高中数学课时跟踪检测(十)与圆有关的比例线段新人教A版选修4-1

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高中数学 25与圆有关的比例线段课后习题解答新人教A版选修41

第5课时与圆有关的比例线段习题2.5 (第40页)1．解如图所示，设两条弦相交于P ，PA ＝12，PB ＝18，PD ∶PC ＝3∶8.令PD ＝x ，则PC ＝83x . 由相交弦定理得PA ·PB ＝PC ·PD ，∴12×18＝83x 2.∴x ＝9 (cm)．即PD ＝9 cm. ∴PC ＝83×9＝24 cm. 故CD ＝24 cm ＋9 cm ＝33 cm.2．解如图(1)是轴纵断面图，图(2)是圆头部分的图形，其中弦CD ＝30，直径AB ＝72，且AB ⊥CD 于M ，因此BM 就是圆头部分的长．设BM ＝x ，由相交弦定理得MC ·MD ＝MB ·MA .而MC ＝MD ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝MB ·MA ＝(AB －MB )·MB . ∴152＝(72－x )x .解得x ≈36±33，∴x 1≈69，x 2≈3.∴轴的全长可能是160＋69＝229，或者160＋3＝163.3．证明如图所示，延长CP 与圆相交于点D .∵OP ⊥PC ，∴PC ＝PD .∵PA ·PB ＝PC ·PD ，∴PC 2＝PA ·PB .4．解设⊙O 的半径为x .∵PO ＝PC ＋x ，∴PC ＝PO －x ＝12－x .又PB ＝PA ＋AB ＝6＋713＝403. ∵PA ·PB ＝PC ·PD ，∴6×403＝(12－x )(12＋x )．解得x＝8.5．证明∵NMQ与NBA是⊙O′的割线，∴NM·NQ＝NB·NA，而PQ是⊙O′的切线，∴NB·NA＝PN2.∴PN2＝NM·NQ.6．证明∵PA是⊙O的切线，∴MA2＝MB·MC.∵M是PA的中点，∴MP＝MA.∴MP2＝MB·MC.∴MBMP ＝MPMC.又∵∠BMP＝∠PMC，∴△BMP∽△PMC.∴∠MPB＝∠MCP.7．证明如图所示，连接GC.∵∠1和∠2是同弧上的圆周角，∴∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CF⊥AB，∴∠2＝90°－∠ABD，∠3＝90°－∠ABD.∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.又∠CDH＝∠CDG，CD＝CD∴Rt△CHD≌Rt△CGD.∴DH＝DG.8．证明如图所示，连接OC，则∠AOC的度数等于弧AC的度数．∵∠CDE的度数等于弧EAC度数的一半，而AC＝AE，∴∠AOC＝∠CDE.∴∠POC＝∠PDF.又∵∠DPF＝∠OPC，∴△POC∽△PDF.∴POPD ＝PCPF.∴PO·PF＝PC·PD.又∵PC·PD＝PB·PA，∴PO·PF＝PB·PA.9．解如图(1)所示，∵DG和FE是圆内相交的弦，图(1) ∴CF·CE＝CD·CG.∵AB是圆的切线，∴AB2＝AD·AE.∵AB＝AC，∴AC2＝AD·AE，即ACAE ＝AD AC.而∠CAD＝∠EAC，∴△ACD∽△AEC∵∠AEC＝∠G，∴∠ACD＝∠G.∴AC∥FG.图(2)如果∠BAD＝∠CAD，如图(2)所示，连接BC，BD，BG，BE. ∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD.∴BD＝CD.∠ABD＝∠ACD.∵∠ACD＝∠1，∠ABD＝∠2，∴∠1＝∠2.∴BD＝FD，∴∠3＝∠4.∴△ABE≌△ACE.∴BE＝CE.∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴AE⊥BC.∴四边形ABEC各边的中点在同一个圆周上．∵AB＝AC，EB＝EC，∴AB＋EC＝AC＋EB.①由①可以推出，四边形ABEC存在内切圆(证明略)．。

数学人教A版选修4-1课后导练：第二讲第五节与圆有关的比例线段(1)含解析

课后导练基础达标1.圆内两条弦AB和CD交于P点,AB=8,AB把CD分成3和4两部分,那么AP等于( ）A。

2 B。

6 C.2或6 D.3或5解析:设AP=x,则BP=8—x，由相交弦定理得x(8-x）=3×4.∴x=2或6。

答案：C2.如图2-5-7，AD为⊙O直径，BC切⊙O于E点，AB⊥BC,DC⊥BC,AB=4，DC=1，则AD等于（）图2-5—7A.23B.4C.5 D。

33解析:连结DF、OE,∵AD是直径,∴∠AFD=90°.又AB⊥BC,DC⊥BC，∴四边形BCDF是矩形.∴BF=DC。

由切割线定理得BE2=BF·BA=1×4=4,BE=2.∵OE⊥BC,DC⊥BC，AB⊥BC,∴CD∥OE∥AB.O为AD中点，∴E 为BC 中点。

∴BC=4.∴DF=4.在Rt△ADF 中,AD=22DF AF +=5.答案：C3。

如图2-5—8，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线,若PA=5，AB=7，CD=11，则AC∶BD 等于( ）图2—5-8A 。

1∶3 B.5∶12 C.5∶7D 。

5∶11解析：由割线定理得PA·PB=PC·PD，∴5×（5+7）=PC （PC+11）。

∴PC=4或PC=-15(舍去）.又∵PA·PB=PC·PD，PB PC PD PA =,∠P=∠P, ∴△PAC∽△PDB。

∴31155===PD PA BD AC 。

答案:A4.如图2-5-9，AB 、CD 是⊙O 的两条平行切线,B 、D 为切点，AC 为⊙O 的切线,切点为E 点，若AB=4,CD=9,则⊙O 的半径为（）图2-5-9A。

9 B。

8 C.6 D.5解析：连结OB,并作BO的延长线，过A作AF⊥CD，F为垂足.∵AB切⊙O于B,∴OB⊥AB.∵AB∥CD,∴BO⊥CD。

∴BO经过D点。

∴BD为⊙O直径.又∵AF⊥CD,∴四边形ABDF是矩形.在Rt△ACF中,AF=22CFAC-。

高中数学第二讲五与圆有关的比例线段课时作业(含解析)新人教A版选修41

【全程复习方略】2013-2014学年高中数学第二讲五与圆有关的比例线段课时作业（含解析）新人教A版选修4-11．圆内两条相交弦AB和CD交于点P，AB＝8，AB把CD分成两部分的线段长分别为3和4，那么AP等于( )A．2 B．6C．2或6 D．3或5解析：选C.如图所示，由相交弦定理，得AP·(8－AP)＝3×4，解得AP＝2或6.2．如图，在△ABC 中，BC ＝14 cm ，AC ＝9 cm ，AB ＝13 cm ，内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，那么AF 、BD 、CE 的长分别为( ) A ．AF ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，CE ＝5 cm B ．AF ＝4 cm ，BD ＝5 cm ，CE ＝9 cm C ．AF ＝5 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝9 cm D ．AF ＝9 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝5 cm解析：选A.∵BC 、AC 、AB 分别切圆于点D 、E 、F ， ∴AF ＝AE ，BF ＝BD ，CD ＝CE.设AF ＝x cm ，BD ＝y cm ，CE ＝z cm ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝13，y ＋z ＝14，z ＋x ＝9.解得x ＝4，y ＝9，z ＝5.∴AF ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，CE ＝5 cm.3．如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∶BC ＝1∶2，AB ＝35，PD ＝40，则过点P 的⊙O 的切线长是( ) A ．60 B ．40 2 C ．35 2 D ．50解析：选A.由圆内接四边形的性质定理，可得△PAD 与△PCB 相似．∴AD BC ＝PD PB ，即40PA ＋35＝12，解得PA ＝45.若设过点P 的⊙O 的切线长为x ，则x2＝PA·PB＝45×80，∴x ＝60，故选A.4．(2012·高考北京卷)如图， ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( ) A ．CE·CB＝AD·DB B ．CE·CB＝AD·AB C ．AD·AB＝CD2 D ．CE·EB＝CD2解析：选A.在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴CD2＝AD·DB.又CD 是圆的切线，故CD2＝CE·CB. ∴CE·CB＝AD·DB.5．如图，P 为半圆O 的直径AB 延长线上一点，且PB ＝OB ＝2，PC 切半圆O 于C ，CD ⊥AB 于D.则CD 长为( )A ．2 3 B. 3C.32D ．4 3解析：选B.连接OC.∵PC 为半圆O 的切线， ∴∠OCP ＝90°.又由切线长定理，得PC2＝PB·PA. 又∵PA ＝PB ＋AB ＝PB ＋2OB ＝6， ∴PC2＝2×6，即PC ＝2 3. 又∵Rt △PCD ∽△Rt △POC ， ∴CD OC ＝PC PO ，即CD 2＝234，∴CD ＝ 3. 6．(2013·高考湖北卷)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：设圆O 的直径AB ＝2R ，则AD ＝2R 3，DO ＝R 3，DB ＝4R3.由相交弦定理，得CD2＝AD·DB，所以CD ＝223R.在Rt △CDO 中，CO ＝R ，由射影定理可得EO ＝DO2CO ＝R 9，于是CE ＝R －R 9＝8R 9，故CEEO ＝8.答案：87．(2013·北京市西城区高三质检)如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若PA BC ＝32，则PBBC＝________. 解析：根据切割线定理有：PA2＝PB·PC＝PB(PB ＋BC)，而PA BC ＝32，即PA ＝32BC ，将其代入上式得：PB2＋PB·BC－34BC2＝0，即(2PB ＋3BC)(2PB －BC)＝0，可得PB BC ＝－32(舍去)或PBBC ＝12. 答案：128．(2012·高考湖南卷)如图，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于__________．解析：设⊙O 的半径为r(r>0)， ∵PA ＝1，AB ＝2，∴PB ＝PA ＋AB ＝3.延长PO 交⊙O 于点C ，则PC ＝PO ＋r ＝3＋r. 设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r.由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r ＝ 6.答案： 69．如图，弦AD和CE相交于⊙O内一点F，延长EC与过点A的切线相交于点B，且AB＝BF ＝FD，BC＝1 cm，CE＝8 cm，求EF和AF的长．解：AB2＝BC·BE，AB2＝1×9，所以AB＝3(cm)＝BF＝FD.所以CF＝2(cm)，FE＝6(cm)．又因为AF·FD＝CF·FE，所以AF×3＝2×6，即AF＝4(cm)．10．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD 于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知BC FA ＝DCEA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA. 因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°，所以∠CBA ＝90°.因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE. 由DB ＝BE ，有CE ＝DC. 又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2. 而CE2＝DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.11．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O1的切线，交⊙O2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P.(1)求证：PA·PE＝PC·PD；(2)当AD 与⊙O 2相切，且PA ＝6，PC ＝2，PD ＝12时，求AD 的长．解：(1)证明：连接AB ，CE ，∵CA 切⊙O1于点A ，∴∠1＝∠D.又∵∠1＝∠E ， ∴∠D ＝∠E ，又∵∠2＝∠3， ∴△APD ∽△CPE. ∴PA PC ＝PD PE，即PA·PE＝PC·PD.(2)∵PA ＝6，PC ＝2，PD ＝12. ∴6×PE＝2×12，∴PE ＝4.由相交弦定理，得PE·PB＝PA·PC. ∴4PB ＝6×2，∴PB ＝3. ∴BD ＝PD －PB ＝12－3＝9， DE ＝PD ＋PE ＝16.∵DA切⊙O2于点A，∴DA2＝DB·DE，即AD2＝9×16，∴AD＝12.。

高中数学第二讲直线与圆的位置关系学业分层测评10 与圆有关的比例线段新人教A版选修4-1

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系学业分层测评10 与圆有关的比例线段新人教A 版选修4-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图2517，⊙O 的两条弦AB 与CD 相交于点E ，EC ＝1，DE ＝4，AE ＝2，则BE ＝( )图2517A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由相交弦定理得AE ·EB ＝DE ·EC ，即2EB ＝4×1，∴BE ＝2. 【答案】 B2．PT 切⊙O 于T ，割线PAB 经过点O 交⊙O 于A ，B ，若PT ＝4，PA ＝2，则cos ∠BPT ＝( )A.45B.12 C.38D.34【解析】如图所示，连接OT ，根据切割线定理，可得PT 2＝PA ·PB ，即42＝2×PB ，∴PB ＝8，∴AB ＝PB －PA ＝6， ∴OT ＝r ＝3，PO ＝PA ＋r ＝5， ∴cos ∠BPT ＝PTPO ＝45.【答案】 A3．如图2518，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于P 点，若AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，则⊙O 的半径为( )图2518A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5【解析】由相交弦定理知AP ·BP ＝CP ·PD ， ∵AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3， ∴PD ＝AP ·BP CP＝4×63＝8，∴CD ＝3＋8＝11，∴⊙O 的半径为5.5. 【答案】 A4．如图2519，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3.以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC ，AB 都相切，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为( ) 【导学号：07370047】图2519A ．1 B.12 C.13D.14【解析】观察图形，AC 与⊙O 切于点C ，AB 与⊙O 切于点E ，则AB ＝AC 2＋BC 2＝5.如图，连接OE ，由切线长定理得AE ＝AC ＝4，故BE ＝AB －AE ＝5－4＝1. 根据切割线定理得BD ·BC ＝BE 2，即3BD ＝1，故BD ＝13.【答案】 C5.如图2520，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论：图2520①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋AC ；②AF ·AG ＝AD ·AE ；③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③【解析】 ①项，∵BD ＝BF ，CE ＝CF ，∴AD ＋AE ＝AC ＋CE ＋AB ＋BD ＝AC ＋AB ＋CF ＋BF ＝AC ＋AB ＋BC ，故①正确；②项，∵AD ＝AE ，AD 2＝AF ·AG ，∴AF ·AG ＝AD ·AE ，故②正确；③项，延长AD 于M ，连接FD ，∵AD 与圆O 切于点D ，则∠GDM ＝∠GFD ， ∴∠ADG ＝∠AFD ≠∠AFB ，则△AFB 与△ADG 不相似，故③错误，故选A. 【答案】 A 二、填空题6．如图2521，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线交于D ，过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ，与AB 交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则CD ＝________.图2521【解析】因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2，由CE ∥BD ，得AF AB ＝CFBD ，所以34＝2BD，即BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ，所以4x 2＝649，所以x ＝43.【答案】 437．如图2522，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.图2522【解析】由于PD ∶DB ＝9∶16，设PD ＝9a ，则DB ＝16a . 根据切割线定理有PA 2＝PD ·PB.又PA ＝3，PB ＝25a ，∴9＝9a ·25a ，∴a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5.在Rt △PAB 中，AB 2＝PB 2－AP 2＝25－9＝16，故AB ＝4. 【答案】 9548．如图2523所示，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．图2523【解析】设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝ 6.【答案】6三、解答题9．(2016·山西四校联考)如图2524所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O 于B，C两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.图2524(1)求证：AB AC ＝PAPC；(2)求AD ·AE 的值．【解】 (1)证明：∵PA 为圆O 的切线，∴∠PAB ＝∠ACP .又∠P 为公共角， △PAB ∽△PCA ，∴AB AC ＝PAPC.(2)∵PA 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线， ∴PA 2＝PB ·PC ，∴PC ＝20，BC ＝15. 又∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225. 又由(1)知AB AC ＝PA PC ＝12，∴AC ＝65，AB ＝35，连接EC ，则∠CAE ＝∠EAB ，∠AEC＝∠ABD .∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE＝AD AC. ∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.10．如图2525，已知PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，PO ＝4cm ，∠APB ＝60°，求阴影部分的周长．图2525【解】如图所示，连接OA ，OB.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点， ∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝π2，∠APO ＝12∠APB ＝π6，在Rt △PAO 中，AP ＝PO ·cos π6＝4×32＝23 (cm)，OA ＝12PO ＝2 (cm)，PB ＝23(cm)．∵∠APO ＝π6，∠PAO ＝∠PBO ＝π2，∴∠AOB ＝2π3，∴lAB＝∠AOB ·R ＝2π3×2＝43π(cm)，∴阴影部分的周长为PA ＋PB ＋l AB ＝23＋23＋43π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋4π3(cm)．[能力提升]1．如图2526，已知PT 切⊙O 于点T ，TC 是⊙O 的直径，割线PBA 交TC 于点D ，交⊙O 于B ，A (B 在PD 上)，DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2，则PB 等于( )【导学号：07370048】图2526A ．20B ．10C ．5D ．85【解析】 ∵DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2，由相交弦定理得DB ·DA ＝DC ·DT ，即DT ＝DB ·DA DC ＝4×32＝6.因为TC 为⊙O 的直径，所以PT ⊥DT .设PB ＝x ，则在Rt △PDT 中，PT 2＝PD 2－DT 2＝(4＋x )2－36.由切割线定理得PT 2＝PB ·PA ＝x (x ＋7)，所以(4＋x )2－36＝x (x ＋7)，解得x ＝20，即PB ＝20.【答案】 A2．如图2527，△ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 的直径CE 在BC 上，且与AB 相切于D点，若CO ∶OB ＝1∶3，AD ＝2，则BE 等于( )图2527A. 3 B ．22 C ．2D ．1 【解析】连接OD ，则OD ⊥BD ，∴Rt △BOD ∽Rt △BAC ，∴OD AC ＝BD BC .设⊙O 的半径为a ，∵OC ∶OB ＝1∶3，OE ＝OC ，∴BE ＝EC ＝2a .由题知AD ，AC 均为⊙O 的切线，AD ＝2，∴AC ＝2.∴a 2＝BD4a，∴BD ＝2a 2. 又BD 2＝BE ·BC ，∴BD 2＝2a ·4a ＝8a 2，∴4a 4＝8a 2，∴a ＝2， ∴BE ＝2a ＝22. 【答案】 B3．如图2528，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝43，则圆O 的半径长为__________，∠EFD 的度数为__________．图2528【解析】由切割线定理得，PD 2＝PE ·PF ，∴PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4，EF ＝8，OD ＝4.∵OD ⊥PD ，OD ＝12PO ， ∴∠P ＝30°，∠POD ＝60°，∴∠EFD ＝30°.【答案】 4 30°4．如图2529，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E .图2529(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；(2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小．【解】 (1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB.在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE .连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB.又∠ACB ＋∠ABC ＝90°，所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线．(2)设CE＝1，AE＝x.由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得AE2＝CE·BE，即x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0，解得x＝3，所以∠ACB＝60°.。

人教新课标A版高中选修4-1数学2.5与圆有关的比例线段同步检测A卷

人教新课标A版选修4-1数学2.5与圆有关的比例线段同步检测A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共9题；共18分)1. （2分）如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC 的垂线，垂足为D．若AB=4，CE=2 ，则AD=（）A . 3B . 6C . 2D . 42. （2分）如图，AB是半径为2的圆O的弦，CD是圆O的切线，C是切点，D是OB的延长线与CD的交点，CD∥AB，若CD=，则AC等于（）A .B .C . 1D . 23. （2分） (2016高二下·五指山期末) 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB=6，CD=2 ，则线段AC的长度为（）A . 5B .C .D . 34. （2分）如图所示，△ABC内接于圆O，过点A的切线交BC的延长线于点P，D为AB的中点，DP交AC于点M，若BP=8，AM=4，AC=6，则PA=（）A . 4B . 3C .D . 55. （2分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=（）A .B .C .D . 46. （2分）如图，已知AB是半径为5的圆O的弦，过点A，B的切线交于点P，若AB=6，则PA等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·五指山期末) 如图，AT切⊙O于T，若AT=6，AE=3，AD=4，DE=2，则BC等于（）A . 3B . 4C . 6D . 88. （2分）如图，⊙O与⊙P相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE交CB延长线于点F．若CD=2，CB=2，则EF的长为（）A .B .C .D .9. （2分）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）A . 2.3B . 2.4C . 2.5D . 2.6二、填空题 (共10题；共12分)10. （3分）(2012·陕西理) （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=________．C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为________．11. （1分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为________12. （1分）如图，圆O的割线PA过圆心O交圆于另一点B，弦CD交OB于点E，且∠P=∠OCE，PB=OA=2，则PE的长等于________13. （1分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为________ ．14. （1分）(2012·广东) （几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则图PA=________15. （1分）如图，AB是⊙O的直径，且AB=3，CD⊥AB于D，E为AD的中点，连接CE并延长交⊙O于F，若CD= ，则EF=________．16. （1分） (2016高二下·五指山期末) 已知⊙O和⊙O内一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA•PB=24，OP=5，则⊙O的半径长为________．17. （1分）如图，过点P作圆O的割线PAB与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE 分别交于点C，D，若∠AEB=30°，则∠PCE=________18. （1分）(2016·北区模拟) 如图，已知切线PA切圆于点A，割线PBC分别交圆于点B，C，点D在线段BC上，且DC=2BD，∠BAD=∠PAB，，PB=4，则线段AB的长为________．19. （1分）如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上异于A、B的一点E作切线CD，交AB的延长线于点C，过A 作AD⊥CD交圆于F，若CB=2，CE=4，则AD的长为________三、解答题 (共6题；共45分)20. （10分）(2016·普兰店模拟) 如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线 AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H．（1）求证：C，D，E，F四点共圆；（2）若GH=8，GE=4，求EF的长．21. （5分）如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．（1）求证：AT2=BT•AD；（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．22. （10分） (2016高二上·扬州开学考) 如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求| |的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求的取值范围．23. （5分）(2017·南通模拟) 选修4-1：几何证明选讲如图，AB和BC分别于圆O相切与点D，C，且AC经过圆心O，AC=2AD，求证：BC=2OD．24. （5分）如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）求证：AH•BH=AE•HC．25. （10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD与点D，E，F分别为弦AB，AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（1）求证：CA为△ABC外接圆的直径；（2）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的半径与△ABC外接圆的半径比值．参考答案一、选择题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共10题；共12分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共6题；共45分)20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、24-1、25-1、25-2、。

高中数学人教A版选修4-1课时跟踪检测(二) 平行线分线段成比例定理

课时跟踪检测(二) 平行线分线段成比例定理一、选择题1.如图所示，DE ∥AB ，DF ∥BC ，下列结论中不．正确的是( ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BF AB C.CD AD ＝CE DF D.AF BF ＝DF BC解析：选D ∵DF ∥EB ，DE ∥FB ，∴四边形DEBF 为平行四边形．∴DE ＝BF ，DF ＝EB .∴AD DC ＝AF FB ＝AF DE，A 正确． CE CB ＝DE AB ＝BF AB，B 正确． CD AD ＝CE EB ＝CEDF ，C 正确．2．已知线段a ，m ，n 且ax ＝mn ，求作x ，图中作法正确的是( )解析：选C 因为ax ＝mn ，所以a m ＝n x，故选C. 3.如图，在△ACE 中，B ，D 分别在AC ，AE 上，下列推理不．正确的是( )A ．BD ∥CE ⇒AB AC ＝BD CEB ．BD ∥CE ⇒AD AE ＝BD CEC ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝AD DE D ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝BD CE解析：选D 由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A 、B 、C 都是正确的，D 项是错误的．4．如图，将一块边长为12的正方形纸ABCD 的顶点A ，折叠至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM 和MQ 的比是( )A．5∶12 B．5∶13 C．5∶19 D．5∶21 解析：选C如图，作MN∥AD交DC于N，∴DNNE＝AMME.又∵AM＝ME，∴DN ＝NE ＝12DE＝52.∴NC＝NE＋EC＝52＋7＝192.∵PD∥MN∥QC，∴PMMQ＝DNNC＝52192＝519.二、填空题5．如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝________.解析：∵DE∥BC，∴AEAC＝DEBC＝EFBF.∵BF∶EF＝3∶2，∴AC∶AE＝3∶2.答案：3∶26.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE的延长线交BC于点F，则BFFC＝________.解析：过点D作DM∥AF交BC于点M.∵点E是BD的中点，∴在△BDM中，BF＝FM.∵点D是AC的中点，∴在△CAF中，CM＝MF.∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12. 答案：127．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ∶AB ∶BC ＝3∶4∶6，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，AE ∶AB ＝DF ∶DC ＝1∶3.若四边形ABCD 的周长为1，则四边形AEFD 的周长为________．解析：因为在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ∶AB ∶BC ＝3∶4∶6，所以可设AD ＝3k ，AB ＝4k ，BC ＝6k ，作DG ⊥BC 交BC 于点G ，交EF 于点H ，则DG ＝4k ，GC ＝3k ，所以DC ＝16k 2＋9k 2＝5k ，因为四边形ABCD 的周长为1，所以3k ＋4k ＋6k ＋5k ＝1，所以k ＝118，因为E ，F 分别是AB ，CD 上的点，AE ∶AB ＝DF ∶DC ＝1∶3，所以AE ＝4k 3，DF ＝5k 3，取BE ，CF 的中点M ，N ，令EF ＝x ，MN ＝y ，则由梯形中位线得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3k ＋y ，2y ＝x ＋6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，y ＝5k ，即EF ＝4k . 所以四边形AEFD 的周长是3k ＋4k 3＋4k ＋5k 3＝10k ＝10×118＝59. 答案：59三、解答题8.如图，B 在AC 上，D 在BE 上，且AB ∶BC ＝2∶1，ED ∶DB ＝2∶1，求AD ∶DF .解：过点D 作DG ∥AC 交FC 于点G ，则DG BC ＝ED EB ＝23，所以DG ＝23BC ，又BC ＝13AC ，所以DG ＝29AC ，所以DFAF ＝DGAC ＝29，所以DF ＝29AF ，从而AD ＝79AF ，故AD ∶DF ＝7∶2.9.如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过O 作AB 的平行线，与AD ，BC 分别交于E ，F ，与CD 的延长线交于K .求证：KO 2＝KE ·KF .证明：延长CK ，BA ，设它们交于点H .因为KO ∥HB ，所以KOHB ＝DKDH ，KEHA ＝DKDH .所以KO HB ＝KE HA ，即KO KE ＝HBHA .因为KF ∥HB ，同理可得KF KO ＝HBHA .所以KO KE ＝KFKO ，即KO 2＝KE ·KF .10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .(1)求证：EO ＝OF ；(2)求EO AD ＋EOBC 的值；(3)求证：1AD ＋1BC ＝2EF .解：(1)证明：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥AD ∥BC .∵EF∥BC，∴EOBC＝AEAB，OFBC＝DFDC.∵EF∥AD∥BC，∴AEAB＝DFDC.∴EOBC＝OFBC.∴EO＝OF. (2)∵EO∥AD，∴EOAD＝BEBA.由(1)知EOBC＝AEAB，∴EOAD＋EOBC＝BEBA＋AEAB＝BE＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知EOAD＋EOBC＝1，∴2EOAD＋2EOBC＝2.又EF＝2EO，∴EFAD＋EFBC＝2.∴1AD＋1BC＝2EF.小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

高中数学新人教A版选修4-1课件：2.5与圆有关的比例线段

∴∠ACB=∠PAB=50°.
答案:50°
IANLI TOUXI
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D典例透析
IANLI TOUXI
1.与圆有关的比例线段问题
剖析:与圆有关的比例线段问题,主要是圆与类似形的综合,其解
法大致可分以下几种:
证明:如图,连接BC,BD.
∵E为的中点,
∴∠DBE=∠CBE.
又AB是☉O的切线,
∴∠ABC=∠CDB.
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CDB,
∴∠ABF=∠AFB.
∴AB=AF.
又AB是☉O的切线,ACD为割线,由切割线定理,可知AC·AD=AB2,
∴AF2=AC·AD.
反思如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线,那么
从☉O 外一点 P 引圆的两条割线 PAB 和 PCD,则
符号语言
PA·PB=PC·PD
图形语言
作用
证明线段成比例或求线段长
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D典例透析
IANLI TOUXI
4
【做一做2】如图,已知P是☉O外一点,PC=4,PD=2,则PA·PB等
∴2EB=4×1.∴EB=2.
答案:B
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25 ∴ OP＝ 3 .
25
10
∴ PC＝－ 5＝ .
3
3
10. 如图，两个同心圆的圆心是 5，AD 是大圆的直径．大圆的弦
O，大圆的半径为 13，小圆的半径为 AB，BE 分别与小圆相切于点 C， F. AD， BE
相交于点 G，连接 BD. (1) 求 BD的长；
(2) 求∠ ABE＋ 2∠ D的度数；
答案： mn 2a
AB的中点 P， PD＝ 3 ， ∠
OAP＝30°，则 CP＝ ________.
解析：∵点 P 为弦 AB的中点， ∴ OP⊥ AB.
∵∠ OAP＝30°， OA＝ a，
3
3
∴ PA＝ 2 a， PB＝ 2 a.
由相交弦定理，得 PA· PB＝ PD· CP.
33
∴ CP＝PA·PDPB＝
∴ PD＝6 3.
∴ CD＝2PD＝ 12 3(cm) ． 2．如图， CA， CD分别切圆 O1 于 A，D 两点， CB， CE分别切圆 O2 于 B， E 两点．若∠ 1 ＝60°，∠ 2＝65°，判断 AB， CD， CE的长度，下列关系正确的是 ( )
B ．AB＝ CE>CD
A．AB>CE>CD
所以 BC＝ 12，AB＝ 24.
由 (2) 知∠ OBG＝∠ OBC＝∠ OAC.
因为∠ BGO＝∠ AGB，
所以△ BGO∽△ AGB.
BG BO 13
所以
AG＝
AB＝
. 24
5/5
所以 AC＝ CD，BC＝ CE，
所以 AB>CE>CD.
1/5
3．如图，∠ ACB＝90°， CD⊥ AB于点 D，以 BD为直径的圆与 BC交于点 E，则 ( )
B ． CE· CB＝ AD· AB
A． CE· CB＝ AD· DB
D． CE· EB＝ CD2
C．AD· AB＝ CD2
解析：选 A 在直角三角形 ABC中，根据直角三角形射影定理可得 CD2＝ AD·DB，再根
同理 F 是 BE的中点．
即 AB＝ 2BC， BE＝ 2BF，
由切线长定理得 BC＝ BF.
所以 BA＝ BE.
所以∠ BAE＝∠ E.
因为∠ E＝∠ D，
所以∠ ABE＋ 2∠ D＝∠ ABE＋∠ E＋∠ BAE＝180°．
(3) 连接 BO，在 Rt △OCB中，
因为 OB＝ 13，OC＝ 5，
据切割线定理可得 CD2＝ CE· CB，所以 CE·CB＝ AD·DB.
4. 如图，已知 PT切⊙ O于点 T， TC是⊙ O的直径，割线 PBA交
TC 于点 D，交⊙ O 于 B，A( B 在 PD上 ) ， DA＝ 3， DB＝ 4， DC＝2，则
PB等于 ( )
B ． 10
A． 20
D． 8 5
课时跟踪检测 ( 十) 与圆有关的比例线段
一、选择题 1．在半径为 12 cm 的圆中，垂直平分半径的弦的长为 ( )
A． 3 3 cm
B ． 27 cm C ． 12 3 cm D ． 6 3 cm
解析：选 C
法一：如图所示， OA＝ 12， CD为 OA的垂直平分线，连接 OD.
在 Rt△ POD中，
C． 5
解析：选 A ∵ DA＝ 3， DB＝ 4，DC＝ 2，
∴由相交弦定理得 DB· DA＝ DC· DT，
DB·DA 4×３即 DT＝ DC ＝ 2 ＝ 6.
5 ． AB 是⊙ O 的直径，弦
∵ TC为⊙ O的直径，所以 PT⊥ DT.
设 PB＝ x，
则在 Rt △PDT中， PT2＝ PD2－ DT2＝ (4 ＋ x) 2－ 36. 由切割线定理得 PT2＝ PB· PA＝ x( x＋ 7) ，
∴△ PDE的周长为
PA＋PB＝ 2PA.
连接 OA，则 OA⊥ PA.
∴ PA＝ PO2－ OA2＝ 132－ 52＝ 12(cm) ．
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∴△ PDE的周长为 24 cm. 9．如图， BC是半圆的直径， O 是圆心， P 是 BC延长线上一
点， PA切半圆于点 A， AD⊥ BC于点 D. (1) 若∠ B＝30°， AB与 AP是否相等？请说明理由；
∴∠ B＝∠ APO. ∴ AB＝ AP. (2) 证明：在 Rt △OAP中， ∵ AD⊥OP， ∴ PA2＝PD· PO.
∵PA是半圆的切线， ∴ PA2＝ PC· PB.
∴ PD· PO＝PC· PB. (3) ∵ BD∶ DC＝ 4∶ 1，且 BC＝ 10，
∴ BD＝ 8， CD＝ 2. ∴ OD＝ 3. ∵ OA2＝ OD· OP， ∴ 25＝ 3× OP.
PD＝ OD2－ OP2＝ 122－ 62＝ 6 3，
∴ CD＝2PD＝ 12 3(cm) ．法二：如图，延长 AO交⊙ O于 M，由相交弦定理得 PA· PM＝PC· PD. 又∵ CD为线段 OA的垂直平分线， ∴ PD2＝ PA· PM. 又∵ PA＝ 6， PM＝ 6＋ 12＝18， ∴ PD2＝6×18.
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解析：因为直线 PB是圆的切线，所以∠ PBA＝∠ C. 又因为∠ PBA＝∠ DBA，所以∠ DBA＝∠ C. 又因为∠ A＝∠ A，所以△ ABD∽△ ACB， AD AB 所以 AB＝ AC，所以 AB＝ AD·AC＝ mn.
7．如图， AB， CD是半径为 a 的圆 O的两条弦，它们相交于
D ． AB＝ CD＝ CE
C．AB>CD>CE
解析：选 A 因为∠ 1＝60°，∠ 2＝65°，
所以∠ ABC＝180°－∠ 1－∠ 2＝180°－ 60°－ 65°＝ 55°，
所以∠ 2>∠ 1>∠ ABC，
所以 AB>BC>AC.
因为 CA， CD分别切圆 O1 于 A，D两点，
CB， CE分别切圆 O2 于 B，E 两点，
2
a× 2a2a源自9＝ 8a.39 答案： 8a
三、解答题
8. 如图，已知 PA， PB， DE 分别切⊙ O 于 A， B， C 三点， PO＝ 13
cm，⊙ O半径 r ＝ 5 cm.
求△ PDE的周长．
解：∵ PA，PB， DE分别切⊙ O于 A， B，C三点， ∴ DA＝ DC，EB＝ EC.
∴ (4 ＋x) 2－ 36＝x( x＋ 7) ，
解得 x＝ 20，即 PB＝ 20.
二、填空题
CD⊥ AB，垂足为 M， AM＝ 4 ， BM＝ 9 ，则弦 CD 的长为
________ ．
解析：根据相交弦定理，
AM·BM＝
CD 2
2，
CD 所以＝ 6，CD＝ 12.
2 答案： 12
6. 如图所示，直线 PB与圆 O 相切于点 B， D 是弦 AC上的点，∠ PBA＝∠ DBA. 若 AD＝ m， AC＝ n，则 AB＝ ________.
(2) 求证： PD· PO＝PC· PB；
(3) 若 BD∶ DC＝4∶ 1，且 BC＝ 10，求 PC的长．
解： (1) 相等．连接 AO，如图所示． ∵ PA是半圆的切线，
∴∠ OAP＝90°． ∵ OA＝ OB，
∴∠ B＝∠ OAB. ∴∠ AOD＝ 2∠B＝60°．
∴∠ APO＝30°．
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BG (3) 求AG的值．
解： (1) 连接 OC，因为 AB是小圆的切线， C是切点，
所以 OC⊥ AB，
所以 C是 AB的中点．
因为 AD是大圆的直径，
所以 O是 AD的中点．
所以 OC是△ ABD的中位线．
所以 BD＝2OC＝ 10.
(2) 连接 AE.
由 (1) 知 C是 AB的中点．

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