D、 SQ
6.(如图)在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心,则 下列判断错误的是( )
A AB OC
B AB ∥ DE
18.已知四边形
ABCD 中, AB
1
DC
,且
AD
BC
则四边形
ABCD 的形状是___
2
___.
19.化简: ( AC DP BA) (CP BD) ______.
20.在△ABC 中,设 BC a , CA b ,则 AB =______ 三.解答题 21.某人从 A 点出发向西走了 10m,到达 B 点,然后改变方向按西偏北 60 走了 15m 到达 C 点,最后又向东走了 10 米到达 D 点.
23.在 直角坐 标系中,画出下列向量:
(1) a 2 , a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 60 ,与 y 轴正方向的夹角为 30 ;
(2) a 4 , a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 30 ,与 y 轴正方向的夹角为120 ;
(3) a 4 2 , a 的方向与 x 轴正方向的夹角为135 ,与 y 轴正方向的夹角为135 .
则
下
列
各
式
：
①
EF
1
c
1
b
；
②
BE
a
1
b；
③
CF
1
a
1
b；
④
22
2
22
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专题十一 平面向量的线性运算
（一）知识梳理：
1、平面向量的基本概念：
（1）定义：___________________________叫做向量
(2) 向量的表示法：用有向线段表示 (3) 模：_____________________叫做模，记作_____
(4) 零向量：___________________叫做零向量，记作____。
零向量的方向_______
(5) 单位向量：___________________________叫做单位向量。
（6）平行向量：___________________________叫做平行向量，记做__________
平行向量也叫_______________。
（7）相等向量：___________________________叫做相等向量，记做__________
(相等向量一定要在同一个起点吗？)
（8）相反向量：___________________________叫做相反向量，记做__________
(特别地，零向量的相反向量是_________)
2、平面向量的线性运算（运算的结果都是________）：
（1）向量的加法运算b a +及几何意义：
（ 法则）法则） a
运算法则：
交换律：____________________、结合律：____________________
(2) 向量的减法运算-及几何意义：
b （ 法则）
特别地，=-a a ____
(3) 向量的数乘运算λ)(R ∈λ及几何意义：
Ⅰ、定义：a λ的长度与方向规定如下：①长度________________________________
②方向 ________________________________________________________
故，数乘向量a λ与原向量a 之间的位置关系：________________ Ⅱ、应用：向量共线的充要条件：⇔≠→→→→)0(//a a b ________________________________ Ⅲ、运算法则：____________________、_____________________、___________________ （二）例题讲解： 考点1：向量的概念
例1（a 级）、“→→=a b ”是“→→a b //”的 （ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
易错笔记：
例2（b 级）、（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，
终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的有
易错笔记：
考点2：向量的线性表示与线性运算
例3（b 级）、如图，在ABC ∆中，BC 边上的中点为M ，设a AB =, =AC →b ，用a b →、表示下列向量：
=BC ________， =MB ________，=AM ________
易错笔记：
例4（b 级）、已知a 、b 方向相反，且|a |=3，|b |=7，则|2b a -|= ( )
A 、1
B 、-1
C 、13
D 、4
易错笔记：
考点3：向量的共线定理
例5（a 级）、已知21e e ，不共线，则下列每组中a 、b 共线的有______________.
（1）113,2e b e a -== (2) 213,2e b e a -==
（3）121212,2
a e e
b e e =-=-+ (4) 2121,e e b e e a +=-=
易错笔记：
（三）练习巩固：
一、选择题
1、下列说法正确的是 （ ）
A 、零向量没有方向
B 、零向量和任意向量平行
C 、单位向量都相等
D 、相反向量一定不相等
2、下列各式的运算结果为向量的是 （ ） (1) + (2) - (3) 2- (4) |+| (5) 0
A 、（1）（2）（3）（4）
B 、（1）（2）（3）
C 、（3）（5）
D 、（1）（2）（3）（5）
3、化简-+-= （ ）
A 、0
B 、
C 、
D 、 4、已知、是单位向量，则下列式子一定成立的是 （ ） A 、a =b B 、a -b =0 C 、a +b =2 D 、|a |+|b |=2
5、点C 在线段AB 上，且
2
5=CB AC ，则AB BC _____= （ ） A 、52- B 、75 C 、72 D 、7
2- 6、已知|a |=1，|b |=2，a =b λ，则|a -b |= （ ） A 、1 B 、3 C 、1或3 D 、|λ| 7、已知向量、，且2+=，65+-=，27-=，
则一定三点共线的三点是 （ ）
A ．A 、C 、D
B ．A 、B 、
C C ．B 、C 、
D D ．A 、B 、D
二、填空题
8、在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点，设=AB a , =，用,表示下列向量：=AC ________，
=BD ________，=CO _________，=OB ________.
9、已知212e e a +=，2123e e b -=，
则a +b =_____________，a -b =_____________，3a -2b =______________ 10、向量、的长度分别为4和3，夹角为600，则|+|=__________
三、解答题
11、一艘船以8km/h 的速度向北行驶，同时河水的流速为2km/h ，方向向东。
求船的实际航
行速度（精确到0.1km ）以及航向（精确到10）。