〔高中数学〕三角函数PPT课件 (9)
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三角函数ppt
信号处理
在信号处理领域，正切函数被用于对信号进行频 率分析、滤波等处理。
图像处理
在图像处理中，正切函数被用于进行图像变换、 增强等操作。
05
反三角函数
反三角函数的定义
• 反正弦函数（arcsin） • 定义：函数 y = arcsin(x) 的定义域为 [-1, 1]，值域为 [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]。 • 图像：反正弦函数图像呈“U”形，其对称轴为 y = x。 • 性质：反正弦函数是奇函数，并且在区间 [-1, 1] 上单调递增。 • 反正切函数（arctan） • 定义：函数 y = arctan(x) 的定义域为 (-∞, ∞)，值域为 (-π/2, π/2)。 • 图像：反正切函数图像呈“U”形，其对称轴为 y = x。 • 性质：反正切函数是奇函数，并且在区间 (-∞, ∞) 上单调递增。 • 反余弦函数（arccos） • 定义：函数 y = arccos(x) 的定义域为 [-1, 1]，值域为 [0, π]。 • 图像：反余弦函数图像呈“∩”形，其对称轴为 y = x。 • 性质：反余弦函数是偶函数，并且在区间 [-1, 1] 上单调递减。
定义域
正切函数的定义域为{x | x ≠ kπ + π/2，k ∈ Z}。
值域
正切函数的值域为R（即实数集合 ）。
正切函数的图像与性质
图像
正切函数的图像是周期函数，周期为π，即每隔π的间隔，函数值重复变化。
性质
正切函数具有奇偶性、单调性、周期性等性质。
正切函数的应用
三角函数计算
正切函数在三角函数计算中有着广泛的应用，如 解三角形、求角度等。
符号
通常用cos(x)表示，其中x是角度。
在信号处理领域，正切函数被用于对信号进行频 率分析、滤波等处理。
图像处理
在图像处理中，正切函数被用于进行图像变换、 增强等操作。
05
反三角函数
反三角函数的定义
• 反正弦函数（arcsin） • 定义：函数 y = arcsin(x) 的定义域为 [-1, 1]，值域为 [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]。 • 图像：反正弦函数图像呈“U”形，其对称轴为 y = x。 • 性质：反正弦函数是奇函数，并且在区间 [-1, 1] 上单调递增。 • 反正切函数（arctan） • 定义：函数 y = arctan(x) 的定义域为 (-∞, ∞)，值域为 (-π/2, π/2)。 • 图像：反正切函数图像呈“U”形，其对称轴为 y = x。 • 性质：反正切函数是奇函数，并且在区间 (-∞, ∞) 上单调递增。 • 反余弦函数（arccos） • 定义：函数 y = arccos(x) 的定义域为 [-1, 1]，值域为 [0, π]。 • 图像：反余弦函数图像呈“∩”形，其对称轴为 y = x。 • 性质：反余弦函数是偶函数，并且在区间 [-1, 1] 上单调递减。
定义域
正切函数的定义域为{x | x ≠ kπ + π/2，k ∈ Z}。
值域
正切函数的值域为R（即实数集合 ）。
正切函数的图像与性质
图像
正切函数的图像是周期函数，周期为π，即每隔π的间隔，函数值重复变化。
性质
正切函数具有奇偶性、单调性、周期性等性质。
正切函数的应用
三角函数计算
正切函数在三角函数计算中有着广泛的应用，如 解三角形、求角度等。
符号
通常用cos(x)表示，其中x是角度。
高中数学三角函数的诱导公式PPT课件
谢谢聆听
02
弧度制
以弧长与半径之比作为角的度量单位，一周角等于2π弧 度。
03
角度与弧度的转换公式
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
三角函数定义域与值域
正弦函数（sin）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
余弦函数（cos）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
正切函数（tan）
定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为全体实数。
电磁波
三角函数在电磁学中描述电场和磁场的振动，以 及电磁波（如光波、无线电波）的传播。
工程技术中的测量和计算问题
1 2 3
角度测量
三角函数在测量学中用于计算角度、距离和高程 等问题，如使用全站仪进行地形测量。
建筑设计
在建筑设计中，三角函数用于计算建筑物的角度 、高度和间距等参数，确保建筑结构的稳定性和 安全性。
错误产生原因分析
基础知识不扎实
学生对三角函数的基本概念和性 质理解不深入，导致在记忆和使
用诱导公式时出错。
思维方式僵化
学生可能过于依赖记忆而非理解， 导致在面对灵活多变的题目时无法 灵活运用诱导公式。
训练不足
学生可能缺乏足够的练习，无法熟 练掌握诱导公式的使用方法和技巧 。
针对性纠正措施建议
A
强化基础知识
04 学生易错点剖析及纠正措施
常见错误类型总结
公式记忆错误
学生常常将三角函数的诱 导公式混淆，例如将正弦 、余弦、正切的诱导公式 记混。
角度转换错误
在解题过程中，学生可能 会将角度制与弧度制混淆 ，或者在角度加减时出错 。
符号判断错误
在使用诱导公式时，学生 可能会忽略符号的判断， 导致最终结果错误。
《三角函数的应用》三角函数PPT优秀教学课件
已经用三角函数模型刻画过匀速圆周运动．例如筒车运动、摩天轮的运动 、钟表指针的转动等．
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
问题2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周 期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过 程中的周期性现象？
弹簧振子的运动（如图）．
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
50
50
再由初始状态（t=0）的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为
π 3
．
所以电流i随时间t变化的函数解析式是
i 5 sin(100πt π)，t [0, ) ．
3
当 t 0时，i 5 3；
2
当 t 1 时，i 5；
600
当 t 1 时，i 0；
150
当
t
7 600
2
所以函数的解析式为y=20sin(10π t－ π )，t∈[0，+∞)．
32
新知探究
2．建模解模
教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中 浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往 复的运动．
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置 的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以 用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量 ，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
新知探究
2．建模解模
问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是 什么？
答案：振幅A＝20mm，周期T＝ 3 s，频率f＝ 5 次，相位为 10π t－ π ，
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
问题2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周 期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过 程中的周期性现象？
弹簧振子的运动（如图）．
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
50
50
再由初始状态（t=0）的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为
π 3
．
所以电流i随时间t变化的函数解析式是
i 5 sin(100πt π)，t [0, ) ．
3
当 t 0时，i 5 3；
2
当 t 1 时，i 5；
600
当 t 1 时，i 0；
150
当
t
7 600
2
所以函数的解析式为y=20sin(10π t－ π )，t∈[0，+∞)．
32
新知探究
2．建模解模
教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中 浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往 复的运动．
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置 的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以 用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量 ，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
新知探究
2．建模解模
问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是 什么？
答案：振幅A＝20mm，周期T＝ 3 s，频率f＝ 5 次，相位为 10π t－ π ，
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
三角函数的概念 完整版PPT课件
通常将它们记为： 正弦函数 y sin x, x R
余弦函数 y cosx, x R
正切函数 y tanx, x k (k Z )
2
注意：
y
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标， 余弦就是交点的横坐标 正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(x, y)
x o
（2） 正弦函数、余弦函数总有意义.当α 的终边在y 轴上时，点P 的
单位圆半径不变，点P的横、纵坐标只与α的大小有关， α确定时，p的坐标能唯一确定。
任意角的三角函数定义
设 α是一个任意角， R ,它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1） y 叫做 α的正弦函数，记作 sin α 即 y = sin α
（2） x 叫做 α的余弦函数，记作 cos α 即 x = cos α
.
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0 , y0 )
分别过点P, P0 作 x 轴的垂线PM , P0M 0 ，垂足分别为 M , M0
则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
OMP ∽ OM0P0
于是，| P0M 0 | | PM
P c
b
O
a
M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
余弦函数 y cosx, x R
正切函数 y tanx, x k (k Z )
2
注意：
y
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标， 余弦就是交点的横坐标 正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(x, y)
x o
（2） 正弦函数、余弦函数总有意义.当α 的终边在y 轴上时，点P 的
单位圆半径不变，点P的横、纵坐标只与α的大小有关， α确定时，p的坐标能唯一确定。
任意角的三角函数定义
设 α是一个任意角， R ,它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1） y 叫做 α的正弦函数，记作 sin α 即 y = sin α
（2） x 叫做 α的余弦函数，记作 cos α 即 x = cos α
.
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0 , y0 )
分别过点P, P0 作 x 轴的垂线PM , P0M 0 ，垂足分别为 M , M0
则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
OMP ∽ OM0P0
于是，| P0M 0 | | PM
P c
b
O
a
M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
高中数学三角函数 ppt课件
第三章 三角函数、解三角形
高考目标定位 目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
内容分析
命题热点
1.弧度制和角的概念的推广是三角函数的基 础，弧度制的引入，也简化了弧长公式、面 积公式等． 2．三角函数同二次函数、幂函数、指数函数 、对数函数一样，其图象、性质和应用是考 查的重点，其中y＝Asin(ωx＋φ)的图象是研 究函数图象变换的代表． 3．三角恒等式的化简、求值和证明，是培养 学生分析问题、解决问题能力和提升学生思 维品质的良好载体．公式的逆用和变形都需 要较强的应变能力． 4．解三角形进一步体现了数学的应用性，正 弦定理和余弦定理的推导和应用，有利于培 养学生的建模、解模能力． 5．本章概念多、公式多(如同角三角函数关 系式、诱导公式、两角和与差的正余弦、正 切、正余弦定理等)、符号变化多，这几多决 定了学习本章要加强记忆．本章与其他章节 联系也很密切，是综合应用所学知识的一章.
又由①各边都加上 π，得
32π＋2kπ<π－α<2π＋2kπ(k∈Z)．
∴π－α 是第四象限角．
同理可知，π＋α 是第一象限角．
(2)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是3π，
∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合是{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．
(3)∵θ＝168°＋k·360°(k∈Z)， ∴θ3＝56°＋k·120°(k∈Z)． ∵0°≤56°＋k·120°<360°， ∴k＝0,1,2 时，θ3∈[0°，360°)． 故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角是 56°，176°，296°.
热点之三 三角函数的定义
1．已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角 函数的定义求解．
2．已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点 到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角， 也可直接写出角α的值．
高考目标定位 目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
内容分析
命题热点
1.弧度制和角的概念的推广是三角函数的基 础，弧度制的引入，也简化了弧长公式、面 积公式等． 2．三角函数同二次函数、幂函数、指数函数 、对数函数一样，其图象、性质和应用是考 查的重点，其中y＝Asin(ωx＋φ)的图象是研 究函数图象变换的代表． 3．三角恒等式的化简、求值和证明，是培养 学生分析问题、解决问题能力和提升学生思 维品质的良好载体．公式的逆用和变形都需 要较强的应变能力． 4．解三角形进一步体现了数学的应用性，正 弦定理和余弦定理的推导和应用，有利于培 养学生的建模、解模能力． 5．本章概念多、公式多(如同角三角函数关 系式、诱导公式、两角和与差的正余弦、正 切、正余弦定理等)、符号变化多，这几多决 定了学习本章要加强记忆．本章与其他章节 联系也很密切，是综合应用所学知识的一章.
又由①各边都加上 π，得
32π＋2kπ<π－α<2π＋2kπ(k∈Z)．
∴π－α 是第四象限角．
同理可知，π＋α 是第一象限角．
(2)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是3π，
∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合是{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．
(3)∵θ＝168°＋k·360°(k∈Z)， ∴θ3＝56°＋k·120°(k∈Z)． ∵0°≤56°＋k·120°<360°， ∴k＝0,1,2 时，θ3∈[0°，360°)． 故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角是 56°，176°，296°.
热点之三 三角函数的定义
1．已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角 函数的定义求解．
2．已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点 到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角， 也可直接写出角α的值．
人教高中数学必修四 1.2.1三角函数线 课件(共30张PPT)
α的
(Ⅳ) 终边
二、单位圆中的三角函数线 带方向的线段称为有向线段。
规定：有向线段与坐标轴同向时数量为 正，反向时数量为负。
如图，单位圆与角α的终边交于点P(x,y)，与x轴交于点A；
，过P点作PM⊥x轴，垂足为M；
注意：正弦线、余弦线、正切线
过A点作AT⊥x轴，与OP的延长线交于点T。 都是有向线段，有正负之分.
不查表，比较大小。
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
2π 3 4π 5
y 1
o 1x
题型五：利用三角函数线比较三角函数值的大小
不查表，比较大小。
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
2π 3 4π 5
y 1
tan 2π < tan 4π
2
规律方法：
3
3
-1
利用三角函数线解三角不等式的步骤：
第一步：在直角坐标系内，以原点为圆心作出单位圆；
第二步：作出三角函数值对应的三角函数线；
第三步：作出三角函数线对应的两个角；
第四步：根据不等式的范围，写出角的取值范围.
“三角函数线法”是解三角不等式最好的方法，需牢固掌握.
x1 2
y
1
3
1
O
x
(2k , 2k 5 )k Z
6
6
6
-1
2 sin 1
2
[2k 7 , 2k ]k Z
6
6
y
1
6
y
1
2
O 1x
(Ⅳ) 终边
二、单位圆中的三角函数线 带方向的线段称为有向线段。
规定：有向线段与坐标轴同向时数量为 正，反向时数量为负。
如图，单位圆与角α的终边交于点P(x,y)，与x轴交于点A；
，过P点作PM⊥x轴，垂足为M；
注意：正弦线、余弦线、正切线
过A点作AT⊥x轴，与OP的延长线交于点T。 都是有向线段，有正负之分.
不查表，比较大小。
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
2π 3 4π 5
y 1
o 1x
题型五：利用三角函数线比较三角函数值的大小
不查表，比较大小。
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
2π 3 4π 5
y 1
tan 2π < tan 4π
2
规律方法：
3
3
-1
利用三角函数线解三角不等式的步骤：
第一步：在直角坐标系内，以原点为圆心作出单位圆；
第二步：作出三角函数值对应的三角函数线；
第三步：作出三角函数线对应的两个角；
第四步：根据不等式的范围，写出角的取值范围.
“三角函数线法”是解三角不等式最好的方法，需牢固掌握.
x1 2
y
1
3
1
O
x
(2k , 2k 5 )k Z
6
6
6
-1
2 sin 1
2
[2k 7 , 2k ]k Z
6
6
y
1
6
y
1
2
O 1x
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b 无意义，所以正切函数的定义域为{x|xR,xk,kZ }.
a
2
2.记住特殊角的正切函数值
【例1】已知角α的终边上有一点P的坐标为( 3 , y )(y≠0)，
且sin 2 y，求cos α，tan α.
4
【审题指导】根据正切函数的定义及相似三角形的知识可
知：若已知角α的终边上有一点P的坐标为(x,y)，
6
∴函数 fxtan的(x定义)域为
3
{x|x. k5,kZ}
6
函数f(x)在开区间 ( ,上5 的) 简图(如下图)
66
(2)由 k＜ x,(＜ kk ∈Z)得
23 2
k＜x＜ (kk∈Z5),
6
6
∴函数f(x)的递增区间为
(k,k(k∈5Z)),无递减区间.
66
由x ,(kk∈Z)得
cos x 3 6 , r 35 4
tan y 5 15 . x 3 3
当角α在第三象限时，y ，5
cos x 3 6 , r 35 4
tan y 5 15 . x 3 3
求函数的定义域
1.关于x的函数y=tan (ωx+ )的定义域，可由 x k (k∈Z)求出.
5
5
(2)∵tan 8=tan (-2π+8), ………………………………4分
而 ＜2,8＜2＜
2
且y=tan x在( , 上) 是增加的, ……………………………6分
2
∴tan (-2π+8)＜tan 2即tan 2＞tan 8. ………………8分
(3)∵ ＜3＜ , ＜
2 7 52
且y=tan x在( , 上 ) 是增加的,…………………………10分
正切函数的定义
1.对正切函数定义的理解 (1)比值 b 的大小与角α终边上所取的点的位置无关，只与
a
角α的大小有关，因而对于一个确定的角，只要正切函数 有意义，其值是唯一的.
(2)确定正切函数的定义域应抓住分母等于零时的比值无意
义这一关键点.当角α的终边落在y轴上时横坐标为0，因而
2
【规范解答】欲使函数有意义，必须有
tan x＞ 3
k3＜x＜k2,kZ
∴函2xc数osk的x定2义3(k域0Z为)(k2xkk,5(6kk2∈,xkZ)).2Zk56,kZ
32
利用图像研究正切函数的性质
1.研究正切函数性质需要注意的问题 (1)正切函数的定义域是 {x|x R ,xk,kZ }，而不是
【解析】选C. 正切函数y=tan x是奇函数，值域为R，无最
大值和最小值，所以A、B正确.根据正切函数在每个长度为 π的区间 (k(,k∈kZ))上都是增加的，可知正切函数
22
在整个定义域上不具有单调性，C错误，结合正切函数的最
小正周期为π知D正确.
2.与 ytan (2x)的图像不相交的一条直线是( )
2
2.解形如tan x>a的不等式的步骤：
不等式、方程和函数三者之间有着密切的关系，解 题时要认真体会函数在其中所起到的纽带作用.
【例2】求函数 y lgta n x 32 c o sx 3 的定义域.
【审题指导】解答本题应注意以下三个限制条件:(1)对数
式的真数大于零;(2)开平方根被开方数大于等于零;(3)终 边落在y轴上的角 k (k ∈Z)正切值不存在.
Байду номын сангаас
(3)ta n ( ) 与 tan ( 3 )
5
7
【审题指导】解答本题的关键是根据正切函数y=tan x在区
间( ,上 )是增加的，由自变量的大小推断函数值的大小.
22
【规范解答】
(1)∵ 0＜2＜＜ ，3＜
525
∴ tan2＞ 0， t.a…n…3…＜ …0…………………………2分
5
5
∴ tan 2＞.t…an…3……………………………………3分
2
R，这一点要特别注意.
(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，因此研究正切 函数的性质，可以先弄清楚区间 ( , )上的性质，然后根
22
据正切函数的周期是π，加上kπ研究区间 (k,k),
22
k∈Z上的性质.
2.三角函数图像的对称性问题
正切曲线是中心对称图形，其对称中心有两 类：(1)(kπ,0)(k∈Z)；(2) (k (k∈, 0Z) ) .
kxk(kZ)
2
，
kxkkZ
2
其图像如图.
由图像可知，函数y=|tan x|是偶函数，
单调递增区间为［k， (kk∈)Z)，
2
单调递减区间为 (k(， k∈kZ］)；周期为π.
2
【典例】(12分)不求值，比较下列各组中两个正切函数值的
大小.
(1)t a n 2 与 t a n 3
5
5
(2)tan 2与tan 8
令 r x2，则y2
sin y， co s. x， tan y
r
r
x
所以由 sin 可2求y 出y，进而求出cos α，tan α.
4
【规范解答】∵ r3y2， siny y 2y
r 3y2 4
又y≠0，∴ y . 5
∵P点横坐标为 3＜0
∴角α在第二或第三象限.
当角α在第二象限时，y ，5
32
x(k∈kZ),
23
函数f(x)图像的对称中心为 ( k (k∈, 0)Z).
23
【例】画出函数y=|tan x|的图像，并根据图像判断其单调 区间、奇偶性、周期性. 【审题指导】由函数y=f(x)的图像画函数y=|f(x)| 的图像的方法是
【规范解答】由y=|tan x|得，
ytan x, tan x,
2
【例3】已知 fxtan(x),(1)求函数f(x)的定义域，作
3
出函数f(x)在一个周期开区间上的简图；
(2)求函数f(x)的单调区间及其图像的对称中心.
【审题指导】求定义域、单调区间及其图像的对称中心时 x 应 看作一个整体.
3
【规范解答】(1)由 x k(k∈ Z)得
3
2
x k(k5∈ Z),
22
∴ tan()＞ t.a…n…(…3…) …………………………12分
5
7
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.关于正切函数y=tan x，下列判断不正确的是( ) (A)是奇函数 (B)在定义域内无最大值和最小值 (C)在整个定义域上是增加的 (D)平行于x轴的直线被正切曲线各支所截线段相等
4
(A)x
(B)x
2
8
(C)y
2
(D)y
8
【解析】选B.由 2x(kk∈Z)得函数