近世代数第1讲

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近世代数知识点教学文稿

近世代数知识点近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。

●满射：像集合中每个元素都有原像。

Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。

第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。

ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。

2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。

ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。

iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。

iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。

4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔ e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。

近世代数基础课件

37
第3讲特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
38
第六章群论补充
39
第1讲共轭元与共轭子群 1 第2讲群的直积第3讲群在集合上的作用第4讲西罗定理
40
第1讲共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
53
四代数学发展的四个阶段
代数学经历了漫长的发展过程,抽象代数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段
54
1 最初的文字叙述阶段
古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学. 此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方法.例如通过图形的组合可以得到
}
} }
映射相关概念及举例
映射的运算映射及其相关概念的推广
}
特殊映射
6
第3讲基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律（1）结合律（2）交换律（3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律（1）第一分配律（2）第二分配律
7
第4讲基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射同态映射 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例

近世代数课件(全)--1-2运算律,同态同构

2012-9-19
定义3
设
则称

是集合A的代数运算，若 a , b A, 都有 a b=b a.

满足交换律.
定理2 如果 A 的代数运算同时满足交换律和结合律，那么 a 1 a 2 a n 中的元的次序可以任意掉换.
2012-9-19
定义4
是一个B×A到A的代数运算,⊕是一个A
n 0

0不在N中，矛盾。
( N , ) 与 (N , ) 不同构.
2012-9-19
作业：证明：（1） { N ,}与 { N ,} （2） { Z , }与 { Z ,} （3）
{Q , }与 {Q ,}

不同构（普通乘法）.
不同构.
（其中 Q
不同构. 为非零有理数集）.
都是整数中
通常的加法“+”，现作
: ( A , ) ( A , )其中 ( n ) n , n A
，那么
2012-9-19
是同构映射.
定理5 如果 ( A , , ) 和( A , , ) 同构，那么 (1) 满足结合律也满足结合律； (2) (3)
的代数运算.若 , ⊕对于B的任何b，A的任何
a 1 , a 2 ,都有
a (b c ) ( a b ) ( a c )
则说 , ⊕适合第一分配律. 类似地可定义第二分配律. 如果⊕适合结合律 , , ⊕适合第一分配律,则
b B , a1 , a 2 , a n A, 都有 a ( b1 b 2 b n ) ( a b1 ) ( a b 2 ) ( a b n )

近世代数ppt

8
第4讲基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与集合A的分类之间的联系
10
第三章群
11
第1讲代数系统
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第一章绪论
1
第1讲绪论
一关于代数的观念二数学史的发展阶段三代数发展的阶段(数学发展史) 四代数学发展的四个阶段五几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章基本概念
3
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊

大学课程课件近世代数教学课件

A1 , A2 ,, An
和
A1 A2 An 我们有
A1 A2 An
( x A1 A2 A) ( x至少属于某一Ai , i 1, 2,, n)
( x A1 A2 A) ( x属于每一Ai , i 1, 2,, n)
全体复数的集合，表示为C
设A，B是两个集合，如果A 的每一元素都是B 的
元素，那么就说Ａ是Ｂ的子集，记作作，或记
. 根据这个定义，Ａ是Ｂ的的子集当且仅当
A B
.
BA 对于每一个元素 x，如果
，就有
x A
A是B的子集，记作：
xB
( A B) (x : x A x B)
f :x y
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 . f (x )
例1 设
A B {1,2,3,4}
这是A到B的一个映射.
f : 1 2,2 3,3 4,4 1
例2 设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集合. 对于每一与它对应. f 不是A到B的映射， x ，令 A f ( x) x 因为当时，不能由x唯一确定.
设 f :AB 如果对于每一 x A 与g是相等的. 记作
，B g:A ，都有
f ( x) g ( x)
都是A到B的映射，，那么就说映射f
f g
例3
令
f : R R, x | x |
2 g : R R , x x 那么 .
f g
定义4：设是A到B 的一个映射， g : B C f :AB 是B 到C 的一个映射. 那么对于每一个， x A g ( f ( x)) 是C中的一个元素. 因此，对于每一，就有C 中唯一的确定 x A 的元素与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，这映 g ( f ( x和 )) 射是由所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作 f : A . B 于是有 g:BC

近世代数课件(全)--近世代数1-0 基本概念

2012-9-19
6. 数字通信的可靠性问题现代通信中用数字代表信息，用电子设备进行发送、传递和接收，并用计算机加以处理。由于信息量大，在通信过程中难免会出现错误。为了减少错误，除了改进设备外，还可以从信息的表示方法上想办法。用数字表示信息的方法称为编码。编码学就是一门研究高效编码方法的学科。下面用两个简单的例子来说明检错码与纠错码的概念。
2012-9-19
8. 代数方程根式求解问题我们知道，任何一个一元二次代数方程可用根式表示它的两个解。对于一元三次和四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是否任何次代数方程的根均可用根式表示？许多努力都失败了，但这些努力促使了近世代数的产生，并最终解决了这个问题：五次以上代数方程没有根式解。
2012-9-19
2 3
1 8
4 5
7 6
例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链
利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难，采用群论方法解决是最简单、有效的方法。
2012-9-19
2.分子结构的计数问题在化学中研究由某几种元素可合成多少种不同物质的问题，由此可以指导人们在大自然中寻找或人工合成这些物质。例2 在一个苯环上结合H原子或CH3原子团，问可能形成多少种不同的化合物？如果假定苯环上相邻C原子之间的键是互相等价的，则此问题就是两种颜色6颗珠子的项链问题。
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两种颜色（红、绿） n=2
6面红 5面红、1面绿 4面红、2面绿 3面红、3面绿 2面红、4面绿 1面红、5面绿 6面绿
1 1 2 2 2 1 1
利用枚举法，得到一共10种不同的着色法。对于一般的情况，目前只能用群论方法解决。

近世代数1

近世代数近世代数是数学中的一个重要分支，它主要研究代数结构及其应用。

近世代数产生于19世纪中叶，一开始被视为是整数理论的一部分，但随着研究的深入，近世代数逐渐发展成为一门独立的数学分支。

在这篇文章中，我们将对近世代数的概念、发展以及主要结论进行探讨。

一、近世代数的概念近世代数是指从巴格-瓦列理公式出发，发展起来的一种代数学，它主要研究代数结构的一般理论。

在近世代数中，我们主要研究群、环和域这三种代数结构，这三种代数结构都可以看作一组数以及对这些数进行运算的一种集合。

群：群是一种代数结构，它包含了一组有限或无限个元素以及一种二元运算。

这种运算满足结合律、单位元素存在和逆元素存在的条件，这里的逆元素指的是一个元素与之相乘可以得到单位元素。

环：环是一种代数结构，它包含了一组有限或无限个元素以及两种二元运算。

这两种运算被称作加法和乘法，加法满足结合律、交换律、单位元素存在以及逆元素存在的条件，乘法满足结合律和分配律。

域：域是一种代数结构，它包含了一组有限或无限个元素以及两种二元运算。

这两种运算被称作加法和乘法，加法满足结合律、交换律、单位元素存在以及逆元素存在的条件，乘法满足结合律、交换律、单位元素存在以及逆元素存在的条件。

此外，对于任意的非零元素，都有其乘法逆元素存在。

二、近世代数的发展1、伽罗华理论伽罗华理论是19世纪中期出现的一种代数理论，该理论最初的研究对象是方程的根式解。

伽罗华理论的主要思想是利用群论的方法研究方程的根的性质。

2、李群和黎曼猜想20世纪初，李群的概念被引入到了数学中。

李群是一种具有光滑结构和群结构的数学对象，它将代数和几何联系起来，是现代微分几何和物理学中不可或缺的数学工具之一。

黎曼猜想是数论中的一个著名猜想，它关于大约150年前被提出，至今尚未证明。

其主要内容是，对于任意正整数n，大于1的所有素数p都满足：p的虚部等于n的平方根。

3、格罗滕迪克定理格罗滕迪克定理是当代近世代数的一个重要定理，该定理表明，任何有限群都可以表示为一些简单有限群的直积。

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第 1 讲
第一章基本概念
§1—3 集合、映射及代数运算（2课时）
（Sets mapping and algebra operation ）
§1、集合
本讲的重点和难点：代数运算（二元运算）的掌握及映射概念的把握。

尤其是掌握各类映射（单射、满射及双射）的定义、陈述。

思考题1：如何用语言陈述“A
B⊄”？
思考题2：若A
B⊂，但B不是A的真子集，这意味着什么？
全集：我们在讨论某一个具体问题时，所涉及到的集合往往是某一个特定“大的“集合的子集。

这个“大的“集合就叫做”全集“.
也叫”基础集“‘。

如数学系06级同学，化学系07级同学，是“晓庄学院学生”的两个子集。

“晓庄学院学生”就是相对于数学系06级同学，化学系07级同学这两个集合的”全集“用E表示全集。

集合的差：{}B
A∉
∈
B
-且
=
x
A
x
x
集合在全集内的补：{}A
∈
x
=且
A∉
E
x
x
集合的卡氏积：{}B
⨯且
=
)
(
∈
,
b
a
A
A∈
b
a
B
注：B A ⨯中的元素可看成由A 和B 坐标轴所张成的平面上的点。

卡氏积的推广：
{}
m i A a a a a A A A A m A A A i i m m m
i i m ,,2,1,),,,( ,,,21211
21 =∈=⨯⨯⨯=∏
=：
成的卡氏积为个集合，那么由它们做
是令
思考题3：
（1）{}{}{}{}那么：设,4,2,5,2,1,4,1,5,4,3,2,1====C B A E
=
B A ；
=
B A ；
=
C B A )( ；=）（C B A
；（2）证明等式：
()()()()()()()
A B A C A C A B A B A C A B C ==
()()()()
()()[()][()]
()[()()]
A B A C A C A B A B A C A A C B A C A C A B B C ===
,,x B C x B x C x A x A C ∈⇒∈∈∈∈ 且。

如果则如果__
,x A x A ∉∈则 , 因此
__
x A B ∈ 。

所以，B C ⊆ ()()
A C A
B 。

因此有
()[()()]()()A C A B B C A C A B =
（3）设有集合A ，B ：
∙
若B
B
A =-，则A 与
B 有什么关系？
∙ 若A B B A -=-，则A 与B 有什么关系？
§2、映射：
个集合，是，令1 ,,,21+m D A A A m
定义：设φ是集合
m
A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个对应法则：如果对
m A A A ⨯⨯⨯ 21中任一元素),,,(21m a a a ，关于φ
都有D 中唯一的元素d
与其对应，那么称法则φ是由m A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射。

其中，记)
,,,(21m a a a d
φ=，d 是),,,(21m a a a 关于φ的象，
),,,(21m a a a 是
d 在φ下的原象。

例题（p5） §3、代数运算：
设给定D
A A A f D A A A m m →⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 2121:的映射
到，
如果n=2时，f 就叫做代数运算。

一般地有
定义任一个D B A 到⨯的映射都叫做D B A 到⨯的一个代数运算。

事实上，我们都接触过代数运算。

例1：,5)3,2(:,),(,:=+=→⨯f f b a b a f Z Z Z f
就是整数内的加法
知设
6)10,4(=-f 为方便起见，以后凡是代数运算都不用映射符号
"","",,⋅ ，而是用g f 等。

例2：（整数内的减法） ,484,527,,:-==-=→⨯即则b a b a Z Z Z
上述的例子都是D
B A ==的情形，一般情况下，有
例（8P ）
代数运算表：当B A ,都是有限集时，那么D B A 到⨯的每一个代数运算
都可以用运算表表示。

设{}{}m n b b b B a a a A ,,,,,,,2121 ==，则运算表为：
注：对于代数运算D
A B →
⨯的运算表，要求B A 与中元素在上表中的
位置互换。

在实际工作中，更多的是D
B A ==
的情形，这时，有如下定义：
定义：若A A A 到是⨯ 的代数运算，则可称是A 的代数运算或称二元运算。

研究集合A 。

给集合A 赋予了代数运算后，对这集合赋予了生命。

课堂练习：
which of the following rules are algebra operations on the indicated set? 1、.,Q set
the
on ab b a =
2、{}.0,ln >∈=x and
R
x x set
the
on b a b a
3、.,02
2
2
R set
the on b a x equation
the
of
root
a is b
a =-
4、.,Z set
the on n Subtractio
5、{}.0,≥∈n and
Z
n n set
the on n Subtractio
6、{}.0,≥∈-=
n and
Z
n n set
the on b a b a
Solution:1、.221Q b a b and a when
∉=
⇒==
2、.0ln
12
1
2
1
<=⇒=
=b a b and a when
3、⎩
⎨⎧⋅-⋅=⇒==323
23,2b a b a when 4、.Okay 5、.0352<-=⇒==b a b and
a when
6、.Okay。