相似三角形习题课.

相似三角形习题课
一、基本图形
几何图形大都是由基本图形 复合而成，因此熟悉三角形相似 的基本图形，有助于快速准确地 识别相似三角形，从而顺利地找 到解题的思路和方法。
（一）平行型
如图，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. A型 X型
A
D B E C B
E
A
D
C
例1 如图，在平行四边形ABCD中， E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于 点G,交BC于点F，则图中相似三角形 （不含全等三角形）共有 5 对。 D G A B F E
C
（二）斜交型
如图，若∠AED=∠B，则△AED∽△ABC.
AD AE ∠ADE=∠C AC AB
A
D D E B C B E
A
C
例2 如图，D、E分别为△ABC的边 AC、AB上的点，BD、CE相交于点O，且
∠ABD=∠ACE，试问△ADE与△ABC相似吗？
如果相似，请说明理由.
A
E
D
O B C
c)已知一对直角
d)两等腰三角形
找顶角或底角相等(判定定理3)
找底和腰成比例(判定定理1) e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3
三、证明比例式或 等积式的方法
三点定形法 等线代换法 等比代换法 等积代换法
（一）三点定形法

即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形 的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项 所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别 确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三 角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能， 再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段 的三个不同的端点能否分别确定一个三角形， 则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做 “竖定”。
A D B
D E B
E CB
A
E A
D
D
A
A D E
CB
D
E A
C B
C
C
B CA D C B 通常能在复杂图形中辨认出上述基本图形，或能 根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形， 就能使问题得以解决.
二、判定三角形相似的 解题思路
根据已知条件，灵活运用相 似三角形的六种判定方法解题.
1)先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)； 2)再找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否成比例 (对直角三角形也可看斜边和一组直角边是否成比例)； 3)若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例. 找另一对等角(判定定理3) a)已知一对等角 找夹边成比例(判定定理2) b)己知两边成比例 找夹角相等(判定定理2) 找第三边也成比例(判定定理1) 找另一对等角(判定定理3) 找两边成比例(判定定理3或4)
A
D
B
射影图：
射影定理：若 CD是Rt△ABC斜边 A 上的高,则：
△ABC∽△ACD
△ABC∽△CBD △ACD∽△CB D
C
D
2
B
AC AB AD AC BC AB BD BC
AC AD AB
BC BD AB
2
CD AD BD CD
CD 2 AD BD
例5 如图，Rt△ABC中，∠CAB= 900 AE⊥BC于点E，BE：EC=1:3，AB=4， 求BC的长.
相交线型
A D
子母型
A

E
B C B
D (E)
C
（三）子母型
如图，若
A D
，则△ACD∽△ABC.
∠ACD=∠B ∠ADC=∠ACB AD AC AC AB 2 即：AC AD AC
B
C
例3 如图，∠ABC=∠ACD， AD=8，BD=6，则AC= . A D
B
C
例4 如图，已知CD是直角△ABC斜边 上的高，求证：△ABC∽△ACD∽△CBD. C
（二）等线代换法
例4：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD 的垂直平分线FE交BC的延长线于E． 求证：DE2＝BE· CE．
（三）等比代换法

当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等 线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑 利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通 过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证 的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后 再用三点定形法来确定三角形。
（一）三点定形法
例3：已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的 垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE· DF。 分析方法： 1）先将积式 化为______________ 2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）
（二）等线代换法

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如 果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一 条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然 组成两个三角形，但这两个三角形并不相似， 那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线 段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有， 可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定 形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往 往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换 的线段再代换回来。
A
B
E
C
斜交型
A D E E D B C B C
旋转型
A
（四）旋转型
如图， ∠BAD=∠CAE，若 △AED∽△ABC. ∠D=∠C
∠E=∠B
AD AE AC AB
，则
A E D
B
C
例6 如图，∠1=∠2，∠3=∠4， 试说明△ABC∽△DBE A
1 4 B 3 D 2 E C
一、基本图形
（一）三点定形法
例1：已知:如图,Δ ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.
求证:
（判断“横定”还 是“竖定”？ ）
（一）三点定形法
例2：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高， ∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F， AC· AE=AF· AB吗？说明理由。
分析方法： 1）先将积式化成 ______________ 2）______________ （ “横定”还是“竖定”？ ）
（三）等比代换法
例5：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°， AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的 延长线于点F．求证：
．
（四）等积代换法

思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两 个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比 例；若三点定形法不能确定两个相似三角形， 则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换， 然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上 三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。