2020-2021年数学必修第一册课件课后作业三角函数：第五章5-2-1随堂巩固验收(人教A版)
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高中数学5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念新人教A版必修第一册
-
综上,cos θ=-1,tan θ=0 或 cos θ=- ,tan θ=- 或 cos θ=- ,
tan θ= .
二 三角函数定义的应用
典例剖析
2.已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求
10sin α+的值.
解:由题意知,cos α≠0.
设角 α 的终边上任意一点为 P(k,-3k)(k≠0),
综上,2sin α+cos α=
, < .
规律总结
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况
(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,
即可求出各三角函数值.
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则 sin
α=y,cos α=x,tan α=.
四 诱导公式一的应用
典例剖析
4.(1)sin(-1 380°)的值为(
)
A.
B.
(2)cos - +tan =
答案:(1)D (2)
C.
D.
.
解析:(1)sin(-1 380°)=sin(-4×360°+60°)=sin 60°= .
(2)原式=cos + (-) × +tan(+2×2π)=cos+tan = +1=.
+
=sin
=
=
,cos
综上,cos θ=-1,tan θ=0 或 cos θ=- ,tan θ=- 或 cos θ=- ,
tan θ= .
二 三角函数定义的应用
典例剖析
2.已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求
10sin α+的值.
解:由题意知,cos α≠0.
设角 α 的终边上任意一点为 P(k,-3k)(k≠0),
综上,2sin α+cos α=
, < .
规律总结
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况
(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,
即可求出各三角函数值.
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则 sin
α=y,cos α=x,tan α=.
四 诱导公式一的应用
典例剖析
4.(1)sin(-1 380°)的值为(
)
A.
B.
(2)cos - +tan =
答案:(1)D (2)
C.
D.
.
解析:(1)sin(-1 380°)=sin(-4×360°+60°)=sin 60°= .
(2)原式=cos + (-) × +tan(+2×2π)=cos+tan = +1=.
+
=sin
=
=
,cos
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.2.2 同角三角函数的基本关系(1)
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
解析：由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－ sinx)(1＋sinx)，得1＋cossixnx＝1－cossixnx，所以sicnoxs－x 1＝－1－cossixnx＝－ －12＝12.故选A.
6．若α为第三象限角，则 1c－ossαin2α＋ 12－sicnoαs2α的值为( B ) A．3 B．－3 C．1 D．－1
解析：∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0， ∴原式＝－ccoossαα－2ssiinnαα＝－3.
7．已知ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2，则sinθcosθ的值是( C )
3 A.4
B．±130
3 C.10
D．－130
解析：由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ， ∴tanθ＝3，∴sinθcosθ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ＝1＋tatnaθn2θ＝1＋3 32＝130.
13．(13分)证明下列三角恒等式：tatnanαα－sisniαnα＝tatnaαnα＋sisninαα.
sin2α 证明：左边＝csoinsααco－sαsinα＝sinα－sisni2nααcosα ＝sin1α－1c－osc2oαsα＝1＋sicnoαsα＝si1nα＋csoinsαα＝si1nα＋ta1nα ＝tatnaαnα＋sisninαα＝右边，所以原等式成立．
解析：原式＝cosα 1＋csoins22αα＋sinα 1＋csoins22αα ＝cosα co1s2α＋sinα sin12α＝cosα－c1osα＋sinαsi1nα＝0.
三、解答题(共25分)
湘教版高中数学必修第一册5-2-1-2用有向线段表示三角函数教学课件
答案：B
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析：因为点P在第三象限， 所以tan α<0，cos α<0，所以α为第二象限角． 故选B.
3．若角α的终边过点(－5，－3)，则( ) A．sin αtan α＞0 B．cos αtan α＞0 C．sin αcos α＞0 D．sin αcos α＜0
2．如图，过点A(1，0)作单位圆的切线x＝1，如果tan α存在，设该
切线与角α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第
二、三象限角时)相交于点T(1，y1)，则tan α＝AT，称AT为角α的正切 线．
教材要点 要点二 三角函数值在各象限的符号
状元随笔 对三角函数值符号的理解
解析：(1)由于角x的终边在第三象限，那么有sin x<0，cos x<0，tan x>0，所以 sin x＋cos x<0，cos x－tan x<0，tan x·sin x<0，tan x－sin x>0.故选D.
易错辨析 判断三角函数值符号时忽略轴线角致误 例5 已知角α的终边过点P(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实 数a的取值范围是_(_－__2_，__3_] ．
答案：C
解析：∵角α的终边过点(－5，－3)， ∴sin α<0，cos α<0，tan α>0， ∴sin αcos α>0 故选C.
2
解析：∵α为第三象限角， ∴sin α<0，cos α<0， ∴P(sin α，cos α)位于第三象限．
方法归纳
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念 (2)
(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;
(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π范围内的角的三角函数值,
以便实现把角大化小,负化正.
变式训练3 求下列三角函数值:
(1)sin
19π
25
19
390°;(2)cos ;(3)tan(-330°);(4)sin π+cos π.
定 余弦函数 把 点P的横坐标x 叫做α的余弦函数,记作cos α,即 x=cos α
义 正切
把 点 P 的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切,记作tan α,
函数
即
=tan α(x≠0)
三角函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2.三角函数的解析式和定义域如下表所示
类型
解析式
∴P − 2 , −6 ,∴sin α=-13 ,∴tan
1
1
13
5
2
则sin + tan =-12 + 12 =-3.
12
α= 5 ,
5
α=-13 ,
【例1-2】 已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)
上,则cos α-sin α=
1
5
.
解析 ∵角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,
自主诊断
1.判断正误.(正确的画 ,错误的画×)
(1)一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(
(2)若两个角α,β的正弦值相等,那么α=β.( × )
25π
2.计算:sin +cos
6
17π
−
3
(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π范围内的角的三角函数值,
以便实现把角大化小,负化正.
变式训练3 求下列三角函数值:
(1)sin
19π
25
19
390°;(2)cos ;(3)tan(-330°);(4)sin π+cos π.
定 余弦函数 把 点P的横坐标x 叫做α的余弦函数,记作cos α,即 x=cos α
义 正切
把 点 P 的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切,记作tan α,
函数
即
=tan α(x≠0)
三角函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2.三角函数的解析式和定义域如下表所示
类型
解析式
∴P − 2 , −6 ,∴sin α=-13 ,∴tan
1
1
13
5
2
则sin + tan =-12 + 12 =-3.
12
α= 5 ,
5
α=-13 ,
【例1-2】 已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)
上,则cos α-sin α=
1
5
.
解析 ∵角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,
自主诊断
1.判断正误.(正确的画 ,错误的画×)
(1)一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(
(2)若两个角α,β的正弦值相等,那么α=β.( × )
25π
2.计算:sin +cos
6
17π
−
3
高中数学 第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念(二)课件 a高一第一册数学课件
一或第二象限角.
答案：一或二
12/8/2021
第三十一页，共三十九页。
【补偿训练】若tan x<0，且sin x-cos x<0，则角x的终边在
()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三(dìsān)象限
D.第四象限
【解析】选D.因为tan x<0，所以角x的终边在第二、四象限，又sin x-cos x
(1)已知α是三角形的内角，则必有cos α>0. ( )
(2)终边相同的角的同一三角函数值相等. ( )
(3)若sin α>0，则α一定在第一(dìyī)或第二象限.
()
12/8/2021
第七页，共三十九页。
2.若sin θ·cos θ>0，则角θ在 ( )
A.第一或第四象限
B.第一或第三象限
C.第一或第二象限
【典例】1.tan
A. 3
B.
2.求值：
的(－值2为3 ) ( 6 3 C.
3
)
D3.1 2
s in 7 c o s (－ 2 3 ) ta n (－ 1 5 )c o s1 3 .
【思3 路导引】6 1.由
4 3 ，所以用公式一求值.
234
2.用公式一化简后求值. 6
6
12/8/2021
第十七页，共三十九页。
【解题策略】
利用(lìyòng)公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ+α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z. (2)转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值. (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
12/8/2021
第十九页，共三十九页。
答案：一或二
12/8/2021
第三十一页，共三十九页。
【补偿训练】若tan x<0，且sin x-cos x<0，则角x的终边在
()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三(dìsān)象限
D.第四象限
【解析】选D.因为tan x<0，所以角x的终边在第二、四象限，又sin x-cos x
(1)已知α是三角形的内角，则必有cos α>0. ( )
(2)终边相同的角的同一三角函数值相等. ( )
(3)若sin α>0，则α一定在第一(dìyī)或第二象限.
()
12/8/2021
第七页，共三十九页。
2.若sin θ·cos θ>0，则角θ在 ( )
A.第一或第四象限
B.第一或第三象限
C.第一或第二象限
【典例】1.tan
A. 3
B.
2.求值：
的(－值2为3 ) ( 6 3 C.
3
)
D3.1 2
s in 7 c o s (－ 2 3 ) ta n (－ 1 5 )c o s1 3 .
【思3 路导引】6 1.由
4 3 ，所以用公式一求值.
234
2.用公式一化简后求值. 6
6
12/8/2021
第十七页，共三十九页。
【解题策略】
利用(lìyòng)公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ+α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z. (2)转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值. (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
12/8/2021
第十九页，共三十九页。
人教版高中数学必修第一册5.2三角函数的概念 课时5 同角三角函数的基本关系【课件】
第五章
三角函数
5.2 三角函数的概念
课时
同角三角函数的基本关系
教学目标
1. 经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程,能
运用任意角的三角函数的定义加以证明.
2. 理解同角三角函数的基本关系的结构特征,体会同一
个角的三个不同三角函数间的内在联系.
3. 掌握同角三角函数的基本关系在求解三角函数式的化
进行转换。
【解】
【方法规律】
(1) 利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要
根据角α所在象限确定符号;利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2) 应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,
sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,
β求得cos β，是我们继续
求解本题的关键．为此，我们需要研究sin β与cos β之间的关系．
图2
初探新知
【活动1】利用单位圆，结合三角函数的定义探究同三
角函数基本关系
【问题1】你能从点的坐标、角的三个三角函数值的代数结构
上发现同角的三个三角函数值之间有什么关系吗？
【问题2】同角三角函数的基本关系还有哪些变形形式？
＝
＝
＝1.
+
+
+
【方法规律】
已知tanα，求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法：
(1) 形如
+
的分式，可将分子、分母同时除以cos
+
α；形如
+ +
什么?
典例精析
三角函数
5.2 三角函数的概念
课时
同角三角函数的基本关系
教学目标
1. 经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程,能
运用任意角的三角函数的定义加以证明.
2. 理解同角三角函数的基本关系的结构特征,体会同一
个角的三个不同三角函数间的内在联系.
3. 掌握同角三角函数的基本关系在求解三角函数式的化
进行转换。
【解】
【方法规律】
(1) 利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要
根据角α所在象限确定符号;利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2) 应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,
sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,
β求得cos β，是我们继续
求解本题的关键．为此，我们需要研究sin β与cos β之间的关系．
图2
初探新知
【活动1】利用单位圆，结合三角函数的定义探究同三
角函数基本关系
【问题1】你能从点的坐标、角的三个三角函数值的代数结构
上发现同角的三个三角函数值之间有什么关系吗？
【问题2】同角三角函数的基本关系还有哪些变形形式？
＝
＝
＝1.
+
+
+
【方法规律】
已知tanα，求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法：
(1) 形如
+
的分式，可将分子、分母同时除以cos
+
α；形如
+ +
什么?
典例精析
2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.2三角函数的概念一课一练含解析第一册
第五章三角函数5.2三角函数的概念第1课时任意角的三角函数的定义考点1有关任意角的三角函数的定义的问题1。
(2019·河南商丘九校高一上期末联考)若角α的终边上一点的坐标为（1，—1），则cos α等于（ )。
A.1 B.—1 C .√22 D.-√22 答案：C解析:∵角α的终边上一点的坐标为(1,—1)，此点与原点的距离r =√12+(-1)2=√2,∴cos α=x r =√2=√22. 2。
(2019·青岛二中月考)已知角α的终边过点P （—4,3），则2sin α+tan α的值是（ ）。
A 。
—920B 。
920 C.—25 D.25答案:B解析：∵角α的终边经过点P （-4,3),∴r =|OP ｜=5。
∴sin α=35,cos α=—45，tan α=—34。
∴2sin α+tan α=2×35+(-34)=920。
故选B 。
3.(2019·陕西山阳中学高一上期末考试)点A （x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为（ )。
A.√3 B.—√3 C.√33 D.—√33 答案:A解析：因为tan60°=√3,所以y x=√3,故选A 。
4。
（2019·山西太原外国语学校高一上第三次月考)若角α的终边过点P (2sin30°，—2cos30°)，则sin α的值为( ）。
A 。
12B 。
-12 C.-√32 D 。
-√33答案：C解析:由题意得P (1，-√3）,它与原点的距离r =√12+(-√3)2=2，所以sin α=—√32。
5。
（2019·新疆兵团二中高三上第二次月考）已知点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ=( )。
A.—13 B 。
±13C 。
—3 D.±3答案:C解析：因为点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，所以a =log 313=—1,即M (13,-1)，所以tan θ=-113=-3,故选C 。
第5章-5.2.1-任意角三角函数的定义高中数学必修第一册湘教版
位圆上，所以
+ 2
2
3
cos sin = ± ．
4
1
− ，
2
=−
= 1，解得 = ±
3
，即cos
2
3
，即sin
2
=
=±
1
1
− .因为点 ,
2
2
3
，所以
2
在单
题型2 三角函数值的符号的判断
例7 判断下列各式的符号：
（1）tan 120∘ sin 269∘ ;
【解析】∵ 120∘ 是第二象限角,∴ tan 120∘ < 0.
方法帮丨关键能力构建
题型1 利用定义求三角函数值
例4 已知角 的终边经过点 2, −3 ，则sin
−
____．
−
=_______，cos
=_____，tan
=
【解析】因为 = 2， = −3，所以点到原点的距离 =
sin =
=
−3
13
=
3 13
（2）tan >
3
.
3
【解析】如图5.2.1-8，过单位圆与轴正半轴的交点作轴的
3
，过点和作一条直线，
3
3
此时终边落在直线上的角的正切值为 .在[0,2π)内，
3
π
7π
3
tan = tan = ，
6
6
3
垂线，在垂线上取一点，使得 =
由图可知，满足条件的角的终边在图中阴影部分（不包括边
π
由题意，知−
2
D.sin 2 < 0
+ 2
2
3
cos sin = ± ．
4
1
− ，
2
=−
= 1，解得 = ±
3
，即cos
2
3
，即sin
2
=
=±
1
1
− .因为点 ,
2
2
3
，所以
2
在单
题型2 三角函数值的符号的判断
例7 判断下列各式的符号：
（1）tan 120∘ sin 269∘ ;
【解析】∵ 120∘ 是第二象限角,∴ tan 120∘ < 0.
方法帮丨关键能力构建
题型1 利用定义求三角函数值
例4 已知角 的终边经过点 2, −3 ，则sin
−
____．
−
=_______，cos
=_____，tan
=
【解析】因为 = 2， = −3，所以点到原点的距离 =
sin =
=
−3
13
=
3 13
（2）tan >
3
.
3
【解析】如图5.2.1-8，过单位圆与轴正半轴的交点作轴的
3
，过点和作一条直线，
3
3
此时终边落在直线上的角的正切值为 .在[0,2π)内，
3
π
7π
3
tan = tan = ，
6
6
3
垂线，在垂线上取一点，使得 =
由图可知，满足条件的角的终边在图中阴影部分（不包括边
π
由题意，知−
2
D.sin 2 < 0