直线与平面 平面与平面位置关系(1)
高中数学人教版必修二2.1.3,2.14空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系
①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则
a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，
b，则a∥b 新疆 王新敞 奎屯
其中正确命题的个数是
（ A）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
巩固练习:
3.已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥ 平面，∩=l，则l （ C ） （A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交 （C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
a
/ /
a
/
/
面//面
线//面
④ 1、下列正确的有
：
①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则 l∥α；
②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；
④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线．
B 2、若直线 a 不平行于平面 α 且 a α 内,则下列结论成立的是（ ）
∨ 任意一条直线都没有公共点。（ ）
复习引入： 1、空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4的内容是什么? 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理的内容是什么? 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补。 新疆
王新敞 奎屯
4.等角定理的推论是什么? 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
X X X
例4、判断下列命题的正确
（1）若直线 l上有无数个点不在平面 内，
则 l// 。（ ）
（2）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任
意一条直线都平行。（
）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行。（ ）
高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系
高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系【】数学的学习不像文科要死记硬背，学好高中数学最主要的是要掌握好课本上的根本公式，纯熟运用，才能解考试过程中的各种题型。
直线和平面的位置关系：
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内有无数个公共点
②直线和平面相交有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：假设平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp.直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：假设一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a
叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的断定定理：假设一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：假设两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点
直线和平面平行的定义：假设一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的断定定理：假设平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：假设一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
直线与平面、两平面的相对位置
THANKS
感谢观看
04
直线与平面、两平面相对位置的性质
和定理
直线与平面垂直的性质和定理
直线与平面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线上的任意一点到平面的距离都相 等。
VS
直线与平面垂直的定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面平行的性质和定理
直线与平面平行的性质
在构建过程中，需要充分考虑直线与平面的关系，以及两平 面之间的相对位置，以确保所构建的几何形状符合设计要求 。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，直线与平面、两平面 的相对位置关系具有重要意义。通过 合理利用这些关系，可以设计出具有 独特美感和实用性的建筑作品。
例如，可以利用直线与平面的垂直关 系设计出高耸入云的摩天大楼，利用 两平面之间的角度关系创造出独特的 建筑造型。
直线与平面相交
总结词
当直线与平面有一个公共点时，直线 与平面相交。
详细描述
直线与平面相交意味着直线和平面在 某一点相遇。这个点是直线和平面的 唯一公共点。
直线与平面垂直
总结词
当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。
详细描述
直线与平面垂直意味着直线与平面中的所有线段都垂直。在这种情况下，直线要么完全位于平面上，要么与平面 相交于一点。
应用
在几何学、物理学和工程学中，两平面垂直 的情况也经常出现，例如建筑物的墙与地面 、电路板上的线路与基板等。
03
直线与平面、两平面相对位置的应用
空间几何形状的构建
空间几何形状的构建是直线与平面、两平面相对位置在实际 应用中的重要体现。通过利用这些相对位置关系，可以构建 出各种复杂的空间几何形状，如球体、立方体、圆柱体等。
用空间向量研究直线、平面的位置关系
图
直线的方
向向量
求
l
a
B
A
平面的法
向量
示
α
l
法
① 取两点；② 定向量.
例题小结 直线的方向向量和平面的法向量的求法
向量名称
图
直线的方
向向量
示
求
l
a
B
法
① 取两点；② 定向量.
A
l
① 找到 ⊥ ；② l 的方向向
量即为平面的法向量.
u
平面的法
向量
α
α
a
b
例题小结 直线的方向向量和平面的法向量的求法
直观想象
空
间
向
量
逻辑推理
数学运算
课堂小结
问题5：本节课主要学习了哪些知识内容？
• 用向量表示点： OP
• 用向量表示直线：OP OA ta
• 用向量表示平面：OP OA x AB y AC
P
a AP 0 , 其中a是平面的法向量.
课堂小结
问题6：本节课主要学习了哪些思想方法？
问题3：如何用向量表示空间中的直线 l ？
OP OA ta ,
①
OP OA t AB. ②
都称为空间直线的向量表示式.
空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量a唯一确定.
问题3：如何用向量表示空间中的直线 l ？
OP OA ta
问题3：如何用向量表示空间中的直线 l ？
取向量b，b与a有什么关系？
所以 P a AP 0
P b AP 0.
P a AP 0
高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)
1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。
2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ； （2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】 已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误； 直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。
直线与平面、平面与平面之间的位置关系
2．直线 a 在平面 γ 外，则( A．a∥γ B．a 与 γ 至少有一个公共点 C．a∩γ＝A D．a 与 γ 至多有一个公共点
【答案】 D
)
(
3．直线 a∥直线 b，b⊂平面 α，则 a 与 α 的位置关系是 ) A．a∥α B．a⊂α C．a∥α 或 a⊂α D．a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交
思考讨论 分别指出下列各图中直线与平面的关系，并总结它们的 特点，用符号表示出来．
提示：(1)直线在平面内——有无数个公共点，符号表示 为：a⊂α； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点，符号表示 为：a∩α＝A； (3)直线与平面平行——没有公共点，符号表示为：a∥α.
课前预习 1.直线与平面平行是指( ) A．直线与平面内的无数条直线都无公共点 B．直线上两点到平面的距离相等 C．直线与平面无公共点 D．直线不在平面内
【分析】 由题目可获取以下主要信息：本题主要考查 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．解答本 题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义，结合空 间想象能力作出判断．
【解析】 由公理 4 知①正确；由直线与平面平行的位 置关系知⑤正确．从而选 A.其中②是错误的，因为平行于 同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异 面．③是错误的，因为当 a∥c，c∥α 时，可能 a∥α，也可能 a⊂α.对于④，α，β 可能平行，也可能相交． 【答案】 A
公共点情况 符号语言 ②有无数个 ③a⊂α 公共点 ⑤有且只有 ⑥a∩α＝ 一个公共点 A ⑧没有公共 ⑨a∥α 点
2.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 3．平面与平面的位置关系 位置 图形语言 公共点情况 符号语言 关系 两平 ②无数个， 面相 ① 构成一条直 ③α∩β＝a 交 线 两平 面平 ⑤无公共点 ⑥α∥β 行 ④
直线与平面的位置关系及应用
直线与平面的关系及应用一、直线与平面的空间位置关系公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
1. 线面平行定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
拓展：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
2. 线面垂直定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
二、空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1. 两条直线平行定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。
判定定理:（1）如果两直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行（2）如果两直线同时垂直于同一个平面，那么这两条直线平行性质定理: 两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
拓展：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那
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④ 例1. 下列命题中正确的是 ①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥. ②若直线l与平面平行，则l与平面内 的任意一条直线都平行. ③如果两条平行直线中的一条与一个平 面平行,那么另一条也与这个平面平行. ④若直线l与平面平行，则l与平面内 的任意一条直线都没有公共点. D' C' A' D A
b
α
O a
.
b1 a1
b
O
.
a1 α
O a
.
a1
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说 两条直线互相垂直.
若两条异面直线 a、b互相垂直，仍记为 ab.
异面直线所成的角的范围： (0, 90]
例. 如图表示一个正方体. （1）哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？ D1 （2）求直线BA1和CC1的夹角的度数. （3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？ A
D' A' B' C'
D
A B
C
课后作业
1. 教辅课时作业第13~14页 2.1.3~2.1.4
2. 教材习题2.1做在书上
3. 教辅第107页~109页 4. 预习教材第54页~57页
教辅第109页~111）由异面直线的定义可知， 与直线BA1成异面直线的有: 直线 B1C1、AD、CC1、DD1、DC、D1C1 .
D B
C
A
（2）由BB1∥CC1，可知∠B1BA等于异面直线BA1与CC1 的夹角，所以BA1与CC1的夹角为450. （3）直线AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1 都与直线AA1垂直。
巩固练习：设异面直线a与b所成角为50°，O 为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是 (0 90) 的直线l有且仅有几条? 解： （1）当 [00 , 250 ) 时， 不存在这样的直线l； （2）当 25 时，
b
满足条件的直线l有1条； （3）当 (250 ,650 )时， 满足条件的直线l有2条； （4）当 650 时， 满足条件的直线l有3条； （5）当 (650 ,900 )时，
巩固练习：如图正方体ABCD-A1B1C1D1 指出（1）AA1与BC、AA1与B1C1
（2）A1C1与BD、A1C1与AD1
90°， 90°
90°，60° 45°，45°
（3）AD1与BB1、B1C1与 AD1
所成的角是几度？
求异面直线所成的角的常用方法—— 平移法 基本策略：利用平移将求空间异面直线所成角转 化为平面求角问题.
B'
C B
练习. 教材49页练习.
若直线a不平行于平面α,且 a / ,则 下 B 列结论成立的是（ ） A. α内的所有直线与a异面 B. α内不存在与a平行的直线 C. α内存在唯一的直线与a平行 D. α内的直线与a都相交 a
A
如图，围成长方体ABCD-A'B'C'D'的
六个面，两两之间的位置关系有几种？
a
O
.
b' a'
满足条件的直线l有4条;（6）当 90 时， 直线l有1条.
空间中直线与平面有且只有三种：
(1)直线在平面内 ——有无数个公共点； (2)直线与平面相交 ——有且只有一个公共点； (3)直线与平面平行 ——没有公共点. 直线与平面相交或平行的情况统称为 直线在平面外. a a
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
平面内两条直线相交成4个角，其中不大于900的 角称为它们的夹角.
b a
同样两条异面直线之间也存在类似的问题：
异面直线a、b所成的角：过空间任一点O，分别引直线 a1∥a，b1∥b，则a1和b1所成的锐角（或直角）作为 异面直线a、b所成的角（夹角）.
2.1.3-2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系
知识回顾：
空间中直线与直线的位置关系有几种？ 相交、平行、异面
b
b
a
a
b
A
a
异面直线的概念: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
公理4用符号语言描述为： 若 a // b ， b // c ，则a // c . （空间平行线的传递性）