【附15套精选模拟试卷】河南省六市2020届高三第二次联考试题文科数学试卷含解析
2020年河南省六市高三第二次联考文科数学试题
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%Ⅱ& -'()（*９０+）
. 、/ 0 ) ：2 3 4 ４ 5 6 3 ，7 6 3 ５ 8 ，狓３ ＋狓＋１ < * 9 T （１，犳（１））E < < ø Æ T （２，１１），M 犪＝
．
烄狔≤狓
１４．Zk0狓，狔 [\óF烅狓＋狔≥１ ，M狕＝５狓＋狔 <76ÛU
Ｃ．狓３２ －狔４２ ＝１
Ｄ．狓４２ －狔３２ ＝１
９．ôõ(# $ 犃－犅犆犇 < = 5 % T & 9 '犗 < ( P f，û 犃犅⊥犅犆，犃犅⊥犆犇，∠犅犆犇＝
２π，Z ３
犅犆＝犆犇＝２，犃犅＝２槡３，M
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犗
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(P
v
U
Ａ．２０π
Ｂ．２４π
Ｃ．２８π
Ｄ．３２π
１０．ì )
0狔＝４ｓｉｎ（ω狓－π３）（ω＞０）<
（Ⅱ ）Z 犳（狓）: 9 ~ 5 Û T 狓１，狓２，M L ：犳（狓狓２２）－ －狓犳１（狓１）＞
４ 犪
－
犪 ２
．
２１．（2 6 3 [ 8 １２ 8 ） ôõ¿ 犉：（狓－２）２ ＋狔２ ＝４，T犙（狓，狔）（狓≥０），øX犙犉 ç¿犉 íT犘，øX犘犙 <01çT 犙 }狔 5<@． （Ⅰ）IT 犙 < 犠 <!"； （Ⅱ）ÆT犃（２，４）±~=>?<?øç 犠 <íT8D犕 S犖 （犕 9犖 <f!，犃， 犕，犖 Uwu<(T），I+x犖犕→ 9狔 5º!+f<<BÛCD．
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2020河南省六市高三第二次联合调研检测数学试卷(文科)答案
1-6 C B 二㊁填空13.2 14.3 15.(-1,6) 16.23三㊁解答题17解:(Ⅰ)ȵa 12+a 23+ +a n n +1=n 2+n ..①ʑ当n =1时,可得a 1=4,1分 当n ȡ2时,a 12+a 23+ +a n -1n =(n -1)2+n -1.② 分 ① ②可得:a n n +1=(2n -1)+1=2n ,4分 ʑa n =2n (n +1).n =1时也满足5分 ʑa n =2n (n +1).6分 (Ⅱ)b n =1a n =12n (n +1)=12(1n -1n +1)8分 ʑS n =12(1-12+12+12-13+ +1n -1n +1=12(1-1n +1),10分 又S n >1940,可得n >19,11分 可得最小正整数n 为20.12分 18解:(Ⅰ)证明:因为G 为A E 中点,A D =D E =2所以D G ʅA E .1分 因为平面A D E ʅ平面A B C E ,平面A D E ɘ平面A B C E =A E ,D G ⊂平面A D E ,所以D G ʅ平面A B C E .3分 在直角三角形A D E 中,易求A E =22,则D G =A D ㊃D E A E =2.4分 所以四棱锥D -A B C E 的体积为V D -A B C E =13ˑ(1+5)ˑ22ˑ2=22.6分 (Ⅱ)在B D 上存在点P ,使得C P ʊ平面A D E 且B P B D =457分 过点C 作C F ʊA E 交A B 于点F ,过点F 作F P ʊA D 交D B 于点P ,连接P C因为C F ʊA E ,A E ⊂平面A D E ,C F ⊄平面A D E ,所以C F ʊ平面A D E ,同理F P ʊ平面A D E ,又因为C F ɘP F =F ,所以平面C F P ʊ平面A D E .9分 因为C P ⊂平面C F P ,所以C P ʊ平面A D E . 2020年河南省数六学市文高科三参第考二答次案联合调研检测一㊁选择题题A B C D 7-12D C C A D A第1页,共5页初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店。
河南省2020届高三第二次模拟考试卷 文科数学(二)(PDF版,答案解析)
成立．
（1）求实数 k 的值；
（2）若 m 1 ， n 1 且求证 f (m) f (n) 10 ，求证： 9 1 16 ．
2
2
mn 3
二模测试卷 第 7 页（共 8 页）
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高三第二次模拟考试卷
文科数学（二）答 案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】C
B．若 1 x 1，则 x2 1
C．若 x 1或 x 1，则 x2 1
D．若 x 1或 x 1，则 x2 1
4焦点分别为 F1 ，F2 ，过 F2 且垂直于长轴的直线交椭圆于 A, B 两点，
则 △ABF1的周长为（ ）
A． 4
B． 6
C． 8
D．16
为
cos2
2asin (a
0)
，过点
P(1, 2)
的直线 l
的参数方程为
x
1
2t 2 （ t 为参数），l
y
2
2t 2
与 C 交于 A ， B 两点．
（1）求 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程；
（2）若 PA ， AB ， PB 成等比数列，求 a 的值．
23．（12 分）已知定义在 R 上的函数 f (x) 2x k 2 x ， k N* ．存在实数 x0 使 f (x0 ) 2
∴△ABF1的周长为| AF1 | | BF1 | | AB | (| AF1 | | AF2 |) (| BF1 | | BF2 |) 8 ，
故选 C． 5．【答案】A
【解析】因为平面向量 a (1, 3) ， b (2, 0) ，
2020届河南省六市高三第二次联合调研检测数学(文)试题解析
绝密★启用前2020届河南省六市高三第二次联合调研检测数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设全集U =R ，集合{}(4)(1)0A x x x =-+≥，则U A =ð（ ） A ．(1,4]- B ．[1,4)-C ．(1,4)-D ．[1,4]-答案：C由一元二次不等式求解可得集合A,求其补集即可. 解：因为(4)(1)0x x -+≥， 所以1x ≤-或4x ≥， 即{|1A x x =≤-或4}x ≥， 所以(1,4)U A =-ð， 故选：C 点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的补集运算，属于容易题.2．复数1z 在复平面内对应的点为(2,3)，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ） A ．85B ．85-C ．85iD ．85i -答案：B根据复数对应的点知123z i =+，利用复数的除法法则计算12z z ，即可求解. 解：因为复数1z 在复平面内对应的点为(2,3)， 所以123z i =+，则122+3(23)(2)18182(2)(2)555z i ii i i z i i i +----====---+-+--， 所以复数的虚部为85-. 故选：B 点评：本题主要考查了复数的几何意义，复数的除法运算，复数的虚部，属于容易题.3．在ABC V 中，AB c =u u u r r ，AC b =u u u r r ，若点D 满足12BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r（ ）A ．1233+r r b cB ．2133b c +r rC ．4133b c -r rD ．1122b c +r r答案：A由条件即得()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu ur uu u r . 解：12BD DC =u u u r u u u rQ ，13BD BC ∴=uu u r uu u r ，故有()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu ur uu u r . 故选：A 点评：本题主要考查了向量的线性表示，向量的加减运算，是基础题.4．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V ，2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S 、2S ，则“1S 、2S 不总相等”是“1V ，2V 不相等”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B先得到命题：如果“1S 、2S 不总相等”，那么“1V ，2V 不相等”的等价命题：命题：如果“1V ，2V 相等”，那么“1S 、2S 总相等”，然后根据祖暅原理结合充分，必要条件的定义判断. 解：命题：如果“1S 、2S 不总相等”，那么“1V ，2V 不相等”的等价命题是： 命题：如果“1V ，2V 相等”，那么“1S 、2S 总相等”，根据祖暅原理，当两个截面的面积1S 、2S 总相等时，这两个几何体的体积1V ，2V 相等， 所以逆命题为真，则是必要条件，当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故不充分，所以“1S 、2S 不总相等”是“1V ，2V 不相等”的必要不充分条件. 故选：B 点评：本题主要考查逻辑条件的判断以及等价命题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.5．鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为A ．334000mmB ．333000mmC ．332000mm D ．330000mm答案：C由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积． 解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V ＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm 3）．故选C ． 点评：本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．6．在正项等比数列{}n a 中，2224159002a a a a +=-，649a a =，则2020a 的个位数字是（ ） A ．1 B ．7 C ．3 D ．9答案：B由等比数列的性质可得1524a a a a =，根据条件求得2430a a +=，又由539a a =，利用等比数列的通项公式求出基本量1a 和q ，即可求出n a ，再对等比数列各项个位数进行分析推理，从而得出2020a 的个位数字. 解：解：根据题意，由等比数列的性质可得1524a a a a =，因为2224159002a a a a +=-，所以2224249002a a a a +=-，所以2222424242()900a a a a a a ++=+=，又因为{}n a 为正项等比数列，则0n a >，0q >， 所以2430a a +=，又由于649a a =，则3115311309a q a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，即()2121309a q q q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得：11,3==a q ， 故13-=n n a ，可知234123451,3,39,327,381a a a a a ========L可得n a 的个位数以4为周期不断循环，所以20192019450434504202013(3)3(3)27a a q===⨯=⨯， 所以2020a 的个位数字是7. 故选：B. 点评：本题考查等比数列的性质和等比数列的通项公式，考查推理与运算能力，属于基础题. 7．关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰试验.受其启发,我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值,试验步骤如下： ①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(,)(01,01)x y x y <<<<；②若卡片上的x ,y 能与1构成锐角三角形,则将此卡片上交； ③统计上交的卡片数,记为m ；④根据统计数m 估计π的值.假如本次试验的统计结果是218m =,那么可以估计π的值约为（ ） A ．389124B ．391124C ．389125D ．391125答案：D根据x ,y 能与1构成锐角三角形可求得,x y 满足的不等式,进而利用几何概型的方法列式求解π即可. 解：因为实数对(,)(01,01)x y x y <<<<与1构成锐角三角形,设边长为1的边对应的角度为θ,则2221 cos02x yxyθ+-=>,即221x y+>.根据几何概型的方法可知22112184110001π⨯=-,故218782411003025091125π⎛⎫=⨯-==⎪⎝⎭.故选：D点评：本题主要考查了随机模拟法与几何概型求解圆周率值的问题,需要根据题意确定,x y满足的不等式,再根据面积的比列式化简求解.属于中档题.8．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线过点(3,2)，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x=的准线上，则双曲线的方程为（）A．2212128x y-=B．2212821x y-=C．22134x y-=D．22143x y-=答案：C由题意可得渐近线的斜率，即为,a b的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c，由a b c，，的关系，解方程可得,a b进而得到所求双曲线的方程．解：解：双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线过点(3,2)-，可得渐近线的斜率为3bka=-=双曲线的一个焦点在抛物线247y x=的准线7x=可得7c=即227a b+=，解得2b=，3a=。
2020届河南省六市高三第二次联合调研考试数学(文)试卷及解析
2020届河南省六市高三第二次联合调研考试数学（文）试卷★祝考试顺利★（含答案）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,满分150分,考试用时120分钟．其中第I1卷22题,23题为选考题,其它题为必考题．考试结束后,将答题卡交回．注意事项：1．答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ,集合{}(4)(1)0A x x x =-+≥,则U A （ ） A. (1,4]-B. [1,4)-C. (1,4)-D. [1,4]- 【答案】C【解析】由一元二次不等式求解可得集合A,求其补集即可.【详解】因为(4)(1)0x x -+≥,所以1x ≤-或4x ≥,即{|1A x x =≤-或4}x ≥,所以(1,4)U A =-,故选：C2. 复数1z 在复平面内对应的点为(2,3),22z i =-+（i 为虚数单位）,则复数12z z 的虚部为（ ） A. 85B. 85-C. 85iD. 85i - 【答案】B【解析】 根据复数对应的点知123z i =+,利用复数的除法法则计算12z z ,即可求解. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为(2,3),所以123z i =+, 则122+3(23)(2)18182(2)(2)555z i i i i i z i i i +----====---+-+--, 所以复数的虚部为85-. 故选：B3. 在ABC 中,AB c =,AC b =,若点D 满足12BD DC =,则AD =（ ） A. 1233+b c B. 2133b c + C. 4133b c - D. 1122b c + 【答案】A【解析】 由条件即得()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+. 【详解】12BD DC =,13BD BC ∴=, 故有()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+. 故选：A4. 南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同,则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V ,2V ,被平行于这两个平面的任意平面截。
河南省六市2020届高三第二次联合调研检测数学(文科)试卷含答案
★2020年5月28日2020年河南省六市高三第二次联合调研检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．其中第I1卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将答题卡交回.注意事项:1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R ，集合{}0)1)(4(≥+-=x x x A ，则A C U =A ．（1-，4]B ．[1-，4）C ．（1-，4）D ．[1-，4]2．复数z 1在复平面内对应的点为（2，3）．i z +-=22（i 为虚数单位），则复数21z z 的虚部为 A ．58 B ．58- C ．i 58 D ．i 58- 3．在△ABC 中==，若点D 满足21=，则= A ．c b 3231+ B ．3132+ C ．3134- D ．2121+4．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1、S2，则“S1、S 2不总相等”是“V1，V2不相等”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．青班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作，下图1是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中一个构件的三视图（图中单位mm ），则此构件的体积为A ．34000 mm 3B ．33000 mm 3C ．32000 mm 3D ．30000 mm 36．在正项等比数列{}n a 中，4651242292900a a a a a a =-=+，，则2020a 的个位数字是A ．1B ．7C ．3D ．97．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x ，y ）（0＜x ＜1，0＜y ＜1）；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m=218，那么可以估计π的值约为A ．124389B ．124391C ．125389D ．125391 8．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（3-，2），且双曲线的一个焦点在抛物线x y 742=的准线上，则双曲线的方程为A ．1282122=-y xB ．1212822=-y x C ．14322=-y x D ．13422=-y x 9．已知三棱锥A —BCD 的四个顶点都在球O 的表面上，且AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∠BCD=32π，若BC=CD=2，AB=32，则球O 的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π10．将函数)0)(3sin(4>-=ωπωx y 的图像分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为A ．3B ．2C ．4D ．611．已知函数y=f （x ）满足f （x+1）=f （x -1），当x ∈[-1，1]时f （x ）=x 2，则方程x x f lg )(=实根共有A ．10个B ．9个C ．18个D ．20个12．已知椭圆C 1：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）与圆C 2：43222b y x =+，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是A ．)33,0(B ．)22,0(C ．)122[，D ．)133[， 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知函数3()1f x ax x =++的图像在点（1，(1)f ）处的切线过点（2，11），则a= ． 14．若实数x ，y 满足约束条件工1330y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则z=5x +y 的最小值为 ．15．设函数22()4x x f x e e x -=--，则不等式2()(56)f x f x +--＜0的解集是 ．（用区间表示）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC，则c b b c +的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足：212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++（n ∈N +）． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）设1n n b a =，若数列{b n }的前n 项和为n S ，求满足1940n S ＞的最小正整数n ．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中（如图1），AB∥DC，∠BAD =90°，AB=5，AD =2，CD=3，点E在CD上，且DE=2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE（如图2），G为AE中点．（Ⅰ）求四棱锥D—ABCE的体积；（Ⅱ）在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底新50元，快递骑手每完成一单业务提成3元：方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95] 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1），丁、戊选择了日工资方案（2）．现从上述5名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（2）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）20．（本小题满分12分）设函数2()ln f x x ax x =-+．（Ⅰ）若当x=1时()f x 取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：2121()()42f x f x a x x a ---＞．21．（本小题满分12分）已知圆F ：4)2(22=+-y x ，动点Q )(y x ，（x≥0），线段QF 与圆F 相交于点P ，线段PQ 的长度与点Q 到y 轴的距离相等．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点A （2，4）作两条互相垂直的直线与W 的交点分别是M 和N （M 在N 的上方，A ，M ，N 为不同的三点），求向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 213231（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρ22sin 213+=． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设A ．B 为曲线C 2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB=2π，射线OA ，OB 交曲线C 1分别于点D ，C ．求△AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积。
河南省六市2020届高三第二次模拟调研考试数学(文)试卷
数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．其中第I1卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将答题卡交回. 注意事项:1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R ，集合{}0)1)(4(≥+-=x x x A ，则A C U =A ．（1-，4]B ．[1-，4）C ．（1-，4）D ．[1-，4] 2．复数z 1在复平面内对应的点为（2，3）．i z +-=22（i 为虚数单位），则复数21z z 的虚部为 A ．58B ．58-C ．i 58D ．i 58- 3．在△ABC 中b AC c AB ==，，若点D 满足DC BD 21=，则AD = A ．c b 3231+B ．c b 3132+C ．c b 3134-D ．c b 2121+ 4．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S 1、S 2，则“S 1、S 2不总相等”是“V 1，V 2不相等”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．青班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作，下图1是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中一个构件的三视图（图中单位mm ），则此构件的体积为A ．34000 mm3B ．33000 mm 3C ．32000 mm 3D ．30000 mm 36．在正项等比数列{}n a 中，4651242292900a a a a a a =-=+，，则2020a 的个位数字是 A ．1 B ．7 C ．3 D ．9 7．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x ，y ）（0＜x ＜1，0＜y ＜1）；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m=218，那么可以估计π的值约为 A ．124389 B ．124391 C ．125389 D ．1253918．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（3-，2），且双曲线的一个焦点在抛物线x y 742=的准线上，则双曲线的方程为A ．1282122=-y x B ．1212822=-y x C ．14322=-y x D ．13422=-y x9．已知三棱锥A —BCD 的四个顶点都在球O 的表面上，且AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∠BCD=32π，若BC=CD=2，AB=32，则球O 的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π 10．将函数)0)(3sin(4>-=ωπωx y 的图像分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为A ．3B ．2C ．4D ．611．已知函数y=f （x ）满足f （x+1）=f （x-1），当x ∈[-1，1]时f （x ）=x 2，则方程x x f lg )(=实根共有A ．10个B ．9个C ．18个D ．20个12．已知椭圆C 1：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）与圆C 2：43222b y x =+，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是 A ．)33,0( B ．)22,0( C ．)122[， D ．)133[， 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知函数3()1f x ax x =++的图像在点（1，(1)f ）处的切线过点（2，11），则a= ．14．若实数x ，y 满足约束条件工1330y xx y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则z=5x +y 的最小值为 ．15．设函数22()4xx f x ee x -=--，则不等式2()(56)f x f x +--＜0的解集是 ．（用区间表示）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC边上的高为4a ，则c bb c+的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足：212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++（n ∈N +）． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设1nnba，若数列{b n}的前n项和为nS，求满足1940nS＞的最小正整数n．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中（如图1），AB∥DC，∠BAD =90°，AB=5，AD =2，CD=3，点E在CD 上，且DE=2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE（如图2），G为AE中点．（Ⅰ）求四棱锥D—ABCE的体积；（Ⅱ）在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底新50元，快递骑手每完成一单业务提成3元：方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95] 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1），丁、戊选择了日工资方案（2）．现从上述5名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（2）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）20．（本小题满分12分）设函数2()ln f x x ax x =-+．（Ⅰ）若当x=1时()f x 取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：2121()()42f x f x ax x a ---＞．21．（本小题满分12分）已知圆F ：4)2(22=+-y x ，动点Q )(y x ，（x≥0），线段QF 与圆F 相交于点P ，线段PQ 的长度与点Q 到y 轴的距离相等． （Ⅰ）求动点Q 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点A （2，4）作两条互相垂直的直线与W 的交点分别是M 和N （M 在N 的上方，A ，M ，N 为不同的三点），求向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 213231（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρ22sin 213+=． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程； （Ⅱ）设A ．B 为曲线C 2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB=2π，射线OA ，OB 交曲线C 1分别于点D ，C ．求△AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积。
2020高考模拟河南六市-文数答案
2020年河南省六市高三第二次联合教学质量监测参考答案1-5CBABC6-10BDCCA 11-12DA 13.214.315.）（6,1-16.2317解：（Ⅰ）∵．①∴当n=1时，可得a 1＝4，…….......................................................…1分当n ≥2时，．②…................……2分①—②可得：＝（2n ﹣1）+1=2n，……...............................…4分∴．n=1时也满足……....................................................…5分∴.…………..............................................................….…6分（Ⅱ）=….............................................…..…8分∴S n，…….........................…10分又4019>n S ，可得n>19，…............................................................……11分可得最小正整数n 为20．……..................................................………12分18解：（Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==所以DG AE ⊥.............................................................…1分因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ．..........................................................................…3分在直角三角形ADE 中，易求2AE =,则2AD DE DG AE ⋅==．............…4分所以四棱锥D ABCE -的体积为1(15)222232D ABCE V -+⨯=⨯⨯=．…………6分（Ⅱ）在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =……..................…7分过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC 因为CF //A E ，AE ⊂平面,ADE CF ⊄平面ADE ,所以CF //平面ADE ,同理//FP 平面ADE ,又因为CF PF F ⋂=，所以平面CFP //平面ADE ．….....................................................................……9分因为CP ⊂平面CFP ，所以//CP 平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE .……............................…10分因为四边形AECF 为平行四边形，所以1==CE AF ，即4=BF 故45BP BF BD AB ==所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =…........………12分19（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）107.（Ⅲ）选择方案（1）解：（Ⅰ）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.20.150.05，，因为0.20.150.050.4++=所以()P A 估计为0.4.……4分（Ⅱ）设事件B 为“从五名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（2）”从五名骑手中随机选取2名骑手，有10种情况，即{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丙}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}{丙，戊}{丁，戊}..........................................................................................…6分其中至少有1名骑手选择方案（2）的情况为{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}共7种情况，所以7()10P B =.……..................................................................................…8分（Ⅲ）方法1：快递公司人均日快递量的平均数是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此，方案（1）日工资约为50623236+⨯=…...........................….…10分方案(2)日工资约为()10062445190 236+-⨯=<故骑手应选择方案（1）..................................................................…12分方法2：设骑手每日完成快递业务量为n 单方案（1）的日工资*1503()y n n =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,n n y n n n ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩N N当17n <时，12y y <依题意，可以知道25n ≥，所以这种情况不予考虑当25n ≥时令()503100544n n +>+-则85n <…….................…10分即若骑手每日完成快递业务量在85单以下，则方案（1）日工资大于方案（2）日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85单的频率是0.05，较低，故建议骑手应选择方案（1）……...............................................…......12分方法3：设骑手每日完成快递业务量为n 单，方案（1）的日工资*1503()y n n =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,n n y n n n ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩N N所以方案（1）日工资约为1400.051700.052000.22300.32600.22900.153200.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯236=…….....................................................................................…10分方案（2）日工资约为1000.051000.051300.21800.32300.22800.153300.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯194.5=因为236194.5>，所以建议骑手选择方案（1）.……....…12分20（Ⅰ）()()2121 20x ax f x x a x x x-+'=-+=>………………1分1x = 时，()f x 取得极值.()0,31f a ∴'==.……………………………2分.()()()2211231 x x x x f x x x---+'∴==解()0f x '>得102x <<或1x >解()0f x '<得112x <<……………4分()f x ∴的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.…………5分（Ⅱ）()()221 ,0x ax f x x x-+'=>()f x 存在两个极值点∴方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根∴212180,02a x x ∆=->=>，1202a x x +=>……………………………………………………………………………6分()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x -+-+--=--2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+--……………………………7分∴所证不等式()()212142f x f x a x x a >---等价于2121ln ln 4x x x x a ->-……………………8分即212121ln ln 2x x x x x x ->-+……………………………………………………………………9分不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+.………………………………………………10分令211x t x =>，()()21ln 1t h t t t -=-+,()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，()h t ∴在(1,)+∞上递增.()()10h t h ∴>=.…………………………………………………………………………11分2212111ln 21x x x x x x -∴>+成立.()()212142f x f x a x x a ∴>---成立.……………………………12分21解：（Ⅰ）由题知点Q 到F 的距离||QF 等于Q 到y 轴的距离加2所以||QF 等于Q 到直线2x =-的距离…….............................…2分由抛物线的定义可知:点Q 的轨迹W 是以F 为焦点，以2-=x 为准线的抛物线…….............................……......................................................…3分所以动点Q 的轨迹W 的方程为x y 82=….....................................……4分（Ⅱ）设直线AM 的方程为2)4(+-=y m x ）（0>m ，与x y 82=联立，得0163282=-+-m my y ，则0)1632(4642>-⨯-=∆m m ，1100><<∴>m m m 或 ，........................................................……6分设),(),,(2211y x N y x M ，则m y 841=+，即481-=m y ，以m 1-代替m ，得482--=m y ，则向量NM →在y 轴正方向上的投影为)1(821m m y y +=-...........................................................................……9分设函数)1(8)(mm m f +=，则)(m f 在）（1,0上单调递减，在），（∞+1上单调递增，从而16)1()(=>f m f ...........................................................…...................…11分故向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围为），（∞+16............……12分22.解：（Ⅰ）由曲线1C的参数方程为31212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）消去参数得40x +-=cos ,sin x y ρθρθ==由得,cos sin 4ρθθ=即cos sin sin cos 266ππρθρθ+=即曲线1C 的极坐标方程为sin()26πρθ+=……………3分由222y x +=ρ，22222(12sin )3,23x y y ρθ+=++=即2213x y +=…..................................5分（Ⅱ）设1(,)A ρθ,2(,)2B πρθ+,3(,)D ρθ,4(,)2C πρθ+故2221222222113391912sin 12cos 4412sin 12cos 416()2AOB S ρρθθθθ∆==≥=+++++，即AOB ∆面积的最小值为34当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”…..................................8分（法2：:222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”121324AOB S ρρ∆=≥...............................8分）此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==++ 48cos 3π==故所求四边形的面积为329844-=…..................................10分23.证明：（Ⅰ）,,0a b c > ，∴222111()4f x x x a c b =+++-222111()4x x c b a ≥+--+2221114a b c =++∴2221114a b c ++1=…...................................3分由柯西不等式得222(4)a b c ++222111(4a b c ++2(111)9≥++=当且仅当2a b c ===时取“=”∴22249a b c ++≥…..................................5分（Ⅱ）22112,a b ab +≥ 22111,4b c bc +≥221114a c ac+≥（以上三式当且仅当2a b c ===时同时取“=”）…..................................…...................................7分将以上三式相加得211ab bc ac ++≤2221112()24a b c ++=即111122ab bc ac++≤…..................................10分。
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河南省六市2020届高三第二次联考试题文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为4π，则圆锥的内切球的表面积为( ) A ．8πB ．24(22)π-C ．24(22)π+ D ．232(22)49π-2．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（ ）A ．点A 到EF 的距离为3B ．点B 到平面EFC 的距离是3 C ．三棱锥C DMN -的体积是16D ．EF 与MN 所成的角是60︒4．已知0.80.5a =，0.50.8b =，0.80.8c =，则（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b << 5．执行下边的程序框图，输入，则输出S 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为1a ，衡间距为2d，则次二衡直径为21a a d =+，次三衡直径为12a d +，…，执行如下程序框图，则输出的i T 中最大的一个数为（ ）A ．1T B ．2T C ．3T D ．4T7．设0.40.580.5,log 0.3,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<8．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222()tan a c b B ac +-=，则角B 的值A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π9．设353 77753773(),(),(7)a b c===，则,,a b c的大小关系为()A．a b c<<B．b c a<<C．a c b<<D．c a b<<10．已知ABC∆，6AB=，3AC=，N是边BC上的点，且2BN NC=u u u r u u u r，O为ABC∆的外心，AN AOu u u r u u u rg的值为（）A．8 B．10 C．18 D．911．已知,,αβγ是三个不同的平面，,m n是两条不同的直线，给出下列命题：①若//,m nαα⊂，则//m n；②若,//m m nαβ⋂=，且,n nαβ⊄⊄，则//,//n nαβ；③若,,//n mαβαβ⊥⊂，则m n⊥；④,,,m nαγβγαβγ⊥⊥⋂=⊂，则m n⊥.其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．412．已知实数x、y满足不等式组210210x yx yy-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y=-+的最大值为（）A．3B．2C．32-D．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示的流程图，若输入x的值为 5.5-，则输出的结果c=________．14．已知直线3y x34=--与x，y轴分别交于A，B两点，动点P在圆22x y2x2y10+--+=上，则ABPV面积的最大值为______．15．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e-=的切线，则k =________.16．抛物线22(0)y ax a =>的焦点为F ，其准线与双曲线22149y x -=相交于,M N 两点，若0120MEN ∠=，则a =_______.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数32()f x x ax =-．当3a =时，求函数()f x 在区间[0,2]上的最小值；当3a >时，求证：过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．18．（12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，已知直线AB 的斜率为12，5AB =.求椭圆C 的方程；设直线:1l x my =-与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且点O 在以MN 为直径的圆外（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围.19．（12分）如图，ABC △ 中，4AB BC ==， 90ABC ∠=︒，,E F 分别为 AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF V 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PB BE =．证明：BC ⊥平面 PBE ；求点F 到平面PEC 的距离． 20．（12分）设函数()13f x x x =-++.求不等式()61f x -<的解集；证明：24()24x f x x -≤≤+.21．（12分）己知直线l 的参数方程为132x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()13P ，．求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；求11PA PB+的值．22．（10分）已知直线l ：11232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数), 曲线1:x cos C y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．设l 与C 1相交于AB 两点,求|AB|；若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,纵坐标压缩为原来的2倍,得到曲线2C,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 2．B 3．D 4．D 5．D 6．D 7．C 8．C 9．B 10．D 11．C 12．A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1 14．1215．1或1e 16．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（I ）4 .（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（I ）对f （x ）求导，判断f′（x ）的符号得出f （x ）的单调性，根据单调性得出f （x ）的最小值；（II ）设过P 的切线的切点为（x 0，y 0），根据导数的几何意义列出方程组，得出关于x 0的方程，利用函数单调性证明此方程恰好有两解即可． 【详解】（Ⅰ）当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2，f'（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）． 当x ∈[0，2]时，f'（x ）≤0，所以f （x ）在区间[0，2]上单调递减．所以f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （2）＝﹣4．（Ⅱ）设过点P （1，f （1））的曲线y ＝f （x ）的切线切点为（x 0，y 0），f'（x ）＝3x 2﹣2ax ，f （1）＝1﹣a ，所以()()()32000200001321y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩，．所以()3200023210x a x ax a -+++-=．令g （x ）＝2x 3﹣（a+3）x 2+2ax+1﹣a ，则g'（x ）＝6x 2﹣2（a+3）x+2a ＝（x ﹣1）（6x ﹣2a ）， 令g'（x ）＝0得x ＝1或3ax =， 因为a ＞3，所以1a ＞． ∴g （x ）的极大值为g （1）＝0，g （x ）的极小值为()103a g g ⎛⎫=⎪⎝⎭＜， 所以g （x ）在3a ，⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点x ＝1．因为g （a ）＝2a 3﹣（a+3）a 2+2a 2+1﹣a ＝（a ﹣1）2（a+1）＞0，所以g （x ）在3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上有且只有一个零点． 所以g （x ）在R 上有且只有两个零点．即方程()3200023210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点P （1，f （1））恰有2条直线与曲线y ＝f （x ）相切． 【点睛】本题考查了导数的几何意义及切线方程，导数与函数单调性的关系，考查函数零点与方程解的个数判断，准确转化题意是关键，属于中档题．18．（1）2214x y +=（2）11(,)22-【解析】 【分析】(1)由已知条件列出关于a b 、的二元一次方程组，求出a b 、的值，得到椭圆方程(2)由题意中点O 在以MN 为直径的圆外转化为MON ∠为锐角，即0OM ON ⋅>u u u u v u u u v，设出点M 、N 的坐标代入求出m 的取值范围 【详解】（1）由已知得：(),0A a -，()0,B b ，结合已知有12b a ⎧=⎪=，可得24a =，21b =，则椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由22114x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()224230my my +--=.故12224m y y m +=+，12234y y m -=+， ()()222212416480m m m ∆=++=+>.由题意得MON ∠为锐角0OM ON ⇔⋅>u u u u v u u u v， ∴12120OM ON x x y y ⋅=+>u u u u v u u u v，又()()()212121212111x x my my m y y m y y =--=-++()()21212121211x x y y m y y m y y +=+-++()2222223214110444m m m m m m --+⋅-+=>+++∴214m <，解得1122m -<<. ∴m 的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，在求解过程中将其转化为向量的夹角问题，运用向量知识求解，设而不求，解得m 的取值范围，属于中档题 19．（1）见解析；（2）19【解析】 【分析】（1）推导出EF BC ∥，EF BE ⊥，EF PE ⊥，从而EF ⊥平面 PBE ，由此能证明BC ⊥平面PBE ；（2）取BE 的中点 O ，连接 PO ，则平面PBE ⊥平面BCFE ，PO BE ⊥，从而PO ⊥平面BCFE ，设点 F 到平面PEC 的距离为d ，由F PEC P ECF V V --=，能求出点F 到平面 PEC 的距离． 【详解】（1） 因为,E F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EF BC ∥， 因为90ABC ∠=︒，所以EF BE ⊥，EF PE ⊥， 又因为BE PE E ⋂=， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ．（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB BE PE ==， 所以PO BE ⊥，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE I 平面BCFE BE =， 所以PO ⊥平面BCFE ，在Rt POC V 中：PC ==在Rt EBC V 中：EC =，在PEC V 中，PC EC ==2PE =，所以PEC S =V又2ECF S V =，设点F 到平面PEC 的距离为d ， 由F PEC P ECF V V --=得PEC ECF S d S PO ⨯=⨯V V ，2d =19d =.即点F 到平面PEC .【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20．（1）9735(,)(,)2222--U ；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）零点分段法去绝对值解不等式即可；（2）零点分段分情况证明()f x 2x 4<+再由绝对值不等式证明()f x 4≥即可 【详解】（1）∵()f x 61-<，∴()1f x 61-<-<，即()5f x 7<<， 当3x 1-≤≤时，()f x 4=显然不合；当x 3<-时，52x 27<--<，解得97x 22-<<-； 当x 1>时，52x 27<+<，解得35x 22<<.综上，不等式()f x 61-<的解集为9735,,2222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）证明：当3x 1-≤≤时，()f x 42x 4=≤+；当x 3<-时，()()()f x 2x 42x 22x 460-+=----+=-<， 则()f x 2x 4<+；当x 1>时，()()()f x 2x 42x 22x 420-+=+-+=-<， 则()f x 2x 4<+.∵()()f x x 1x 3x 1x 34=-++≥--+=，∴()f x 4≥. ∵24x 4-≤，∴()2f x 4x ≥-.故()24x f x 2x 4-≤≤+.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，证明不等式，熟练运算是关键，是中档题 21．（1）21y x =+ ，216y x = ；（2. 【解析】 【分析】（1）直线的参数方程消去t 可求得普通方程。