中考数学压轴题分类汇编：几何动点

中考数学分类汇编专题测试——动点问题1．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿ABC →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D→方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y ．（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．[解] （1）当01x ≤≤时，2AP x =，AQ x =，212y AQ AP x ==g ， 即2y x =．（2）当12ABCD ABPQ S S =正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子，22BP x =-，AQ x =，()211222222x x -+⨯=⨯，43x ∴=．（3）当413x ≤≤时，2AB =，22PB x =-，AQ x =，2223222AQ BP x x y AB x ++-∴==⨯=-g ，即32y x =-．作OE AB ⊥，E 为垂足．当423x ≤≤时，22BP x =-，AQ x =，1OE =， BEOP OEAQ y S S =+梯形梯形12211122x x +-+=⨯+⨯32x =，即32y x =．90180POQ oo≤∠≤或180270POQ oo≤∠≤ （4）如图所示：321 O1 2 xy43B CPOD QA BPCODQAy32 1 O1 2 x2.如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式; (2)若S 梯形OBCD ＝433,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.[解] （1）直线AB 解析式为：y=33-x+3． （2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-x+3），那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，33） 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，33）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P （3，33）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1．∴2P （1，3）．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23．∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°， ∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43，433）．方法二：设Ｐ（x ，33-x+3），得OM ＝x ，PM ＝33-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM==OMPM =x x 333+-，tan ∠ABOC=OBOA =3．∴33-x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P （43，433）． ④若△POB ∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P （43，43）（由对称性也可得到点4P 的坐标）．当∠OPB ＝Rt ∠时，点P 在ｘ轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P （3，33），2P （1，3），3P （43，433），4P （43，43）．3．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． (1)求点B 的坐标；(2)当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标； (3)当点P 运动什么位置时，使得∠C PD=∠OAB，且AB BD =85，求这时点P 的坐标。

[解] (1)作BQ ⊥x 轴于Q.∵ 四边形ABCD 是等腰梯形, ∴∠BAQ ＝∠COA ＝60° 在Rt ΔBQA 中,BA=4,∴BQ=AB ·sin ∠BAO=4×sin60°=32 AQ=AB ·cos ∠BAO=4×cos60°=2, ∴OQ=OA-AQ=7-2=5 ∵点B 在第一象限内, ∴点B 的的坐标为(5, 32)(2)若ΔOCP 为等腰三角形,∵∠COP=60°,此时ΔOCP 为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若ΔOCP 为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P 在x 轴的正半轴上, ∴点P 的坐标为(4,0)若ΔOCP 是顶角为120°的等腰三角形,则点P 在x 轴的负半轴上,且OP=OC=4 ∴点P 的坐标为(-4,0) ∴点P 的坐标为(4,0)或(-4,0) (3)若∠CPD=∠OAB ∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°, ∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP ∽ΔADP ∴APOC AD OP = ∵85=ABBD∴2585==AB BD ,AD=AB-BD=4-25=23 AP=OA-OP=7-OP ∴OP OP -=7423 得OP=1或6∴点P 坐标为(1,0)或(6,0).4． 已知：如图①，在Rt ΔABC 中，∠C=900，AC=4cm ，BC=3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0<t <2），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设ΔAQP 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ΔABC 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把ΔPQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． 解：（1）在Rt △ABC 中，522=+=AC BC AB ，由题意知：AP = 5－t ，AQ = 2t ，若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ，∴=ACAQ AB AP，∴5542t t -=，∴710=t ． （2）过点P 作PH ⊥AC 于H ． ∵△APH ∽△ABC ， ∴=BCPHABAP ，∴=3PH55t -，∴tPH 533-=，∴t t t t PH AQ y 353)533(221212+-=-⨯⨯=⨯⨯=． （3）若PQ 把△ABC 周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ ．∴)24(32)5(t t t t -++=+-， 解得：1=t ．若PQ 把△ABC 面积平分，则ABC APQ S S ∆∆=21， 即－253t ＋3t =3．∵ t =1代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分． （4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，若四边形PQP ′ C 是菱形，那么PQ ＝PC ． ∵PM ⊥AC 于M ，∴QM=CM ． ∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ． ∴AB BP AC PN =， ∴54tPN =， ∴54t PN =， ∴54tCM QM ==，∴425454=++t t t ，解得：910=t ． 图①BBN∴当910=t 时，四边形PQP ′ C 是菱形． 此时37533=-=t PM ， 9854==t CM ， 在Rt △PMC 中，9505816494922=+=+=CM PM PC ， ∴菱形PQP ′ C 边长为9505．。