《三角函数的概念》三角函数PPT课件
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原创三角函数的概念图像及性质.ppt
① asin□与bcos□之间是“+”连接
② a,b分别是sin□与cos□的系数 注3.辅助角φ的确定方法：
(a,b)
方法甚多凭爱好 坐标定义是基础
φ
数形结合两限制 注释说明一般角
O
X
（2） a sin □ bcos□ a2 b2 cos(□ )
（其中 tan a，Φ与点(b,a)同象限）
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
三角式运算公式总述
1.公式：
①同角关系 ②异角关系
2.作用：
一角二名三结构……
世上本无路三角走运的算人公多式了关便联有图了路
半角
作用
商数 平方 关系 关系
倒数
关系
同角
基本
1、同角基本关系式
(1)公式：
①平方关系 sin 2 cos2 1
②商数关系 sin tan cos③倒数关系 tan Fra bibliotekot 1 sinx
注：记忆图
①平方关系：阴影三角形…
tanx
②商数关系：边上左右邻居…
③倒数关系：对角线……
secx
cosx
1
cotx
cscx
1、同角基本关系式
(1).公式：……
(2).作用： 变名变结构
注：经典题型：同角两弦的和差商积可互化.即“知一有n”
桥梁： (sin x cos x)2 1 2sin x cos x 1 sin 2x
sin x n1 sin x cos x n3 sin x cos x n5 sin 2 x cos2 x n7
五点做图象 “代
高中数学必修一课件：三角函数的概念
(3)sin αcoห้องสมุดไป่ตู้ α(α是第二象限角)．
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
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4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册)(36张PPT)
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：利用三角函数的定义求三角函数值
典例示范
【例 1】 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
cos cos
xx＋ttaann
xx＝－2；
当
x
是第三象限角时，cos
x＝－cos
x，tan
x＝tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0；
当
x
是第四象限角时，cos
x＝cos
x，tan
x＝－tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0. 故所求函数的值域为{－2,0,2}．
类型三：诱导公式一的应用
典例示范
【例 5】计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
解 ： (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos( －
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ 为第二象限角)． 解：(1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ 是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
三角函数的概念 完整版PPT课件
通常将它们记为： 正弦函数 y sin x, x R
余弦函数 y cosx, x R
正切函数 y tanx, x k (k Z )
2
注意：
y
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标， 余弦就是交点的横坐标 正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(x, y)
x o
（2） 正弦函数、余弦函数总有意义.当α 的终边在y 轴上时，点P 的
单位圆半径不变，点P的横、纵坐标只与α的大小有关， α确定时，p的坐标能唯一确定。
任意角的三角函数定义
设 α是一个任意角， R ,它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1） y 叫做 α的正弦函数，记作 sin α 即 y = sin α
（2） x 叫做 α的余弦函数，记作 cos α 即 x = cos α
.
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0 , y0 )
分别过点P, P0 作 x 轴的垂线PM , P0M 0 ，垂足分别为 M , M0
则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
OMP ∽ OM0P0
于是，| P0M 0 | | PM
P c
b
O
a
M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
余弦函数 y cosx, x R
正切函数 y tanx, x k (k Z )
2
注意：
y
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标， 余弦就是交点的横坐标 正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(x, y)
x o
（2） 正弦函数、余弦函数总有意义.当α 的终边在y 轴上时，点P 的
单位圆半径不变，点P的横、纵坐标只与α的大小有关， α确定时，p的坐标能唯一确定。
任意角的三角函数定义
设 α是一个任意角， R ,它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1） y 叫做 α的正弦函数，记作 sin α 即 y = sin α
（2） x 叫做 α的余弦函数，记作 cos α 即 x = cos α
.
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0 , y0 )
分别过点P, P0 作 x 轴的垂线PM , P0M 0 ，垂足分别为 M , M0
则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
OMP ∽ OM0P0
于是，| P0M 0 | | PM
P c
b
O
a
M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
三角函数的概念 课件(39张)
tan cos = × +1× = .
数学
方法总结
诱导公式一的实质是:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些
角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值
相等.其作用是可以把任意角转化为0°～360°之间的角.
因为 a<0,所以 a=- ,所以 P 点的坐标为( ,- ),
所以 sin α=- ,cos α= ,
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
数学
[变式训练1-1] 若将本例中“a<0”删掉,其他条件不变,结果又是什么?
解:因为点 P 在单位圆上,则|OP|=1,即 (-) + () =1,解得 a=± .
②若 a<0,则 r=-5a,且 sin α=
-
-
-
=- ,cos α=
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
= .
数学
方法总结
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值
(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦函数、余
弦函数、正切函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点 P(x,y),P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α= ,
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
倍角公式
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。