2017-2018学年北京一零一中学高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版
2017-2018北京海淀101高二上期中【理】
北京一零一中2017—2018学年度第一学期期末考试高二数学（理）一．选择题共8小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求一项.1.双曲线的左，右焦点坐标分别是()13,0F -，()23,0F ，虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ）．A ．22154x y -=B. 22154y x -=C. 221134x y -=D. 221916x y -=【答案】A【解析】24b =，2b =，3c =， 2225a c b =-=，22154x y -=. 故选：A .2.命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）． A ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-B. ()0,x ∀∉+∞，ln 1x x ≠-C. ()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-D.()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x =-【答案】A 【解析】略. 故选：A .3.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）． A. ()0,1B. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,0D. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵214x y =，18p =，1216p =，∴ 10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B .4.有下列三个命题：①“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x y >，则22x y >”的逆否命题；③“若3x <-，则260x x +->”的否命题，则真命题的个数是（ ）． A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】①正确，②③错误. 故选：C .5.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至多录用一名大学生的情况有（ ）． A. 24B. 36C. 48D. 60【答案】D【解析】33234343C A C A 60+=.故选：D .6.已知圆M ：2220x y ay +-=截直线0x y +=所得的线段长是a 的值为（ ）．A.B. 2C.D. 【答案】D【解析】()2222220x y ay x y a a +-=⇒+-=，圆心()0,a 到直线d ==∴ 24a =，∴ 2a =±. 故选：D .7.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）． A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B【解析】有0：1132C C 6=，无0：112322C C A 12=，∴ 61218+=. 故选：B .8.设双曲线C 的中点为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60︒的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A ，1B 和2A ，2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）．A. 2⎤⎥⎝⎦B. 2⎫⎪⎪⎣⎭C. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭D. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】如图，不妨设双曲线焦点在x 轴上，渐近线by x a=±，tan30tan 60b a ︒<≤︒b a <≤c e a ==2e <≤. 故选：A .二．填空题共6小题9.双曲线2233x y -=-的渐近线方程为__________．【答案】y = 【解析】2213y x -=， 渐近线为ay x b =±，即y =.故答案为：y =.10.设常数a ∈R ，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则a =__________．【答案】2- 【解析】∵()5215C rrrr a T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭1035C r r r a x -=.当1r =，15C 10a =-，2a =-.故答案为：2-.11.设1F ，2F 分别是椭圆221167x y +=的左，右焦点，若点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=，12PF PF +=__________．【答案】6【解析】∵12PF PF ⊥， ∴ 121226PF PF OP F F +===. 故答案为：6.12.若双曲线22194x y -=与直线1y kx =-有且仅有一个公共点，则这样的直线有__________条. 【答案】4【解析】与渐近线平行的有两条，另外如图两条切线.故答案为：4.13.已知点P 在抛物线24y x =上，那么当点P 到点()3,4Q的距离与P 到抛物线准线的距离之和去的最小值时，点P的坐标为__________． 【答案】+⎝【解析】PQ PF QF +≥，QF ：()2122y x x =-=-，()22222244y x x x y x=-⎧⇒-=⎨=⎩， 221x x x -+=，2310x x -+=，x ，∵ 0y >， ∴x =，1y =故答案为：⎝.14.下列四个命题中：①“1k =”是“函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”的充要条件；②“3a =”是“直线230ax y a ++=与直线()317x a y a +-=-相互垂直”的充要条件；③函数2y =的最小值为2.其中是假命题的有__________．（将你认为是假命题的序号都填上） 【答案】①②③【解析】①：22cos sin y kx kx =- ()cos 2kx =，πT =，1k =±.∴ ①错误.②：相互垂直⇒()3210a a +-=， ∴ 25a =. ∴ ②错误. ③：2y ==，令t t ，1y t t=+，min y ==. ∴ ③错误. 故答案为：①②③.三．解答题共5小题每小题10分，共50分.15.命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数()log a f x x =在上递增()0,+∞，若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围. 【答案】()[)0,12,+∞.【解析】p 为真命题时，24160a ∆=-<，22a -<<，q 为真命题时，1a >，∵ p q ∨为真，p q ∧为假， ∴ p ，q 一真一假，① p 为真，q 为假， 2201a a -<<⎧⎨<<⎩，∴ 01a <<， ② p 为假，q 为真， 221a a a ≤-≥⎧⎨>⎩或，【注意有文字】 ∴ 2a ≥，综上所述：01a <<或2a ≥，即()[)0,12,a ∈+∞.故答案为：()[)0,12,+∞.16.已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点.（1）当1260F PF ∠=︒时，求12F PF △的面积.（2）当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】（1.（2）⎛ ⎝⎭.【解析】（1）设1PF m =，2PF n =， ∴ 24m n a +==， ()2221221cos 22m n c F PF mn+-∠==， 2212m n mn +-=，()2212m n mn mn +--=，43mn =，43mn =， ∴121sin 2S mn F PF =∠1423=⋅=. （2）设()00,P x y，()1F，)2F ，12F PF ∠为钝角，∴ 12cos 0F PF ∠<， 120PF PF ⋅<，())22000000,,30x y x y x y -⋅-=-+<，∵ 220014x y +=，220014x y =-， 203204x -<，2083x <，0x <，∴0x ⎛∈ ⎝⎭.故答案为：⎛ ⎝⎭.17.如图所示，在Rt ABC △中，已知点()2,0A -，直角顶点(0,B -，点C 在x 轴上.（1）求Rt ABC △外接圆的方程.（2）求过点()4,0-且与Rt ABC △外接圆相切的直线的方程. 【答案】（1）()19x y -+=. （2）()344y x =±+. 【解析】（1）在Rt ABC △中，外接圆圆心在斜边AC 中点，设为(),0a ，AB中点坐标(1,-， AB中垂线方程：)1y x +，)12a =+， 1a =，132r AC ==， 外接圆方程：()2219x y -+=.（2）①切线斜率不存在时，4x =-，不符合.② 切线方程存在时，设为k ， 方程：()4y k x =+，3d ==，34k =±，∴ 切线方程：()344y x =±+.18.定长为2的线段AB 的两个端点在以点10,8⎛⎫⎪⎝⎭为焦点的抛物线22x py =上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标.【答案】78⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.s 【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，128p =，14p =， 212x y =，2AF BF AB +≥=，1211288y y +++≥，1274y y +≥，0724y ≥， 078y ≥， 当078y =时，AB 过焦点10,8F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21112x y =， 22212x y =，()22121212x x y y -=-， 01201201840y y y x x x x --==--， 20344x =， 20316x =， ∴0x = ∴78M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.19.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右检点分别为1F ，2F ，且122F F =，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程.（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2AF B △2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程. 【答案】（1）22143x y +=. （2）()2212x y -+=.【解析】（1）∵1222F F c ==，1c =， ()11,0F -，()21,0F ，2a ，∴ 2a =，b = ∴ 22143x y +=. 故答案为：22143x y +=. （2）①AB 斜率不存在时，1x =-，213232SAF B =⋅⋅=△，不符合.②AB 斜率存在，设为k ，()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，()22223411x k x +-=， ()22224384120kx k x k +++-=，∵0∆>，∴2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+，AB ===()2212143k k +=+，∵d =，()221211243k S AB d k +=⋅=+， ∴4217180k k +-=，()()22171810k k +-=， ∴1k =±，方程：()1y x =±+，()21,0F ，d ==∴ 圆方程：()2212x y -+=.。
北京四中2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
北京四中2017-2018学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．（5分）抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣22．（5分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）A．B．C．D．4．（5分）“m＜8”是“方程﹣=1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=16．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）两个焦点分别为F1，F2，若C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．5B．C．4D．AD8．（5分）若有两个焦点F1，F2的圆锥曲线上存在点P，使|PF1|=3|PF2|成立，则称该圆锥曲线上存在“α”点，现给出四个圆锥曲线：①﹣=1 ②x2﹣=1 ③+=1④+=1，其中存在“α”点的圆锥曲线有（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是．10．（5分）“∃x∈R，x2+x﹣8＞0”的否定为．11．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦距为2，实轴长为2，则该双曲线的标准方程是．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=，∠F1PF2的大小为．13．（5分）过点（0，﹣4）且与直线y=4相切的圆的圆心轨迹方程是．14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，斜率为1的直线过F且交椭圆于A、B两点，若+与=（3，﹣1）共线，则此椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分．）15．（10分）已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且C上一点到C的两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为的直线l与C相切，求直线l的方程．16．（10分）若抛物线C：y2=2px的焦点在直线l：2x+y﹣2=0上．（1）求抛物线C的方程；（2）求直线l被抛物线C所截的弦长．17．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ 分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）18．（5分）p：∃t∈R，使得直线x﹣y+t=0与圆x2+y2=1相交；q：∀m＞0，双曲线﹣=1的离心率为．则下面结论正确的是（）A．p是假B．￢q是真C．p∧q是假D．p∧q是真19．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x20．（5分）过抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点F作直线交C于P，Q两点，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则m2+n2的最小值为（）A．B．2a2C．a2D．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）21．（5分）经过点A（3，1）作直线l，它与双曲线﹣y2=1只有一个公共点，这样的直线l有条．22．（5分）曲线的极坐标方程ρ=sinθ﹣cosθ化为直角坐标方程为．23．（5分）抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线y=x对称的相异两点A，B，则|AB|等于．三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分．）24．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．25．（10分）设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：x 3 ﹣2 4y ﹣20 ﹣4 ﹣（1）求C1、C2的标准方程；（2）设直线l与椭圆C1交于不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l 过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．北京四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．（5分）抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=﹣8x的准线方程．解答：解：抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，∴抛物线y2=﹣8x的准线方程为x==2故选A．点评：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．2．（5分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线﹣y2=1的a，b，由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，即可得到．解答：解：双曲线﹣y2=1的a=，b=1，由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，则所求渐近线方程为y=±x．故选D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．3．（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）A．B．C．D．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题．分析：由于和是终边相同的角，故点M的极坐标也可表示为．解答：解：点M的极坐标为，由于和是终边相同的角，故点M 的坐标也可表示为，故选D．点评：本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，是一道基础题．4．（5分）“m＜8”是“方程﹣=1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．分析：根据双曲线的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若方程﹣=1表示双曲线，则（m﹣10）（m﹣8）＞0，即m＞10或m＜8．∴“m＜8”是“方程﹣=1表示双曲线”的充分而不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用双曲线的定义求出m的取值范围是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距c，根据椭圆的离心率求得a，最后根据a和c的关系求得b．解答：解：抛物线y2=8x，∴p=4，焦点坐标为（2，0），∵椭圆的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，∴椭圆的半焦距c=2，即a2﹣b2=4，∵e==，∴a=4，b==2，∴椭圆的标准方程为+=1，故选：B．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程的问题．同时考查抛物线的方程和性质，要熟练掌握椭圆方程中a，b和c的关系，求椭圆的方程时才能做到游刃有余．6．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）两个焦点分别为F1，F2，若C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，再进行分类讨论，确定曲线的类型，从而求出曲线r的离心率．解答：解：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，∴|PF1|+|PF2|=6m＞|F1F2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于=．故选：A．点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．属于基础题，7．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．5B．C．4D．AD考点：抛物线的定义．专题：计算题．分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点推断出|PA|=|PH|，进而表示出|PM|，问题转化为求PF|+|PA|的最小值，由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，直线FA与抛物线交于P0点，可得P0，分析出当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，进而求得|FA|，则|PA|+|PM|的最小值可得．解答：解：依题意可知焦点F（，0），准线x=﹣，延长PM交准线于H点．则|PF|=|PH|．|PM|=|PH|﹣=|PF|﹣，|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①设直线FA与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，），另一交点（﹣，）舍去．当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|=．则所求为|PM|+|PA|==．故选B．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了考生分析问题的能力，数形结合的思想的运用．8．（5分）若有两个焦点F1，F2的圆锥曲线上存在点P，使|PF1|=3|PF2|成立，则称该圆锥曲线上存在“α”点，现给出四个圆锥曲线：①﹣=1 ②x2﹣=1 ③+=1④+=1，其中存在“α”点的圆锥曲线有（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题；阅读型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出曲线①②③④的焦点坐标，设出P（x，y），运用两点的距离公式化简整理得到P的轨迹方程，联立曲线方程，消去y，解关于x的方程，注意曲线的范围，判断即可得到．解答：解：对于①，﹣=1的焦点F1（﹣4，0），F2（4，0），设P（x，y），则由|PF1|=3|PF2|可得（x+4）2+y2=9，化简得x2+y2﹣10x+16=0，代入双曲线的方程，消去y，得3x2﹣（10x﹣16﹣x2）=12，即为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，由双曲线的范围可得x≥2，故存在P，则①正确；对于②，x2﹣=1的焦点F1（﹣4，0），F2（4，0），则P（x，y）的轨迹方程为x2+y2﹣10x+16=0，代入双曲线的方程，消去y，得15x2﹣（10x﹣16﹣x2）=15，即为16x2﹣10x+1=0，解得x=或，由双曲线的范围为x≥1，故不存在点P，则②不正确；对于③，+=1的焦点F1（﹣，0），F2（，0），设P（x，y），则由|PF1|=3|PF2|可得（x+）2+y2=9，化简得x2+y2﹣x+2=0，代入椭圆方程，消去y得2x2﹣x+81=0，可得判别式大于0，两根之积为＞9，由椭圆的范围可得|x|≤3，故不存在P，则③不正确；对于④，+=1的焦点F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（x，y），则由|PF1|=3|PF2|可得（x+2）2+y2=9，化简得x2+y2﹣5x+8=0，代入椭圆方程，消去y得2x2﹣15x+36=0，可得x=6或，由椭圆的范围可得|x|，即有x=成立，故存在P，则④正确．故选B．点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查轨迹方程的求法，注意联立方程求解时，别忽视圆锥曲线的范围，具有一定的运算量，属于中档题和易错题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．解答：解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．10．（5分）“∃x∈R，x2+x﹣8＞0”的否定为∀x∈R，x2+x﹣8≤0．考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称的否定是全称写出结果即可．解答：解：因为特称的否定是全称．所以，“∃x∈R，x2+x﹣8＞0”的否定为：∀x∈R，x2+x ﹣8≤0．故答案为：∀x∈R，x2+x﹣8≤0．点评：本题考查的否定，特称与全称的否定关系，基本知识的考查．11．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦距为2，实轴长为2，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1或y2﹣x2=1．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知得，由此能求出双曲线方程．解答：解：由已知得，解得a=1，c=，∴b==1，∴当焦点在x轴时，双曲线方程为x2﹣y2=1．当焦点在y轴时，双曲线方程为y2﹣x2=1．故答案为：x2﹣y2=1或y2﹣x2=1．点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=2，∠F1PF2的大小为120°．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．解答：解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2；120°点评：本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分）过点（0，﹣4）且与直线y=4相切的圆的圆心轨迹方程是x2=﹣16y．考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设出动圆圆心的坐标，根据题意可知圆心到定点（0，﹣4）到直线y=4的距离都等于半径，进而利用抛物线的定义可求得x和y的关系式．解答：解：设动圆圆心坐标为（x，y）∵动圆过定点（0，﹣4）且与直线y=4相切，∴圆心到定点（0，﹣4）到直线y=4的距离都等于半径，∴根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹方程是x2=﹣16y故答案为：x2=﹣16y点评：本题考查轨迹方程，利用抛物线的定义来求轨迹方程是关键．14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，斜率为1的直线过F且交椭圆于A、B两点，若+与=（3，﹣1）共线，则此椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率．解答：解：设椭圆方程为，则直线AB的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程的，化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∵+=（x1+x2，y1+y2），与=（3，﹣1）共线∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，∴x1+x2=c，∴= c∴a2=3b2．∴c==a，故离心率e==．故答案为：．点评：考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理．三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分．）15．（10分）已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且C上一点到C的两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为的直线l与C相切，求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆C的标准方程为，由离心率公式和a，bc的关系和椭圆的定义，得到方程组，解得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设直线为y=，则由题意得，根据直线与曲线相切得△=0，求得直线．解答：解：（1）设椭圆C的标准方程为，由题意解得a=2，b=1．所以椭圆C的标准方程（2）设直线为y=，则由题意得得2x2+4mx+4m2﹣4=0△=16m2﹣8（4m2﹣4）=0解得m=故直线方程为．点评：本题主要考查椭圆方程的求法，和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题目．16．（10分）若抛物线C：y2=2px的焦点在直线l：2x+y﹣2=0上．（1）求抛物线C的方程；（2）求直线l被抛物线C所截的弦长．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，代入即可求得p=2，进而得到抛物线的方程；（2）联立直线和抛物线方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义，即可求得弦长．解答：解：（1）抛物线C：y2=2px的焦点为（，0），由题意可得，p﹣2=0，解得p=2，即有抛物线方程为y2=4x；（2）由直线2x+y﹣2=0和抛物线y2=4x，消去y，可得x2﹣3x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=3，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=3+2=5．则直线l被抛物线C所截的弦长为5．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，属于中档题．17．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ 分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由离心率为，即可得a2=2b2，从而C：，再把点代入椭圆方程即可求得b2，进而得到a2．（Ⅱ）由（Ⅰ）写出焦点F1，F2的坐标，设直线MN的方程为y=k（x+2），由直线MN与直线PQ互相垂直得直线PQ的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立直线MN与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及弦长公式可用k表示|MN|，同理可表示出|PQ|，计算即可得到为定值．解答：（Ⅰ）解：由已知，得．所以a2=2b2．所以C：，即x2+2y2=2b2．因为椭圆C过点，所以，得b2=4，a2=8．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2）．由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0．则，．所以|MN|===．同理可得|PQ|=．所以==．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解，韦达定理及弦长公式是解决该类题目的基础，应熟练掌握．一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）18．（5分）p：∃t∈R，使得直线x﹣y+t=0与圆x2+y2=1相交；q：∀m＞0，双曲线﹣=1的离心率为．则下面结论正确的是（）A．p是假B．￢q是真C．p∧q是假D．p∧q是真考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：根据直线与圆的位置关系判断出p的真假，根据双曲线的性质判断出q的真假，进而得到答案．解答：解：由得：2x2+2tx+t2﹣1=0，△=﹣4t2+8，∃t∈R，使得判别式△≥0，故p是真；∵双曲线﹣=1中a=b=|m|=m，∴c=m，∴e==，故q为真．故p∧q是真，故选：D．点评：本题考查了直线与圆的位置关系以及双曲线的性质，考查了复合的判断，是一道基础题．19．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x考点：抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程表示出F的坐标，进而根据点斜式表示出直线l的方程，求得A 的坐标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a，则抛物线的方程可得．解答：解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选C．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等．考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用．20．（5分）过抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点F作直线交C于P，Q两点，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则m2+n2的最小值为（）A．B．2a2C．a2D．考点：抛物线的简单性质．专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点和准线方程，设出直线PQ的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义，求得m，n的式子，以及m+n，mn的关系式，运用配方，即可得到最小值．解答：解：抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，设PQ直线方程是y=kx+，则x1，x2是方程ax2﹣kx﹣的两根，可设x1＞0，x2＜0，P（x1，ax12），Q（x2，ax22），x1+x2=，x1x2=﹣，由抛物线的定义可得m=ax12+，n=ax22+，m+n=a（x1+x2）2﹣2ax1x2+=+，mn=a2x12x22++（x12+x22）=++×=，则m2+n2=（m+n）2﹣2mn=﹣=≥，当且仅当k=0，取得最小值，且为．故选：D．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，具有一定的运算量，属于中档题和易错题．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）21．（5分）经过点A（3，1）作直线l，它与双曲线﹣y2=1只有一个公共点，这样的直线l有2条．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分为两类考虑：直线的斜率不存在；与渐近线平行的直线，即可得到结论．解答：解：①当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=3，直线与双曲线相切，满足题意；②因为a=3，b=1，所以双曲线的渐近线方程为y=x，则A在渐近线y=x上，可作出一条与渐近线y=﹣x平行的直线，即与双曲线只有一个交点；故满足条件的直线共有2条．故答案为：2．点评：本题考查了直线与双曲线有一个公共点的情况，做题时极容易丢平行渐近线的情况，做题时一定要细心．属于基础题型．22．（5分）曲线的极坐标方程ρ=sinθ﹣cosθ化为直角坐标方程为x2+y2+x﹣y=0．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直接利用x2+y2=ρ2，ρsinθ=y，ρcosθ=x把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程．解答：解：由于曲线的极坐标方程ρ=sinθ﹣cosθ，所以：ρ2=ρsinθ﹣ρcosθ由于：x2+y2=ρ2，ρsinθ=y，ρcosθ=x所以曲线的直角坐标方程为：x2+y2=y﹣x即：x2+y2+x﹣y=0故答案为：x2+y2+x﹣y=0点评：本题考查的知识要点：曲线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于基础题型．23．（5分）抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线y=x对称的相异两点A，B，则|AB|等于3．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简利用根与系数的关系可得x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，根据AB的中点（﹣，﹣+b）在直线x+y=0上，求出b值，由|AB|=•求得结果．解答：解：由题意可得，可设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简可得x2+x+b﹣3=0，∴x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，故AB的中点为（﹣，﹣+b），根据中点在直线x+y=0上，∴﹣+（﹣+b）=0，∴b=1，故x1•x2=﹣2，∴|AB|=•=3，故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，求得x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣2，是解题的关键．三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分．）24．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为，建立方程组，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）（k≠0）代入椭圆方程，求出P，Q的坐标，利用以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x0，0），则等价于=0恒成立，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．所以椭圆C的方程是．…（4分）（Ⅱ）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．直线y=k（x﹣1）（k≠0）代入椭圆可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=．又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M（2，0）．由题意可知直线AM的方程为y=（x﹣2），故点P（0，﹣）．直线BM的方程为y=（x﹣2），故点Q（0，﹣）．若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x0，0），则等价于=0恒成立．又因为=（x0，），=（x0，），所以•=x02+•=0恒成立．又因为（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=，y1y2=k（x1﹣1）（x2﹣1）=，所以x02+•=﹣3=﹣0．解得x0=．故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点（，0）．…（14分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，综合性强．25．（10分）设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：x 3 ﹣2 4y ﹣20 ﹣4 ﹣（1）求C1、C2的标准方程；（2）设直线l与椭圆C1交于不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），由题意知C2：y2=4x（2分）．设，把点（﹣2，0）（，）代入得解得，由此可知C1的方程．（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为x﹣1=my，设M（x1，y1），N（x2，y2），由．得x1x2+y1y2=0．由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，然后由根的判别式和根与系数的关系可知假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y﹣2=0．解答：解：（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，据此验证5个点知只有（3，）、（4，﹣4）在统一抛物线上，易求C2：y2=4x（2分）设，把点（﹣2，0）（，）代入得解得∴C1方程为（5分）（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0）设其方程为x﹣1=my，设M（x1，y1），N（x2，y2），由．得x1x2+y1y2=0（*）（7分）由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，△=16m2+48＞0∴①x1x2=（1+my1）（1+my2）=1+m（y1+y2）+m2y1y2；=②（9分）将①②代入（*）式，得解得（11分），∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y﹣2=0（12分）点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．。
北京海淀北2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题
…………外………………内……绝密★启用前北京海淀北2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标为（ ）． A ． 1,02⎛⎫⎪⎝⎭ B ． 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 43．已知直线()1:3210l a x y -++=，直线2:30l ax y +-=，则“2a =”是“12l l ⊥”的（ ）．A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件4．方程20mx ny +=与221(0)mx ny m n +=>>的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）．A ．B ．…………○………………○……C．D．5．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的长轴端点为1A，2A，短轴端点为1B，2B，焦距为2，若112B A B为等边三角形，则椭圆的方程为（）．A．22162x y+=B．222213xy+=C．223314xy+=D．2211612x y+=6．已知圆C与y轴相切于点()0,2，x轴正半轴．．．截圆C所得线段的长度为圆C的圆心坐标为（）．A．()2B．(2,C．()4,2D．()2,47．已知椭圆22:12xC y+=，直线:l y x=+C上的点到直线l的最大距离为（）．A．B．C．D．8．曲线C是平面内与定点()2,0F和定直线2x=-的距离的积等于4的点的轨迹．给出下列四个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C与y轴有3个交点；④若点M在曲线C上，则MF的最小值为)21，其中，所有正确结论为（）．A．①②B．①④C．①②③D．①②④第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．已知命题:p x R∀∈，210x x-+>，则:p⌝__________．10．经过点()0,1和点()1,3的直线l与圆()()222:12(0)C x y r r-+-=>相切，则直线l方程为__________；r=__________．11．已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，()00,A x y是C上一点，54AF x=，则x=__________．12．已知长方形ABCD，4AB=，3BC=，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为．13．(2017·天津卷改编)已知双曲线(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________.14．设F是椭圆2212516x y+=的右焦点，且椭圆上至少有10个不同的点()1,2,3,iP i=，使1FP，2FP，3FP，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为__________．三、解答题15．已知直线l经过点()2,4P，直线1:10l x y--=．（Ⅰ）若直线l的斜率为2，求直线l方程．（Ⅱ）若1l l⊥，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，求AOB（O为坐标原点）的面积．16．已知定点()2,4M及抛物线2:2(0)C y px p=>，抛物线C的焦点为F且准线l恰好经过圆22:20K x x y++=的圆心K．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程．装…………○………※※要※※在※※装※※订※※线装…………○………（Ⅱ）过点F 作MK 的平行线交抛物线C 于A 、B 两点，求AB 的长． 17．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点()， )的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程．（Ⅱ）设直线()1y k x =+与C 交于A ， B 两点， k 为何值时OA OB ⊥？此时AB 的值是多少？18．如图，曲线Γ由曲线()22122:10x y C y a b +=≤和曲线22222:1(0)x y C y a b-=>组成，其中0a b >>，点1F ， 2F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点3F ， 4F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点， ()22,0F ， ()36,0F -． （Ⅰ）求曲线Γ的方程．（Ⅱ）若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点A 、B ，求1ABF 面积的最大值．参考答案1．C【解析】根据题意，抛物线开口向右，焦点在x 轴的正半轴上，且21p =，∴124p =．∴抛物线2y x =的焦点坐标是1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭， 本题选择C 选项.点睛：求抛物线的焦点坐标时，首先要确定已经把抛物线方程化为标准方程.2．B【解析】所以2a =，故选B. 3．A【解析】若12l l ⊥，则()312a a --⨯-=-，即2320a a -+=，解得1a =或2a =， 所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件， 本题选择A 选项. 4．A【解析】方程20mx ny +=即2my x n=-，表示抛物线， 方程221(0)mx ny m n +=>>表示椭圆或双曲线， 当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程221(0)mx ny m n +=>>表示焦点在y 轴的椭圆，无符合条件的选项；当m 和n 异号时，抛物线2my x n=-开口向右， 方程221(0)mx ny m n +=>>表示双曲线， 本题选择A 选项. 5．B【解析】∵112B A B 为等边三角形，∴a =，又1c =， 222a b c =+，解得232a =， 212b =， 21c =，则椭圆的方程为2213122x y +=， 即222213x y +=， 本题选择B 选项. 6．A【解析】设圆心为(),a b ，由于圆于y 轴相切于()0,2，故2b =． 又x 轴正半轴截圆C所得线段的长度为由对称性可得a =C的圆心坐标为()2， 本题选择A 选项. 7．B【解析】设椭圆平行于直线y x =+的切线为y x m =+，代入椭圆方程得2234220x mx m ++-=，则()221612220m m ∆=--=，解得m =则切线方程为y x =由于y x =+y x =+y x =C 上的点到直线l 的最大距离，max d ==， 本题选择B 选项.点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．8．D【解析】设动点的坐标为(),x y24x +=．①当0x =时， 0y =，∴曲线C 过坐标原点，故①正确；24x +=中的y 用y -代替，该等式不变，∴曲线C 关于x 轴对称，故②正确；③令0x =，则0y =，故曲线C 与y 轴只有1个交点，故③错误；24x +=，∴20y =≥，解得x -≤，∴若点M 在曲线C 上，则)4212MF x ==≥=+，故④正确．综上所述，所有正确的结论为①②④， 本题选择D 选项.9．0x R ∃∈， 20010x x -+≤【解析】对于含有全称量词命题的否定，需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故0:p x R ⌝∃∈， 20010x x -+≤．10． 210x y -+=5【解析】∵直线l 经过()0,1和()1,3， ∴31210l k -==-， ∴直线l 的方程为()120y x -=-，即210x y -+=，∵直线l 与圆()()222:12(0)C x y r r -+-=>相切，∴圆心()1,2到直线210x y -+=的距离， d r ===．即r =. 11．4【解析】根据抛物线的定义可得， A 到焦点F 的距离等于其到准线1x =-的距离，故00514x x +=． 解得04x =．12【解析】试题分析：因为点C 在椭圆上，根据椭圆的定义，，24c =，所以椭考点：1．椭圆的定义；2．椭圆的离心率．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，属于中档题．解决问题时先分析椭圆的的焦点，求出椭圆的焦距4AB =，因为有点在椭圆上，利用椭圆的定13．【解析】设点 ，因为该双曲线的离心率为 ，所以，①又经过 和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线， 所以，② 联立①②，解得 ． 又 ，即 ③， 联立①③，解得 ， ， 故双曲线的方程为．点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．14．22,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】椭圆中5a =， 4b =， 3c =，若这个等差数列是增数列，则0d >， 112a PF a c =≥-=， 10108a P F a c =≤+=， ∴10196a a d -=≤，解得23d ≤， ∴203d <≤． 同理，若这个等差数列是减数列，则203d -≤<． 故d 的取值范围是22,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．15．(Ⅰ) 20x y -=．(Ⅱ)18. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合直线的点斜式方程可得直线l 方程是20x y -=．(Ⅱ)由题意可得直线l 的方程为60x y +-=，则()6,0A ， ()0,6B ，故166182AOBS=⨯⨯=． 试题解析：（Ⅰ）直线l 的斜率是2，且经过点()2,4P ，则由点斜式可得： 直线l 的方程为()422y x -=-，即20x y -=． （Ⅱ）若直线1l l ⊥，则111l l k k =-=-， ∴直线l 的方程为()42y x -=--，即60x y +-=，令0x =，则6y =，令0y =，则6x =，故()6,0A ， ()0,6B ，166182AOBS=⨯⨯=． 16．(Ⅰ) 24y x =．(Ⅱ) 254. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可得圆心()1,0K -，抛物线的准线l 恰好经过点()1,0k -，则2p =．抛物线C 的标准方程为24y x =． (Ⅱ)由题意可知43MK k =，直线AB 的方程为()413y x =-，将AB 的方程代入抛物线可得241740x x -+=，则12174x x +=，由弦长公式有12254AB x x p =++=． 试题解析：（Ⅰ）由已知圆22:20K x x y ++=的圆心()1,0K -， ∵抛物线22y px =的准线l 恰好经过点()1,0k -， ∴12p-=-， 2p =． 故抛物线C 的标准方程为24y x =． （Ⅱ）由已知()404213MK k -==--，∴直线AB 过点()1,0，且斜率为43， ∴直线AB 的方程为()413y x =-，将AB 的方程代入抛物线得 241740x x -+=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则12174x x +=， 故121725244AB x x p =++=+=． 点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．17．(Ⅰ) 2214x y +=．(Ⅱ) . 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合椭圆的定义可得C 的方程是2214x y +=；(Ⅱ)联立直线与椭圆的方程有()2222418440k x k x k +++-=，结合韦达定理可得2122841k x x k -+=+， 21224441k x x k -=+，则2122341k y y k -=+，结合直线垂直的充要条件有2121224041k x x y y k -+==+，则2k =±．然后由弦长公式可得AB =试题解析：（Ⅰ）设(),P x y ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以()0，)为焦点，以长半轴为2的椭圆，∴c = 2a =，1b ==． 故椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）联立()221{ 14y k x x y =++=，消去y ，整理得： ()2222418440k x k x k +++-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则2122841k x x k -+=+， 21224441k x x k -=+， ()()()22121212122311141k y y k x k x k x x x x k -=+⋅+=+++=+， 若OA OB ⊥，则222121222244340414141k k k x x y y k k k ---+=+==+++， 解得2k =±． ∴123217x x +=-， 121217x x =．17AB ===． 故当2k =±时， OA OB ⊥，此时AB =． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18．(Ⅰ) ()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>．(Ⅱ) 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得2220{ 16a b ==，则曲线的方程为()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>． (Ⅱ)由（Ⅰ）知，曲线()221:102016x y C y +=≤，点()46,0F ．联立直线方程与二次方程可得()225448640m y my +++=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1224854my y m +=-+， 1226454y y m =+，据此可得面积函数218254S m=⨯⨯+，换元后结合均值不等式的结论可得1ABF 面积的最大． 试题解析：（Ⅰ）()22,0F ， ()36,0F -，∴222236{ 4a b a b +=-=，解得2220{ 16a b ==， 故曲线的方程为()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线()221:102016x y C y +=≤，点()46,0F ． 设直线1l 的方程为6(0)x my m =+>，联立得()225448640m y my +++=， ()()2248464540m m ∆=-⨯⨯+>，化简得21m >．设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1224854m y y m +=-+， 1226454y y m =+，∴12y y -=1ABF的面积218254S m=⨯⨯+，令0t =>，则221m t =+，∴4S t t=≤+，当且仅当32t =，即m = ∴1ABF．。
北京海淀北大附中高二上学期期中考试数学(理)试题
北大附中2017-2018学年第1学段终结性评价试卷一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）． 已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题： （可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃） 1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．AB 1D A【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =， ∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CBAD【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________． 【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据． 已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100)②(85,85,100)③255x y z ++≥④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________． 【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意； 对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点． 1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底． 表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________． 【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++．【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________． 【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体， ∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像） 3．求直线1AB 与11AD C 所成的角． 【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ， ∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =， 设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则110AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-，∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小． 【答案】见解析．【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1100AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，∴(1,1,1)m =-，∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-，∴cos ,m n <>== 故二面角111B AD C --的大小为．5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________． 【答案】2【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan AC C =∠所以14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ．（1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系）（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．A1A【答案】（1）(0,0,1)．（2）112． 【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21113212V =⨯⨯=⎝⎭． A 1D 1C 1B 1CBAD三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________． 【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．2．直角坐标系，圆锥曲线C 的方程221y x n+=，O 为原点．（如图1）（1）为获得（如图1）中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（2）为获得（如图1）中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（3）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其离心率e = __________； （4）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其渐近线方程是__________； （5）为得到比（2）中开口更大同类曲线，写出一个新取值n =__________． 【答案】（1）1n =．（2）3-．（3）2．（4）y =．（5）4n =-． 【解析】（1）若用垂直于圆锥轴线的平面截得的圆锥曲线是圆，此时1n =．（2）用与圆锥轴线平行方向的平面截得的圆锥曲线是双曲线，此时0n <，故可取3n =-．（3）当3n =-时，圆锥曲线C 的方程为2213y x -=，此时1a =，b 2c =，故其离心率e 2ca==． （4）由（3）知，双曲线C的渐近线方程为：y =．（5）双曲线的离心率越大，开口越大，对于221y x n+=，要使离心率大于2，则3n <-，故可取4n =-．3．同2小题中曲线C 条件，且曲线C 为椭圆，设1F 、2F 为两个焦点，A 点在曲线C 上． （1）若焦点在y 轴上，可取n =__________； （2）描述3（1）中椭圆至少两个几何特征： ①__________；②__________．（3）若4n =，则12AF F △的周长为__________； （4）若2AO F △是以AO 为斜边的等腰直角三角形（如图2），则椭圆的离心率e =__________．【答案】（1）4．（2）①椭圆落在1x =±，2y =±围成的矩形中； ②图象关于x 轴，y 轴，原点对称． （3）4+ （4【解析】（1）若方程221y x n+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >，故可取4n =． （2）①对于椭圆2214y x +=的几何性质有：x 的取值范围是11x -≤≤，y 的取值范围是22x -≤≤，椭圆位于直线1x =±，2y =±围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于x 轴，y 轴，原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆2214y x +=的四个顶点分别是(1,0)-，(1,0)，(0,2)，(0,2)-，离心率e c a ==，长半轴长为2，短半轴长为1，焦距为写两个几何特证即可．（3）若4n =，则椭圆C 的方程为2214y x +=， 此时2a =，1b =，c = 若A 在曲线C 上，则12||||24AF AF a +==，故12AF F △的周长为1212||||||224AF AF F F a c ++=+=+ （4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形，则2b C a =，即2b ac =，又222b a c =-，得220c ac a +-=，故2e e 10+-=，解得e 0e 1<<，故e =4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．同2小题中曲线C 条件，且5n =，直线l 过曲线C 的上焦点1F ，与椭圆交于点A 、B ． （1）下面的三个问题中，直线l 分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究． （三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分） ①直线斜率为1，求线段AB 的长． ②OA OB ⊥，求直线l 的方程．③当AOB △面积最大时，求直线l 的方程． 我选择问题__________，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．（3）在题4题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）． （在图34-中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．【答案】见解析．【解析】（1）①解：由题意可知直线l 的方程为2y x =+，椭圆C 的方程为2215y x +=， 由22215y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得26410x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：1223x x+=-，1216x x =-，∴线段||AB ==．②解：易知直线l 的斜率一定存在，设直线:2l y kx =+， 代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+， ∴2222121212122228520(2)(2)2()44555k k k y y kx kx k x x k x x k k k ---+=++=+++=++=+++， ∵DA OB ⊥，∴222121222215205190555k k x x y y k k k --+-++=+==+++，解得：k =， ∴直线l的方程为：2k =+． ③解：易知直线l 斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+，∴线段||AB =2215k k +=+，又原点D 到直线AB的距离d =，∴AOB △的面积22111||225k S AB d k +=⋅=⨯=+==∵2216181k k +++≥，∵14S =≤221611k k +=+，即k =时，取等号，∴AOB △，此时直线l的方程为：2y =+． （2）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等． （3）设直线l 的斜率为k ，若椭圆C 的下顶点为D ， 求证：对于任意的k ∈R ，直线AD ，BD 的斜率之积为定值．四、本大题4小题，共计总分13分．（第2，3，4小题，每题3分，每1小题4分，合计13分）汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）． 定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线． 设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm ，灯深25cm （如图1）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C ，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x 轴建立平面直角坐标系（如图2）．.图1抛物线上点P 到焦点距离为5cm ，且在x 轴上方．研究以下问题： 1．求抛物线C 的标准方程和准线方程． 【答案】见解析．【解析】解：设抛物线C 的方程为：22y px =，由于灯口直径为20cm ，灯深25cm ，故点(25,10)在抛物线C 上， ∴100225p =⨯，解得：2p =，∴抛物线C 为标准方程为：24y x =，准线方程为1x =-．2．求P 点坐标． 【答案】见解析．【解析】解：设P 点坐标为00(,)x y ，0(0)y >，则204y x =， ∵点P 到焦点的距离为5， ∴015x +=，得04x =， ∴04y ==， 故点P 的坐标为(4,4)．3．求抛物线在点P 处法线方程．【答案】见解析．【解析】解：设抛物线在P 点处的切线方程为：4(4)y k x -=-，则由2444(4)y x y x ⎧=⎨-=-⎩，消去x 得：2416160ky y k --+=， 164(1616)0k k ∆=--+=，即24410k k -+=，解得12k =， ∴抛物线在P 点处法线的斜率为2-，故抛物线在P 点处法线的方程为42(4)y x -=--，即2120x y +-=．4．为证明（检验）车灯的光学原理，从以下两个命题中选择其一进行研究：（只记一个分值） ①求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的光线经点P 反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．②求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．我选择问题__________，研究过程如下：【答案】见解析．【解析】①证明：设(1,0)F 关于法线2120x y +-=的对称点(,)m n ，则(,)m n 在反射光线上， 则1121212022n m m n ⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯+-=⎪⎩， 解得94m n =⎧⎨=⎩， ∴反射光线过点(9,4)，又∵点(4,4)P 在反射光线上，∴反射光线的方程为4y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源经点P 发射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．②证明：设00(,)M x y 为抛物线上，任意一点，则抛物线在M 处切线方程为：00()y y k x x -=-，由2004()y x y y k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得2004440ky y y kx -+-=， 00164(44)0k y kx ∆=--=，又2004y x =代入上式化简得20(2)0ky -=， ∴02k y =， ∴抛物线在00(,)M x y 处法线的斜率为02y -， 法线方程为000()2y y y x x -=--， 即2000024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 设(1,0)F 关于在点M 处的法线200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭的对称点F '为(,)m n ， 则020*********n m y y y n m y ⎧=⎪-⎪⎨⎛⎫+⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得：42002006828y y m y n y ⎧++=⎪+⎨⎪=⎩， ∴抛物线在点M 处反射光线过420002068,28y y y y ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭， 又∵反射光线过00(,)M x y ， ∴反射光线所在直线方程为0y y =， 故由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射， 反射光线所在的直线平行于抛物线的对称轴．。
北京市第101中学高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题共8小题，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 三条直线l 1，l 2，l 3的位置如图所示，它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是（ ）A. k 1>k 2>k 3B. k 1> k 3> k 2C. k 3> k 2> k 1D. k 2> k 3> k 1 【答案】D【解析】由图形可得：三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角 满足：所以k 2> k 3> k 1 故选D2. 如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据向量加法的运算法则：三角形法则、平行四边形法则，可以得到：考点：空间向量的表示；3. 过点（-l，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（）A. x-2y-5=0B. x-2y+7=0C. 2x+y-1=0D. 2x+y-5=0【答案】B【解析】与直线x-2y+3=0平行的直线可设为x-2y+C=0因为直线过（-l，3）所以C=7 故所求直线为x-2y+7=0故选B4. 已知球O与正方体各棱均相切，若正方体棱长为，则球O的表面积为（）A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】C故选C5. 在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z，使得。
正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A的值为（）A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】故选B7. 如图，点O为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心，点E为面B'BCC'的中心，点F为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF在该正方体的面上的正投影不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知光线从上向下照射，得到C，光线从前向后照射，得到A光线从左向右照射得到B故选D点睛：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同．8. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。
北京市101中学高二数学上学期期中试题 文
北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（文科）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 直线l 经过原点和点（-1，-1），则l 的倾斜角是（ ）A. 45°B. 135°C. 135°或225°D. 60°2. 点P （-1，1）关于直线ax-y+b=0的对称点是Q （3，-1），则a ，b 的值分别是（ ）A. -2，2B. 2，-2C. 21，-21D. 21，21 3. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m∥α，n⊥β，则（ ）A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m ⊥n4. 已知三条直线x=1，x-2y-3=0，mx+y+2=0交于一点，则m 的值为（ ）A. 1B. 2C. -1D. -2 5. 已知圆x 2+y 2-2x+4y+1=0与两坐标轴的公共点分别为A ，B ，C ，则△ABC 的面积为（ ） A. 3 B. 23 C. 2 D. 46. 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则下列关系中不正确的是（ ）A. PA ⊥BCB. BC ⊥平面PACC. AC ⊥PBD. PC ⊥BC 7. 已知过定点P （2，0）的直线l 与曲线y=22x -相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l 的倾斜角为（ ）A. 150°B. 135°C. 120°D. 30°8. 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 1，P 2分别是线段AB ，BD 1（不包括端点）上的动点，且线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1，则四面体P 1P 2AB 1的体积的最大值是（ ）A.241 B. 121 C. 61 D. 21二、填空题共6小题。
北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃）1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．A B 1D A 【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =，∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CB A D【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100) ②(85,85,100) ③255x y z ++≥ ④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点．1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________．【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++． 【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体，∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像）3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-， ∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．。
北京海淀2017-2018学年高二上学期期中考试数学( 理 )试题
……外…………○……学校:____……内…………○……绝密★启用前北京海淀2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列四个命题中，假命题为（ ）．A ． x R ∀∈， 20x >B ． x R ∀∈， 2310x x ++>C ． x R ∃∈， lg 0x >D ． x R ∃∈， 22x = 2．“k =是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相切”的（ ）．A ． 充分而必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）．A ．16 B ． 13 C ． 23D ． 1 4．命题:πp x =是sin y x =的一条对称轴；命题:2πq 是sin y x =的最小正周期．下………○…………订…※※在※※装※※订※※线※※内※※答………○…………订…①p且q；②p或q；③p⌝；④q⌝．其中真命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若mβ⊂，αβ⊥，则mα⊥；②若α// β，mα⊂，则m // β；③若nα⊥，nβ⊥，mα⊥，则mβ⊥；④若αγ⊥，βγ⊥，mα⊥，则mβ⊥．其中正确命题的序号是A．①③ B．①② C．③④ D．②③6．若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（A（B）4（C（D）87．已知圆()()221:231C x y-+-=，圆()()222:349C x y-+-=，M、N分别是圆1C、2C上的动点，P为x轴上的动点，则PM PN+的最小值为（）．A．4B．1C．6-D．8．已知函数()221,1{1,1x ax xf xax x x++≥=++<，则“20a-≤≤”是“()f x在R上的单调递增”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知正方形的边长为将沿对角线折起，使平面平ABCD ABC∆AC ABC⊥…装…………○…订…………○____姓名：___________班级：_考号：__________…装…………○…订…………○面，得到如图所示的三棱锥．若为边的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且.设，则三棱锥的体积的函数图象大致是A ．B ．C ．D ．10．如图，四面体OABC 的三条棱OA ， OB ， OC 两两垂直， 2OA OB ==，3OC =， D 为四面体OABC 外一点，给出下列命题．①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形； ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥； ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等；④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上．其中真命题的序号是（ ）．A ． ①②B ． ②③C ． ③D ． ③④ACD B ACD -O AC M N DC BO BN CM =BN x =N AMC-()y f x =………外…………………内…………第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．设()()()3,3,1,1,0,5,0,1,0A B C，则AB中点M到C的距离CM=_______.12．圆222660x y x y+--+=与圆22610300x y x y+--+=相交于A，B两点，则弦AB=___________．13．设命题:p x R∃∈，220x ax a+-=．命题:q x R∀∈，22421ax x a x++≥-+，如果命题“p q∨”为真命题，“p q∧”为假命题，求实数a的取值范围__________．14．已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：1y x=-被圆C所截得的弦长为l垂直的直线的方程为．15．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为_________，离心率为___________．16．将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①侧面是等边三角形；②；③三棱锥的体积是．其中正确命题的序号是_________．（写出所有正确命题的序号）17．如图，正方体1111ABCD A BC D-的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面为S，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.S为四边形；②当S为等腰梯形；…………○………………订…………○学校:_____级：___________考号：___________…………○………………订…………○ S 与11C D 的交点R 满足 S 为五边形； ⑤当1CQ =时， S 的面积为三、解答题18．如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直， 90ADE ∠=︒，AF DE ， 22DE DA AF ===．（I ）求证： AC ⊥平面BDE ． （II ）求证： AC 平面BEF ． （III ）求四面体BDEF 的体积．19．某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度AD 为，行车道总宽度BC 为，侧墙面高EA ，FD 为2m ，弧顶高MN 为5m ．（1）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．20．某隧道的拱线段计为半个椭圆的形状，最大拱高h 为6m （如图所示），路面设计是双向四车道，车道总宽度为22m ．如果限制通行车辆的高度不超过4.5m ，那么隧道…………○……………○…设计的拱宽d至少应是多少米（精确到0.01）？21．已知圆()222x a y r-+=与直线1y x=-交于A，B两点，点P为线段AB的中点，O为坐标原点．（1）如果直线OP的斜率为13，求实数a的值．（2）如果AB=，且OA OB⊥，求圆C的方程．22．已知直线与圆相交于、两点，且满足．（）求圆的方程．（）若，，为轴上两点，点在圆上，过作与垂直的直线与圆交于另一点，连，求四边形的面积的取值范围．参考答案1．B【解析】B 选项： 2310x x ++>的解为： x >x <，B 错，其余选项均为正确． 故选B ． 2．A【解析】若直线与圆相切，则圆心到直线距离1d r ===，∴k =∴k =故选A ． 3．B【解析】三视图对应的原图如下所示：BC CD ⊥， AB ⊥面BCD ，∴1133V BC CD AB =⨯⋅⋅=． 选B ． 4．C【解析】由题可知： sin y x =图如图所示：∴πx =是对称轴，故p 为真，sin y x =的最小正周期为π，故q 为假，∴p 且q 为假； p 或q 为真， p ⌝为假； q ⌝为真． 选C ． 5．D【解析】试题分析：对于① 由m β⊂， αβ⊥不能得到m α⊥，故①不正确；排除A 、B ．对于② 由α// β， m α⊂，能得到m // β，故②正确；排除C故选D ．考点：1．空间线面之间的位置关系；2．命题真假的判断； 6．A 【解析】为3，则底面边长为2故A 正确。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 三条直线l 1，l 2，l 3的位置如图所示，它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是（ ）A. k 1>k 2>k 3B. k 1> k 3> k 2C. k 3> k 2> k 1D. k 2> k 3> k 12. 如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点。
若=a ，=b ，1AA =c ，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. c b a ++-2121 B. c b a ++2121 C. c b a +--2121 D. c b a +-2121 3. 过点（-l ，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（ ） A. x-2y-5=0 B. x-2y+7=0 C. 2x+y-1=0 D. 2x+y-5=04. 已知球O 与正方体各棱均相切，若正方体棱长为2，则球O 的表面积为（ ） A.34πB. 2πC. 4πD. 6π5. 在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p=xa+yb+zc 。
正确命题的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 36. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB=OC ，且∠AOB=∠AOC=3，则cos （，）的值为（ ）A.33B. 0C.21D.22 7. 如图，点O 为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心，点E 为面B'BCC'的中心，点F 为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF 在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）A. B. C. D.8. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点。
那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是（ ）A. B. C. D.二、填空题共6小题，共30分。
9. 若直线ax+4y-l=0与2x-5y+6=0互相垂直，则a的值为__________。
10. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截的弦长为__________。
11. 正四面体棱长为2，则它的体积是_________。
12. 若直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-l与直线2x-3y=5平行，则m的值是_______。
13. 如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为_________。
14. 在如图所示的棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是_________；截得的平面图形中，面积最大的值是________。
三、解答题共4小题，共50分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. （12分）已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且圆心在x轴上。
（1）求直线PQ的方程；（2）圆C的方程；（3）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程。
16. （12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点。
（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积。
17. （12分）已知圆M：x2+（y-2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。
（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；（2）求四边形QAMB面积的最小值；（3）若|AB|=324，求直线MQ的方程。
18. （14分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点。
（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角A1-BD-A的大小；（3）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由。
参考答案1. D2. A3. B4. C5. A6. B7. D8. A9. 10. 10. 23 11.31 12. 89- 13. 217 14. 23；33 15. （1）直线PQ 的方程为x+y-2=0。
（2）圆C 的方程为（x-1）2+y 2=13。
（3）设直线l 的方程为y=-x+m ，A （x 1，m-x 1），B （x 2，m-x 2）， 由题意可知OA ⊥OB ，即·=0， 所以x 1x 2+（m-x 1）（m-x 2）=0， 化简得2x 1x 2-m （x 1+x 2）+m 2=0。
（*） 由⎩⎨⎧=+-+-=13)1(,22y x m x y 得2x 2-2（m+1）x+m 2-12=0，所以x 1+x 2=m+1，x 1x 2=2122-m 。
代入（*）式，得m 2-12-m ·（m+1）+m 2=0， 所以m=4或m=-3，经检验都满足判别式∆>0， 所以直线l 的方程为x+y-4=0或x+y+3=0。
16. （1）因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以PA ⊥平面ABC 。
又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BD 。
（2）因为AB=BC ，D 为AC 中点，所以BD ⊥AC 。
由（1）知，PA ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC 。
所以平面BDE ⊥平面PAC 。
（3）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE=DE ， 所以PA ∥DE 。
因为D 为AC 的中点，所以DE=21PA=l ，BD=DC=2。
由（1）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC 。
所以三棱锥E-BCD 的体积V=61BD ·DC ·DE=31。
17. （1）设过点Q 的圆M 的切线方程为x=my+1， 则圆心M 到切线的距离为1， 所以11|12|2=++m m ，所以m=34-或0， 所以QA ，QB 的方程分别为3x+4y-3=0和x=1。
（2）因为MA ⊥AQ ，所以S 四边形MAQB =|MA|·|QA|=|QA|=3||||22≥-MA MQ 。
所以四边形QAMB 面积的最小值为3。
（3）设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， 所以|MP|=31)322(12=-。
在Rt △MBQ 中，|MB|2=|MP||MQ|， 即1=31|MQ|，所以|MQ|=3，所以x 2+（y-2）2=9。
设Q （x ，0），则x 2+22=9，所以x=±5，所以Q （±5，0）， 所以MQ 的方程为2x+5y+25=0或2x-5y-25=0。
18. （1）连结AB 1交A 1B 于M ，连结DM ，因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱， 所以四边形AA 1B 1B 是矩形， 所以M 为AB 1的中点。
因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形AB 1C 的中位线， 所以MD ∥B 1C 。
因为MD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ， 所以B 1C ∥平面A 1BD 。
（2）作CO ⊥AB 于O ，所以CO ⊥平面ABB 1A 1，所以在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中如图建立空间直角坐标系O-xyz 。
因为AB=2，AA 1=3，D 是AC 的中点。
所以A （1，0，0），B （-l ，0，0），C （0，0，3），A 1（1，3，0）， 所以D （21，0，23），=（23，0，23），1BA =（2，3，0）。
设n =（x ，y ，z ）是平面A 1BD 的法向量，所以⎪⎩⎪⎨⎧==，，0·0·1BA n n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,032,02323y x z x 令x=-3，则y=2，z=3，所以n =（-3，2，3）是平面A 1BD 的一个法向量。
由题意可知1AA =（0，3，0）是平面ABD 的一个法向量， 所以cos<n ，1AA >=3432=21。
由题知二面角A 1-BD-A 为锐角，所以它的大小为3π。
（3）设E （1，x ，0），则C 1=（1，x-3，-3），11B C =（-1，0，-3）， 设平面B 1C 1E 的法向量m =（x 1，y 1，z 1），所以⎪⎩⎪⎨⎧==，，0·0·111B C m E C m 即⎪⎩⎪⎨⎧=--=--+,03,03)3(11111z x z y x x令z 1=-3，则x 1=3，y 1=x-36，m=（3，x-36，-3），又m ·n=0，即-33+x-312-33=0，解得x=33， 所以存在点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD 且AE=33。