山东省2012届高三考前适用性模拟训练数学文(4)

山东省2012届高三考前适用性模拟训练数学文（4）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{},3M m =-,{}22730,N x x x x =++<∈Z ,如果M N ≠∅ ,则m 等于 A ．1- B ．2- C ．2-或1- D ．32-2．设复数21z i=+(其中i 为虚数单位)，则23z z +的虚部为A ．2iB ．0C ．10-D ．2 3．设,R x y ∈，则“229x y +≥” 是“3x >且3y ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件4．已知函数2log ,0()31,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则()31((1))log 2f f f +的值是A ．5B ． 3C ．1-D ．725．过点（1，0）且与直线053=-+y x 平行的直线方程是A ．013=++y xB ．013=-+y xC ．033=--y xD ．033=-+y x 6．函数x x x f cos sin 41)(=是A. 最小正周期为π2的偶函数B. 最小正周期为π2的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π的奇函数7．已知实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-1003x y x y x ，则y x z 2+-=的最小值是A ．7B ．－3C ．23 D ．38．一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形； ③圆；④椭圆．其中正确的是 A ．① B ．②C ．③D ．④9．已知函数⎩⎨⎧<≥+=)1(,)1(,ln 1)(3x x x x x f ，则)(x f 的图象为 主视图左视图第8题图A ． B.C. D.10．在A B C ∆中，a =7，b =2，A=60°，则c = A .1 B.2 C.3 D .411．已知圆0241022=+-+x y x 的圆心是双曲线)0>a 的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为A ．x y 34±=B ．x y 43±= C ．x y 53±= D ．x y 54±=12．函数]2,1[,13)(2-∈--=x x x x f ，任取一点]2,1[0-∈x ，使1)(0≥x f 的概率是A.32 B.95 C.41 D.94第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。

）13．若向量,a b 满足||a=1，||b =2，且a 与b 的夹角为3π，则||a b + = .14．已知复数z 满足z =z 对应的点Z 在第 象限.15．已知圆x 2+y 2-6x-7=0与抛物线y 2=2px （p>0）的准线相切，则p=__ __.16．观察下列一组等式：①223sin 30+cos 60+sin 30cos 60=4，②223sin 15+cos 45+sin 15cos 45=4，③223sin 45+cos 75+sin 45cos 75=4，……，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：__ _____. 三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x n x x m -==，设函数n m x f ⋅=)(. （Ⅰ）求函数()f x 在3[0,]2π上的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，若1)62sin()(=-+πA A f ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边a 的长．18．（本小题满分12分）一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位:辆)，若按A,B,C 三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,则A 类轿车有10辆. （Ⅰ）求z 的值；（Ⅱ）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2. 把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数a .记这8辆轿车的得分的平均数为x ，定义事件E ={0.5a x -≤，且函数()2 2.31fx ax ax =-+没有零点}，求事件E 发生的概率.19.（本小题满分12分）设平面向量a ＝ （ m , 1）, b = ( 2 , n )，其中 m ， n ∈{-2,-1,1,2}． （I ）记“使得a ⊥b 成立的（ m ，n ）”为事件A ，求事件A 发生的概率； （II ）记“使得a //（a -2b ）成立的（ m ，n ）”为事件B ，求事件B 发生的概率.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，且11=a ，55=a ；设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2n n b S =-. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若(1,2,3,),n n n n c a b n T =⋅=…为数列{}n c 的前n 项和，求.n T21.（本小题满分12分）已知A （23-，0），B （23，0）为平面内两定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2．（I ）求动点P 的轨迹方程；（II ）设直线)0)(23(>+=k x k y l ：与（I ）中点P 的轨迹交于M 、N 两点．求△BMN 的最大面积及此时直线l 的方程.22（本小题满分14分）已知函数R x t x t txx x f ∈-+-+=，213232)(223，其中t ∈R ．（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．二、填空题（13）7 （14）一 （15）2 （16）223sin cos (30)sin cos(30)4x x x x ++++=，本题答案不唯一，与之等价的均可。

三、解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得21cos 2()sin cos sin 222xf x x x x -==-1sin(2)26x π=-+………………………………………………………………………3分令3222262k x k πππππ+≤+≤+,Z k ∈解得：263k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，263x ππ∴≤≤，或7362x ππ≤≤ 所以函数()f x 在3[0,]2π上的单调递增区间为2[,]63ππ，73,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………6分 （Ⅱ）由1)62sin()(=-+πA A f 得：1)62sin()62sin(21=-++-ππA A化简得：212cos -=A又因为02A π<<，解得：3π=A …………………………………………………………9分由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ，解得8=bc ，又7=+c b ,所以22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+14928(1)252=-⨯⨯+=故所求边a 的长为5. ……………………………………………………………………12分 18. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得:5010100300n =+,所以2000n =.z =2000-100-300-150-450-600=400 ………………………………4分(Ⅱ) 8辆轿车的得分的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=…………………………………………6分 把8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数a 对应的基本事件的总数为8个, 由0.5a x -≤，且函数()22.31f x ax ax =-+没有零点290.58.59.249.240a a a a ⎧-≤⇒⇒≤<⎨∆=-<⎩………………………………………………10分 ∴E 发生当且仅当a 的值为：8.6, 9.2, 8.7, 9.0共4个, ()4182p E ∴== ……………………………………………………………………12分19．解：（I ）有序数组（m ,n ）的所有可能结果为：（-2，-2），（-2，-1），（-2，1），（-2，2）， （-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（-1，2），(1,-2)，（1，-1），（1，1），（1，2）,(2,-2)， （2，-1），（2，1），（2，2）共有16种. ……………………………………………………3分 使得a ⊥b 成立的（ m ，n ）,满足：2m +n =0， n =-2m事件A 有（-1，2）, (1,-2)有2种. ……………………………………………5分故所求的概率为：.81162)(==A p ………………………………………………7分（II ）使得a //（a -2b ）成立的（ m ，n ）满足：m (1-2n )-(m -4)=0即： mn =-2 …………………………………………………9分 事件B 有： （-2，1），（-1，2）,（1，-2）,（2，-1）4种 ……………………………11分故所求的概率为：.41164)(==B p ……………………………………………12分20．解:（Ⅰ）由111112,1,2,,1n n b S n b S S b b =-==-==令则又所以…………………………1分1122,()n n n n n n n n b S b b S S b --≥=--=--=-当时，由可得………………………………3分112n n b b -=即, ……………………………………………………………4分{}1111122n n n b b b -==所以是以为首项，为公比的等比数列，于是. ……………………………6分（Ⅱ）数列{}n a 为等差数列，公差1=d ，可得n a n = …………………………………………8分 从而121-⋅=⋅=n n n n n b a c ， …………………………………………………9分∴12223221-+⋯⋯⋯+++=n n nTnn n n n T 22122212112+-+⋯⋯++=-∴nn n n T 221212112112-+⋯⋯+++=-nnn 2211)211(1---==nnnn n 2222222+-=--. …………………………………………………………11分从而.1224-+-=n n n T . …………………………………………………………12分21．解：（1）∵|PA |+|PB |=2>3=|AB |， ∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a =2的椭圆．…………………………………………2分∴a =1， .21,2322=-==ca b c …………………………………………4分设P （x ，y ），∴点P 的轨迹方程为14122=+yx . ………………………………………6分（代入1422=+yx ，消去x ，整理为.0413)14(22=--+y ky k…………………………………………7分设),(),(2211y x N y x M ，，则21221214)(2321y y y y y y AB S BMN -+=-⋅=∆ (8)分=.2131131)1()3(13411322222222≤+++=+++⋅=++⋅kk kk k k kk kk k …………………………10分 当且仅当kk kk 311322+=+，即22=k 时，△BMN 的最大面积为.21此时直线l 的方程是4622+=x y . …………………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）当1t =时，336)(0)0(3232)(223-+='=-+=x x x f f x x x x f ，，， …………………………………2分3)0(-='=f k ,所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为x y 3-=. …………………………4分 （Ⅱ）22336)(t tx x x f -+='，令()0f x '=，解得.2t x t x =-=或 …………………………6分因为0t ≠，以下分两种情况讨论：（1）若0,,t t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.………8分（2）若0,t t t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2tt f x ⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (10)分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增， 以下分两种情况讨论：（1）当1,22t t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 02322432323)1(021)0(2<+⨯+⨯-≤++-=>-=t t f t f ，.所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点. …………………………12分（2）当01,022tt <<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 若08721872]1,0(33<-≤-+-=⎪⎭⎫⎝⎛∈t t t t f t ，,02323232323)1(2>+-=++-≥++-=t t t t t f . 所以(),12t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点.若021*******)2,1(33<+-<-+-=⎪⎭⎫⎝⎛∈t t t t f t ，. 021)0(>-=t f ,所以()0,2t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点. ……………………………………13分 所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点.综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点. ………………………………14分。