高中数学必修4【备课资源】第1章第1章 章末检测题 三角函数

第1章 章末检测题
一、填空题
1．已知cos α＝1
2
，α∈(370°，520°)，则α＝________.
2．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在第______象限． 3．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ＝________.
4．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，则sin θcos θ的值是________．
5．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________ cm. 6．已知集合M ＝⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+=
Z k k x x ,42ππ，N ＝{x |x ＝k π4＋π
2，k ∈Z }，则集合M 与N 的关系是________．
7．若函数f (x )＝2tan ⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
3ππk 的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 8．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π
10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸
长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________． 9．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎪⎭
⎫
⎝⎛+232πx (x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是________．
10．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π
7，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为________．
11．方程sin πx ＝1
4x 的解的个数是________．
12．已知函数y ＝sin πx
3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．
13．设ω>0，函数y ＝sin ⎪⎭
⎫
⎝
⎛+3πwx ＋2的图象向右平移4
3π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．
14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π
12
)＝________.
二、解答题
15．已知α是第三象限角，f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)·tan (－α－π)
tan (－α)·sin (－π－α)
.
(1)化简f (α)； (2)若cos ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-
23πa ＝1
5，求f (α)的值； (3)若α＝－1 860°，求f (α)的值．
16．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．
17．已知sin α＋cos α＝1
5.求：(1)sin α－cos α；(2)sin 3α＋cos 3α.
18．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π
8.
(1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；
(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．
19．在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π
2)的图象与x 轴的交点中，相
邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎪⎭
⎫
⎝⎛-2,3
2π. (1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．
20．如右图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π
2)的图象与y 轴交于点(0，3)，
且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A (π
2
，0)，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A
的中点，当y 0＝32，x 0∈[π
2
，π]时，求x 0的值．
参考答案
1．420° 2.三 3.k π＋π2(k ∈Z ) 4.3
10 5．6π＋40 6．M N
7．2或3 8．y ＝sin ⎪⎭⎫
⎝⎛-102
1
πx 9．2 10．b <a <c
11．7 12.8 13.3
2
14．0
15．解 (1)f (α)＝sin α·cos (－α)·[－tan (π＋α)]－tan α[－sin (π＋α)]＝－sin α·cos α·tan α
－tan α·sin α
＝cos α.
(2)∵cos ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
23πa ＝cos ⎪⎭⎫
⎝⎛-a 23π＝－sin α， 又cos ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-23πa ＝15，∴sin α＝－15.
又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－26
5
，
∴f (α)＝－26
5
.
(3)f (α)＝f (－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝1
2.
16．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝4sin 2x －4sin x －1＝42)2
1
(sin -x －2，令t ＝sin x ， 则－1≤t ≤1，
∴y ＝42)2
1(-t －2 (－1≤t ≤1)．
∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π
6
＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－2；
当t ＝－1，即x ＝3π
2
＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7.
17．解 (1)由sin α＋cos α＝1
5
，
得2sin αcos α＝－24
25
，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝49
25
，
∴sin α－cos α＝±7
5
.
(2)sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)，
由(1)知sin αcos α＝－1225且sin α＋cos α＝1
5
，
∴sin 3α＋cos 3α＝15×⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+25121＝37125
.
18．解 (1)∵x ＝π
8
是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，
∴sin ⎪⎭
⎫
⎝
⎛+⨯
ϕπ
82＝±
1. ∴π4＋φ＝k π＋π
2
，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π
4.
(2)由(1)知φ＝－3π
4，
因此y ＝sin ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
432πx . 令2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π
2
，k ∈Z .
得函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
432πx 的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡
++85,8ππππk k ，k ∈Z . (3)由y ＝sin ⎪⎫ ⎝⎛
-32πx ，知
故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象是
19．解 (1)由最低点为M ⎪⎭
⎫
⎝⎛-2,32π得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π
2
，
得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ
＝2. 由点M ⎪⎭⎫
⎝⎛-2,32π在图象上得 2sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯ϕπ322＝－2，
即sin ⎪⎭
⎫
⎝⎛+ϕπ34＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，
∴φ＝2k π－11π
6
(k ∈Z )．
又φ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,
0π，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+62πx .
(2)∵x ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡2,12ππ，∴2x ＋π6
∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡67,3ππ，
当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，f (x )取得最大值2；
当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π
2时，f (x )取得最小值－1，
故f (x )的值域为[－1,2]．
20．解 (1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋θ)中，
得cos θ＝32，因为0≤θ≤π
2，
所以θ＝π
6
.
由已知T ＝π，且ω>0，得ω＝2πT ＝2π
π
＝2.
(2)因为点A (π
2，0)，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，
y 0＝32，所以点P 的坐标为(2x 0－π
2
，3)．
又因为点P 在y ＝2cos(2x ＋π6)的图象上，且π
2
≤x 0≤π，
所以cos(4x 0－5π6)＝3
2
，
且7π6≤4x 0－5π6≤19π6
， 从而得4x 0－5π6＝11π
6，
或4x 0－5π6＝13π
6，
即x 0＝2π3，或x 0＝3π
4
.。