2017-2018年河南省安阳市林州一中火箭班高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)
河南省林州市2017-2018学年高二数学10月月考试题 理(火箭班)
2016级高二火箭班10月调研考试数学（理）试题一、选择题（每题5分，共60分）1．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253 C.15 D.15或51532．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为－12，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝12x 2－ln xB ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝sin(2x ＋π3)D ．f (x )＝1x＋x3．有4个命题：①若p ＝xa ＋yb ，则p 与a 、b 共面； ②若p 与a 、b 共面，则p ＝xa ＋yb ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R)，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．直线l 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线交于P 、Q 两点，由P 、Q 分别向准线引垂线PR 、QS ，垂足分别为R 、S .若|PF |＝a ，|QF |＝b ，M 为RS 的中点，则|MF |的值为( )A ．a ＋b B.12(a ＋b )C ．abD.ab6．已知AB 为半圆的直径，P 为半圆上一点，以A 、B 为焦点且过点P 作椭圆，当点P 在半圆上移动时，椭圆的离心率有( )A ．最大值12B ．最小值12C ．最大值22D ．最小值227．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3，163) C ．(0,3)∪(163，＋∞) D ．(0,2)8．(2014·东北三校一模)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( ) A.53 B.56 C.54 D.589．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1k 2|＝14，则椭圆的离心率e ＝( )A.12B.22C.32D.2310、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝111. 如图，过抛物线y 2＝4x 焦点的直线依次交抛物线和圆(x －1)2＋y 2＝1于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |·|CD |＝( )A ．4B ．2C ．1 D.1212、抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233 D.433二、填空题（每题5分，共20分）13、在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin Csin B＝________. 14、抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2p ，则双曲线的离心率为________．15、已知两点A (1,0)，B (b,0)，若抛物线y 2＝4x 上存在点C 使△ABC 为等边三角形，则b ＝________.16．若抛物线y ＝ax 2－1上恒有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则a 的取值范围是________．三、解答题（共70分）17（10分）．求两条渐近线为x ＋2y ＝0和x －2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得的弦长为833的双曲线的方程．18（12分）、已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0.如果对∀x ∈R ，r (x )∧s (x )为假，r (x )∨s (x )为真，求实数m 的取值范围．19（12分）、已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6,0)，求此抛物线的方程．20（12分）、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到Q (0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A ，B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．21（12分）. 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ＝AA 1＝5，BC ＝4，点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .(1)证明：在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长； (2)求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．22（12分）．已知椭圆C ：x 2＋y 24＝1，过点M (0,3)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B .(1)若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且OA →＋OB →＝λOP →(O 为坐标原点)．求当|AB |<3时，实数λ的取值范围．2016级高二火箭班10月调研考试数学（理）答案1、答案 B 解析 若焦点在x 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧5>m ，5－m 5＝105.∴m ＝3.若焦点在y 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >5，m －5m＝105.∴m ＝253.2、答案 D3、答案 B 解析 ①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确． 4、答案 B 解析 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时， 即OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →，则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即 AP →＝－3AB →＋2AC →，根据共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理AP →＝mAB →＋nAC →， 即OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)， 即OP →＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →， 即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故是充分不必要条件．故选B.5、答案 D 解析 根据抛物线的定义，有|PF |＝|PR |，|QF |＝|QS |.易知△RFS 为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长．在直角梯形PRSQ 中，容易求得 |RS |＝2ab . 故|FM |＝12|RS |＝ab . 6、答案 D 解析 椭圆的离心率e ＝|AB ||PA |＋|PB |≥|AB |2|PA |2＋|PB |22＝22，当|PA |＝|PB |时“＝”成立．故选D. 7、答案 C 解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ， 由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，综上知选C.8、答案 B 解析 依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)，Q (3,0)，M (0,0)，F (5,0)，|MP ||PQ |＝56. 9、答案 C 解析 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，则k 1＝y －y 0x －x 0，k 2＝y ＋y 0x ＋x 0，依题意有|k 1k 2|＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0|＝|y 2－y 20x 2－x 20|＝14.因为点P ，M ，N 在椭圆上，所以x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y 20b 2＝1，两式相减，得x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，即y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，所以b 2a 2＝14，即a 2－c 2a 2＝14，解得e ＝c a ＝32.选C.10、答案 D 解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±x ，与椭圆C 有两个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，可得四边形正方形，其边长点为(2,2)，所以有4a 2＋4b2＝1，又因为4，双曲线的渐近线与椭圆C 的一个交为e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，联立解方程组得a 2＝20，b 2＝5，故选D.11、答案 C 解析 ∵|AB |·|CD |为定值， ∴分析直线与x 轴垂直的情况，即可得到答案． ∵圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，半径为1，∴此时|AB |＝|CD |＝1. ∴|AB |·|CD |＝1，故选C.12、答案 D 解析 设M (x 0，12p x 20)，y ′＝(12p x 2)′＝x p ，故在M 点处的切线的斜率为x 0p ＝33，故M (33p ，16p )．由题意又可知抛物线的焦点为(0，p 2)，双曲线右焦点为(2,0)，且(33p ，16p )，(0，p 2)，(2,0)三点共线，可求得p ＝433，故选D.13、答案 56 解析 由条件可知|BC |－|BA |＝10，且|AC |＝12，又在△ABC 中，有|BC |sin A ＝|AB |sin C ＝|AC |sin B ＝2R ，R 为△ABC 外接圆半径，从而sin A －sin C sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝56. 14、答案102 解析 设点M 在第一象限，∵|MF |＝2p ， ∴M 的坐标为(32p ，3p )． 又∵准线经过双曲线的左顶点，∴a ＝p2. ∴双曲线方程为x 2p 24－y 2b 2＝1.将点M 代入可得b 2＝38p 2.∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋38p 2p 24＝52. ∴e ＝102.15、答案 5或－13解析 A (1,0)，B (b,0)，且△ABC 为等边三角形，则C ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12，±32b －1，代入抛物线方程求得b ＝5或－13，故填5或－13.16、答案 (34，＋∞) 解析 设抛物线上的两点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y＝x ＋b ，代入抛物线方程y ＝ax 2－1，得 ax 2－x －(b ＋1)＝0，设直线AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝12a ，y 0＝x 0＋b ＝12a ＋b .由于M (x 0，y 0)在直线x ＋y ＝0上，故x 0＋y 0＝0，由此解得b ＝－1a ，此时ax 2－x －(b ＋1)＝0可变形为ax 2－x －(－1a ＋1)＝0，由Δ＝1＋4a (－1a＋1)>0，解得a >34.17、答案 x 24－y 2＝1 解析 渐近线方程为y ＝±12x ， 可设双曲线方程为x 24m －y2m＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x 24m －y 2m ＝1，x －y －3＝0.可得3x 2－24x ＋36＋4m ＝0， ∴x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋4m 3. 由弦长公式|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2，得 |AB |＝2·48－16m 3. 又∵|AB |＝833，∴m ＝1. ∴双曲线方程为x 24－y 2＝1.18、∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2， ∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2. 又∵对∀x ∈R ，s (x )为真命题，即x 2＋mx ＋1＞0恒成立， 有Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2. ∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2. 当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m ＜2.19、答案 y 2＝8x 解析 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， 其准线方程为x ＝－p2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为|AF |＋|BF |＝8， 所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p .因为Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ， 即(x 1－6)2＋y 21＝(x 2－6)2＋y 22. 又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0. 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p .故8－p ＝12－2p .所以p ＝4. 所以所求抛物线方程是y 2＝8x . 20、解析 (1)因为e ＝23＝c a ＝a 2－b 2a ， 所以a 2＝3b 2，即椭圆C 的方程可写为x 23b 2＋y 2b2＝1. 设P (x ，y )为椭圆C 上任意给定的一点， |PQ |2＝x 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋6＋3b 2≤6＋3b 2，y ∈[－b ，b ]， 由题设知存在点P 1满足|P 1Q |＝3，则9＝|P 1Q |2≤6＋3b 2，所以b ≥1. 当b ≥1时，由于y ＝－1∈[－b ，b ]，此时|PQ |2取得最大值6＋3b 2， 所以6＋3b 2＝9⇒b 2＝1，a 2＝3.故所求椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)存在点M 满足要求，使△OAB 的面积最大． 假设存在满足条件的点M ，因为直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A ，B ，则圆心O 到l 的距离d ＝1m 2＋n 2<1. 因为点M (m ，n )在椭圆C 上，所以m 23＋n 2＝1<m 2＋n 2，于是0<m 2≤3. 因为|AB |＝21－d 2＝2m 2＋n 2－1m 2＋n 2， 所以S △OAB＝12·|AB |·d ＝m 2＋n 2－1m 2＋n 2×1m 2＋n 2＝23|m |1＋23m 2≤23|m |21·23m 2＝12，当且仅当1＝23m 2时等号成立．所以m 2＝32∈(0,3]． 因此当m ＝±62，n ＝±22时等号成立． 所以满足要求的点M 的坐标为(62，22)，(62，－22)，(－62，22)和(－62，－22)，此时对应的三角形的面积均达到最大值12.答案 (1)AE ＝55 (2)3010解析 (1)连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E . 因为AA 1∥BB 1，得OE ⊥BB 1. 因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC . 因为AB ＝AC ，OB ＝OC ，得AO ⊥BC . 所以BC ⊥平面AA 1O ，所以BC ⊥OE . 所以OE ⊥平面BB 1C 1C .又AO ＝AB 2－BO 2＝1，AA 1＝5，得AE ＝AO 2AA 1＝55.(2) 如图所示，分别以OA ，OB ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0，－2,0)，A 1(0,0,2)． 由AE →＝15AA 1→，得点E 的坐标是(45，0，25)． 由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量OE →＝(45，0，25)． 设平面A 1B 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令y ＝1，得x ＝2，z ＝－1，即n ＝(2,1，－1)．所以cos 〈OE →，n 〉＝OE →·n |OE →|·|n |＝3010.即平面BB 1C 1C 与平面A 1B 1C 的夹角的余弦值是3010.22、答案 (1)67x －7y ＋21＝0或67x ＋7y －21＝0(2)(－2，－3)∪(3，2) 解析 (1)设A (x1，y 1)，因为A 是MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以y 1＝32. 又因为点A (x 1，y 1)在椭圆C 上，所以x 21＋y 214＝1，即x 21＋916＝1，解得x 1＝±74. 则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，32. 所以直线l 的方程为67x －7y ＋21＝0或67x ＋7y －21＝0.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3或x ＝0， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，当AB 的方程为x ＝0时，|AB |＝4>3，与题意不符． 当AB 的方程为y ＝kx ＋3时， 由题设可得A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 2＋y 24＝1的解， 消去y ，得(4＋k 2)x 2＋6kx ＋5＝0. 所以Δ＝(6k )2－20(4＋k 2)>0，即k 2>5. 则x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2，x 1·x 2＝54＋k 2， y 1＋y 2＝(kx 1＋3)＋(kx 2＋3)＝244＋k 2. 因为|AB |＝x 1－x 22y 1－y 22<3， 所以1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 4＋k 22－204＋k 2<3， 解得－1613<k 2<8，所以5<k 2<8.因为OA →＋OB →＝λOP →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝λ(x 3，y 3)， 所以当λ＝0时，由OA →＋OB →＝0， 得x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2＝0，y 1＋y 2＝244＋k2＝0. 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在； 当λ≠0时，x 3＝x 1＋x 2λ＝－6k λ4＋k 2， y 3＝y 1＋y 2λ＝24λ4＋k2.因为点P (x 3，y 3)在椭圆上， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6k λ4＋k 22＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤24λ4＋k 22＝1， 化简得λ2＝364＋k2. 因为5<k 2<8，所以3<λ2<4. 则λ∈(－2，－3)∪(3，2)． 综上，实数λ的取值范围为(－2，－3)∪(3，2)．。
河南省安阳市林州一中高二数学上学期期中试卷 文(含解析)
2015-2016学年河南省安阳市林州一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是（）A．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2+y2=0D．若x，y∈R且xy≠0，则x2+y2≠02．椭圆=1的一个焦点为，则m的值是（）A．B．C．D．43．“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°5．A为△ABC的内角，则sinA+cosA的取值范围是（）A．（，2）B．（﹣，）C．（﹣1，] D．[﹣，]6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7．已知下列命题①b2=ac，则a，b，c成等比数列；②若{a n}为等差数列，且常数c＞0，则数列{c an}为等比数列；③若{a n}为等比数列，且常数c＞0，则数列{c an}为等比数列；④常数列既为等差数列，又是等比数列．其中，真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．若数列{a n}的通项a n=﹣2n2+29n+3，则此数列的最大项的值是（）A．107 B．108 C．108D．1099．当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞] C．[3，+∞] D．（﹣∞，3）10．已知命题p：∃x∈R，使x2+2x+5≤4；命题q：当时，f（x）=sinx+的最小值为4．下列命题是真命题的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧（￢q） C．（￢p）∧q D．p∧q11．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．12．如果椭圆的弦AB被点M（x0，y0）平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM（O 为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2=（）A．4 B．C．﹣1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题目中的横线上.13．已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是．14．已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点的个数为．15．已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是．16．已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4，（n∈N*且n≥2），则数列{a n}通项公式a n= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.j解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．18．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若非p是非q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．19．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC．（1）求角B的大小；（2）若c=3a，求tanA的值．20．已知函数f（x）=﹣x2+mx﹣1（m为实数）．（1）试求f（x）在区间上的最大值；（2）若|f（x）|的区间上递增，试求m的取值范围．21．已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求线段AB的长度．22．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，点（S n，a n+1）在直线y=3x+1上，n∈N*．（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b n=log4a n+1，c n=a n+b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．2015-2016学年河南省安阳市林州一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是（）A．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2+y2=0D．若x，y∈R且xy≠0，则x2+y2≠0【考点】四种命题．【专题】计算题．【分析】否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的题设，得到否命题的题设，再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的结论，得到否命题的结论．由此能够得到命题“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题．【解答】解：先否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的题设，得到否命题的题设“若x，y∈R且x2+y2≠0”，再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的结论，得到否命题的结论“则x，y不全为0”．由此得到命题“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是：若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0．故选B．【点评】本题考查四种命题的互换，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意全为0和否定形式是不全为0．2．椭圆=1的一个焦点为，则m的值是（）A．B．C．D．4【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得a2=m，b2=1，求得c2，由焦点坐标，可得m﹣1=，即可得到m．【解答】解：由题意可得a2=m，b2=1，c2=a2﹣b2=m﹣1，由焦点为，即有m﹣1=，解得m=．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．3．“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据椭圆的标准方程形式确定m，n的关系，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由方程mx2+ny2=1得+=1，所以要使方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，则，即m＞0，n＞0且m≠n．所以，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，要求掌握椭圆的标准方程．4．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】结合已知及正弦定理可求sinA，进而可根据特殊角的三角形函数值可求A【解答】解：∵b=2asinB，由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB∵sinB≠0∴sinA=∴A=30°或150°故选D【点评】本题主要考查了正弦定理及特殊角的三角函数值的简单应用，属于基础试题5．A为△ABC的内角，则sinA+cosA的取值范围是（）A．（，2）B．（﹣，）C．（﹣1，] D．[﹣，]【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由0＜A＜π，利用辅助角公式可求得sinA+cosA的取值范围．【解答】解：∵∠A为三角形的内角，∴0＜A＜π，又sinA+cosA=sin（A+）∴＜A+＜∴﹣＜sin（A+）≤1，∴﹣1＜sin（A）≤，即﹣1＜sinA+cosA≤．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，利用辅助角公式将sinA+cosA化为sin（A+）是关键，考查分析与转化能力，属于中档题．6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．故选D【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点．7．已知下列命题①b2=ac，则a，b，c成等比数列；②若{a n}为等差数列，且常数c＞0，则数列{c an}为等比数列；③若{a n}为等比数列，且常数c＞0，则数列{c an}为等比数列；④常数列既为等差数列，又是等比数列．其中，真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等差数列；等比数列．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】在①中，当b=c=0时，a，b，c不成等比数列；在②中， ==cd，数列{c an}为等比数列；在③中， =不是常数，数列{c an}不为等比数列；在④中，由0构成的常数列为等差数列，不是等比数列．【解答】解：在①中，b2=ac，当b=c=0时，a，b，c不成等比数列，故①错误；②若{a n}为等差数列，且常数c＞0，则==c d，∴数列{c an}为等比数列，故②正确；③若{a n}为等比数列，且常数c＞0，则=不是常数，∴等比数列的性质得数列{c an}不为等比数列，故③错误；④由0构成的常数列为等差数列，不是等比数列，故④错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．8．若数列{a n}的通项a n=﹣2n2+29n+3，则此数列的最大项的值是（）A．107 B．108 C．108D．109【考点】数列的函数特性；数列的应用．【分析】本题主要考查二次函数的最大值和数列的函数特性，注意题目中的自变量取正整数，再要注意这里求的是项，而不是项数，容易出错，是一道易错题．【解答】解：∵=，∵n∈N∴n=7∴a7=108，故选B【点评】解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．9．当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞] C．[3，+∞] D．（﹣∞，3）【考点】函数最值的应用．【专题】计算题．【分析】利用（x＞0）求解，注意等号成立的条件，有条件x＞1可将x﹣1看成一个真题求解．【解答】解：，由=，即的最小值为3，故选D．【点评】本题考查了基本不等式，要注意不等式成立的条件．10．已知命题p：∃x∈R，使x2+2x+5≤4；命题q：当时，f（x）=sinx+的最小值为4．下列命题是真命题的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧（￢q） C．（￢p）∧q D．p∧q【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：关于命题p：∃x∈R，使x2+2x+5≤4，当x=﹣1时：命题成立，故p正确；关于命题q：当时，sinx＞0，∴f（x）=sinx+＞2=4，取不到4，故命题q是假命题；故选：A．【点评】本题考查了符合命题的判断，考查二次函数和三角函数问题，是一道基础题．11．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，可求得a n，从而可知，利用等比数列的求和公式即可求得答案．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，①∴a1+a2+a3+…+a n+1=3n+1﹣1，②②﹣①得：a n+1=3n+1﹣3n=2×3n，∴a n=2×3n﹣1．当n=1时，a1=31﹣1=2，符合上式，∴a n=2×3n﹣1．∴=4×9n﹣1，∴=4， =9，∴{}是以4为首项，9为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==（9n﹣1）．故选B．【点评】本题考查数列的求和，考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题．12．如果椭圆的弦AB被点M（x0，y0）平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM（O 为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2=（）A．4 B．C．﹣1 D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】设直线AB方程为y=k1x+b，代入椭圆方程并整理得关于x的一元二次方程，然后利用根与系数的关系能求出结果．【解答】解：设直线AB方程为y=k1x+b，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程并整理得：（1+4k12）x2+8k1bx+4b2﹣36=0，x1+x2=﹣，又中点M在直线上，∴=k1（）+b，从而得弦中点M的坐标为（﹣，），∴=﹣，∴k1k2=﹣．故选D．【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题目中的横线上. 13．已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是1＜k＜2 ．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2k﹣1＞2﹣k＞0，即可求出实数k的取值范围．【解答】解：∵方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴2k﹣1＞2﹣k＞0∴1＜k＜2．故答案为：1＜k＜2．【点评】本题考查实数k的取值范围，考查椭圆的标准方程，比较基础．14．已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2 ．【考点】等差数列的性质；二次函数的性质．【专题】综合题．【分析】根据等差中项得2b=a+c，代入二次函数对应的判别式进行整理，判断出△的符号，再得到函数图象与x轴交点的个数．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴△=4b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，∴二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2个，故答案为：1或2．【点评】本题利用等差中项的性质得到的结论，对二次函数对应的判别式进行整理并判断符号．15．已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是﹣3＜m＜5 ．【考点】指数函数综合题．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式△＜0，解不等式即可得到结论．【解答】解：不等式等价为，即x2+x＜2x2﹣mx+m+4恒成立，∴x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，即△=（m+1）2﹣4（m+4）＜0，即m2﹣2m﹣15＜0，解得﹣3＜m＜5，故答案为：﹣3＜m＜5．【点评】本题主要考查指数不等式和一元二次不等式的解法，利用指数函数的单调性是解决本题的关键．16．已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4，（n∈N*且n≥2），则数列{a n}通项公式a n= 3n﹣2 ．【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】由题意知a n+2=3（a n﹣1+2），判断{a n+2}是等比数列，由此求出通项公式．【解答】解：∵a n=3a n﹣1+4，∴a n+2=3（a n﹣1+2），∵a1+2=3，∴{a n+2}是公比为3，首项是4的等比数列，即a n+2=3×3n﹣1，a n=3n﹣2．故答案为：3n﹣2．【点评】本题考查数列的性质和应用，合理地进行构造新数列是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分.j解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题的求法，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．18．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若非p是非q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】充分条件．【专题】计算题．【分析】通过解绝对值不等式化简命题p，求出非p；通过解二次不等式化简命题q，求出非q；通过非p是非q的充分而不必要条件得到两个条件端点值的大小关系，求出m的范围．【解答】解：由题意p：﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5．∴非p：x＜1或x＞5．q：m﹣1≤x≤m+1，∴非q：x＜m﹣1或x＞m+1．又∵非p是非q的充分而不必要条件，∴1≤m﹣1＜m+1≤5∴2≤m≤4．【点评】本题考查绝对值不等式的解法、二次不等式的解法、将条件问题转化为端点值的关系问题．19．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC．（1）求角B的大小；（2）若c=3a，求tanA的值．【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）根据正弦定理，将已知等式化简得a2+c2﹣b2=ac，结合余弦定理算出cosB=，从而可得角B的大小为；（2）由c=3a结合正弦定理，得sinC=3sinA，而sinC=sin（A+B），将B=代入展开并化简得cosA=sinA，最后根据同角三角函数的商数关系，可算出tanA的值．【解答】解：（1）∵sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC，∴根据正弦定理，得a2+c2﹣b2=ac因此，cosB==∵B∈（0，π），∴B=，即角B的大小为；（2）∵c=3a，∴根据正弦定理，得sinC=3sinA∵B=，∴sinC=sin（A+B）=sin（A+）=3sinA可得sinA+cosA=3sinA，得cosA=sinA两边都除以cosA，得=tanA，所以tanA=．【点评】本题给出三角形的三个角的正弦的关系式，求角B的大小并在c=3a的情况下求tanA 的值．着重考查了利用正余弦定理解三角形、两角和的正弦公式和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．20．已知函数f（x）=﹣x2+mx﹣1（m为实数）．（1）试求f（x）在区间上的最大值；（2）若|f（x）|的区间上递增，试求m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）求出二次函数的对称轴，分对称轴小于、大于等于小于等于1、大于1三种情况讨论求f（x）在区间上的最大值；（2）把二次函数配方后分≤0、＞0两种情况进行分析，特别当＞0，利用对称轴在两个零点之间，结合|f（x）|在区间（）上递增列不等式组求解m的取值范围，最后取并集得答案．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+mx﹣1=﹣．当，即m＜1时，f（x）在上递减，；当≤≤1，即1≤m≤2时，；当，即m＞2时，f（x）在上递增，f（x）max=f（1）=m﹣2．（2）f（x）=﹣x2+mx﹣1=﹣．对称轴为x=，开口朝下，当≤0，即﹣2≤m≤2时，|f（x）|=，|f（x）|的递增区间为[，+∞），∴，∴m≤1，∴﹣2≤m≤1；当＞0，即m＜﹣2或m＞2时，f（x）有2个零点x1，x2，设，将f（x）图象在x轴下方部分沿x轴翻折得到|f（x）|图象，那么|f（x）|的一个递增区间为[x2，+∞）．若|f（x）|在区间（）上递增，则需，解得：m＜﹣2．综上，m的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，属中高档题．21．已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求线段AB的长度．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的焦点和长轴长，可得c=2，a=3，再由a，b，c的关系可得b=1，进而得到椭圆方程；（2）求得直线方程y=x+2代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求．【解答】解：（1）由F1（﹣2，0），F2（2，0），长轴长为6，得：，所以b==1，∴椭圆的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）可知椭圆方程为①，∵直线AB的方程为y=x+2②，把②代入①得化简并整理得10x2+36x+27=0，∴，则．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．22．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，点（S n，a n+1）在直线y=3x+1上，n∈N*．（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b n=log4a n+1，c n=a n+b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．【考点】等比关系的确定；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）根据点（S n，a n+1）在直线y=3x+1上，可得a n+1=3S n+1，再写一式，两式相减，结合a1=t，即可求得t=1时，a2=4a1，数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，求出，我们可以得到b n=log4a n+1=n，，求和时利用分组求和，可以得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵点（S n，a n+1）在直线y=3x+1上∴a n+1=3S n+1，①a n=3S n﹣1+1，②（n＞1）…①﹣②：a n+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，∴a n+1=4a n，n＞1…∵a2=3S1+1=3a1+1=3t+1，a1=t，∴3t+1=4t，∴t=1∴当t=1时，a2=4a1，数列{a n}是等比数列…（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，a n+1=4a n，∴，…∴b n=log4a n+1=n，…，…∴…【点评】考查数列与函数的联系，考查等比数列的定义，考查分组求和，求和时根据通项的特点选择合适的方法是我们解决这类问题的关键所在．。
河南省林州市第一中学高二数学上学期期中试题文(火箭班)
河南省林州市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|),{(-==x y y x A ，}13|),{(+==x y y x B ，则=B A （ ） A ．)}0,1{( B ．)}1,2{( C ．)}2,1{(-- D ．)}3,2{(-- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．411 3．下列函数中，既是奇函数，又在),0(+∞上是增函数的是（ ） A ．x x y +=1 B ．x x y cos -= C ．x x y sin -= D ．x xy -=14．“直线032=--y ax 的倾斜角大于4π”是“2>a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．将函数x y 2cos =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的21，得到函数)(x g 的图象，再将函数)(x g 的图象向右平移8π个单位，得到函数)(x f 的图象，则=)(x f A ．)8cos(π-x B ．)8sin(π-x C ．x 2sin D ．x 4sin 6．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，2，x ，其顶点都在表面积为π18的球的球面上，则=x （ ）A ．6B ．5C ．2D ．3 7．已知正项等比数列}{n a 满足0)(log 5432121=a a a a a ，且816=a ，则数列}{n a 的前9项和为（ ） A ．32317B ．32318C ．64637D ．64638 8．记][x 表示不超过x 的最大整数，如4]6.4[,3]3[==.执行如图所示的程序框图，输出i 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．已知在抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F 到准线l 的距离为2，过点F 且倾斜角为0606的直线与抛物线C 交于N M ,两点，若l NN l MM ⊥⊥','，垂足分别为','N M ，则F N M '''∆的面积为（ ） A.3332 B.3316 C. 3314 D. 338 10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该集合体的表面积为（ ）A ．π)252(88-+B ．π)452(96-+C ．π)454(88-+D ．π)452(88-+11．已知直线l ：01=-+y x 截圆Ω：)0(222>=+r r y x 所得的弦长为14，点N M ,在圆Ω上，且直线'l ：03)1()21(=--++m y m x m 过定点P ，若PN PM ⊥，则||MN 的取值范围为（ ）A ．]32,22[+-B ．]22,22[+-C ．]36,26[+-D ．]26,26[+-12．若存在],[2e e x ∈使得不等式ax x x +≤41ln 成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．),2121[2+∞-e B ．),4121[2+∞-eC ．),2121[2+∞+eD ．),4121[2+∞+e二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．现有2名喜爱综艺类节目的男生和3名不喜爱综艺类节目的男生，在5人中随机抽取2人进行深入调研，则这2人中恰有1人喜爱综艺类节目的概率为 . 14．已知函数)2sin(sin 3cos )(2π++-=x x x x f ，当]2,0[π∈x 时，函数)(x f 的最小值与最大值之和为 .15．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+-≥113337y x y x xy ，则|432|)21(+-=y x z 的最小值为 .16．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，01=a ，若)()2(])1(1[*1N n a a n n n n ∈-+--=+，则=100S .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，ABC ∆的面积为S ，且032=+⋅S AC BA ，4π=C .（1）求B cos 的值； （2）若16=⋅，求b 的值.18．随着科技的发展，手机成为人们日常生活中必不可少的通信工具，现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机.为了调查某地区高中生一周内使用手机的频率，某机构随机抽查了该地区100名高中生某一周内使用手机的时间（单位：小时），所取样本数据分组区间为]14,12[),12,10[),10,8[),8,6[),6,4[),4,2[),2,0[.由此得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值；（2）从使用手机时间在]14,12[),12,10[),10,8[),8,6[的四组学生中，用分层抽样方法抽取13人，则每组各应抽取多少人？19．已知正四棱锥ABCD S -的各条棱长都相等，且点F E ,分别是SB ，SD 的中点.（1）求证：SB AC ⊥；（2）在SC 上是否存在点M ，使平面//MBD 平面AEF ，若存在，求出MCSM的值；若不存在，说明理由.20．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，且过点)23,3(-.过椭圆C 右焦点且不与x 重合的直线l 与椭圆C 交于),(11y x P ，),(22y x Q 两点，且021≠+y y . （1）求椭圆C 的方程；（2）若点1Q 与点Q 关于x 轴对称，且直线P Q 1与x 轴交于点R ，求RPQ ∆面积的最大值. 21．已知函数nx mx xe x f x-+=2)(.（1）当2,21=-=n m 时，求函数x e x f x g +=)()(的单调区间；（2）若函数)(x f 的导函数为)('x f ，且x e x x f )2()('+≤在R 上恒成立，求证：22en m ≤-. 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4)sin (cos =+θθρ，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线2C d 参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 31cos 32y x （θ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于B A ,两点，P 为曲线2C 上的动点，求PAB ∆面积的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知|3||1|)(++-=x x x f . （1）求不等式4)(≤x f 的解集M ；（2）若M b a ∈,，证明：0)32)(32(22≥-+-+b b a a .数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）1～5 CACBD 6～10 DBCDA 11～12 DB 二、填空题（每小题5分，共20分）13．53 14．21- 15．641 16．322101-三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解：（1）因为032=+⋅S ，得A bc A bc sin 212cos 3⨯=，得A A cos 3sin =有3tan =A ，故A 为锐角，又由)sin 1(9cos 9sin 222A A A -==，所以109sin 2=A ， 又A 为锐角，所以0sin >A ，0cos >A ，故10103sin =A ，故1010cos =A ， 故2210103221010sin sin cos cos )cos(cos ⨯+⨯-=+-=+-=C A C A C A B 5522510=⨯=； （2）16=⋅AC AB ，所以16cos =A bc ，得1016=bc ，① ∵π<<B 0，∴552)55(1cos 1sin 22=-=-=B B 在ABC ∆中，由正弦定理，得C c B b sin sin =，即22552c b =，得b c 410=，② 联立①②，解得8=b .18．（1）由于小矩形的面积之和为1，则12)025.005.0515.040075(=⨯++++++a a a ，由此可得02.0=a 该地区高中生一周内使用手机时间的平均值⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=111.0915.0708.05075.0302.01(94.6)025.01305.0=⨯+.（2）使用手机时间在)8,6[的学生有30100215.0=⨯⨯人， 使用手机时间在)10,8[的学生有201002502.0=⨯⨯⨯人， 使用手机时间在)12,10[的学生有10100205.0=⨯⨯人， 使用手机时间在]14,12[的学生有51002025.0=⨯⨯人，故分层抽样法从使用手机时间在)8,6[、)10,8[、)12,10[、]14,12[的四组学生中抽样， 抽取人数分别为651020303013=+++⨯人，451020302013=+++⨯人，251020301013=+++⨯人，15102030513=+++⨯人.19．（1）设O BD AC = ，则O 为底面正方形ABCD 中心，连接SO ， 因为ABCD S -为正四棱锥，所以⊥SO 平面ABCD ，所以AC SO ⊥， 又AC BD ⊥，且O BD SO = ，所以⊥AC 平面SBD . 因为⊂SB 平面SBD ，所以SB AC ⊥.（2）存在点M ，设G EF SO = ，连CG AG ,， 取CG 中点H ，连OH 并延长交SC 于点M ， ∵O 是AC 中点，∴AG OH //，即AG OM //，又⊄BD OM BD EF ,,//平面AEF ，⊂EF AG ,平面AEF ， ∴//OM 平面AEF ，//BD 平面AEF ， 又O BD OM = ，⊂BD OM ,平面MBD ， ∴平面//MBD 平面AEF ，在SOC ∆中，作HM GN //交SC 与点N ，则N 是SM 中点，M 是CN 中点， ∴2=MCSM.20．（1）依题意，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=22222143923c b a b a ac ，解得32=a ，3=b ，3=c ， 故椭圆C 的方程为131222=+y x ； （2）依题意，椭圆右焦点F 的坐标为)0,3(，设直线l ：)0(3≠+=m my x ，直线l 与椭圆C 的方程联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1312322y x m y x ，化简并整理得036)4(22=-++my y m ，∴43,46221221+-=+-=+m y y m m y y ， 由题设知直线P Q 1的方程为)(121211x x x x y y y y --+=-，令=y 得434646)3()3()(22211221211221212111=++-+-=++++=++=+--=m m m my y y my y my y y y x y x y y x x y x x ，∴点)0,4(R 故21221214)(121||||21y y y y y y RF S RPQ -+⨯⨯=-=∆ 222222)4(132)43(4)46(21++=+--+-=m m m m m166132619)1(213261911322222=+=++⨯+≤++++=m m m m （当且仅当19122+=+m m 即2±=m 时等号成立） ∴RPQ ∆的面积存在最大值，最大值为1. 21．（1）依题意Rx ∈，当21-=m ，2=n 时，)1)(2()(',221)1()(2-+=--+=x x e x x g x x e x x g ，令0)('>x g ，解得0>x 或2-<x ，故函数)(x g 的单调递增区间为)2,(--∞和),0(+∞，单调递减区间为)0,2(-； （2）∵x x e x n mx e x x f )2(2)1()('+≤-++=， ∴n mx e x-≥2，记m e x h n mx e x h x x 2)(',2)(-=+-=，当0≤m 时，0)('>x h 恒成立，则)(x h 在R 上递增，没有最小值，故不成立；当0>m 时，令0)('=x h ，解得m x 2ln =，当)2ln ,(m x -∞∈时，0)('<x h ；当),2(l n +∞∈m x 时，0)('>x h ，当m x 2ln =时，函数)(x h 取得最小值02ln 2)2(ln 2ln ≥+-=n m m e m h m，即n m m m -≥-2ln 22，则22ln 2nm m m m -≥-， 令t m =2，t t t t F ln 2)(-=，则)ln 1(2121ln 211)('t t t F -=--=，∴e t <<0时，0)('>t F ，e t >时，0)('<t F ， ∴)(t F 在],0(e 上是增函数，在),[+∞e 上是减函数，∴22)()(max e e e e F t F =-==，∴22e n m ≤-. 22. 解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为4=+y x ，曲线2C 的普通方程为9)1()2(22=-+-y x（2）联立圆1C 与直线2C 的方程，可求两曲线交点坐标分别为)2175,2173(),2175,2173(+--+，则34||=AB ， 又)sin 31,cos 32(θθ++P 到1C 的距离2|1)4sin(23|2|4sin 31cos 32|-+=-+++=πθθθd ， 当1)4sin(-=+πθ时，2123max +=d ， PAB ∆面积的最大值为21734321233421+=+⋅⋅. 23.（1）⎪⎩⎪⎨⎧-≤--<<-≥+=3,2213,41,22)(x x x x x x f 由4)(≤x f 得13≤≤-x ，∴}13|{≤≤-=x x M .（2）∵M b a ∈,，∴13≤≤-a ，13≤≤-b ∴212≤+≤-a ，212≤+≤-b ， ∴4)1(2≤+a ，4)1(2≤+b ，∴04)1(32,04)1(322222≤-+=-+≤-+=-+b b b a a a ， ∴0)32)(32(22≥-+-+b b a a .。
【精品】2018学年河南省安阳市林州一中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2018-2019学年河南省安阳市林州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0 D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞02．（5分）“x=2kπ+（k∈Z）”是“tanx=1”成立的（）A．充分不必要条件．B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分也不必要条件．3．（5分）椭圆=1的一个焦点为，则m的值是（）A．B．C．D．44．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°5．（5分）A为△ABC的内角，则sinA+cosA的取值范围是（）A．（，2）B．（﹣，）C．（﹣1，]D．[﹣，]6．（5分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形7．（5分）已知下列命题①b2=ac，则a，b，c成等比数列；②若{a n}为等差数列，且常数c＞0，则数列{c an}为等比数列；③若{a n}为等比数列，且常数c＞0，则数列{c an}为等比数列；④常数列既为等差数列，又是等比数列．其中，真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（5分）若数列{a n}的通项a n=﹣2n2+29n+3，则此数列的最大项的值是（）A．107 B．108 C．108D．1099．（5分）当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞]C．[3，+∞]D．（﹣∞，3）10．（5分）已知命题p：∃x∈R，使x2+2x+5≤4；命题q：当时，f（x）=sinx+的最小值为4．下列命题是真命题的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧q11．（5分）数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．12．（5分）如果椭圆的弦AB被点M（x0，y0）平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2=（）A．4 B．C．﹣1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题目中的横线上.13．（5分）已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是．14．（5分）已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点的个数为．15．（5分）已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则m的取值范围是．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4，（n∈N*且n≥2），则数列{a n}通项公式a n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.j解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．18．（12分）设命题p：f（x）=在区间（1，+∞）上是减函数；命题q；x1x2是方程x2﹣ax ﹣2=0的两个实根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q为真，试求实数m的取值范围．19．（12分）已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC．（1）求角B的大小；（2）若c=3a，求tanA的值．20．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+mx﹣1（m为实数）．（1）试求f（x）在区间上的最大值；（2）若|f（x）|的区间上递增，试求m的取值范围．21．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求线段AB的长度．22．（12分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，点（S n，a n+1）在直线y=3x+1上，n∈N*．（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b n=log4a n+1，c n=a n+b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．2018-2019学年河南省安阳市林州一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0 D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选：D．2．（5分）“x=2kπ+（k∈Z）”是“tanx=1”成立的（）A．充分不必要条件．B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分也不必要条件．【解答】解：当x=2kπ+（k∈Z）时，tanx=1成立当tanx=1时，x=2kπ+或x=2kπ+（k∈Z）故x=2kπ+（k∈Z）是tanx=1成立的充分不必要条件故选：A．3．（5分）椭圆=1的一个焦点为，则m的值是（）A．B．C．D．4【解答】解：由题意可得a2=m，b2=1，c2=a2﹣b2=m﹣1，由焦点为，即有m﹣1=，解得m=．故选：B．4．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°【解答】解：∵b=2asinB，由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB∵sinB≠0∴sinA=∴A=30°或150°故选：D．5．（5分）A为△ABC的内角，则sinA+cosA的取值范围是（）A．（，2）B．（﹣，）C．（﹣1，]D．[﹣，]【解答】解：∵∠A为三角形的内角，∴0＜A＜π，又sinA+cosA=sin（A+）∴＜A+＜∴﹣＜sin（A+）≤1，∴﹣1＜sin（A）≤，即﹣1＜sinA+cosA≤．故选：C．6．（5分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．故选：D．7．（5分）已知下列命题①b2=ac，则a，b，c成等比数列；②若{a n}为等差数列，且常数c＞0，则数列{c an}为等比数列；③若{a n}为等比数列，且常数c＞0，则数列{c an}为等比数列；④常数列既为等差数列，又是等比数列．其中，真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：在①中，b2=ac，当b=c=0时，a，b，c不成等比数列，故①错误；②若{a n}为等差数列，且常数c＞0，则==c d，∴数列{c an}为等比数列，故②正确；③若{a n}为等比数列，且常数c＞0，则=不是常数，∴等比数列的性质得数列{c an}不为等比数列，故③错误；④由0构成的常数列为等差数列，不是等比数列，故④错误．故选：A．8．（5分）若数列{a n}的通项a n=﹣2n2+29n+3，则此数列的最大项的值是（）A．107 B．108 C．108D．109【解答】解：∵=，∵n∈N∴n=7∴a7=108，故选：B．9．（5分）当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞]C．[3，+∞]D．（﹣∞，3）【解答】解：，由=，即的最小值为3，故选：D．10．（5分）已知命题p：∃x∈R，使x2+2x+5≤4；命题q：当时，f（x）=sinx+的最小值为4．下列命题是真命题的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧q【解答】解：关于命题p：∃x∈R，使x2+2x+5≤4，当x=﹣1时：命题成立，故p正确；关于命题q：当时，sinx＞0，∴f（x）=sinx+＞2=4，取不到4，故命题q是假命题；故选：A．11．（5分）数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，①=3n+1﹣1，②∴a1+a2+a3+…+a n+1=3n+1﹣3n=2×3n，②﹣①得：a n+1∴a n=2×3n﹣1．当n=1时，a1=31﹣1=2，符合上式，∴a n=2×3n﹣1．∴=4×9n﹣1，∴=4，=9，∴{}是以4为首项，9为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==（9n﹣1）．故选：B．12．（5分）如果椭圆的弦AB被点M（x0，y0）平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2=（）A．4 B．C．﹣1 D．【解答】解：设直线AB方程为y=k1x+b，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程并整理得：（1+4k12）x2+8k1bx+4b2﹣36=0，x1+x2=﹣，又中点M在直线上，∴=k1（）+b，从而得弦中点M的坐标为（﹣，），∴=﹣，∴k1k2=﹣．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题目中的横线上.13．（5分）已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是1＜k＜2．【解答】解：∵方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴2k﹣1＞2﹣k＞0∴1＜k＜2．故答案为：1＜k＜2．14．（5分）已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴△=4b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，∴二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2个，故答案为：1或2．15．（5分）已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）．【解答】解：因为函数f（x）=x2+mx+1的图象过点（0，1），若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则函数f（x）=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，∴△=m2﹣4＞0，且﹣＞0，即m＜﹣2，则m的取值范围是：（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4，（n∈N*且n≥2），则数列{a n}通项公式a n=3n ﹣2．【解答】解：∵a n=3a n﹣1+4，∴a n+2=3（a n﹣1+2），∵a1+2=3，∴{a n+2}是公比为3，首项是3的等比数列，即a n+2=3×3n﹣1，a n=3n﹣2．故答案为：3n﹣2．三、解答题：本大题共6小题，共70分.j解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．18．（12分）设命题p：f（x）=在区间（1，+∞）上是减函数；命题q；x1x2是方程x2﹣ax ﹣2=0的两个实根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q为真，试求实数m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=在区间（﹣∞，m），（m，+∞）上是减函数，而已知在区间（1，+∞）上是减函数，∴m≤1，即命题p为真命题时m≤1，命题p为假命题时m＞1，∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个实根∴∴|x1﹣x2|==∴当a∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max=3，由不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣1，1]恒成立．可得：m2+5m﹣3≥3，∴m≥1或m≤﹣6，∴命题q为真命题时m≥1或m≤﹣6，∵﹣p∧q为真，∴命题p假q真，即，∴实数m的取值范围是m＞1．19．（12分）已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC．（1）求角B的大小；（2）若c=3a，求tanA的值．【解答】解：（1）∵sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC，∴根据正弦定理，得a2+c2﹣b2=ac因此，cosB==∵B∈（0，π），∴B=，即角B的大小为；（2）∵c=3a，∴根据正弦定理，得sinC=3sinA∵B=，∴sinC=sin（A+B）=sin（A+）=3sinA可得sinA+cosA=3sinA，得cosA=sinA两边都除以cosA，得=tanA，所以tanA=．20．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+mx﹣1（m为实数）．（1）试求f（x）在区间上的最大值；（2）若|f（x）|的区间上递增，试求m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+mx﹣1=﹣．当，即m＜1时，f（x）在上递减，；当≤≤1，即1≤m≤2时，；当，即m＞2时，f（x）在上递增，f（x）max=f（1）=m﹣2．（2）f（x）=﹣x2+mx﹣1=﹣．对称轴为x=，开口朝下，当≤0，即﹣2≤m≤2时，|f（x）|=，|f（x）|的递增区间为[，+∞），∴，∴m≤1，∴﹣2≤m≤1；当＞0，即m＜﹣2或m＞2时，f（x）有2个零点x1，x2，设，将f（x）图象在x轴下方部分沿x轴翻折得到|f（x）|图象，那么|f（x）|的一个递增区间为[x2，+∞）．若|f（x）|在区间（）上递增，则需，解得：m＜﹣2．综上，m的取值范围是（﹣∞，1]．21．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求线段AB的长度．【解答】解：（1）由F1（﹣2，0），F2（2，0），长轴长为6，得：，所以b==1，∴椭圆的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）可知椭圆方程为①，∵直线AB的方程为y=x+2②，把②代入①得化简并整理得10x2+36x+27=0，∴，则．22．（12分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，点（S n，a n+1）在直线y=3x+1上，n∈N*．（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b n=log4a n+1，c n=a n+b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．【解答】解：（Ⅰ）∵点（S n，a n）在直线y=3x+1上+1=3S n+1，①∴a n+1a n=3S n﹣1+1，②（n＞1）…（2分）﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，①﹣②：a n+1=4a n，n＞1…（4分）∴a n+1∵a2=3S1+1=3a1+1=3t+1，a1=t，∴3t+1=4t，∴t=1∴当t=1时，a2=4a1，数列{a n}是等比数列…（6分）=4a n，（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，a n+1∴，…（8分）∴b n=log4a n+1=n，…（9分），…（10分）∴…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
河南省安阳市林州一中高二数学上学期期中试卷 理(含解
2015-2016学年河南省安阳市林州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞02．“x=2kπ+（k∈Z）”是“tanx=1”成立的（）A．充分不必要条件． B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分也不必要条件．3．椭圆=1的一个焦点为，则m的值是（）A．B．C．D．44．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°5．A为△ABC的内角，则sinA+cosA的取值范围是（）A．（，2）B．（﹣，）C．（﹣1，] D．[﹣，]6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7．已知下列命题①b2=ac，则a，b，c成等比数列；②若{a n}为等差数列，且常数c＞0，则数列{c an}为等比数列；③若{a n}为等比数列，且常数c＞0，则数列{c an}为等比数列；④常数列既为等差数列，又是等比数列．其中，真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．若数列{a n}的通项a n=﹣2n2+29n+3，则此数列的最大项的值是（）A．107 B．108 C．108D．1099．当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞] C．[3，+∞] D．（﹣∞，3）10．已知命题p：∃x∈R，使x2+2x+5≤4；命题q：当时，f（x）=sinx+的最小值为4．下列命题是真命题的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧（￢q） C．（￢p）∧q D．p∧q11．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．12．如果椭圆的弦AB被点M（x0，y0）平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2=（）A．4 B．C．﹣1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题目中的横线上.13．已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是．14．已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点的个数为．15．已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则m的取值范围是．16．已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4，（n∈N*且n≥2），则数列{a n}通项公式a n= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.j解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．18．设命题p：f（x）=在区间（1，+∞）上是减函数；命题q；x1x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个实根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q为真，试求实数m的取值范围．19．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC．（1）求角B的大小；（2）若c=3a，求tanA的值．20．已知函数f（x）=﹣x2+mx﹣1（m为实数）．（1）试求f（x）在区间上的最大值；（2）若|f（x）|的区间上递增，试求m的取值范围．21．已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求线段AB的长度．22．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，点（S n，a n+1）在直线y=3x+1上，n∈N*．（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b n=log4a n+1，c n=a n+b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．2015-2016学年河南省安阳市林州一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【考点】命题的否定．【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选D．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．2．“x=2kπ+（k∈Z）”是“tanx=1”成立的（）A．充分不必要条件． B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分也不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据正切函数的定义，分别判断当x=2kπ+（k∈Z）时，tanx=1是否成立及tanx=1时，x=2kπ+（k∈Z）是否成立，进而根据充要条件的定义可得答案【解答】解：当x=2kπ+（k∈Z）时，tanx=1成立当tanx=1时，x=2kπ+或x=2kπ+（k∈Z）故x=2kπ+（k∈Z）是tanx=1成立的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查的知识点是正切函数的定义及充要条件的定义，其中根据正切函数的定义判断出x=2kπ+（k∈Z）⇒tanx=1与tanx=1⇒x=2kπ+（k∈Z）的真假是解答的关键．3．椭圆=1的一个焦点为，则m的值是（）A．B．C．D．4【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得a2=m，b2=1，求得c2，由焦点坐标，可得m﹣1=，即可得到m．【解答】解：由题意可得a2=m，b2=1，c2=a2﹣b2=m﹣1，由焦点为，即有m﹣1=，解得m=．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．4．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】结合已知及正弦定理可求sinA，进而可根据特殊角的三角形函数值可求A【解答】解：∵b=2asinB，由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB∵sinB≠0∴sinA=∴A=30°或150°故选D【点评】本题主要考查了正弦定理及特殊角的三角函数值的简单应用，属于基础试题5．A为△ABC的内角，则sinA+cosA的取值范围是（）A．（，2）B．（﹣，）C．（﹣1，] D．[﹣，]【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由0＜A＜π，利用辅助角公式可求得sinA+cosA的取值范围．【解答】解：∵∠A为三角形的内角，∴0＜A＜π，又sinA+cosA=sin（A+）∴＜A+＜∴﹣＜sin（A+）≤1，∴﹣1＜sin（A）≤，即﹣1＜sinA+cosA≤．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，利用辅助角公式将sinA+cosA化为sin（A+）是关键，考查分析与转化能力，属于中档题．6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．故选D【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点．7．已知下列命题①b2=ac，则a，b，c成等比数列；②若{a n}为等差数列，且常数c＞0，则数列{c an}为等比数列；③若{a n}为等比数列，且常数c＞0，则数列{c an}为等比数列；④常数列既为等差数列，又是等比数列．其中，真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等差数列；等比数列．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】在①中，当b=c=0时，a，b，c不成等比数列；在②中， ==cd，数列{c an}为等比数列；在③中， =不是常数，数列{c an}不为等比数列；在④中，由0构成的常数列为等差数列，不是等比数列．【解答】解：在①中，b2=ac，当b=c=0时，a，b，c不成等比数列，故①错误；②若{a n}为等差数列，且常数c＞0，则==c d，∴数列{c an}为等比数列，故②正确；③若{a n}为等比数列，且常数c＞0，则=不是常数，∴等比数列的性质得数列{c an}不为等比数列，故③错误；④由0构成的常数列为等差数列，不是等比数列，故④错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．8．若数列{a n}的通项a n=﹣2n2+29n+3，则此数列的最大项的值是（）A．107 B．108 C．108D．109【考点】数列的函数特性；数列的应用．【分析】本题主要考查二次函数的最大值和数列的函数特性，注意题目中的自变量取正整数，再要注意这里求的是项，而不是项数，容易出错，是一道易错题．【解答】解：∵=，∵n∈N∴n=7∴a7=108，故选B【点评】解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．9．当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞] C．[3，+∞] D．（﹣∞，3）【考点】函数最值的应用．【专题】计算题．【分析】利用（x＞0）求解，注意等号成立的条件，有条件x＞1可将x﹣1看成一个真题求解．【解答】解：，由=，即的最小值为3，故选D．【点评】本题考查了基本不等式，要注意不等式成立的条件．10．已知命题p：∃x∈R，使x2+2x+5≤4；命题q：当时，f（x）=sinx+的最小值为4．下列命题是真命题的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧（￢q） C．（￢p）∧q D．p∧q【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：关于命题p：∃x∈R，使x2+2x+5≤4，当x=﹣1时：命题成立，故p正确；关于命题q：当时，sinx＞0，∴f（x）=sinx+＞2=4，取不到4，故命题q是假命题；故选：A．【点评】本题考查了符合命题的判断，考查二次函数和三角函数问题，是一道基础题．11．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，可求得a n，从而可知，利用等比数列的求和公式即可求得答案．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，①∴a1+a2+a3+…+a n+1=3n+1﹣1，②②﹣①得：a n+1=3n+1﹣3n=2×3n，∴a n=2×3n﹣1．当n=1时，a1=31﹣1=2，符合上式，∴a n=2×3n﹣1．∴=4×9n﹣1，∴=4， =9，∴{}是以4为首项，9为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==（9n﹣1）．故选B．【点评】本题考查数列的求和，考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题．12．如果椭圆的弦AB被点M（x0，y0）平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM（O 为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2=（）A．4 B．C．﹣1 D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】设直线AB方程为y=k1x+b，代入椭圆方程并整理得关于x的一元二次方程，然后利用根与系数的关系能求出结果．【解答】解：设直线AB方程为y=k1x+b，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程并整理得：（1+4k12）x2+8k1bx+4b2﹣36=0，x1+x2=﹣，又中点M在直线上，∴=k1（）+b，从而得弦中点M的坐标为（﹣，），∴=﹣，∴k1k2=﹣．故选D．【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题目中的横线上.13．已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是1＜k＜2 ．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2k﹣1＞2﹣k＞0，即可求出实数k的取值范围．【解答】解：∵方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴2k﹣1＞2﹣k＞0∴1＜k＜2．故答案为：1＜k＜2．【点评】本题考查实数k的取值范围，考查椭圆的标准方程，比较基础．14．已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2 ．【考点】等差数列的性质；二次函数的性质．【专题】综合题．【分析】根据等差中项得2b=a+c，代入二次函数对应的判别式进行整理，判断出△的符号，再得到函数图象与x轴交点的个数．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴△=4b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，∴二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2个，故答案为：1或2．【点评】本题利用等差中项的性质得到的结论，对二次函数对应的判别式进行整理并判断符号．15．已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）．【考点】特称命题．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据“命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真”，不等式对应的是二次函数，利用二次的图象与性质加以解决即可．【解答】解：因为函数f（x）=x2+mx+1的图象过点（0，1），若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则函数f（x）=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，∴△=m2﹣4＞0，且﹣＞0，即m＜﹣2，则m的取值范围是：（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查特称命题、二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象处理．16．已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4，（n∈N*且n≥2），则数列{a n}通项公式a n= 3n﹣2 ．【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】由题意知a n+2=3（a n﹣1+2），判断{a n+2}是等比数列，由此求出通项公式．【解答】解：∵a n=3a n﹣1+4，∴a n+2=3（a n﹣1+2），∵a1+2=3，∴{a n+2}是公比为3，首项是4的等比数列，即a n+2=3×3n﹣1，a n=3n﹣2．故答案为：3n﹣2．【点评】本题考查数列的性质和应用，合理地进行构造新数列是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分.j解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题的求法，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．18．设命题p：f（x）=在区间（1，+∞）上是减函数；命题q；x1x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个实根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q为真，试求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；复合命题的真假．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据分式函数的单调性求出命题p为真时m的取值范围，然后根据题意求出|x1﹣x2|的最大值，再解不等式，若﹣p∧q为真则命题p假q真，从而可求出m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=在区间（﹣∞，m），（m，+∞）上是减函数，而已知在区间（1，+∞）上是减函数，∴m≤1，即命题p为真命题时m≤1，命题p为假命题时m＞1，∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个实根∴∴|x1﹣x2|==∴当a∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max=3，由不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣1，1]恒成立．可得：m2+5m﹣3≥3，∴m≥1或m≤﹣6，∴命题q为真命题时m≥1或m≤﹣6，∵﹣p∧q为真，∴命题p假q真，即，∴实数m的取值范围是m＞1．【点评】本题主要考查了命题真假的判断的应用，解题时要认真审题，仔细解答，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．19．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC．（1）求角B的大小；（2）若c=3a，求tanA的值．【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）根据正弦定理，将已知等式化简得a2+c2﹣b2=ac，结合余弦定理算出cosB=，从而可得角B的大小为；（2）由c=3a结合正弦定理，得sinC=3sinA，而sinC=sin（A+B），将B=代入展开并化简得cosA=sinA，最后根据同角三角函数的商数关系，可算出tanA的值．【解答】解：（1）∵sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC，∴根据正弦定理，得a2+c2﹣b2=ac因此，cosB==∵B∈（0，π），∴B=，即角B的大小为；（2）∵c=3a，∴根据正弦定理，得sinC=3sinA∵B=，∴sinC=sin（A+B）=sin（A+）=3sinA可得sinA+cosA=3sinA，得cosA=sinA两边都除以cosA，得=tanA，所以tanA=．【点评】本题给出三角形的三个角的正弦的关系式，求角B的大小并在c=3a的情况下求tanA 的值．着重考查了利用正余弦定理解三角形、两角和的正弦公式和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．20．已知函数f（x）=﹣x2+mx﹣1（m为实数）．（1）试求f（x）在区间上的最大值；（2）若|f（x）|的区间上递增，试求m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）求出二次函数的对称轴，分对称轴小于、大于等于小于等于1、大于1三种情况讨论求f（x）在区间上的最大值；（2）把二次函数配方后分≤0、＞0两种情况进行分析，特别当＞0，利用对称轴在两个零点之间，结合|f（x）|在区间（）上递增列不等式组求解m的取值范围，最后取并集得答案．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+mx﹣1=﹣．当，即m＜1时，f（x）在上递减，；当≤≤1，即1≤m≤2时，；当，即m＞2时，f（x）在上递增，f（x）max=f（1）=m﹣2．（2）f（x）=﹣x2+mx﹣1=﹣．对称轴为x=，开口朝下，当≤0，即﹣2≤m≤2时，|f（x）|=，|f（x）|的递增区间为[，+∞），∴，∴m≤1，∴﹣2≤m≤1；当＞0，即m＜﹣2或m＞2时，f（x）有2个零点x1，x2，设，将f（x）图象在x轴下方部分沿x轴翻折得到|f（x）|图象，那么|f（x）|的一个递增区间为[x2，+∞）．若|f（x）|在区间（）上递增，则需，解得：m＜﹣2．综上，m的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，属中高档题．21．已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求线段AB的长度．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的焦点和长轴长，可得c=2，a=3，再由a，b，c的关系可得b=1，进而得到椭圆方程；（2）求得直线方程y=x+2代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求．【解答】解：（1）由F1（﹣2，0），F2（2，0），长轴长为6，得：，所以b==1，∴椭圆的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）可知椭圆方程为①，∵直线AB的方程为y=x+2②，把②代入①得化简并整理得10x2+36x+27=0，∴，则．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．22．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，点（S n，a n+1）在直线y=3x+1上，n∈N*．（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b n=log4a n+1，c n=a n+b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．【考点】等比关系的确定；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）根据点（S n，a n+1）在直线y=3x+1上，可得a n+1=3S n+1，再写一式，两式相减，结合a1=t，即可求得t=1时，a2=4a1，数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，求出，我们可以得到b n=log4a n+1=n，，求和时利用分组求和，可以得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵点（S n，a n+1）在直线y=3x+1上∴a n+1=3S n+1，①a n=3S n﹣1+1，②（n＞1）…①﹣②：a n+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，∴a n+1=4a n，n＞1…∵a2=3S1+1=3a1+1=3t+1，a1=t，∴3t+1=4t，∴t=1∴当t=1时，a2=4a1，数列{a n}是等比数列…（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，a n+1=4a n，∴，…∴b n=log4a n+1=n，…，…∴…【点评】考查数列与函数的联系，考查等比数列的定义，考查分组求和，求和时根据通项的特点选择合适的方法是我们解决这类问题的关键所在．。
河南省林州市第一中学2017-2018学年高二数学10月月考试题(含解析)
河南省林州市第一中学2017-2018学年高二数学10月月考试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，,故选C．考点：余弦定理.【易错点睛】本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式.解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．2. 在中，若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由正弦定理得，因此得，所以，即..考点：正弦定理和余弦定理的应用.3. 以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是（）A. 在中，B. 在中，若，则C. 在中，若，则，若，则都成立D. 在中，【答案】B【解析】由正弦定理易知A,C,D正确，对于B,由sin2A=sin2B,可得A=B或，即A=B或，所以a=b或，故B错误4. 如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由正弦定理得，解得在中，5. 已知数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又符合上式，故6. 已知，（），则数列的通项公式是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以所以7. 数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，所以是公比为的等比数列因为，所以，故，所以8. 数列中，，并且（），则数列的第100项为（）A. B. C. D.【答案】D考点：1等差中项;2等差数列的通项公式．9. 已知等差数列的前项和为，且，，则过点，（）的直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由S 2=10，S 5=55得a 1=3,d=4,直线斜率为：请在此填写本题解析!10. 在等差数列中，已知，（，，且），则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以11. 在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：等差数列中，即数列是首项为，公差为的等差数列；因为，，所以，，，所以，，选.考点：等差数列的求和公式，等差数列的通项公式.12. 在中，，，，则此三角形解的情况是（）A. 一般B. 两解C. 一解或两解D. 无解【答案】B【解析】试题分析：,所以由两解，故选B.考点：判断三角形个数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某同学骑电动车以的速度沿正北方向的公路行驶，在点处测得电视塔在电动车的北偏东方向上，后到点处，测得电视塔在电动车的北偏东方向上，则点与电视塔的距离是_________．【答案】【解析】由题意可得，，由正弦定理得，解得点睛：本题考查的是解三角形在实际中的应用，在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，在题设中给定三角形中利用正弦定理或利用余弦定理结合三角形内角和为构造边或者是角的关系；把已知的给定的值代入正弦定理或者是余弦定理，求出要求的具体的值14. 设的内角，，的对边分别为，，，且，，，则__________．【答案】4【解析】试题分析：由及正弦定理，得．又因为，所以．由余弦定理得：，所以．考点：正余弦定理．15. 在等比数列中，，，则__________．【答案】32【解析】设此数列公比为q,由，16. 设数列的前项和为，点（）均在直线上．若，则数列的前项和__________．【答案】【解析】依题意得，即当时，当时，符合，所以则，由，可知为等比数列，故三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，的对应的边分别为，，，且满足．（1）求角；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理将角化成边得，（Ⅱ）由余弦定理得，再根据基本不等式得，，另外为三角形三边关系得，即求出的取值范围.试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ），，即考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）若，，求的值；（2）若，且的面积，求和的值．【答案】（1）．（2），．【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理可以解出cosC；（Ⅱ）用二倍角的余弦公式对方程进行化简，结合所给的面积解出a=3,b=3，试题解析：（1）由题意知，，由余弦定理，得．（2）∵，由正弦定理可知，，又因，故，由于，∴，从而，解得，．点晴：在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”。
河南省林州一中2017-2018学年高二上学期开学考试数学试题(火箭班)含答案
林州一中高二火箭班开学检测数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1．若椭圆错误!＋错误!＝1过点(－2，错误!),则其焦距为( ）A．2错误!B．2错误!C．4错误!D．4错误! 2．已知双曲线C：错误!－错误!＝1的焦距为10，点P(2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A。
x220－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1 C。
错误!－错误!＝1D。
错误!－错误!＝13．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0)的焦点分别为F1、F2，b＝4，离心率为错误!。
过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为( ）A．10 B．12 C．16 D．205．已知双曲线的两个焦点F1（－10,0),F2(错误!，0)，M是此双曲线上的一点，且错误!·错误!＝0，｜错误!｜·｜错误!｜＝2，则该双曲线的方程是( )A.错误!－y2＝1 B．x2－错误!＝1 C。
错误!－错误!＝1 D.错误!－错误!＝16．椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）上任一点到两焦点的距离分别为d1，d2,焦距为2c。
若d1，2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( ）A。
错误!B。
错误! C.错误!D。
错误! 7．已知椭圆错误!＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2,点M在该椭圆上，且错误!·错误!＝0，则点M到y轴的距离为( )A。
错误!B。
错误!C。
错误! D。
错误!8．下列命题中正确的是( )A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x<－1，则x2－2x－3〉0”的否定为：“若x≥－1,则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1〈0,则非p：∃x∈R,x2＋x－1≥09．已知a〉0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是（)A．∃x∈R，f（x）≤f（x0）B．∃x∈R，f(x)≥f（x0) C．∀x∈R，f（x）≤f（x0) D．∀x∈R，f（x）≥f(x0) 10．已知点F1、F2分别是双曲线错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( ）A．(1,3）B．(错误!，2错误!)C．(1＋错误!，＋∞) D．(1，1＋错误!）11．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆,已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为（)A.错误!－1 B．2－错误!C.错误!D。
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2017-2018学年河南省安阳市林州一中火箭班高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=x﹣1}，B={（x，y）|y=3x+1}，则A∩B=（）A．{（1，0）}B．{（2，1）}C．{（﹣1，﹣2）} D．{（﹣2，﹣3）}2．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）=3i+5，则m+n=（）A．B．C．D．3．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．y=x﹣cosx C．y=x﹣sinx D．4．（5分）“直线ax﹣2y﹣3=0的倾斜角大于”是“a＞2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）将函数y=cos2x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数g（x）的图象，再将函数g（x）的图象向右平移个单位，得到函数f（x）的图象，则f（x）=（）A．B．C．sin2x D．sin4x6．（5分）长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，2，x，其顶点都在表面积为18π的球的球面上，则x=（）A．B．C．2 D．7．（5分）已知正项等比数列{a n}满足，且，则数列{a n}的前9项和为（）A．B．C．D．8．（5分）记[x]表示不超过x的最大整数，如[3]=3，[4.6]=4．执行如图所示的程序框图，输出i的值是（）A．4 B．5 C．6 D．79．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，过点F 且倾斜角为60°的直线与拋物线C交于M，N两点，若MM'⊥l，NN'⊥l，垂足分别为M'，N'，则△M'N'F的面积为（）A．B．C．D．10．（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知直线l：x+y﹣1=0截圆Ω：x2+y2=r2（r＞0）所得的弦长为，点M，N在圆Ω上，且直线l'：（1+2m）x+（m﹣1）y﹣3m=0过定点P，若PM ⊥PN，则|MN|的取值范围为（）A． B． C．D．12．（5分）若存在x∈[e，e2]使得不等式+ax成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣）B．[）C．[）D．[）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）现在有2名喜爱综艺类节目的男生和3名不喜爱综艺类节目的男生，在5人中随机抽取2人进行深入调研，则这2人中恰有1人喜爱综艺类节目的概率为．14．（5分）已知函数，当时，函数f（x）的最小值与最大值之和为．15．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值为．16．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，a1=0，若a n+1=[1+（﹣1）n]a n+（﹣2）n（n∈N*），则S=．100三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知在△ABC中，△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=0，C=．（1）求cosB的值；（2）若=16，求b的值．18．（12分）随着科技发展，手机成了人们日常生活中必不可少的通信工具，现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机了．为了调查某地区高中生一周使用手机的频率，某机构随机调查了该地区100名高中生某一周使用手机的时间（单位：小时），所取样本数据分组区间为[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10）、[10，12）、[12，14]，由此得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值；（2）从使用手机时间在[6，8）、[8，10）、[10，12）、[12，14]的四组学生中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？19．（12分）知正四棱锥S﹣ABCD的各条棱长都相等，且点E，F分别是SB，SD 的中点．（1）求证：AC⊥SB；（2）在SC上是否存在点M，使平面△MBD∥平面AEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．过椭圆C右焦点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且y1+y2≠0．（1）求椭圆C的方程；（2）若点Q1与点Q关于x轴对称，且直线Q1P与x轴交于点R，求△RPQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=xe x+mx2﹣nx．（1）当时，求函数g（x）=f（x）+e x的单调区间；（2）若函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）≤（x+2）e x在R上恒成立，求证：．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=4，现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，P为曲线C2上的动点，求△PAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+3|．（1）求不等式f（x）≤4的解集M；（2）若a，b∈M，证明：（a2+2a﹣3）（b2+2b﹣3）≥0．2017-2018学年河南省安阳市林州一中火箭班高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=x﹣1}，B={（x，y）|y=3x+1}，则A∩B=（）A．{（1，0）}B．{（2，1）}C．{（﹣1，﹣2）} D．{（﹣2，﹣3）}【解答】解：集合A={（x，y）|y=x﹣1}，B={（x，y）|y=3x+1}，则A∩B={（x，y）|}={（x，y）|}={（﹣1，﹣2）}．故选：C．2．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）=3i+5，则m+n=（）A．B．C．D．【解答】解：由（m+ni）（4﹣2i）=（4m+2n）+（4n﹣2m）i=3i+5，得，解得m=，n=．∴m+n=．故选：A．3．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．y=x﹣cosx C．y=x﹣sinx D．【解答】解：对于A，y′=﹣+1=，令y′＞0，解得：x＞1，令y′＜0，解得：x＜1，故函数在（0，1）递减，不合题意；对于B，y′=1+sinx＞0，故函数在（0，+∞）递增，但不是奇函数，不合题意；对于C，函数在（0，+∞）递增，是奇函数，符合题意；对于D，y=﹣﹣1＜0，函数在（0，+∞）递减，不合题意；故选：C．4．（5分）“直线ax﹣2y﹣3=0的倾斜角大于”是“a＞2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线的斜截式方程为y=x﹣，则斜率k==tanθ，若θ＞，则k==tanθ＞1或k==tanθ＜0，即a＞2或a＜0，即“直线ax﹣2y﹣3=0的倾斜角大于”是“a＞2”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）将函数y=cos2x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数g（x）的图象，再将函数g（x）的图象向右平移个单位，得到函数f（x）的图象，则f（x）=（）A．B．C．sin2x D．sin4x【解答】解：函数y=cos2x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得：y=cos4x，即g（x）=cos4x，函数g（x）的图象向右平移个单位，可得：y=cos4（x）=cos（4x﹣）=sin4x，即f（x）=sin4x，故选：D．6．（5分）长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，2，x，其顶点都在表面积为18π的球的球面上，则x=（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，2，x，其顶点都在表面积为18π的球的球面上，∴球半径R==，∴R==，解得x=．故选：B．7．（5分）已知正项等比数列{a n}满足，且，则数列{a n}的前9项和为（）A．B．C．D．【解答】解：正项等比数列{a n}满足，可得=1，所以a3=1，，可得q=，所以a1=4，数列{a n}的前9项和为：=8﹣=．故选：C．8．（5分）记[x]表示不超过x的最大整数，如[3]=3，[4.6]=4．执行如图所示的程序框图，输出i的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：a=2018，i=1，a=2018，满足条件a＞10，执行循环体，可得：i=2，a=1009满足条件a＞10，执行循环体，可得：i=3，a=336满足条件a＞10，执行循环体，可得：i=4，a=84满足条件a＞10，执行循环体，可得：i=5，a=16满足条件a＞10，执行循环体，可得：i=6，a=2不满足条件a＞10，退出循环，输出i的值为6．故选：C．9．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，过点F 且倾斜角为60°的直线与拋物线C交于M，N两点，若MM'⊥l，NN'⊥l，垂足分别为M'，N'，则△M'N'F的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到其准线l的距离为2，可得p=2．∴y2=4x．过焦点且倾斜角为60°的直线y=x﹣与抛物线交于M，N两点，，解得M（3，2），N（，﹣）．若MM′⊥l，NN′⊥l，垂足分别为M′（﹣1，2），N′（﹣1，﹣），则△M′N′F的面积为：×（2+）×2=．故选：D．10．（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体为一个棱长为4的正方体挖去一个底面半径r=2，高为4的半圆锥得到的几何体，∴该几何体的表面积为：S+4×4×6﹣﹣+=88+（2﹣2）π．故选：A．11．（5分）已知直线l：x+y﹣1=0截圆Ω：x2+y2=r2（r＞0）所得的弦长为，点M，N在圆Ω上，且直线l'：（1+2m）x+（m﹣1）y﹣3m=0过定点P，若PM ⊥PN，则|MN|的取值范围为（）A． B． C．D．【解答】解：由题意，2=，解得：r=2，∵直线l'：（1+2m）x+（m﹣1）y﹣3m=0过定点P，故P（1，1），设MN的中点是Q（x，y），则OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2，即4=x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2，化简可得+=，故Q的轨迹是以（，）为圆心，为半径的圆，∴|PQ|的范围是[，]，故|MN|的范围是[﹣，+]，故选：D．12．（5分）若存在x∈[e，e2]使得不等式+ax成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣）B．[）C．[）D．[）【解答】解：存在x∈[e，e2]使得不等式+ax成立，则a≥，令g（x）=，x∈[e，e2]，则g′（x）=，令h（x）=ln2x﹣4x，x∈[e，e2]．则h′（x）=2﹣4=，u（x）=lnx﹣2x，x∈[e，e2]．则u′（x）=﹣2=＜0，∴u（x）≤lne﹣2e=1﹣2e＜0．∴h（x）在x∈[e，e2]上单调递减．∴h（x）≤h（e）=1﹣4e＜0．∴函数g（x）在x∈[e，e2]上单调递减．∴a≥g（e2）=﹣．∴实数a的取值范围为．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）现在有2名喜爱综艺类节目的男生和3名不喜爱综艺类节目的男生，在5人中随机抽取2人进行深入调研，则这2人中恰有1人喜爱综艺类节目的概率为．【解答】解：现在有2名喜爱综艺类节目的男生和3名不喜爱综艺类节目的男生，在5人中随机抽取2人进行深入调研，基本事件总数n==10，这2人中恰有1人喜爱综艺类节目包含的基本事件个数m==6，∴这2人中恰有1人喜爱综艺类节目的概率为p=．故答案为：．14．（5分）已知函数，当时，函数f（x）的最小值与最大值之和为．【解答】解：函数=sin2x=sin（2x﹣）∵当时，则2x﹣∈[，]当2x﹣=时，函数f（x）取得最小值为=﹣1当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为1﹣=数f（x）的最小值与最大值之和为=故答案为：．15．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值为．【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由图可知，在目标函数的上方并满足约束条件的区域使得目标函数为负数，故目标函数的绝对值是其相反数，由线性规划可知，目标函数最小值在A（1，4）处取得，（2x﹣3y+4）min=﹣6，故z max=|2x﹣3y+4|=6；由图可知，在目标函数的下方并满足约束条件的区域使得目标函数为正数，故目标函数的绝对值是其本身，由线性规划可知，目标函数最大值在B（2，1）处取得，（2x﹣3y+4）max=5，故z max=|2x﹣3y+4|=6．则的最小值为：=．故答案为：．16．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，a1=0，若a n+1=[1+（﹣1）n]a n+（﹣2）n（n∈N*），则S=．100=[1+（﹣1）n]a n+（﹣2）n（n∈N*），【解答】解：由a n+1当n为奇数时，有；当n为偶数时，有．∴数列{a n}的所有偶数项构成以﹣2为首项，以4为公比的等比数列，∴S100=（a1+a3+a5+…+a99）+（a2+a4+a6+…+a100）=2（a2+a4+a6+…+a98）+（22+24+26+…+298）+（a2+a4+a6+…+a100）=3（a2+a4+a6+...+a100）﹣2a100+（22+24+ (298)==．故答案为：．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知在△ABC中，△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=0，C=．（1）求cosB的值；（2）若=16，求b的值．【解答】解：（1）因为，得，得sinA=3cosA，即sin2A=9cos2A=9（1﹣sin2A），所以，又，所以sinA＞0，故，又∵，故，即，所以cosA＞0，故，故．（2），所以bccosA=16，得①，又，所以sinB=sin（A+C）=，在△ABC中，由正弦定理，得，即，得②，联立①②，解得b=8．18．（12分）随着科技发展，手机成了人们日常生活中必不可少的通信工具，现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机了．为了调查某地区高中生一周使用手机的频率，某机构随机调查了该地区100名高中生某一周使用手机的时间（单位：小时），所取样本数据分组区间为[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10）、[10，12）、[12，14]，由此得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值；（2）从使用手机时间在[6，8）、[8，10）、[10，12）、[12，14]的四组学生中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？【解答】解：（1）由于小矩形的面积之和为1，则（a+0.075+4a+0.15+5a+0.05+0.025）×2=1，由此可得a=0.02．该地区高中生一周使用手机时间的平均值为（1×0.02+3×0.075+5×0.08+7×0.15+9×0.1+11×0.05+13×0.025）×2=6.94．（2）使用手机时间在[6，8）的学生有0.15×2×100=30人，使用手机时间在[8，10）的学生有0.02×5×2×100=20人，使用手机时间在[10，12）的学生有0.05×2×100=10人，使用手机时间在[12，14]的学生有0.025×2×100=5人，故用分层抽样法从使用手机时间在[6，8），[8，10），[10，12），[12，14]的四组学生中抽样，抽取人数分别为，，，．19．（12分）知正四棱锥S﹣ABCD的各条棱长都相等，且点E，F分别是SB，SD 的中点．（1）求证：AC⊥SB；（2）在SC上是否存在点M，使平面△MBD∥平面AEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心，连接SO，∵SA=SC，O是AC的中点，∴SO⊥AC．又BD⊥AC，且SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，又SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB．（2）解：存在点M，设SO∩EF=G，连AG，CG．取CG中点H，连OH并延长交SC于点M，∵O是AC中点，∴OH∥AG，即OM∥AG，又EF∥BD，OM，BD⊄平面AEF，AG，EF⊂平面AEF，∴OM∥平面AEF，BD∥平面AEF，又OM∩BD=O，OM，BD⊂平面MBD，∴平面MBD∥平面AEF，在△SOC中，作FN∥OM交SC于N，则N是SM的中点，M是NC的中点，∴．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．过椭圆C右焦点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且y1+y2≠0．（1）求椭圆C的方程；（2）若点Q1与点Q关于x轴对称，且直线Q1P与x轴交于点R，求△RPQ面积的最大值．【解答】解：（I ）依题意，，解得，故椭圆C的方程为；（2）依题意，直线l：x=my+3（m≠0），且注意到（3，0）为椭圆C的右焦点；直线l与椭圆C方程联立化简并整理得（m2+4）y2+6my﹣3=0，∴，由题设知直线Q1P的方程为，令y=0得=，∴点R（4，0）；故===（当且仅当即时等号成立）∴△RPQ的面积存在最大值，最大值为1．21．（12分）已知函数f（x）=xe x+mx2﹣nx．（1）当时，求函数g（x）=f（x）+e x的单调区间；（2）若函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）≤（x+2）e x在R上恒成立，求证：．【解答】解：（1）依题意x∈R，当时，，g'（x）=（x+2）（e x﹣1）．令g'（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，故函数g（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣2，0）；（2）证明：∵f'（x）=（x+1）e x+2mx﹣n≤（x+2）e x，∴e x≥2mx﹣n，记h（x）=e x﹣2mx+n，h'（x）=e x﹣2m，当m≤0时，h'（x）＞0恒成立，则h（x）在R上递增，且因为当x→﹣∞时，h（x）→﹣∞，所以h（x）≥0不恒成立，故不成立；当m＞0时，令h'（x）=0，解得x=ln2m，当x∈（﹣∞，ln2m）时，h'（x）＜0；当x∈（ln2m，+∞）时，h'（x）＞0，当x=ln2m时，函数h（x）取得最小值h（ln2m）=e ln2m﹣2mln2m+n≥0，即2m ﹣2mln2m≥﹣n，则，令2m=t，，则，∴0＜t＜e，F'（t）＞0，t＞e时，F'（t）＜0，∴F（t）在（0，e]上是增函数，在[e，+∞）上是减函数，∴，∴．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=4，现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，P为曲线C2上的动点，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为p（cosθ+sinθ）=4，转化为直角坐标方程：x+y=4，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．转化得：曲线C2的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=9．（2）联立直线C1与圆C2的方程，可求两曲线交点坐标分别为，则，由于：P（2+3cosθ，1+3sinθ）到C1的距离：，当时，，△PAB面积最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+3|．（1）求不等式f（x）≤4的解集M；（2）若a，b∈M，证明：（a2+2a﹣3）（b2+2b﹣3）≥0．【解答】解：（1）f（x）=，由f（x）≤4，可得2x+2≤4并且x≥1，无解；﹣4≤4，并且﹣3≤x≤1，﹣2x﹣2≤4并且x＜﹣3，无解综上，﹣3≤x≤1，∴M={x|﹣3≤x≤1}．（2）证明：∵a，b∈M，∴﹣3≤a≤1，﹣3≤b≤1，∴﹣2≤a+1≤2，﹣2≤b+1≤2，∴（a+1）2≤4，（b+1）2≤4，∴a2+2a﹣3=（a+1）2﹣4≤0，b2+2b﹣3=（b+1）2﹣4≤0，∴（a2+2a﹣3）（b2+2b﹣3）≥0．第21页（共21页）。