一阶电路响应

i(0+ ) = 1 L
δ (t)
uL
L
Байду номын сангаас
t 1 0+ di 1 1 τ ∴i = e ε (t) (uL (0+ ) = δ (t), iL = ∫ L dt = ) l 0 dt L L
di R Lt uL = L = [δ (t) e ]ε (t) dt L
R
10k 5k
10k
将电压源短路
10k 5k
10k
20V
u0
Req
uOC =10v
原电路变为：
10k iC
Req = 5 +10 // 10 =10k
τ = ReqC =104 *10*106 =101 s
10F
uC =10(1 e10t )v
duC =103 e10t a iC = c dt
10V
摘要 :
一阶电路响应
零输入响应、 零状态响应、 全响应、 阶跃响应和冲激响应
一阶电路的响应:
零输入响应指当电路中无独立电源而依靠储能元件的初始条件 维持的电压、电流响应； 全响应指电路中既有独立电源、储能元件又处在非零状态时的响应。 零状态响应指电路中有独立电源而储能元件的初始条件为零时的响应； 根据电路的KCL、KVL和元件的电压、电流约束关系，描述电路性状 的是一阶微分方程，描述零输入响应的方程是一阶齐次微分方程， 描述零状态响应和全响应的方程是非齐次微分方程。 依照数学中微分方程的解法和电路理论中的换路定律， 可得到三种情况下的表达式分别为：
uc (0 ) =100*iL (0+ ) = 24 ν
t
100 t t ≥ 0时 L = iL (0+ )e τ = 0.24e 1.0 = 0.24e1000 t i 因此: t t 2 6 u = u (0 )e τ = 24e 100*20*10 = 24e500t
c c +
ic = c
e = 0.5 t k = ln 0.5 = 0.693 R1C
tk
0
t
tk = 42 s
-5v
4、含受控源的一阶电路（用三要素法） 例题4:
R1
S(t = 0) 4
R3
2
已知：电容电压的初始 值为零 即：uc (0 ) = 0.求：换路后UC
分析:
uS
变化规律，并画出变化曲线。 10V
4
R2 u1
方法2是应用阶跃函数表示激励以求得阶跃响应。
方程及结果如下： 解法一: 将电路的工作过程分段求解
t
在 ≤ t ≤τ区 为 电 的 状 响 ： 0 间 RC 路 零 态 应
uc (0+ ) = uc (0 ) = 0
t
uc (t ) = US (1 e τ ),τ = RC
tτ
在 ≤ t ≤ ∞区 为 电 的 状 响 ： 0 间 RC 路 零 态 应
di + Ri = δ (t) dt di 当t ≥ 0时，电流微分方程变为L + Ri = 0将微分方程在0 ~ 0+ 之间积分 dt 0+ 0+ di L dt + ∫ RCdt = ∫ δ (t)dt 0 0 dt
解：
t = 0时由KVL：L
经分析可知第二项积分 0 为
R
∴L[i(0+ ) i(0 )] =1
20V
10k
10F
求: t ≥ 0 时UC (t), iC (t).
分析:
由于UC(0- )= 0, S闭合后, 当 该电路为RC电路的零状态响应, 可直接套用零状态响应的标准公式:
uc = us (1 e τ )
只要将原电路用戴维南定理化简为R、C串联电路，带入公式即可。 过程及解结果如下:
t
解： 将电容开路：
（1）RC串联接以直流电压源时的电压、电流响应为：
U uc (t) = U0e τ , ic (t) = 0 eτ R
（2）RL串联接以直流电压源时的电流、电压响应为：
t
t
iL (t) = L0eτ , uL (t) = RL0e τ
（3）一阶电路全响应的通用公式为： t f (t) = f (∞) +[ f (0 ) f (∞)]eτ (指数电源除外 )
t
∴uc (t) = US (1 e τ )E(t) US (1 e τ )E(t τ )
6、一阶电路冲激响应 例题6:
R
uL
如 所 ,求 路 激 应 L (t). 图 示 电 冲 响 u
分析:
δ (t)
L
通常情况下，电路中某些物理量发生跃变,可以用三要素法或 建立电路的微分方程求出响应。本题采用后者。 方程及结果如下：
4
4
R2 u1
2u1
u u u 5 u1 = i1(4 / 4) = 2i = ∴i = + 2* = u 2 4 2 4 u τ = ReqC = 0.8s Req = = 0.8 i
代入三要素法公式：
t 0.8
uc = 3+[0 (3)]e
变化曲线为：
= 31 e1.25t
(
)
t
uc
0
-3v
5、一阶电路阶跃响应 例题5： 如图所示电路，开关S 合在位置1时电路已达稳定状态。 t=0时，开关由位置1合向位置2，在 t =R C 时又由位置2合向位置1
求：t ≥ 0时的电容电压 uc (t).
分析:
S(t = 0)
2 1
US
此题可用两种方法求解。
uC
C
方法1为应用分段方法求出RC电路的零状态和零输入响应；
uτ = US (1 e τ ) = 0.632US
解法二:
uc (t) = 0.632US e τ
用阶跃函数表示激励,求阶跃响应
根据开关的动作，电路的激励 us (t)可以表示为：
us (t) =US E(t) US E(t τ )
s(t) = (1 e τ )E(t)
tτ
t
RC电 的 位 跃 应 : 路 单 阶 响 为
+
t
t
1、一阶电路零输入响应 例题1： 已知：如右图电阻单位为欧姆， 当t=0时将S闭合，求 t>=0 时， 电流i的变化规律。
iL L 0.1H
100
S(t = 0)
C iC
i
uC
150
100
60V
分析：
当S闭合后，电路成为两个零输入响应电路， 左边为RL零输入响应；右边为RC零输入响应； 因 只 求 换 前 L(0- )， c(0- ), 合 此 要 出 路 i u S闭 后 100
2u1 1F C uC
在一阶电路中，不管属于哪种类型：零输入、零状态、全响应、有 (无)受控源，只要电源不是指数形式都可以归结为用三要素法求解。 三要素指：初始值、稳态值、时间常数；其一般表达式为：
t
f (t) = f (∞) +[ f (0+ ) f (∞)]eτ (指数电源除外 )
对于本题来讲：可应用戴维南定理将左边含源二端网络用电压源等值代替， 再代入基本公式求解； 也可以直接求出Uc的初始值、稳态值、时间常数，再代入三要素法公式求解 (本题应用后者解题)。
iL L 0.1H
C iC
i
uC
150
100
代 零 入 应 式 可 此 i = (iL + ic ) 如 输 响 公 即 。 时
解： 根据换路定律:
t = 0时，iL (0 ) = 60 = 0.24a 150 +100
S(t = 0)
60V
iL (0+ ) = 0.24a
uc (0+ ) = 24 ν
方程及结果如下：
解：
UC (0+ ) = UC (0 ) = 5 ν
∴UC (t) = 5 +[5 (5)]e
t
UC (∞) = 5 ν
t τ = 5 +10e τ (其中 τ ：
= R1C)
有一段时间 tk，使uc (tk ) = 0
0 = 5 +10e τ
t k RC 1
tk
uc
5v
变化曲线：
uC
3、一阶电路全响应 例题3： 图示电路,原S1闭合S2打开时，已达稳态； S1(t = 0) 30k t=0换路，将S1打开S2闭合，要求：
R1
R2
S2(t = 0)
uS 2 (1)定性绘出换路后Uc变化曲线。 (2)换路后经过多长时间，Uc等于0。 5 V
分析:
uC
C
2000 pF
uS1 5V
duc = (500) *20*106 *24e500t = 0.24e500t dt
i = (0.24e1000t 0.24e500t )
2、一阶电路零状态响应 例题2:
10k
S(t = 0)
5k iC
图 电 中 S 闭 前 容 压UC为 示 路 , 合 电 电 零 态 状 (即 UC(0 )=0), = 0时 将 闭 . t , S 合
解 ：U1(∞) =1 得 ν
∴UC (∞) = 3 ν
再 时 常 τ： τ = ReqC 求 间 数 为 等 电 Req， C开 ， S 短 ， 压 流 路 下 求 效 阻 将 路 U 路 加 求 电 如 ：
R1
R3 i1
2
i = 2u1 + i1
i1 = u u = 2 + 4 // 4 4
i
uC
换 前 容 充 至 ν， 路 间 UC(0+ )= 5 不 跃 ， 路 电 被 电 5 换 瞬 ν 能 变 t >0 时 R 、 串 电 在 零 态 接 直 电 的 响 。 为1 C 联 路 非 状 下 通 流 源 全 应