高中数学一轮复习之函数的解析式

第2节 函数的解析式
【基础知识】
1．已知函数类型,可用待定系数法；
2．已知复合函数[(()]f g x 的表达式，求()f x 可用换元法或配凑法；
3．涉及抽象函数等式问题，往往通过建立方程组，运用“消去法”.
【规律技巧】
1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．
2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．
3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．
4.若()f x 与1()f x
或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．
5.应用题求解析式可用待定系数法求解．
6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．
【典例讲解】
例1、(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；
(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．
【方法技巧】函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；
(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；
(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一
个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．
【变式探究】(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；
(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．
【针对训练】
1、已知一次函数()f x 满足(())41f f x x =-，求()f x . 【答案】1()23f x x =-
或()21f x x =-+
2、已知2(1)21f x x x -=-+，求()f x .
【答案】2()232f x x x =-+
3、定义在(1,1)-内的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x . 【答案】21()lg(1)lg(1)33
f x x x =++-，x ∈(1,1)- 4、已知()1f x x =+，求2()f x .
【答案】22()1f x x =+
5、已知2211()f x x x x -=+
，求()f x 【答案】2()2f x x =+
【练习巩固】
1、已知一次函数()f x 满足(())41f f x x =-，求()f x . 【答案】1()23
f x x =-
或()21f x x =-+
2、已知2(1)21f x x x -=-+，求()f x .
【答案】2()232f x x x =-+
3、定义在(1,1)-内的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x . 【答案】21()lg(1)lg(1)33
f x x x =
++-，x ∈(1,1)- 4、若函数)0()(≠+=a b ax x x f ，1)2(=f ，又方程x x f =)(有唯一解，求)(x f 的解析
式． 【答案】2
2)(+=
x x x f
5、已函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,在[0,1]上()()2ln 11x f x x =++-. （1）求函数()f x 的解析式；并判断()f x 在[]1,1-上的单调性(不要求证明);
（2）解不等式()()
22110f x f x -+-≥． 【答案】（1）()()()()()1ln 111022ln 1101x x x x f x x x ⎧---+-≤<⎪=⎨⎪++-≤≤⎩
；（2）[]0,1.。