质点运动学-非物理类试题(附解析)

环M的加速度为
a
d 2r dt 2
4r
r d dt
2 cost
2
r
0
r
0
r d 2 dt 2 4R
2 dr d dt dt
2 cost
0
0
此 式 表 明 加 速 度 的 大 小 为 4R 2 ， 其 方 向 指 向 圆 心 。
解3 采用自然坐标系，取大圆上A点，计 算 弧 坐 标 的 起 点 ，以 运 动 方 向 为 其 正 方 向 (图
图 1—1(a)
图 1—1(b)
解 取坐标系如图 l 一 1(b)所示，两次测得飞机的位矢分别为
rr 12
r1 cos 1i r1 sin 1 j 3200i 2400 j r2 cos 2i r2 sin 2 j 3637i 2100 j
根据平均速度的定义，在 O．8s 内飞机的平均速度为
2 0
cos 2
2v
2 0
移项整理得
图1—12(a)
gx 2
2v
2 0
tan2
x tan
y
gx 2
2v
2 0
0
可解得
1
2g
v
2 0
y
gx 2
2v
2 0
投中篮圈的条件为x=L 时，y=(H-h)。将有关数值代入上式得
1 63.730 , 2 39.130 欲使篮球顺利进入篮圈，还必须考虑篮圈边框的阻挡，就是说入圈角 不能太小。由图
vb R
2h 15 g
2 1.5 27.1m s 9.8
方向指向圆心。
球相对于溜冰者的速度设为 vb ，则
v
b
vb
v0
于 是 ， 由 图 1— 25可 知
·
v
b
v
2 b
v
2 0
27.12 72 28 m s
方向 900 arctan 7 10402 28
1—5 一架飞机在速率u＝150km／h的西风中行驶，机头指向正北，相对于空
1—12(b)可知，仅当 D cos 900 d 才能人圈，即必须满足
45sin 24.60 , 33.140
现在来确定与出手角1 , 2 相对应的入圈角。由球的轨迹方程
y
x
tan
g
2v
2 0
sec2
x2
可知，斜率
dy tan gx sec2
dx
v
2 0
当x＝L 时， dy tan dx
即 v2＝v2－v1
v2＝ v2 2 v12 2v2v1 cos 2 527km / h
因此
arctan
v1 v 2
v
2
sin
cos 450
45 0 u
8 0 32
即目标相对地面以527km／h的速率沿西偏北 8032 的方向飞行。
v r r2 r1 3637 3200 i 2100 2400 j
1—7(d))，则小环M的运动学方程：
s AM R2 2Rt
则可求得小环M的速度和加速度：
v ds 0 2r 0 dt
a d 2 s 0 v 2 n 0 4R2 2 n 0 4R 2n 0
dt 2
R
1—3 求篮球运动员作立定投篮时顺利进入篮圈的最佳出手角度。已知运动员投球 时球距篮圈中心的距离L＝4．60m，篮圈距地面的高度为H＝3．05m，篮球的直径d＝ 246cm，篮圈的直径D＝45cm。设人的出手高度h===2m，出手速度 v0 ＝8m／s。
．
解 如 以 出 手 时 球 的 中 心 选 为 坐 标 原 点 ，坐 标 系 Oxy如 图 1— 12(a)。球的运动方程为
x v0 cos t,
y
v0
sin
t
1 2
gt
2
式中 为球与水平方向的夹角。消去t得
y x tan
g
x 2 x tan g 1 tan2 x 2
2v
v r r2 r1 3637 3200 i 2100 2400 j
t t
0.8
0.8
546i 375 jm s
故平均速度的大小为
v 5462 3752 6.62 102 m s
平均速度的方向与 x 轴的夹角为
arctan 375 34.50 546
1—2 一直杆，一端与半径为R的固定大圆环连结在0点，直杆还穿过套在大环 上的小环M，如图1—7(a)。已知直杆以匀角速绕0点转动，试求小环M的速度和加速度。
解 2 以 0为 原 点 、 x轴 为 极 轴 建 立 平 面 极坐标系(图1—7(c))，则小环的运动
学方程
r 2R cost
小环M的速度
t
v dr r 0 r d 0 2R sint r 0 r 0
dt
2R
dt
sint
r
0
2R
cost
0
由此可知速度的大小为 2R ，v与 0 的夹角为 t ，即v正好沿M点的切线方向。小
解1 以0点为原点建立直角坐标系x0y(图1—7(b))，则小环M的运动学方程为
x OM cos , y OM sin
若t=0时， ，则 t
又
OM 2R cos
故 x 2R cos2 t , y R sin 2t
v
dx
i
dy
j
通过求导可得速度
dt
2
dt R
sin
于是 tan gL sec2 tan
v
2 0
经计算得
1 63.730 , 2 39.130 ,
1 57.500 2 19.650
因为 1 33.140 ，故最佳出手角为 63.730.
。 l一4一溜冰者在冰面上以 v0 7 m s 的速度沿半径R＝15m 的圆周溜冰。某时刻他
气的航速 为 750km／h。飞机中雷 达 员在荧屏 上 发现一目 标 正 相 对 于 飞 机 从 东 北 方 向
以 950km／ h的 速 率 逼 近 飞 机 。 求 目 标 相对于地面的速度。
解 设 v1 为飞机相对于地面的速度， v2 为目标相对于地面的速度， v1 为飞机相
对于空气的速度，
v
平抛出一小球，为使小球能击中冰面上圆心处， 他应以多大的相对于他的速度抛球，并求
出该速度的方向(用与他溜冰速度之间的夹角 表示)。已知人抛球时的高度h=1．5m。
解 根据抛球时的高度矗和击中目标离溜冰者的距离，可以求出抛球
相对于地面的速度 vb ，由于
x vbt,
y 1 gt 2 。 2
而x＝R，y＝h可得
2t
i
2R
cos
2t
j
由此可知速度的大小为 2R ，v与y轴的夹角为 2t ，即 2 ，从图上可以看出，v的方
向正是M点圆的切线方向。 再求一次导数可得小环M的加速度：
a
d
2
x
i
d
2
y
j
4
R
2
cos
2t
i
4R
2
sint
j
dt 2
dt 2
由此可知加速度的大小为 4R 2 ，方向指向圆心。
第一章 质点运动学
1—1 如图 1—1(a)所示，雷达站探测飞机的方位，在某一时刻测得飞机离该站 r1 =4000m， 连线 r1 与水平方向的夹角 1 36.90 ；经过 0．8s 后，测得飞机离该站 r2 4200 m，连线 r2 与水平的夹角 2 300 。求飞机在这段时间内的平均速度。
2
为目标相对于飞机的速度。由于
v机气＝v 机地－v风地
即 v1＝v1－u ，
0
，
由图1—27可得 v1＝ v12 u2 765km / h
1
arctan
u v1
arctan 150 750
11.30
即飞机相对于地面的航速为760km／h，方向北偏东 11.30 。
因 v物机＝v物地－v 机地 ，
t t
0.8
0.8
546i 375 jm s
故平均速度的大小为
v 5462 3752 6.62 102 m s
平均速度的方向与 x 轴的夹角为
arctan 375 34.50 546