高中数学-圆与圆的位置关系测试题
高中数学必修二 圆与圆的位置关系 答案解析版
4.2.2 圆与圆的位置关系（时间90分钟，满分120分）一、选择题（每小题5分，共50分）1.圆C1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切【解析】圆C1的圆心是C1(-2,2),半径r1=1,圆C2的圆心是C2(2,5),半径r2=4,则圆心距|C1C2|=5.因为|C1C2|=r1+r2,所以两圆外切.【答案】D2.圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.外离【解析】由已知,得C1(-2,-4),r1=5,C2(-2,-2),r2=3,则d=|C1C2|=2,所以d=|r1-r2|.故两圆内切.【答案】C3.已知圆A与圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为（）A.6 cm或14 cmB.10 cmC.14 cmD.无解【解析】令圆A、圆B的半径分别为r1,r2,当两圆外切时,r1+r2=10,所以r2=10-r1=10-4=6;当两圆内切时,|r1-r2|=10,即|4-r2|=10,r2=14或r2=-6(舍),即圆B的半径为6 cm或14 cm.【答案】A4.已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是（）A.{1,-1}B.{3,-3}C.{1,-1,3,-3}D.{5,-5,3,-3}【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C.【答案】C5.圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.4【解析】两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(2,-5),则两圆的圆心距d又半径分别为r1=1,r2=4,则d>r1+r2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.【答案】D6.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方程为（）A.(x-4)2+(y+3)2=16B.(x+4)2+(y-3)2=36C.(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36D.(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=36【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0).因为圆C与圆O相切,所以|r-1|=5或r+1=5,解得r=6或r=4(负值舍去).故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.【答案】C7.圆C 1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）A.外离B.外切C.相交D.内切【解析】圆心距d =两圆半径的和为2+1=3, 两圆半径之差的绝对值为1,1212r r d r r -<<+,所以两圆的位置关系是相交.【答案】C8.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ay-2=0的公共弦的长度为,则常数a 的值为（ ）A .2±B .2C .-2D .4±【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a ≠.圆x 2+y 2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a ,又公共弦长为,所以=解得2a =±. 【答案】A9.已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m 的最大值为（ ）A .7B .6C .5D .4【解析】因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使90APB ∠=︒的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故11m CO m -≤≤+,即151m m -≤≤+,解得46m ≤≤.所以m 的最大值为6.故选B .【答案】B★10.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a 的取值范围是（ ）A.⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛ ⎝⎭⎝⎭UD.⎛ ⎝⎭【解析】圆(x-a )2+(y-a )2=4的圆心C (a ,a ),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O ,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d =,则|r-R|<d<r+R ,则13<<,所以22a <<,所以a <<a << 【答案】C二、填空题（每小题5分，共20分）11.圆C 1:x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.【答案】4x+3y-2=012.若圆C 1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C 2:x 2+y 2=m (m>0)内切,则实数m= .【解析】圆心距5d =,由题意得两圆半径差的绝对值45=,解得m=81.【答案】8113.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x-2y-20=0相交于A ,B 两点,则公共弦AB 的长为 .【解析】两圆方程相减得弦AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆x 2+y 2=25的圆心到直线AB的距离d == 故公共弦AB的长为AB ===14.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是 .【解析】因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则122d C C ===,所以d=r 1+r 2.所以两圆外切.【答案】外切三、解答题（15-17每小题12分，18题14分，共50分）15.求与圆O :x 2+y 2=1外切,切点为1,2P ⎛- ⎝⎭,半径为2的圆的方程. 【解析】设所求圆的圆心为C (a ,b ),则所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=4.因为两圆外切,切点为1,2P ⎛- ⎝⎭,所以|OC|=r 1+r 2=1+2=3,|CP|=2.所以222291422a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎨⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得32a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以圆心C的坐标为3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,所求圆的方程为22342x y ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.16.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.【解析】设所求圆的圆心为(a ,b ),1=. ① 若两圆外切,123=+=. ② 由①②,解得5,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,211=-=. ③ 由①③,解得3,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.17.一动圆与圆C 1:x 2+y 2+6x+8=0外切,与圆C 2:x 2+y 2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.【解析】圆C 1:(x+3)2+y 2=1,所以圆心为(-3,0),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+y 2=1,所以圆心为(3,0),半径r 2=1. 设动圆圆心为(x ,y ),半径为r ,由题意得1r =+1r =-,2=, 化简并整理,得8x 2-y 2=8(1x ≥).所以动圆圆心的轨迹方程是8x 2-y 2=8(1x ≥). ★（附加题）18.圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且AB =求圆O 2的方程.【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r 2.因为两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=1),故圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=1)2.(2)设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r . 因为圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程224480x y r ++-=, ①作O 1H ⊥AB ,则|AH|=12,O 1,由圆心O 1(0,-1)到直线①,得224r =或2220r =,故圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.。
高中数学圆与圆的位置关系总结练习含答案解析S
2.2.3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系及判定1.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含公共点个数0 ①② 1 02.设两圆半径分别为r1,r2,圆心距为d,则两圆相交时,r1,r2,d的关系为③.两圆外切时,r1,r2,d的关系为④.3.设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,联立得{x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,方程组有两组不同实数解⇔两圆⑤,有⑥实数解⇔两圆相切,无实数解⇔两圆外离.圆系方程的应用1.(2014湖北黄冈期中,★☆☆)圆C1:x2+y2+4x-4y+4=0与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=9的公切线有条.思路点拨求出圆心距,即可得出结论.2.(2013江苏白蒲模拟,★★☆)求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0交点的圆的方程.思路点拨本题解法较多,可考虑利用公共弦求解,也可以利用圆系方程求解.3.(2014江苏建湖中学训练,★★☆)已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆心M的轨迹方程,并求圆M的半径最小时的方程.思路点拨从几何性质入手分析,抓住圆心和半径分析圆的方程.4.(2013苏南四校月考,★★★)已知☉O:x2+y2=1和点M(4,2).(1)过点M向☉O引切线l,求直线l的方程;(2)求以点M为圆心,且被直线y=2x-1截得的弦长为4的☉M的方程;(3)设P为(2)中☉M上任一点,过点P向☉O引切线,切点为Q.试探究:平面内是否存在一定点R,使得PQPR为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.一、填空题1.已知圆O1:x2+y2-2x-4y+4=0与圆O2:x2+y2-8x-12y+36=0,两圆的位置关系为.2.圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为.3.若a2+b2=4,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.4.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是.5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是.6.点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是.7.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2},且M∩N=N,则r的取值范围是.8.设A={(x,y)|y=√2a2-x2,a>0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-√3)2=a2,a>0},若A∩B≠⌀,则a的最大值为.9.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.10.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=254截得的弦长是.二、解答题11.试分别确定圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0与C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50)外切、内切、相交、内含、外离时,k的取值范围.12.已知圆x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0(a≠2).(1)求证:对于任意实数a(a≠2),该圆过定点;(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求实数a的值.知识清单①1 ②2 ③|r 1-r 2|<d<r 1+r 2 ④d=r 1+r 2 ⑤相交 ⑥两组相同链接高考1.答案 3解析 C 1(-2,2),r 1=2,C 2(2,5),r 2=3,|C 1C 2|=√(-2-2)2+(2-5)2=5,∵|C 1C 2|=r 1+r 2,∴圆C 1与圆C 2外切.所以圆C 1与圆C 2有3条公切线.2.解析 解法一:由{x 2+y 2-4x -6=0,x 2+y 2-4y -6=0,得到两圆公共弦所在直线方程为y=x, 由{y =x ,x 2+y 2-4y -6=0, 解得{x 1=-1,y 1=-1或{x 2=3,y 2=3.∴圆x 2+y 2-4x-6=0和x 2+y 2-4y-6=0的交点分别为A(-1,-1)、B(3,3), 线段AB 的垂直平分线方程为y-1=-(x-1). 由{y -1=-(x -1),x -y -4=0,得{x =3,y =-1. ∴所求圆的圆心为(3,-1), 半径为√(3-3)2+[3-(-1)]2=4. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解法二:由解法一,求得A(-1,-1)、B(3,3). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,由{a -b -4=0,(-1-a )2+(-1-b )2=r 2,(3-a )2+(3-b )2=r 2,得{a =3,b =-1,r 2=16. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解法三:设经过两圆交点的圆系方程为 x 2+y 2-4x-6+λ(x 2+y 2-4y-6)=0(λ≠-1), 即x 2+y 2-41+λx-4λ1+λy-6=0. ∴圆心坐标为(21+λ,2λ1+λ),又∵圆心在直线x-y-4=0上, ∴21+λ-2λ1+λ-4=0,即λ=-13,∴所求圆的方程为x 2+y 2-6x+2y-6=0.3.解析 两圆方程相减,得公共弦AB 所在的直线方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m 2-1=0, 由于A,B 两点平分圆N 的圆周,所以A,B 为圆N 直径的两个端点, 即直线AB 过圆N 的圆心N,而N(-1,-1),所以-2(m+1)-2(n+1)-m 2-1=0, 即m 2+2m+2n+5=0,即(m+1)2=-2(n+2)(n≤-2), 又圆M 的圆心M(m,n),所以圆心M 的轨迹方程为(x+1)2=-2·(y+2)(y≤-2), 又圆M 的半径r=2+1≥√5(n≤-2), 当且仅当n=-2,m=-1时半径取得最小值,∴当圆M 的半径最小时,圆M 的方程为x 2+y 2+2x+4y=0.4.解析 (1)显然,直线l 的斜率存在.设切线l 的方程为y-2=k(x-4),易得√k 2+1=1,解得k=8±√1915. ∴切线l 的方程为y-2=8±√1915(x-4). (2)圆心到直线y=2x-1的距离为√5,设圆M 的半径为r,则r 2=22+(√5)2=9,∴☉M 的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.(3)假设存在这样的点R(a,b),设点P 的坐标为(x,y),相应的定值为λ(λ>0), 根据题意及勾股定理可得PQ=√x 2+y 2-1, ∴√x 2+y 2√(x -a )+(y -b )=λ,即x 2+y 2-1=λ2(x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2),(*) 又点P 在☉M 上, ∴(x -4)2+(y-2)2=9,即x 2+y 2=8x+4y-11,代入(*)式得,8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a 2+b 2-11)].若系数对应相等,则等式恒成立,∴{λ2(8-2a )=8,λ2(4-2b )=4,λ2(a 2+b 2-11)=-12,解得a=2,b=1,λ=√2或a=25,b=15,λ=√103, ∴可以找到这样的定点R,使得PQPR 为定值.当点R 的坐标为(2,1)时,比值为√2; 当点R 的坐标为(25,15)时,比值为√103.基础过关一、填空题 1.答案 外切解析 由题意得圆的半径分别为1,4,圆心距为√(4-1)2+(6-2)2=5=4+1,故两圆外切. 2.答案 2或-5解析 圆C 1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径为3;圆C 2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径为2.依题意有√(-2-m )2+(m +1)2=3+2, 即m 2+3m-10=0, 解得m=2或m=-5. 3.答案 外切解析 ∵两圆的圆心分别为O 1(a,0),O 2(0,b),半径r 1=r 2=1,∴O 1O 2=√a 2+b 2=2=r 1+r 2,则两圆外切. 4.答案 (x±4)2+(y-6)2=36解析 设所求圆的圆心为(a,6),由两圆内切,得√a 2+(6-3)2=6-1,解得a=±4,则此圆的方程是(x±4)2+(y-6)2=36.5.答案 (x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9解析 动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5,-7)为圆心,以3或5为半径的圆. 6.答案 3√5-5解析 (x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C 1(4,2),半径为r 1=3;(x+2)2+(y+1)2=4的圆心为C 2(-2,-1),半径为r 2=2.又|C 1C 2|=3√5,显然两圆外离,所以|PQ|的最小值是3√5-5. 7.答案 (0,2-√2]解析 由于M∩N=N,故圆(x-1)2+(y-1)2=r 2在圆x 2+y 2=4内部,当两圆内切时,√2=2-r,则r=2-√2,因此r 的取值范围是(0,2-√2].8.答案2(√2+1)解析A表示以O(0,0)为圆心,√2a为半径的半圆,B表示以O'(1,√3)为圆心,a为半径的圆.∵A∩B≠⌀,即半圆O与圆O'有公共点,则当两圆内切时,a最大,即√2a-a=OO'=2,∴a的最大值为2(√2+1).9.答案√7解析记直线y=x+1上任意一点与圆心的距离为h,记切线长为l,则始终有等量关系h2=l2+1.故当h取得最小值时,切线长取最小值,易知h的最小值即为圆心到直线y=x+1的距离,故hmin=2√2,此时l=√7.10.答案√23解析圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为x2+y2-1-(x2+y2-2x-2y+1)=0,即x+y-1=0.圆心C3到直线x+y-1=0的距离d=√2=√22,所以所求弦长为2√r2-d2=2√254-12=√23.二、解答题11.解析将两圆的一般方程化为标准方程,C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.圆C1的圆心为C 1(-2,3),半径r1=1;圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=√50-k(k<50).从而圆心距d=√(-2-1)2+(3-7)2=5.当两圆外切时,d=r1+r2,即1+√50-k=5,解得k=34;当两圆内切时,d=|r1-r2|,即|1-√50-k|=5,解得k=14;当两圆相交时,|r1-r2|<d<r1+r2,即|1-√50-k|<5<1+√50-k,解得14<k<34;当两圆内含时,d<|r1-r2|,即|1-√50-k|>5,解得k<14;当两圆外离时,d>r1+r2,即1+√50-k<5,解得34<k<50.12.解析(1)证明:将圆的方程整理得(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,此方程表示过圆x2+y2=20与直线-4x+2y+20=0的交点的圆系.解方程组{x2+y2=20,-4x+2y+20=0得{x=4,y=-2,所以该圆恒过定点(4,-2).(2)圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2(a≠2).若两圆外切,则2+√5(a -2)2=√(2a -0)2+(-a -0)2,解得a=1+√55. 若两圆内切,则|2-√5(a -2)2|=√(2a -0)2+(-a -0)2,解得a=1-√55或a=1+√55(舍去). 综上所述,a=1±√55.。
人教A版高中数学选择性必修第一册2.5.2 圆与圆的位置关系 课时分层练习题含答案解析
2.5.2 圆与圆的位置关系基础练习一、单选题1．已知圆C ：x 2+y 2=4，则圆C 关于直线l ：x ﹣y ﹣3=0对称的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣6x +6y +14=0 B ．x 2+y 2+6x ﹣6y +14=0 C ．x 2+y 2﹣4x +4y +4=0 D ．x 2+y 2+4x ﹣4y +4=02．过圆4x y +=上一点P 作圆:()0O x yr r +=>的两条切线，切点分别为，若2APB π∠=，则r =（ ）A ．1BC D3．圆224x y +=与圆:219C x y -+-=的位置关系是( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离A ．210x y --=B ．20x y -+=C ．20x y --=D ．210x y -+=【答案】B【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.【详解】由x 2＋y 2－4＝0与x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0两式相减得：4480x y -+=，即20x y -+=.5．已知圆1C ：2220x y x ++=，圆2C ：2260x y y +-=相交于P ，Q 两点，则||PQ =（ ）A B ．5C D6．设圆1:244C x y x y +-+=，圆2:680C x y x y ++-=，则圆1，2的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．如图，点()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，则（ ）A ．曲线Ω与x 轴围成的图形的面积等于32π B ．CB 与BA 的公切线的方程为10x y +-C ．BA 所在圆与 CB 所在圆的公共弦所在直线的方程为0x y -=D ．CD 所在的圆截直线y x =所得弦的长为8．已知圆:211M x y -+-=，圆:211N x y +++=，则下列是M ，N 两圆公切线的直线方程为（ ）A ．y ＝0B ．3x －4y ＝0C ．20x y -=D ．20x y -=【答案】ACD9．已知圆O ：224x y +=和圆C ：231x y -+-=.现给出如下结论，其中正确的是 A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y -+= C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y -+=D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 3+3 10．两圆22230x y y +--=与2220x y x ++=的公共弦所在直线的方程为______. 【答案】2230x y ++=【分析】两圆相减，消去22,x y 即为答案.【详解】22230x y y +--=与2220x y x ++=相减得：2230x y ++=，即为公共弦所在直线的方程.故答案为：2230x y ++=11．已知圆C 1：2264120x y x y +-++=与圆C 2：22620x y x y a +--+=，若圆C 1与圆C 2有且仅有一个公共点，则实数a 的值为___________.12．圆230x y x +--=与224230x y x y +-++=的交点坐标为______. 【答案】()12-，和()30， 【分析】联立两圆的方程即可求解.【详解】联立22222304230x y x x y x y ⎧+--=⎨+-++=⎩，两式相减得=3x y +，将其代入22230x y x +--=中得0y =或2y =-，进而得30x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=-⎩， 所以交点坐标为()()1230，，，- 13．已知圆221:2440C x y x y +-+-=，圆222:2220C x y x y ++--=，则两圆的公切线条数是___________.14．若圆221x y +=与圆416x a y -+-=有3条公切线，则正数a =___________.15．设两圆1与圆2的公共弦所在的直线方程为_______ 【答案】2410x y --=【分析】利用两圆的方程相减即可求解.【详解】因为圆22110C x y +-=：①，圆222240C x y x y +-+=：②，由-①②得，2410x y --=，所以两圆的公共弦所在的直线方程为2410x y --=.16．已知以()4,3C -为圆心的圆与圆221x y +=相切，则圆C 的方程是______.A B B A B 且45A ∠=，则C 的坐标为______.（坐标分量精确到0.1）45，且A 在直线AC 上，所以18．若平面上的点P 及半径为R 的圆C ，我们称2CP R -为点P 对圆C 的幂，则平面上对圆1C ：221x y +=及圆2C ：()()22234x y -++=幂相等的点P 的坐标所满足的等式是______.【答案】2x －3y －5＝0【分析】设出点P 坐标，依题意列出等式即可. 【详解】由题知：圆心1(0,0)C ，2(2,3)C -， 圆1C 的半径11R =，圆2C 的半径22R =，设点(,)Px y ，则点P 对圆1C 的幂为：()221x y +-，点P 对圆2C 的幂为：()()22234x y -++-，所以有：()()()22221234x y x y +-=-++-，化简得：2x －3y －5＝0， 故答案为：2x －3y －5＝0. 四、解答题19．若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-= (0a >)的公共弦的长为a 的值．。
人教A版高中数学选修第一册同步练习2.5.2 圆与圆的位置关系 A基础练(详细解析版)
人教A 版高中数学选修第一册同步练习2.5.2 圆与圆的位置关系（A 基础练）一、选择题1．（2020全国高课二时练）圆O 1: 2220x y x +-=和圆O 2: 2240x y y +-=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切【正确答案】B【详细解析】试题分析:由题意可知圆1O 的圆心()11,0O ,半径11r =,圆2O 的圆心()20,2O ,半径12r =,又211212r r OO r r -<<+,所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交,故选B ．2．（2020山东菏泽三中高二期中）两圆224210x y x y +-++=与224410x y x y ++--=的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【正确答案】C【详细解析】由题意,得两圆的标准方程分别为22(2)(1)4x y -++=和22(2)(2)9x y ++-=,则两圆的圆心距523d ===+,即两圆外切,所以两圆有3条公切线;故选C ．3．（2020山西师大附中高二期中）圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A,B,则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．10x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．10x y -+= 【正确答案】A【详细解析】圆22250x y x +--=的圆心为(1,0)M ,圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2)N -,两圆的相交弦AB 的垂直平分线即为直线MN ,其方程为020111y x --=---,即10x y +-=;故选A. 4.（2020山东泰安一中高二期中）已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相外切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝15D ．(x ＋5)2＋(y －7)2＝25【正确答案】A【详细解析】设动圆圆心为M ,且半径为1,又圆22(5)(7)16x y -++=的圆心为(5,7)N -,半径为4,由两圆相外切,得145MN =+=,即动圆圆心M 的轨迹是以(5,7)N -为圆心、半径为5的圆,其轨迹方程为22(5)(7)25x y -++=;故选A.5．（多选题）（2020河北正定中学高二期中）下列圆中与圆C :x 2+y 2+2x -4y+1=0相切的是( )A.(x+2)2+(y+2)2=9B.(x -2)2+(y+2)2=9C.(x -2)2+(y -2)2=25D.(x -2)2+(y+2)2=49 【正确答案】BCD【详细解析】由圆C :x 2+y 2+2x -4y+1=0,可知圆心C 的坐标为(-1,2),半径r=2.A 项,圆心C 1(-2,-2),半径r 1=3.∵|C 1C|=√17∈(r 1-r ,r 1+r ),∴两圆相交;B 项,圆心C 2(2,-2),半径r 2=3, ∵|C 2C|=5=r+r 2,∴两圆外切,满足条件;C 项,圆心C 3(2,2),半径r 3=5,∵|C 3C|=3=r 3-r ,∴两圆内切;D 项,圆心C 4(2,-2),半径r 4=7,∵|C 4C|=5=r 4-r ,∴两圆内切.6．（多选题）若圆C 1:x 2+y 2=1和圆C 2:x 2+y 2-6x -8y -k=0没有公共点,则实数k 的取值可能是( )A.-16B.-9C.11D.12 【正确答案】AD【详细解析】化圆C 2:x 2+y 2-6x -8y -k=0为(x -3)2+(y -4)2=25+k ,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为√25+k ; 圆C 1:x 2+y 2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.要使圆C 1和圆C 2没有公共点,则|C 1C 2|>√25+k +1或|C 1C 2|<√25+k -1,即5>√25+k +1或5<√25+k -1,解得-25<k<-9或k>11.∴实数k 的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞).满足这一范围的有A 和D.二、填空题7．（2020·辽河油田二中高二期中）已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -,若两圆圆心都在直线0x y b ++=上,则+a b 的值是 ________________ .【正确答案】1-【详细解析】由(),3A a ,()1,1B -,设AB 的中点为1,22a M -⎛⎫ ⎪⎝⎭,根据题意,可得1202a b -++=,且3111AB k a -==+,解得,1a =,2b =-,故1a b +=-.故正确答案为:1-. 8．半径长为6的圆与y 轴相切,且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切,则此圆的方程为______________ .【正确答案】(x －6)2＋(y ±4)2＝36【详细解析】设该圆的标准方程为22()()36x a y b -+-=,因为该圆与y 轴相切,且与圆22(3)1x y -+=内切,所以65a ⎧=⎪=,解得64a b =⎧⎨=±⎩,即该圆的标准方程为22(6)(4)36x y -+±=. 9．（2020全国高二课时练）若点P 在圆221x y +=上,点Q 在圆()()22344x y ++-=,则PQ 的最小值为_____________ .【正确答案】2【详细解析】由题意可知,圆221x y +=的圆心坐标为()0,0A ,半径1r =,圆()()22344x y ++-=的圆心坐标为()3,4B -,半径2R =.由512d AB R r ===>+=+,∴两圆的位置关系是外离.又点P 在圆A 上,点Q 在圆B 上,则PQ 的最小值为()()5122d R r -+=-+=10．（2020浙江嘉兴四中高二期中）已知相交两圆221:4C x y +=,圆222,(2)4C x y -+=,公共弦所在直线方程为___________,公共弦的长度为___________.【正确答案】1x =;【详细解析】联立2222(24)4x y x y ⎧+=⎨⎩-+=作差可得1x =,将1x =代入224x y +=可解得y =12l y y =-=故正确答案为:1x =;三、解答题11.（2020全国高二课时练）已知两圆C 1:x 2+y 2+4x -6y+12=0,C 2:x 2+y 2-2x -14y+k=0(k<50).当两圆有如下位置关系时:(1)外切; (2)内切; (3)相交; (4)内含; (5)外离.试确定上述条件下k 的取值范围.【详细解析】将两圆的方程化为标准方程:C 1:(x+2)2+(y -3)2=1;C 2:(x -1)2+(y -7)2=50-k.则圆C 1的圆心坐标C 1(-2,3),半径r 1=1, 圆C 2的圆心坐标C 2(1,7),半径r 2=√50-k . 从而圆心距d=√(-2-1)2+(3-7)2=5.(1)当两圆外切时,d=r 1+r 2,即1+√50-k =5,解得k=34.(2)当两圆内切时,d=|r 1-r 2|,即|1-√50-k |=5,解得k=14.(3)当两圆相交时,|r 1-r 2|<d<r 1+r 2,即|1-√50-k |<d<1+√50-k , 解得14<k<34.(4)当两圆内含时,d<|r 1-r 2|,即|1-√50-k |>5,解得k<14.(5)当两圆外离时,d>r 1+r 2,即1+√50-k <5,解得k>34. 12．（2020·太原市第六十六中高二期中）已知圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2﹣6x +m =0． （1）若圆C 1与圆C 2外切,求实数m 的值;（2）在（1）的条件下,若直线x +2y +n =0与圆C 2的相交弦长为求实数n 的值．【详细解析】（1）由题意,圆221:1C x y +=的圆心坐标为1(0,0)C ,半径为1r =,圆222:60C x y x m +-+=的圆心坐标为2(3,0)C ,半径为R =,因为圆1C 与2C 相外切,所以12C C r R =+,即31=解得5m =. （2）由（1）得5m =,圆2C 的方程为22(3)4x y -+=,可得圆心2(3,0)C ,半径为2R =,由题意可得圆心2C 到直线20x y n ++=的距离d =,又由圆的弦长公式,1==,即3n +=解得3n =-或3n =-。
高中数学直线与圆、圆与圆的位置关系
9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系一、填空题1．已知集合 A ＝ {( x ，y)| x ，y 为实数，且 x 2＋ y 2＝ 1} ，B ＝{( x ，y)| x ，y 为实数，且 x ＋y ＝1} ，则 A ∩B 的元素个数为 ________．解析 集合 A 表示圆，集合 B 表示一条直线，又圆心 (0,0) 到直线 x ＋y ＝1 的距 离 d ＝12A ∩B 的元素个数有 2 个．＝＜1＝r ，所以直线与圆相交，故2 2答案 2 ．圆 C 1 ：x 2＋y 2＋ x ＝ ，圆 C 2：x 2＋y 2＋ y ＝ ，则两圆的位置关系是 ________． 2 2 0 4 0 解析 圆 C 1： ( x ＋1) 2＋ y 2 ＝ ，圆 C 2 ：x 2＋( y ＋2) 2＝ 2，12所以 C 1C 2＝ 5，且 2－1＜ 5＜2＋1，所以两圆相交．答案 相交3．若直线 x －y ＋ a ＝ 0 与圆 ( x － 1) 2＋y 2＝ 1 有公共点，则实数 a 的取值范围是 2 ________．解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有 | a ＋2|5 ≤1，解得－ 2－ 5≤ a ≤－ ＋ 5.2 答案 [ －2－ 5，－ 2＋ 5] 4．与圆 x 2＋ y 2＝ 25 外切于点 P ，且半径为 1 的圆的方程是________． (4,3)解析 设所求圆的圆心为C m ，n ，则 O ， P ， C 三点共线，且 OC ＝ ，( ) 64 24 31824 218 2所以 m ＝5×6＝ 5 ， n ＝ 5×6＝ 5 ，所以圆的方程是 x － 5 ＋ y － 5 ＝1.答案x － 24 2 ＋ y －18 2＝15 5．过点A向圆 x2＋y 2＝ 所引切线的方程为________．5(2,4)4解析 显然 x ＝2 为所求切线之一．另设直线方程为y － ＝kx －2) ，4 (|4 －2k|3即 kx － y ＋ 4－2k ＝0，那么 k 2＋1 ＝ 2， k ＝4，即 3x － 4y ＋10＝0.答案 x ＝2 或3 x － y ＋＝4 10．台风中心从 A 地以每小时20 k 的速度，向东北方向移动，离台风中心30 km6m内的地区为危险地区，城市 B 在 A 地正东 40 k 处， B 城市处于危险区内的时间m为 ________． 答案 1 h7．将直线 2x －y ＋λ＝ 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位，所得直线与圆 x 2＋ y 2 ＋2x －y ＝ 0 相切，则实数 λ 的值为 ． 4 ________解析由题意，得直线 2( x ＋ 1) －y ＋λ＝ ，即 2 x －y ＋ ＋λ＝ 0 与圆 x ＋1) 20 2 (＋ ( y －2) 2＝5 相切，所以 |λ －2| ＝ 5， λ－2＝± 5，所以 λ ＝－ 3 或 λ＝7. 5答案 －3或 7 ．设两圆 C 1、C 2 都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1) ，则两圆心的距离 C 1C 2＝ 8 ________.解析 设与两坐标轴都相切的圆的方程为 ( x － a 2＋ y －a 2 ＝a 2，将点 (4,1) 代入) ( ) 得 a 2－10a ＋ 17＝0，解得 a ＝5±2 2，设 C 1(5 －2 2， 5－ 2 2) ，则 C 2(5 ＋ 2 2，5＋2 2) ，则 C 1C 2＝ 32＋32＝ 8.答案89．由直线 y ＝ x ＋ 1 上的一点向圆 x 2－6x ＋ y 2 ＋8＝0 引切线，则切线长的最小值为 ________．解析 切线长的最小值在直线 y ＝ x ＋ 1 上的点与圆心距离最小时取得， 圆心(3,0) 到直线的距离为 d ＝ |3 －0＋1| ＝ 2 ，圆的半径为 ，2 2 1故切线长的最小值为 d 2－r 2＝ 8－ 1＝ 7.答案710．已知圆 x 2＋y 2＝m 与圆 x 2＋ y 2＋ 6x － 8y －11＝0 相交，则实数 m 的取值范围为________．解析 ( x ＋3) 2＋ ( y －4) 2＝36，由题意，得 |6 － m| ＜5＜ 6＋ m ，解得 1＜ m ＜11，所以 1＜ m ＜ 121.答案1＜m ＜12111．若直线 2ax －by ＋2＝0( a ＞0，b ＞0) 被圆 x 2＋ y 2＋2x － 4y ＋1＝0 截得的弦长1 1为 4，则 a ＋b 的最小值是 ________．解析 圆 ( x ＋ 1) 2＋ y － 2)2＝ ，( 4∵弦长为 4，故为直径，即直线过圆心 ( －1,2) ，∴ a ＋b ＝1，1 1 1 1 a ＋ bb a1＋ ＝＋＋≥＋ ＝ ，当且仅当 a ＝b ＝ 时，取等号，∴ a ＋ b ＝ a b ( ) 2 a b22142∴ 1＋ 1的最小值为 4.a b答案412．圆 C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋ 4a 2－ 4＝ 0 和圆 C 2：x 2＋y 2－ 2by ＋b 2 －1＝0 恰有三条公切线，若 a ，b ∈ R 且 ab ≠0，则 12＋ 12的最小值为 ________．a b解析 由题意，两圆外切，所以 | C 1C 2| ＝r 1＋r 2，即－ 2a 2 ＋b 2＝3，也即 4a 221 112 21 1 1b 2a 214＋ b ＝ 9，所以 a 2＋b 2＝9(4 a ＋ b ) a 2 ＋b 2 ＝ 9 5＋a 2＋ b 2 ≥9×(5 ＋ 4) ＝1，当且 b 2 4 a 2 b 2 ＝ a 2时等号成立．2 2 ，即 仅当 a ＝ b2答案 113．已知集合 A ＝{( x ，y)|| x| ＋| y| ≤1} ， B ＝ {( x ，y)| x 2 ＋y 2≤r 2，r ＞ 0} ，若点( x ，y ) ∈ A 是点 x ， y ∈B 的必要条件，则 r 的最大值是 ． ( )________ 解析由题意得B A ，所以 r 的最大值即为原点到直线x ＋y ＝1 的距离?12d ＝＝ .22答案22二、解答题 ( 每小题 15 分，共 45 分 )14．已知：圆 C ：x 2＋ y 2－8y ＋ 12＝0，直线 l ：ax ＋y ＋ 2a ＝0.(1) 当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切；(2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A 、 B 两点，且 AB ＝2 2时，求直线 l 的方程．解析 将圆 C 的方程 x 2 ＋y 2－ y ＋ ＝ 配方得标准方程为 x 2＋y － 4) 2＝ ，则 8 12 0 (4此圆的圆心为 (0,4) ，半径为 2.(1) 若直线 l 与圆 C 相切，a 3则有2 ＝2. 解得 a＝－ .a ＋ 1 4(2) 过圆心 C 作 CD⊥ AB，则根据题意和圆的性质，|4 ＋2 aCD＝，a2＋1得2 2 2 2，CD＋DA＝AC＝ 21DA＝2AB＝ 2.解得 a＝－ 7 或 a＝－ 1.故所求直线方程为7x－ y＋ 14＝0 或 x－y＋2＝0.15．求过两圆 x2＋y2＋4x＋ y＝－ 1，x2＋y2＋ 2x＋2y＋1＝ 0 的交点的圆中面积最小的圆的方程．x2＋y2＋ 4x＋y＝－ 1，①解析由x2＋y 2＋x ＋y＋＝，②2 2 1 0x－y ＝代入①得 1①－②得 2 0 5 11 2、( －1，－ 2) ．∴两圆两个交点为－5，－51 2、( －1，－2) 为端点的线段为直径的圆，面积最小．过两交点圆中，以－5，－53 6∴该圆圆心为－5，－5半径为12 22－5＋1 ＋－5＋2 2 52 ＝ 5，3 2 6 2 4圆方程为 x＋5 ＋ y＋5 ＝5.16．如图，已知位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相交于点 (0,1) 且被 x 轴分成的两段圆弧长之比为1∶ 2，过点 H(0 ，t ) 的直线 l 与圆 C 相交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O.(1) 求圆 C 的方程；(2) 当 t ＝1 时，求出直线 l 的方程；(3) 求直线 OM 的斜率 k 的取值范围．解析(1) 因为位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相切于点 (0,1) ，所以圆心 C 在直线 y ＝1 上．设圆 C 与 x 轴的交点分别为 A 、B .2π由圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 2∶ 1，得∠ ACB ＝ 3 . 所以 CA ＝CB ＝2.圆心 C 的坐标为 ( －2,1) ，所以圆 C 的方程为 ( x ＋2) 2＋( y －1) 2 ＝4.(2) 当 t ＝1 时，由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝mx ＋1.－ 4x ＝ 2，y ＝ mx ＋ ，x ＝ ，m ＋1由1得或2＋y －2y ＝2m ＋x ＋21 ＝4，1m － 4 1y ＝2.m ＋ 12m ＋－ 4m － 1不妨令，N(0,1) ．Mm ＋ 122因为以 MN 为直径的圆恰好经过 O ，(0,0)2 －m ＋ 2－＋→ → －4m4 11，2·m4mm ＝ ±所以 (0,1)m ＋1m ＋ 1m＋ 1 023.所以所求直线 l 方程为 y ＝ (2 ＋ 3) x ＋ 1 或 y ＝(2 － 3) x ＋1.(3) 设直线 MO 的方程为 y ＝ kx.k － 1|3 | －2 由题意，知1＋k 2≤2，解得 k ≤ .41 34同理，得－ k ≤4，解得 k ≤－ 3或 k ＞0.由 (2) 知， k＝0 也满足题意．4 3所以 k 的取值范围是－∞，－3∪ 0，4 .17．如图所示，某粮食储备库占地呈圆域形状，它的斜对面有一条公路，从储备库中心 A 向正东方向走 1 km是储备库边界上的点 B，接着向正东方向走 2 km到达公路上的点 C；从 A 向正北方向走 2.8 km到达公路上的另一点 D. 现准备在储备库的边界上选一点 E，修建一条由 E 通往公路 CD的专用线路 EF，要求造价最低，用坐标法回答：点 E 应该选在何处？解析如图所示，分别以直线AC、AD为x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，作圆A 的切线GH，使GH∥CD，这时切点就是 E 点的位置 ( 另一条切线不在考虑之列 ) ，连接 AE，A、E、F 三点共线，AF⊥CD，由已知，CD的斜率为－2.8143 ＝－ 15，15∴ AF的斜率为 14，AF 的方程为15y＝14x，圆 A 的方程为22x＋y＝1.由 y＝1514x解得 E 点的坐标为14 421 15 421.x2＋y2＝1 421 ，421∴E 点选在坐标为14 421，15 421的点，造价最低．42142118．已知圆 O的方程为 x2＋y2＝1，直线 l 1过点 A(3,0) ，且与圆 O相切．(1) 求直线 l 1的方程；(2) 设圆 O交 x 轴于 P，Q两点，M是圆 O上异于 P，Q的任意一点，过点 A 且与 x 轴垂直的直线为l 2，直线 PM交直线 l 2于点 P′，直线 QM交直线 l 2于点 Q′，求证：以线段 P′Q′为直径的圆 C总过定点，并求出定点坐标．解析 (1) 由题意，可设直线l 1的方程为 y＝k( x－3) ，即 kx－y－3k＝ 0，| －3 k | 2则由 d ＝ 2 ＋ ＝ 1，解得 k ＝± 4 ，k 12所以直线 l 1 的方程为 y ＝± 4 ( x －3) ．(2) 证明 由题意， P －1,0) ，Q ，直线 l 2 的方程为 x ＝ 3. ( (1,0)t 设 M( s ，t )( s ≠± 1) ，则直线 PM 的方程为 y ＝ s ＋ 1( x ＋ 1) ，x ＝ ，3tt于是由P ′ ， ，同理可得 Q ′，t得 4 2. y ＝x ＋1 ，3 s ＋13s － 1s＋1所以，以线段 ′ ′为直径的圆 的方程为2 y － t y － t ＝ ， C ( x －3) ＋ P Q s ＋ 1 s －12222s － 2－ x ＋又 s＋t ＝ ，整理，得( x＋ y1) ＋y ＝0.16t若圆 C 过定点，则只需令 y ＝ ，得 x 2－ x ＋ ＝ ，解得 x ＝ ±22. 0 6 1 0 3。
人教A版高中数学选择性必修第一册第2章 2.5.2 圆与圆的位置关系课时练习题
2．5.2圆与圆的位置关系1．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为()A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离答案C解析由已知，得C 1(－2，－4)，r 1＝5，C 2(－2，－2)，r 2＝3，则d ＝|C 1C 2|＝2， 所以d ＝|r 1－r 2|，所以两圆内切．2．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为()A ．(1,0)和(0,1)B ．(1,0)和(0，－1)C ．(－1,0)和(0，－1)D ．(－1,0)和(0,1)答案C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．3．已知圆C 1：x 2＋y 2－m ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0，若圆C 1与圆C 2有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．m ＜1B ．m ＞121C ．1≤m ≤121D ．1＜m ＜121答案C解析圆C 1的方程可化为x 2＋y 2＝m (m >0)，则圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝m ； 圆C 2的方程可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，则圆心为C 2(－3,4)，半径r 2＝6.∵圆C 1与圆C 2有公共点，∴|r 1－r 2|≤|C 1C 2|≤r 1＋r 2， 即|m －6|≤(－3－0)2＋(4－0)2≤m ＋6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|m －6|≤5，m ＋6≥5，解得1≤m ≤121.4．(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．内切B．相交C．外离D．外切答案CD解析两圆的圆心距为d＝(1－0)2＋(－3－0)2＝10，两圆的半径之和为r＋4，因为10<r＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选CD.5．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为() A．4条B．3条C．2条D．1条答案C解析圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，∴|O1O2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13，∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，∴两圆相交．∴公切线有2条．6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是_____________．答案a2＋b2>3＋2 2解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，2和(0，b)，1.因为两圆外离，所以a2＋b2>2＋1，即a2＋b2>3＋2 2.7．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是_______．答案x＋3y＝0解析圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．答案x 2＋y 2－34x －34y －114＝0 解析由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0. 9．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0，作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则AH ＝12AB ＝2， 所以O 1H ＝r 21－AH 2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.10．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ， 解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0，∴公共弦长为2(11)2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.11．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y －7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9答案D 解析设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4－1， ∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.12．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于()A ．4B ．42C ．8D ．8 2答案C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝(a－b)2＋(a－b)2＝32×2＝8.13．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是() A．(－22，0)∪(0,22) B．(－22，22)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,1)答案A解析∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．|OC|＝a2＋1，由2－1<|OC|<2＋1，得1<a2＋1<3，∴0<|a|<22，∴－22<a<0或0<a<2 2.14．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．答案4解析连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝5，|O1A|＝25，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝5×255＝2，∴|AB|＝4.15．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是____________________．答案x2＋y2－3x＋y－1＝0解析设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.16．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解(1)设P (x ，y )，则||AP ＝2||OP ，即||AP |2＝4OP |2，所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4.所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ，所以，圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2.因为圆Q 与圆C 有公共点，又圆Q 与圆C 的两圆心距为 ||CQ ＝()t ＋12＋()t －02＝2t 2＋2t ＋1，所以||2－t ≤||CQ ≤2＋t ，即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2，解得－3＋23≤t ≤3.所以，实数t 的取值范围是[]－3＋23，3.。
高中数学《2、4圆与圆的位置关系》知识点+教案课件+习题
知识点：1、设两圆的圆心连线线长为d，两圆的半径分别为R，r。
则两圆有如下位置关系，如下图所示：（1）、两圆外离d＞R＋r；（2）、两圆外切d = R＋r；（3）、两圆相交R－r＜d＜R＋r（R＞r）（4）、两圆内切d = R－r；（R＞r）（5）、两圆内含d＜R－r。
（R＞r）2、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
如下图所示，O1O2为圆心，AB为两圆的公共弦，则有AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分。
视频教学：练习：A．外离B．外切C．相交D．内切2、已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（）A．0<d<1B．d>5C．0<d<1或d>5D．0≤d<1或d>53、若⊙O1与⊙O2相切，且O1O2=5，⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2是（）A． 3 B． 5C．7 D． 3 或7课件：教案：【教学目标】1．知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系。
2．过程与方法设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当l ＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当l = r1+r2时，圆C1与圆C2外切；（3）当|r1 – r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；（4）当l = |r1– r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l＜|r1– r2|时，圆C1与圆C2内含。
3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。
【教学重难点】用坐标法判断圆与圆的位置关系。
【教学过程】备选例题例1 已知圆C1：x2 + y2– 2mx + 4y + m²– 5 = 0，圆C2：x2 + y2 + 2x – 2my + m²– 3 = 0，m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含。
高中数学例题：圆与圆的位置关系
高中数学例题：圆与圆的位置关系例5．已知圆C1：x2+y2―2mx+4y+m2―5=0，圆C2：x2+y2+2x―2my+m2―3=0，问：m为何值时，（1）圆C1和圆C2相外切？（2）圆C1与圆C2内含？【答案】（1）m=―5或m=2；（2）―2＜m＜―1．【解析】对于圆C1，圆C2的方程，配方得C1：(x―m)2+(y+2)2=9，C2：(x+1)2+(y―m)2=4．（1）如果圆C1与圆C232=+，即(m+1)2+(m+2)2=25，m2+3m―10=0，解得m=―5或m=2．（2）如果圆C1与圆C232<-，即(m+1)2+(m+2)2＜1，m2+3m+2＜0，解得―2＜m＜―1．故（1）当m=―5或m=2时，圆C1与圆C2相外切；（2）当―2＜m＜―1时，圆C1与圆C2内含．【总结升华】利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d 与R+r、d与R―r的大小关系来判定即可．举一反三：【变式1】当a为何值时，圆C1：x2+y2―2ax+4y+(a2―5)=0和圆C2：x2+y2+2x―2ay+(a2―3)=0相交．【答案】当―5＜a＜―2或―1＜a＜2时，圆C1与圆C2相交【变式2】已知圆C1：x2+y2+2x―6y+1=0，圆C2：x2+y2―4x+2y―11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．【解析】因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程，联立方程组，消去x2和y2项，即得两圆的交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．设两圆交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B两点坐标是方程组2222261042110x y x yx y x y⎧++-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩①②的解，①―②得3x―4y+6=0．∵A、B两点坐标都满足此方程，∴3x―4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心为（―1，3），半径r=3．又C1到直线AB的距离为95d==．∴24||5AB===，即两圆的公共弦长为245．【总结升华】求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可．这是因为若两圆相交，其交点坐标必须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次方程，即直线的一般方程，故此方程即为两圆公共弦所在的直线方程，而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用．。
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高中数学-圆与圆的位置关系测试题
自我小测
1．已知0＜r＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( ) Ａ.外切B．相交C．外离D．内含
2．内切两圆的半径长是方程x2＋px＋q＝0的两个根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p＋q等于( )
Ａ.1 B．5 C．1或5 D．以上都不对
3．已知圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为( )
Ａ.x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )
Ａ.4 B． C．8 D．
5．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是( )
Ａ.a≤1 B．a≥5C．1≤a≤5 D．a≤5
6．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是( )
Ａ.a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
7．若a2＋b2＝1，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系为__________．8．与圆C1：(x－1)2＋y2＝1，圆C2：(x－4)2＋(y＋4)2＝4均外切的圆中，面积最小的圆的方程是__________．
9．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C1与圆C2内含？
10．已知一个圆和圆C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x y＝0相切于点M(3，
，求该圆的方程．
11．如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的
切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM||PN|.试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程．
参考答案
1．解析：设圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．
两圆的圆心距离d(O
.
显然有|r
|
r.所以两圆相交．
答案：B
2．解析：设方程的两根为x 1，x 2，
由x 2＋px ＋q ＝0，得1212,,
x x p x x q +=-⎧⎨=⎩
因为其中一个圆半径为3，不妨设x 2＝3，
因为两圆内切，所以|x 1－3|＝1.
所以x 1＝4或x 1＝2.
当x 1＝4时，p ＝－7，q ＝12，p ＋q ＝5.
当x 1＝2时，p ＝－5，q ＝6，p ＋q ＝1.
答案：C
3．解析：由平面几何知识，知线段AB 的垂直平分线即为两圆心所在的直线，把两圆分别化为标准式可得两圆心分别为C 1(2，－3)，C 2(3,0)，因为C 1C 2所在直线的斜率为3，所以直线方程为y －0＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.
答案：C
4．解析：因为两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．
设两圆的圆心分别为(a ，a)，(b ，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a 2，(4－b)2＋(1－b)2＝b 2
，
即a ，b 为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x 2的两个根，
整理得x 2－10x ＋17＝0，所以a ＋b ＝10，ab ＝17.
所以(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ＝100－4×17＝32，
所以|C 1C 2|
＝8. 答案：C
5．解析：由A∩B＝B 知B ⊆A ，故0≤a－1≤4，即1≤a≤5.
答案：C
6．解析：利用两圆的公共弦始终经过圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2
＝4的圆心即可求得．把两圆分别化成一般式方程，作差可得公共弦方程为(2a ＋2)x ＋(2b ＋2)y －a 2－1＝0，它经过圆心
(－1，－1)，代入后有a2＋2a＋2b＋5＝0.
答案：B
7．解析：因为圆(x－a)2＋y2＝1的圆心为(a,0)，半径r1＝1；
圆x2＋(y－b)2＝1的圆心为(0，b)，半径r2＝1，
所以圆心距d 1.
所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2＝2，两圆相交．
答案：相交
8．解析：当三圆圆心在一条直线上时，所求圆面积最小．
设所求圆的圆心坐标为(a，b)，已知两圆圆心之间的距离为d＝(1－4)2＋(0＋4)2＝5，所以所求圆半径为1.
由已知可知
1
41
a-
-
＝
2
5
，所以a＝
11
5
，
40
b-
--
＝
2
5
，
所以b＝－8
5
，
所以所求圆的方程为
11
5
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
2＋
8
5
y
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
2＝1.
答案：
11
5
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
2＋
8
5
y
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
2＝1
9．分析：充分利用两圆位置关系的判定公式(几何法)．
解：配方得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)由圆C1与圆C23＋2.
即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m1＝－5，m2＝2.
故当m＝－5或2时，圆C1与圆C2外切．
(2)由圆C1与圆C23－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＜1. 解得－2＜m＜－1.
故当－2＜m＜－1时，圆C1与圆C2内含．
10．解：圆C1方程化为(x－1)2＋y2＝1，其圆心C1(1,0)，半径为r1＝1.
设所求圆的圆心为C(a，b)，半径为r.
因为M(3)在圆上，
所以r.
因为两圆外切，
所以|C 1C|＝1
1
又因为直线CM⊥l ，所以k CM ·k l ＝－1.
3b a +-1，解得b －.②
1
＝1＋2|a －3|.
当a≥3＝1＋2(a －3)＝2a －5，所以a ＝4.
代入②可得，b ＝0，半径r 2.
此时圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.
当a ＜3＝1－2(a －3)＝－2a ＋7，所以a ＝0.
代入②可得，b ＝－，半径r 6.
此时圆的方程为x 2＋(y ＋2
＝36.
综上所述，该圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋)2＝36.
11．解：如图所示，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．
设动点P(x ，y)．
由题意得|PM|2＝|O 1P|2－|O 1M|2＝(x ＋2)2＋y 2
－1.
同理，可得|PN|2＝(x －2)2＋y 2－1.
因为|PM||PN|，所以|PM|2＝2|PN|2. 所以(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2
－1]，
即x 2＋y 2－12x ＋3＝0.
所以动点P 的轨迹方程是x 2＋y 2－12x ＋3＝0.。