近世代数第一章基本概念自测练习
近世代数自测题
《近世代数基础》自测题二题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一、选择题(每小题3分，共6小题，共18分)１．G 是群,,a b G "Î, 则方程ax b =在G 中的解是 ( )A ． b x a =B ． 1x a b -=C ． ax b= D ． 1x ba -= 2．置换1234524153s æö÷ç=÷ç÷çèø的置换循环分解式为 （ ） Ａ．()15423 Ｂ．()12345 Ｃ．()43152 Ｄ．()31245 3．群{}1,1,,G i i =--的代数运算是普通乘法，若H 是G 的真子群，则 （ ）Ａ．{}1,1H =- Ｂ．{}1,,H i i =-- Ｃ．{}1,1,H i =- Ｄ．{},1,,1H i i =-- 4．设}3,2,1{=A ，则A 到自身的双射共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5．模12的剩余类加群是｛12;}Z +，下列元素中阶是３的元素为 （ ）Ａ． [3] B ． [4] C ． [5]D ． [6]6．1{2|}R x x Z =Î和2{3|}R x x Z =Î是整数环Z 的两个子环，则12R R Ç等于（ ）A ． {6|}x x Z ÎB ．{0}C ．{2|}x x Z ÎD ． {3|}x x Z Î二、填空题(每小题3分，共5小题，共15分)１．已知{}1,1A =-，则A A ´= 2．在有理数集合Q 中定义：ab b a b a −+=∗，则其单位元是e = 3．G 是群，a G Î并且||2a = , 则 1a -=4．e 是群G 的单位元，n a G a =∈||,，则e a m =的充分并且必要条件是 5．R 是模8的剩余类环，[]R x 的多项式2x 在R 里的根是 三、判断题（每小题3分，共5小题，共15分） 1．域中每一个元素都有逆元． （ ） 2．G 与G 是两个代数系统，并且G ～G ，则G 是群时，G 必是群． （ ） 3．由于环R 的理想子环S 必是子环，因此每一个子环也必是理想． （ ） 4．已知群||G n =，则一定有{};n G Z @+´． （ ）5．在环R 中，每一个非零元素a 对加法的阶都相同． （ ）四、Z 是整数集，规定3a b a b =+-o （",a b Z Î），证明{;}Z o 作成一个交换群，并求出２的逆元．（ 12分 ）五、计算（10分 ） 123412341234134243213124æöæöæö÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷çççèøèøèø六、R 是含有单位元的交换环0R 的子环，并且1R ∈，证明R 上的一个未定 元x 的多项式()f x 只能用一种方法写成2012()n n f x a a x a x a x =++++L ．（ 10分 ） 七、对于实数集R 上的普通加法和正实数集R +上的普通乘法若令：j ：10x x ® （ x R "Î ）证明j 是R 到R +的同态映射，并判断j 是否为单同态，满同态或同构．（ １０分 ）八、已知21,N N 是群G 的不变子群，证明21N N I 是G 的不变子群.（10分）。
近世代数第一章答案
近世代数第一章基本概念答案§ 1 ． 集合1.A B ⊂，但B 不是A 的真子集，这个情况什么时候才能出现？ 解 由题设以及真子集的定义得，A 的每一个元都属于B ，因此B A ⊂.于是由A B ⊂ B A ⊂得B A =.所以上述情况在A=B 时才能出现.2. 假设B A ⊂,?=⋂B A ?=⋃B A解 （i ） 由于B A ⊂,所以A 的每一个元都属于B ,即A 的每一个元都是A 和B 的共同元，因而由交集的定义得B A A ⋂⊂但显然有A B A ⊂⋂所以A B A =⋂(ii) 由并集的定义，B A ⋃的每一个元素都属于A 和B 之一，但B A ⊂,所以B A ⋃的每一元素都属于B :B B A ⊂⋃另一方面B A B ⋃⊂,所以B B A =⋃.§ 2 ． 映射1. A ={1,2,…，100}.找一个A A ⨯到A 的映射.解 用()b a ,表示A A ⨯的任意元素，这里a 和b 都属于A .按照定义做一个满足要求的映射即可，例如 Φ： ()b a ,→a 就是这样的一个，因为Φ替A A ⨯的任何元素()b a ,规定了一个唯一的象a ,而A a ∈.读者应该自己再找几个A A ⨯到A 的映射. 2.在你为习题1所找的映射之下，是不是A 的每一个元都是A A ⨯的一个元的象?解 在上面给出的映射Φ之下，A 的每一个元素都是A A ⨯的一个元的象，因为()b a ,中的a 可以是A 的任一元素.你自己找到的映射的情况如何？有没有出现A 的元素不都是象的情况？假如没有，找一个这样的映射.§ 3 ．代数运算1. A ={所有不等于零的偶数}.找一个集合D ，使得普通除法是A A ⨯到D 的代数运算.是不是找得到一个以上的这样的D ？解 一个不等于零的偶数除一个不等于零的偶数所得结果总是一个不等于零的有理数.所以取 D ={所有不等于零的有理数} 普通除法就是一个A A ⨯到D 的代数运算.可以找得到一个以上的满足要求的D .读者可以自己找几个. 2.{}c b a A ,,=.规定A 的两不同的代数运算.解 （i ）我们用运算表来给出A 的一个代数运算： a b ca a a ab a a ac a a a按照这个表，通过 ，对于A 的任何两个元素都可以得出一个唯一确定的结果a 来，而a 仍属于A ，所以 是A 的人一个代数运算.这个代数运算也可以用以下方式来加以描述 : ()y x a y x o =→, 对一切A y x ∈, (ii)同理: ()y x x y x o =→, 对一切A y x ∈,也是A 的一个代数运算.读者可用列表的方法来给出这个代数运算.读者应自己给出几个A 的代数运算.§4 ．结合律1. A ={所有不等于零的实数}， 是普通的除法:ba b a =o 这个代数运算适合不适合结合律？解 这个代数运算 不适合结合律.例如， 当4=a 2==c b时()122224224)(====o o o o o c b a ()()414224224==⎪⎭⎫ ⎝⎛==o o o o o c b a所以当a ,b 和c 取上述值时()()c b a c b a o o o o ≠2. A ={所有实数}，代数运算： （a,b ）→a+2b=a b适合不适合结合律？解读者可以用解上一题的方法来证明，所给代数运算不适合结合律.3.A={a,b,c}.由表a b ca ab cb bc ac c a b给出的代数运算适合不适合结合律？解所给代数运算 适合结合律.为了得出这个结论，需要对元素a,b,c的27（=33）种排列（元素允许重复出现）加以验证.但是利用元素a的特性，可以把验证简化.仔细考察运算表，我们发现以下规律：对集合A的任意元素x来说，都有a x=x a=x由此得出，对于有a出现的排列，结合律都成立.这一点读者可以自己验证.还剩下a不出现的排列.这样的排列共有8（=32）种.我们在这里验证4种，其余4种读者可以自己验证.（b b） b=c b=ab (b b)=b c=a所以（b b） b=b (b b)(b b) c=c c=bb (b c)=b a=b所以 (b b) c=b (b c)(b c) b=a b=bb (c b)= b a=b所以 (b c) b=b (c b)(b c) c=a c=cb (c c)=b b=c所以 (b c) c=b (c c)§5．交换律1.A={所有实数}. 是普通减法：a b= a b这个代数运算适合不适合交换律？解容易验证，当a = 1，b = 2时a b b a ≠ 所以这个代数运算不适合交换律. 2. A ={a , b ,c , d}，由表 a b c da abcd b b d a c c c a b d d d c a b所给的代数运算适合不适合交换律？解 要回答这个问题，只须考察一下运算表，看一看关于主对角线对称的位置上，有没有不相同的元素.易知此运算表不对称，所以此代数运算不适合交换律。
近世代数基础知到章节答案智慧树2023年哈尔滨工程大学
近世代数基础知到章节测试答案智慧树2023年最新哈尔滨工程大学第一章测试1.在一个有限群里阶大于0的元的个数一定是偶数参考答案:错2.循环群一定不是交换群参考答案:错3.同构的两个群有相同的阶数参考答案:对4.整数环存在零因子参考答案:错5.设Z11是整数模11的剩余类环，则Z11的特征是1参考答案:错第二章测试1.参考答案:错2.参考答案:对3.参考答案:对4.在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数参考答案:对5.一个有限群的每一个元素的阶都是有限的参考答案:对6.参考答案:错7.参考答案:;8.循环群一定是交换群参考答案:对9.参考答案:对10.参考答案:对第三章测试1.参考答案:对2.参考答案:对3.参考答案:错4.参考答案:对5.参考答案:对6.正规子群的交仍是正规子群。
参考答案:对7.参考答案:对8.参考答案:对9.参考答案:错10.参考答案:对第四章测试1.参考答案:32.参考答案:3.参考答案:P仅有平凡因子4.参考答案:5.参考答案:欧式环6.若Q是一个域，不正确的是参考答案:Q对乘法成群7.参考答案:8.参考答案:9.数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法()参考答案:构成一个群10.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为()参考答案:4个11.参考答案:12.参考答案:R的理想一定是子环13.参考答案:有单位元的交换环14.参考答案:1第五章测试1.参考答案:错2.参考答案:对3.参考答案:对4.参考答案:对5.参考答案:对6.参考答案:错7.参考答案:错8.参考答案:;;9.参考答案:;;10.参考答案:对第六章测试1.有限域F 的非零元作成的乘群是一个循环群参考答案:对2.每个有限扩展不一定是代数扩张参考答案:错3.域一定是整环，但整环却不一定是域参考答案:对4.整数环Z是域.参考答案:错5.若R是一个可交换的除环，则称R为域参考答案:对6.有限整环不是域参考答案:错7.参考答案:对8.参考答案:对9.下面是无限域的是参考答案:全体复数构成域;全体实数构成域10.参考答案:;;。
近世代数第一章练习题
近世代数试题一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题3分，共15分)1.设A=R（实数域），B=R+（正实数域）φ:a→10a∀a∈A则φ是从A到B的( )。
A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射2.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )。
A.x→10xB.x→2xC.x→|x|D.x→-x3.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )。
A.1B.2C.3D.44.整数环Z中，可逆元的个数是( )。
A.1个B.2个C.4个D.无限个5.剩余类加群Z18的子群有( )。
A.3个B.6个C.9个D.12个二、填空题(每空3分，共27分)1.设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个.2.n次对称群S n的阶是____________.3.一个有限非可换群至少含有____________个元素.4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有____________个.5.除环的理想共有____________个.6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________.7.设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是____________.8.在2, i+3, π2, e-3中，____________是有理数域Q上的代数元.9.2+ 3在Q上的极小多项式是____________.三、解答题(第1、2小题各12分，第3小题10分，共34分)1.设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群.2.求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？3.设Z是整数环，则(2)∩(3)、(2,3)是Z的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z的理想吗？为什么？四、证明题(每小题8分，共24分)1.设a 、b 是群G 的元素，a 的阶为2，b 的阶为3，且ab=ba ，证明ab 的阶是6.2.证明：在n 阶群G 中每个元都满足x n =e.3.设A=⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 0b a a 、b 、c ∈⎭⎬⎫关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明 A 1=⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛x 000x ∈⎭⎬⎫是A 的子环，找出A 到A 1的一个同态满射f,求f 的核N.。
近世代数测试题答案
近世代数测试题（A）参考答案一、填空题（每题3分，共30分）:一、二、 3、或,或, 或4、五、或六、特点(或特点数) 7、没有八、一个极大理想九、不含真子域 10、代数元二、选择题（每题4分，共20分）:一、D 二、 D 3、B 4、D 五、D三、证明题（每题5分,共50分）:一、证明:显然是非空集合上的代数运算., 那么有即, 对此运算知足结合律.又, 即是的左单位元; 又, 有且, 即是在中的左逆元. 因此,对此运算作成一个群.二、证明: 第一易知,中的单位是.第二, 假设, 那么必是环的不可约元.事实上, 假设是的任一因子, 那么有, 使, 故或.但不可能, 故只有或.当时,是可逆元; 当时, 与相伴. 因此, 只有一般因子, 即是不可约元.故, 是的不可约元.但, 而且又不与中的任一个相伴, 即9不能惟一分解.3、证明:1), 那么, 于是.再任取, 由知,. 故.2) 不成立.因为, 例如, 但.事实上,. 即是由8生成的主办想.4、证明：方式(一):因为,是满同态，故.令.下证是商群到的一个同构映射. 1) 是映射: 设, 那么.因是同态满射,故.从而, 即是商群到的一个映射. 2) 是满射: , 因是同态满射, 故有使. 从而在之下有逆象, 即是满射. 3) 是单射: 设, 那么.因是满射, 故有使,其中是的单位元. 于是故. 从而, 即是单射.又显然在之下有,故是商群到的一个同构映射. 因此.方式(二):利用群同态大体定理因为,是满同态，故.设是群到商群的映射. 因为又是满射(因是满射),故是群到商群的满同态映射.又, 据群同态大体定理, .五、证因为G不是循环群，故G没有6阶元.从而由Lagrange定理知，G必有2阶元或3阶元.除外G中元素不能都是2阶元：假设不然，G为互换群.于是在G中任取互异的2阶元，那么易知.这与Lagrange定理矛盾.又除外G中元素不能都是3阶元：假设不然，那么在G中任取3阶元，可知G有子群，且.于是,这与矛盾.因此，G必有2阶元和3阶元.由此可知：，且易知是G到的一个同构映射，故G.近世代数测试题（B）参考答案一、填空题（每题3分，共30分）：一、适合二、(未全对者,不给分) 3、4、五、8 六、是 7、2 八、主办想整环九、(未全对者,不给分) 10、扩域二、选择题（每题4分，共20分）：一、D 二、 D 3、D 4、B 五、A三、证明题（每题10分,共50分）：一、证明: 设是由互换群中所有有限阶元素作成的集合. 显然, , 故非空. 假设，设. 因可换, 故, 从而。
近世代数习题解答
近世代数习题解答第一章 基本概念1 集合1.A B ⊂,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ׃只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ∉,显然矛盾; 若A B ⊂,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A =2.假定B A ⊂,?=B A ,A ∩B=? 解׃ 此时, A ∩B=A,这是因为A ∩B=A 及由B A ⊂得A ⊂A ∩B=A,故A B A = ,B B A ⊃ , 及由B A ⊂得B B A ⊂ ,故B B A = ,2 映射1.A =}{100,3,2,1，⋯⋯,找一个A A ⨯到A 的映射. 解׃ 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ⨯到A 的映射.2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ⨯到A 的一个元的的象? 解׃容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ⨯的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ⨯的象.3 代数运算1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ⨯到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ?解׃取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ⨯到D 的代数运算;同时说明这样的D 不只一个.2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解׃a b c aa b c a b c b b c aaa a ac c a b bd a aca a a4 结合律1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:bab a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解׃ 这个代数运算不适合结合律: 212)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠.2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律?解׃ 这个代数运算不适合结合律c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c .3.A ={c b a ,,},由表所给的代数运算适合不适合结合律?解׃ 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.5 交换律1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律?解׃ 一般地a b b a -≠- 除非b a =.2.},,,{d c b a A =,由表a b c d a a b c d b b d a c c c a b d dd c a b所给出代数运算适合不适合交换律? 解׃ d d c = , a c d =a b c aa b cb bc a cc a b从而c d d c ≠.故所给的代数运算不适合交换律.6 分配律假定:⊗⊕,是A 的两个代数运算,并且⊕适合结合律,⊕⊗,适合两个分配律.证明)()()()(22122111b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗ )()()()(22211211b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗= 证׃)()()()(22122111b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗ =])[(])[(221121b a a b a a ⊗⊕⊕⊗⊕ =)()(2121b b a a ⊕⊗⊕=)]([)]([212211b b a b b a ⊕⊗⊕⊕⊗)()()()(22211211b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗=7 一 一 映射、变换1.A ={所有0〉的实数},=-A {所有实数}.找一个A 与-A 间的意义映射.证 φ:a a a log =→-因为a 是大于零的实数,所以a log 是实数即 A a ∈,而--∈A a ,而且b a b a log log =⇒=.因此φ是A 到-A 的映射.又给了一个-A 的任意元-a ,一定有一个A 的元a ,满足-=a a log ,因此φ是A 到-A 的满射.a a a log =→-b b b l o g =→-若 b a ≠, 则 b a log log ≠.即 --≠⇒≠b a b a 因此φ又是A 到-A 的单射.总之,φ是A 到-A 的一一映射.2. A ={所有0≥的实数},=-A {所有实数-a ,10≤≤-a }. 找一个A 到-A 的满射. 证 a a a s i n :=→-φ,容易验证φ是A 到-A 的满射.3.假定φ是A 与-A 间的一个一一映射,a 是A 的一个元.?)]([1=-A φφ?)]([1=-a φφ若φ是A 的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?解׃ a a =-)]([1φφ, a a =-)]([1φφ未必有意义;当φ是A 的一一变换时,.)]([,)]([11a a a a ==--φφφφ8 同态1.A ={所有实数x },A 的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A 到A 的一个子集-A 的同态满射?x x a →) x x b 2)→ 2)x x c → x x d -→)证׃ )a 显然=-A {所有0≥的实数}.又由于 y x xy xy =→ 可知x x →是A 到-A 的同态满射.)b 由于)2)(2(2y x xy xy ≠→ ( 除非0=xy )所以x x 2→不是A 到-A 的同态满射.)c 由于222)()()(y x xy xy =→,易知2x x →是A 到-A 的同态满射.这里-A ={所有0≥的实数}.)d 一般来说,))((y x xy --≠-,:所以x x -→不是A 到-A 的同态满射 .2. 假定A 和-A 对于代数运算ο和-ο来说同态，-A 和=A 对于代数运算-ο和=ο来说同态，证明 A 和=A 对于代数运算ο和=ο来说同态。
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§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
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§1 第一章基础知识1.1鉴定题:1.2设和所有是非空集合, 那么。
（）1.3A×B = B×A （）1.4只要是到一一映射, 那么必有唯一逆映射。
（）1.5假如ϕ是A到A一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a。
( )1.6集合A到B可逆映射一定是A到B双射。
（）1.7设、、所有是非空集合, 则到每个映射所有叫作二元运算。
（）1.8在整数集Z上, 定义“”：a b=ab(a,b∈Z), 则“”是Z一个二元运算。
（）1.9整数整除关系是Z一个等价关系。
( )1.10填空题:1.11若A={0,1} , 则A⨯A= __________________________________。
1.12设A = {1, 2}, B = {a, b}, 则A×B =_________________。
1.13设={1,2,3} B={a,b},则A⨯B=_______。
1.14设A={1,2}, 则A⨯A=_____________________。
1.15设集合；, 则有。
1.16假如是和间一一映射, 是一个元, 则。
1.17设A =｛a1, a2,…a8｝, 则A上不同样二元运算共有个。
1.18设A、B是集合, | A |＝| B |＝3, 则共可定义个从A到B映射, 其中有个单射, 有个满射, 有个双射。
1.19设A是n元集, B是m元集, 那么A到B映射共有____________个.1.20设A={a,b,c}，则A到A一一映射共有__________个.1.21设A={a,b,c,d,e}, 则A一一变换共有______个.1.22集合元间关系～叫做等价关系, 假如～适合下列三个条件: _____________________________________________。
1.23设 A =｛a, b, c｝, 那么A所有不同样等价关系个数为______________。
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第一章 基本概念-自测练习
一、判断题
1.Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21到集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同.( )
2.若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射.( )
3.假如一个集合A 的代数运算 适合交换律，那么在n a a a a 123 里)(A a i ∈，元的次序可以交换.( )
4.若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律.( )
5.集合A 的一个等价关系决定A 的一个分类.( )
6. 若代数系统与同构，(,)(,)A A 则与也同构.(,)(,)A A ( )
7. 若代数系统与同态，(,)(,)A A 则与也同态.(,)(,)A A ( )
二、选择题
1. 设},,{},3,2,1{c b a B A ==，则A 到B 的映射个数有（ ）。
A. 9
B. 6
C. 12
D. 27
2. 指出下列哪些运算是二元运算（ ）。
A ．在整数集Z 上，ab b a b a += B. 在有理数集Q 上，ab b a =
C.在正实数集+R 上，b a b a ln =
D.在集合{}
0≥∈n Z n 上，b a b a -= 3. 设正整数集+
Z 的二元运算 为：{}b a ax b a ,m = ，则( ). A. 不适合交换律 B. 不适合结合律
C. 既适合交换律也适合结合律
D. 适合交换律但不适合结合律
4. 设{,,}A =123,约定A 的二元运算 为：x ,,y x y A =∀∈1 ，则对 来说，A 的自同 构 有( )个.
A. 1
B.2
C.3
D.6
5. 设Z 为整数集，则以下关系中，哪个是Z 的元间的等价关系？ ( )
A. a ～b ⇔a 2+b 2=0
B.a ～b ⇔b a ≥
C. a ～b ⇔b a |2+
D.a ～b ⇔b |a
三、简单题
1.试给出集合X={1，2，3，4，5}到Y={0，2，4，6，8}的两个单射.
2.{}100
3,2,1 =A ，找一个A 的二元运算. 3.试给出整数集到偶数集的两个不同的映射。
4.Z 表示整数集,分别作Z 到自身的如下映射ϕ:
(1) ϕ是单射而不是满射; (2) ϕ是满射而不是单射. (3) ϕ是双射.
5. 判断下列二元关系是否是等价关系:
设)},(),,(),,(),,{(},,,{1b b a a a b b a R c b a A ==；
)},(),,(),,(),,(),,{(2c c b b a a a b b a R =；
)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(3b c c b a b b a c c b b b a R =；
)},(),,(),,(),,(),,(),,{(4c a c b b a c c b b b a R =.。