〔高中数学〕三角函数PPT课件 (13)
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高中数学三角函数的诱导公式PPT课件
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02
弧度制
以弧长与半径之比作为角的度量单位，一周角等于2π弧 度。
03
角度与弧度的转换公式
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
三角函数定义域与值域
正弦函数（sin）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
余弦函数（cos）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
正切函数（tan）
定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为全体实数。
电磁波
三角函数在电磁学中描述电场和磁场的振动，以 及电磁波（如光波、无线电波）的传播。
工程技术中的测量和计算问题
1 2 3
角度测量
三角函数在测量学中用于计算角度、距离和高程 等问题，如使用全站仪进行地形测量。
建筑设计
在建筑设计中，三角函数用于计算建筑物的角度 、高度和间距等参数，确保建筑结构的稳定性和 安全性。
错误产生原因分析
基础知识不扎实
学生对三角函数的基本概念和性 质理解不深入，导致在记忆和使
用诱导公式时出错。
思维方式僵化
学生可能过于依赖记忆而非理解， 导致在面对灵活多变的题目时无法 灵活运用诱导公式。
训练不足
学生可能缺乏足够的练习，无法熟 练掌握诱导公式的使用方法和技巧 。
针对性纠正措施建议
A
强化基础知识
04 学生易错点剖析及纠正措施
常见错误类型总结
公式记忆错误
学生常常将三角函数的诱 导公式混淆，例如将正弦 、余弦、正切的诱导公式 记混。
角度转换错误
在解题过程中，学生可能 会将角度制与弧度制混淆 ，或者在角度加减时出错 。
符号判断错误
在使用诱导公式时，学生 可能会忽略符号的判断， 导致最终结果错误。
高中数学三角函数诱导公式ppt课件
单调性
正弦函数和余弦函数在 $[0, pi]$和$[0, 2pi]$上单 调性不同；正切函数在$(frac{pi}{2}, frac{pi}{2})$ 上单调递增。
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
诱导公式
通过加减周期的整数倍，将任意角度 的三角函数转化为基本角度的三角函 数，实现角度的标准化。
典型例题解析
例题1
求sin(150°)的值。
01
解析
02 利用诱导公式，将150°转化为
30°，即 sin(150°)=sin(30°)=1/2。
例题2
求cos(-420°)的值。
03
解析
利用周期性质，将-420°转化 为60°，即cos(420°)=cos(60°)=1/2。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
例题2
化简表达式(sinα
+
cosα)/(sinα - cosα)。
例题3
证明恒等式(1 + sinα + cosα)/(1 + sinα - cosα) = (1 + cosα)/sinα。
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
高中数学：131《三角函数图像的变换》课件必修
这些操作包括平移、伸缩、翻折和旋转等，可以单独或组合使用。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
高中数学三角函数 ppt课件
第三章 三角函数、解三角形
高考目标定位 目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
内容分析
命题热点
1.弧度制和角的概念的推广是三角函数的基 础，弧度制的引入，也简化了弧长公式、面 积公式等． 2．三角函数同二次函数、幂函数、指数函数 、对数函数一样，其图象、性质和应用是考 查的重点，其中y＝Asin(ωx＋φ)的图象是研 究函数图象变换的代表． 3．三角恒等式的化简、求值和证明，是培养 学生分析问题、解决问题能力和提升学生思 维品质的良好载体．公式的逆用和变形都需 要较强的应变能力． 4．解三角形进一步体现了数学的应用性，正 弦定理和余弦定理的推导和应用，有利于培 养学生的建模、解模能力． 5．本章概念多、公式多(如同角三角函数关 系式、诱导公式、两角和与差的正余弦、正 切、正余弦定理等)、符号变化多，这几多决 定了学习本章要加强记忆．本章与其他章节 联系也很密切，是综合应用所学知识的一章.
又由①各边都加上 π，得
32π＋2kπ<π－α<2π＋2kπ(k∈Z)．
∴π－α 是第四象限角．
同理可知，π＋α 是第一象限角．
(2)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是3π，
∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合是{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．
(3)∵θ＝168°＋k·360°(k∈Z)， ∴θ3＝56°＋k·120°(k∈Z)． ∵0°≤56°＋k·120°<360°， ∴k＝0,1,2 时，θ3∈[0°，360°)． 故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角是 56°，176°，296°.
热点之三 三角函数的定义
1．已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角 函数的定义求解．
2．已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点 到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角， 也可直接写出角α的值．
高考目标定位 目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
内容分析
命题热点
1.弧度制和角的概念的推广是三角函数的基 础，弧度制的引入，也简化了弧长公式、面 积公式等． 2．三角函数同二次函数、幂函数、指数函数 、对数函数一样，其图象、性质和应用是考 查的重点，其中y＝Asin(ωx＋φ)的图象是研 究函数图象变换的代表． 3．三角恒等式的化简、求值和证明，是培养 学生分析问题、解决问题能力和提升学生思 维品质的良好载体．公式的逆用和变形都需 要较强的应变能力． 4．解三角形进一步体现了数学的应用性，正 弦定理和余弦定理的推导和应用，有利于培 养学生的建模、解模能力． 5．本章概念多、公式多(如同角三角函数关 系式、诱导公式、两角和与差的正余弦、正 切、正余弦定理等)、符号变化多，这几多决 定了学习本章要加强记忆．本章与其他章节 联系也很密切，是综合应用所学知识的一章.
又由①各边都加上 π，得
32π＋2kπ<π－α<2π＋2kπ(k∈Z)．
∴π－α 是第四象限角．
同理可知，π＋α 是第一象限角．
(2)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是3π，
∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合是{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．
(3)∵θ＝168°＋k·360°(k∈Z)， ∴θ3＝56°＋k·120°(k∈Z)． ∵0°≤56°＋k·120°<360°， ∴k＝0,1,2 时，θ3∈[0°，360°)． 故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角是 56°，176°，296°.
热点之三 三角函数的定义
1．已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角 函数的定义求解．
2．已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点 到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角， 也可直接写出角α的值．
人教A版高中数学：三角函数的概念【精品课件】
[教材解难]
正确认识三角函数线 （1）正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数 的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表 示三角函数值的正负，凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值，反向的为负 值． （2）三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给 出了角 a 的三角函数线的画法，即先找到 P，M，T 点，再画出 MP， OM，AT. （3）三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角 函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基 础．
知识点四 三角函数值在各象限的符号
状元随笔 对三角函数值符号的理解 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号 导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离 r 总是正值．根据三 角函数定义知： （1）正弦值符号取决于纵坐标 y 的符号； （2）余弦值的符号取决于横坐标 x 的符号； （3）正切值的符号是由 x，y 符号共同决定的，即 x，y 同号 为正，异号为负．
应用诱导公式一时，先将角转化到 0 ～2π 范围内的角，再求 值.对于特殊角的三角函数值一定要熟记．
最新课程标准： 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoins xx＝tan x.
知识点 同角三角函数的基本关系式
状元随笔 （1）利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利 用csoins αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． （2）关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
知识点二 正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin α
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三角函数在物理学中的应用 物理学中的周期现象的处理方法 三角函数是研究周期现象最重要的数学模型，它有着 重要的应用价值.由于物理学中的单摆、光波、机械波、电 流等都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识.因此借 助于三角函数模型，正确利用物理学中的相关知识是解答 此类问题的关键.
【例1】如图，表示电流强度I与
【审题指导】联想到由三角函数的定义可求角θ与点B的坐 标关系，可考虑建立恰当的直角坐标系，用θ表示点B的坐 标，进而求h与θ的函数关系式.对于第(2)问可求θ与时间t 的关系，得到h与t的函数关系式.
【规范解答】(1)以圆心O为原点，建立
如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB
为终边的角为 ,
由t=3,y=2.0，得b=2.0
∴A=1.5……………………………………………………4分 ∴ y1.5co(s0≤tt≤224) ……………………………6分
6
(2)由题知，当1.25≤y≤2.0时才可对冲浪者开放,
∴ 1.251.5cost22
6
∴ 1cos…t……0 …………………………………8分
应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学， 又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题 中进行检验、评判.
【例2】如图为一个缆车示意图，该缆车 半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂 直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB， 设B点与地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函 数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是 多少？
【例】如图，半径为1的圆与直线l相交 于A、B两个不同的点，设∠AOB=x，当 直线l平行移动时，则圆被直线扫过部 分(图中阴影部分)的面积S关于x的函 数S(x)=_______. 【审题指导】弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面 积.
【规范解答】∵
S扇形12x12
x 2
S三 角 形 1 211sinx1 2sinx
30 2
30 2 2
∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒.
三角函数在平面几何中的应用 对三角函数在平面几何中应用的认识 三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究 的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法， 于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何 和代数中都能有所作为，这无疑使三角函数在平面几何中 有着广泛的应用.
【审题指导】解答第(1)题的关键是确定周期和最大值、最小 值，求参数A、ω、b. 解答第(2)题时要注意根据题意构造不 等式1.25≤y≤2.0，求出t的取值范围.
【规范解答】(1)由表中数据，知周期T=12 ∴ 2…2………………………………………2分
T 12 6
由t=0,y=3.5，得A+b=3.5
t/h 15 18 21 24
y/m 2.02 0.49 1.99 3.49
经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Acos ωt+b的图像； (1)试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式； (2)一般情况下，浪高在1.25 m～2 m之间可以允许冲浪爱好 者开展冲浪运动(认为是安全的)，试求一天内的上午8:00至 晚上20:00之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动？
∴S(x)=S扇形-S三角形
= 1 (x-sinx),x∈(0,2π).
2
答案：1xsinx,x(0,2)
2
【典例】(12分)某风景美丽的海滩的浪高y(米)是时间
t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y=f(t),下面是某日
浪高的数据：
t/h 0
3
69
12
y/m 3.50 2
0.50 1.98 3.51
2
故B点坐标为(4.8cos(),4.8sin()).
2
2
∴h=5.6+4.8sin( ,θ) ∈［0,+∞).
2
(2)点A在圆上转动的角速度是 ,t秒转过的弧度数为
30
,t
30
∴h=5.6+4.8sin( t ,t∈) ［0,+∞).
30 2
到达最高点时，h=10.4 m.
由sin( t得)1 ,∴tt= 30,
点，据此可求出解析式.(2)画图分析得：要使任意一段 1 秒的时间内I能同时取最大值和最小值，需要满足周期
100 T 1 .
100
【规范解答】(1)由图可知：A=300，
周期 T1( 1 )1.
60 300 50
∴ 2，1此00时 所求函数的解析式为
T
I=300sin(100πt+ )
以点( 1 为, 0“) 五点法”作图的第一关键点，则有
时间t的关系式I=Asin(ωt+ )
(A>0,ω>0)在一个周期内的图像
(1)根据图像写出I=Asin(ωt+ )
的解析式；
(2)为了使I=Asin(ωt+
)中t在任意一段 1
100
秒的时间内I
能同时取最大值|A|和最小值-|A|，那么正整数ω的最小值
为多少？
【审题指导】(1)由一个周期内的图像可确定图像的五个关键
26
∴ 2kt2k2
26
3
或 2k4t (k2∈kZ)3
36
2
即12k+3≤t≤12k+4
或12k+8≤t≤12k+9(k∈Z)………………………………①
∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1， 得3≤t≤4或8≤t≤9 或15≤t≤16或20≤t≤21………………………………10分 ∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，故有2个小时的时 间可供冲浪者运动：分别是上午8:00至9:00与下午15:00至 16:00.……………………………………………………12分
300
100(1)0 ， .
300
3
得函数解析式为 I300sin(10.0t)
3
(2)要使t在任意一段 1秒能取得最大值和最小值,
100
必须使得周期 T 1
100
即 2 1 2 0 0 ＞ 6 2 8 .3
1 0 0
由于ω为正整数,故ω的最小值为629.
三角函数在生产生活中的应用 对三角函数在生产生活中的应用的理解 (1)现实生产、生活中，周期现象广泛存在，在解决实际问 题时要注意搜集数据，作出相应的“散点图”，通过观察 散点图，进行函数拟合，获得具体的函数模型. (2)应用数学知识解决实际问题时，应该注意从复杂的背景 中抽取基本的数学关系，还要用相关学科知识来帮助理解 问题. (3)在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件.
【例1】如图，表示电流强度I与
【审题指导】联想到由三角函数的定义可求角θ与点B的坐 标关系，可考虑建立恰当的直角坐标系，用θ表示点B的坐 标，进而求h与θ的函数关系式.对于第(2)问可求θ与时间t 的关系，得到h与t的函数关系式.
【规范解答】(1)以圆心O为原点，建立
如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB
为终边的角为 ,
由t=3,y=2.0，得b=2.0
∴A=1.5……………………………………………………4分 ∴ y1.5co(s0≤tt≤224) ……………………………6分
6
(2)由题知，当1.25≤y≤2.0时才可对冲浪者开放,
∴ 1.251.5cost22
6
∴ 1cos…t……0 …………………………………8分
应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学， 又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题 中进行检验、评判.
【例2】如图为一个缆车示意图，该缆车 半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂 直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB， 设B点与地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函 数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是 多少？
【例】如图，半径为1的圆与直线l相交 于A、B两个不同的点，设∠AOB=x，当 直线l平行移动时，则圆被直线扫过部 分(图中阴影部分)的面积S关于x的函 数S(x)=_______. 【审题指导】弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面 积.
【规范解答】∵
S扇形12x12
x 2
S三 角 形 1 211sinx1 2sinx
30 2
30 2 2
∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒.
三角函数在平面几何中的应用 对三角函数在平面几何中应用的认识 三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究 的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法， 于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何 和代数中都能有所作为，这无疑使三角函数在平面几何中 有着广泛的应用.
【审题指导】解答第(1)题的关键是确定周期和最大值、最小 值，求参数A、ω、b. 解答第(2)题时要注意根据题意构造不 等式1.25≤y≤2.0，求出t的取值范围.
【规范解答】(1)由表中数据，知周期T=12 ∴ 2…2………………………………………2分
T 12 6
由t=0,y=3.5，得A+b=3.5
t/h 15 18 21 24
y/m 2.02 0.49 1.99 3.49
经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Acos ωt+b的图像； (1)试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式； (2)一般情况下，浪高在1.25 m～2 m之间可以允许冲浪爱好 者开展冲浪运动(认为是安全的)，试求一天内的上午8:00至 晚上20:00之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动？
∴S(x)=S扇形-S三角形
= 1 (x-sinx),x∈(0,2π).
2
答案：1xsinx,x(0,2)
2
【典例】(12分)某风景美丽的海滩的浪高y(米)是时间
t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y=f(t),下面是某日
浪高的数据：
t/h 0
3
69
12
y/m 3.50 2
0.50 1.98 3.51
2
故B点坐标为(4.8cos(),4.8sin()).
2
2
∴h=5.6+4.8sin( ,θ) ∈［0,+∞).
2
(2)点A在圆上转动的角速度是 ,t秒转过的弧度数为
30
,t
30
∴h=5.6+4.8sin( t ,t∈) ［0,+∞).
30 2
到达最高点时，h=10.4 m.
由sin( t得)1 ,∴tt= 30,
点，据此可求出解析式.(2)画图分析得：要使任意一段 1 秒的时间内I能同时取最大值和最小值，需要满足周期
100 T 1 .
100
【规范解答】(1)由图可知：A=300，
周期 T1( 1 )1.
60 300 50
∴ 2，1此00时 所求函数的解析式为
T
I=300sin(100πt+ )
以点( 1 为, 0“) 五点法”作图的第一关键点，则有
时间t的关系式I=Asin(ωt+ )
(A>0,ω>0)在一个周期内的图像
(1)根据图像写出I=Asin(ωt+ )
的解析式；
(2)为了使I=Asin(ωt+
)中t在任意一段 1
100
秒的时间内I
能同时取最大值|A|和最小值-|A|，那么正整数ω的最小值
为多少？
【审题指导】(1)由一个周期内的图像可确定图像的五个关键
26
∴ 2kt2k2
26
3
或 2k4t (k2∈kZ)3
36
2
即12k+3≤t≤12k+4
或12k+8≤t≤12k+9(k∈Z)………………………………①
∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1， 得3≤t≤4或8≤t≤9 或15≤t≤16或20≤t≤21………………………………10分 ∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，故有2个小时的时 间可供冲浪者运动：分别是上午8:00至9:00与下午15:00至 16:00.……………………………………………………12分
300
100(1)0 ， .
300
3
得函数解析式为 I300sin(10.0t)
3
(2)要使t在任意一段 1秒能取得最大值和最小值,
100
必须使得周期 T 1
100
即 2 1 2 0 0 ＞ 6 2 8 .3
1 0 0
由于ω为正整数,故ω的最小值为629.
三角函数在生产生活中的应用 对三角函数在生产生活中的应用的理解 (1)现实生产、生活中，周期现象广泛存在，在解决实际问 题时要注意搜集数据，作出相应的“散点图”，通过观察 散点图，进行函数拟合，获得具体的函数模型. (2)应用数学知识解决实际问题时，应该注意从复杂的背景 中抽取基本的数学关系，还要用相关学科知识来帮助理解 问题. (3)在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件.