三角函数复习课件 PPT

第三章 三角函数 复习课件
1 知识网络 2 专题突破
知识网络
任意角正 象角 限、 角负 、角 终、 边零 相角 同的角
三 角任意角和弧度制弧度制1弧圆 1度 °＝心的1角π8角0角r：a度d长，与度1弧r等a度d于＝的半换1径π8算0长°：的弧所对的
函 数
三角函数的定义正 余弦 弦
任意角的
典例 3
求函数 y＝sin(2x－π6 )的对称中心和对称轴方程。 [思路分析] 利用三角函数的图象，把 2x－π6 看作一个变量，用换元的方法 求对称中心或对称轴方程，也可以考虑 y＝sinx 与 y＝sin(2x－π6 )的关系，利用
变换的思想求对称轴与对称中心。
[解析] 设 A＝2x－π6 ，则函数 y＝sinA 的对称中心为(kπ，0)， 即 2x－π6 ＝kπ，x＝kπ 2 ＋π 12， 对称轴方程为 2x－π6 ＝π2 ＋kπ，x＝π3 ＋k2π。 所以 y＝sin(2x－π6 )的对称中心为(kπ 2 ＋π 12，0)，对称轴为 x＝π3 ＋k2π(k
方法二：由三角函数定义知，sinα＝cos5π6 ＝cos(π2 ＋π3 )＝－sinπ3 ＝
sin(－π3 )，与－π3 有相同正弦值的第四象限的最小正角是5π3 。
『规律总结』 由三角函数的定义可知，单位圆上任意一点的坐标为(cosθ， sinθ)即xy＝ ＝csoisnθθ ，θ∈[0,2π]。
典例 4
已知函数 y＝asin(2x＋π6 )＋b 在 x∈[0，π2 ]上的值域为[－5,1]，求 a、b
[思路分析] 由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx求出sinxcosx的值， 然后根据(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx求解（1）题；（2）题 先化简再求值。
[解析] （1）将 sinx＋cosx＝15两边平方得 2sinxcosx＝－2245，
∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4295。
三角函数的定义及诱导公式在中学数学的学习中主要有 两方面的作用：
一是以集合的交、并、补运算为载体，考查三角函数值 在各象限内的符号、终边相同的角及象限角等基础知识。
二是考查诱导公式在三角函数求值、化简、证明和三角 恒等变换中的应用。
典例 1
已知角 α 终边上一点 P 的坐标为(sin5π 6 ，cos5π 6 )，则角 α 的最小正值是
正切Biblioteka 三角函数三角函数线
平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角的三角函数关系商数关系：tanα＝csoinsαα
公式一～四：α＋2kπk∈Z，－α，π±α的三角函数值
三角三角函数的前等面于加上α的一同个名把函α数看值成，锐角时原函数值的符号
函诱导公式 数
公式α的五余、弦六正：弦π2±α函的数正值余，弦函数值，分别等于
前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
三 角 函三角函数的图象与性质图 性象 质正 图周 奇 单 最弦 象期 偶 调 大曲 特性 性 性 、线 征最、小余值弦曲线、正切曲线
数
A、ω、φ对函数图象的影响
函数y＝Asinωx＋φ的图象图象画法五 变点 换法 法
三角函数模型的简单应用
专题突破
专题一 ⇨三角函数的概念和诱导公式
∈Z)。
『规律总结』 本例中给出求三角函数的对称轴与对称中心 的两种方法，这都是解决三角问题的基本方法，要切实理解 好。
专题四 ⇨三角函数的值域与最值问题
求三角函数的值域（最值）可分为几类：（1）是y＝ Asin(ωx＋φ)＋k类型的，应利用其图象与性质、数形结合求 解。（2）是可化为以三角函数为元的二次函数类型，应确 定三角函数的范围，再用二次函数求解。（3）利用几何意 义求解等。
（2）统一函数名称，统一角，统一运算结构是三角函数、求值、变形的常用 方法。
专题三 ⇨正弦函数与余弦函数的对称性问题
正弦函数 y＝sinx，余弦函数 y＝cosx，在教材中已研究了它们的定义域、
值域、单调性、奇偶性、周期性。除了上述有关内容之外，近年来有关正弦函数、 余弦函数等对称性问题在高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨。
(C )
5π A． 6
2π B． 3
C．5π 3
D．116π
[思路分析] 利用特殊角的三角函数值判断点P所在的象限， 再利用特殊角的三角函数值求解，也可以利用三角函数定义
和诱导公式求解。
[解析] 方法一：由 sin5π6 ＝12，cos5π6 ＝－ 23可知点 P 的坐标为(12，－ 23)， 故第四象限角，且 tanα＝－ 3，所以 α＝5π3 。
函数 y＝sinx，x∈R 的图象是中心对称图形，并且有无穷多个对称中心，对 称中心是图象与 x 轴的任一交点，坐标为(kπ，0)(k∈Z)；函数 y＝cosx，x∈R 的对称中心坐标为(kπ＋π2 ，0)(k∈Z)，以上两个函数图象，也是轴对称图形， 它们的对称轴分别是 x＝kπ＋π2 (k∈Z)和 x＝kπ(k∈Z)；函数 y＝tanx 的对称 中心坐标为(kπ2 ，0)(k∈Z)，但它不是轴对称图形。
∵－π2 ＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，∴sinx－cosx＜0。
故 sinx－cosx＝－75。
sinxcosx＋sin2x sinx
x＋cosx
（2） 1－tanx ＝
sinx
1－cosx
12 1
＝cosxsincxosx－sxi＋nxcosx ＝－257×5＝－11725。
5
『规律总结』 （1）sinα±cosα，sinαcosα 之间可通过(sinα±cosα)2 ＝ 1±2sinαcosα 知 一 求 二 ， 有 关 sin3α±cos3α ， sin4α±cos4α ， sin6α±cos6α，tanα＋ta1nα等化简都与此基本变形有关。
专题二 ⇨利用三角函数及关系化简、证明、计算
三角函数的定义及同角三角函数的基本关系在高考中应用比较多，结合化
简、求值、证明进行考查，注意公式 sin2α＋cos2α＝1 和 tanα＝scionsαα及变形
公式的灵活运用。
典例 2
已知－π2<x<0，sinx＋cosx＝15。 （1）求 sinx－cosx 的值； （2）求sinx1co－sxta＋nxsin2x的值。